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1 Guí Mtemátic FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgrejo.co

2 . Introducción El mnejo lgebrico es un herrmient básic que nos permite comunicr ides en el mbiente científico sin importr l lengu que ellos mnejen. Aprender leer, escribir y operr con álgebr es el símil prender leer y escribir l lengu mtern pr comunicrnos con nuestros pres. En est oportunidd bordremos l relción entre l opertori con frcciones y l opertori con expresiones frccionris; l resolución de desfíos y problems no rutinrios que involucren sustitución de vribles por dígitos y/o números; expresiones lgebrics frccionris simples, con binomios o productos notbles en el numerdor y en el denomindor); y l simplificción, multiplicción y dición de expresiones lgebrics frccionris simples. 2. Expresiones lgebrics frccionris Se denominn expresiones lgebrics frccionris o frcciones lgebrics l cociente entre dos expresiones lgebrics. L más simple de tods ls frcciones lgebrics puede ser donde es el b numerdor y b el denomindor distinto de cero. Tods ls propieddes de l ritmétic se heredn en ls frcciones lgebrics pero de mner genéric. Un de ls coss básics que debemos tener en cuent es que tod expresión lgebric puede escribirse como un frcción lgebric de denomindor. Por ejemplo, 3x 2 2x + puede escribirse como: 3x 2 2x + A est expresión lgebric se le denomin enter por crecer de denomindor literl. Otros ejemplos de expresiones lgebrics enters son: x + y, b2, x 3 x 3 + bx + c y 5 Otro tipo de expresión lgebric l que nos podemos enfrentr es quell que se compone de un prte enter y otr frccionri. Por lo mismo en vrios textos se les llm mixts. Algunos ejemplos son: x + y z, x x 2 + y2 y Principios básicos Como dijimos nteriormente, ls propieddes de ls frcciones lgebrics se heredn de l ritmétic. Sobre ls multiplicciones y divisiones de los numerdores y denomindores podemos resumir lo siguiente: L división de dos expresiones lgebrics es igul l multiplicción del dividendo por el inverso multiplictivo del divisor. Por ejemplo: 3x + 2y x 2 ) 3x + 2y) 3x + 2y x 2 x 2 Si multiplicmos o dividimos el numerdor de un frcción lgebric, entonces l frcción qued multiplicd o dividid por dich cntidd respectivmente. Por ejemplo, si considermos l frcción 2

3 y y multiplicmos su numerdor por 3z es lo mismo que multiplicr l frcción y Otro ejemplo, si considermos l frcción x dividir l frcción z 2 4 por y2 : 3z y 3z y por 3z: x z 2 4 y dividimos su numerdor por y2 es lo mismo que x y 2 z 2 4 x z 2 4 y2 Si multiplicmos o dividimos el denomindor de un frcción lgebric, entonces l frcción qued dividid o multiplicd por dich cntidd respectivmente. Por ejemplo, si considermos l frcción y y multiplicmos su denomindor por x2 es lo mismo que dividir l frcción y por x2 : y x 2 y x2 y 2 Otro ejemplo, si considermos l frcción z 2 4) y dividimos su denomindor por x2 es lo mismo y 2 que multiplicr l frcción z 2 4) por x2 : 2.2. Signos en ls frcciones lgebrics y 2 z 2 4) x 2 y2 z 2 4 x2 Algo que cus bstntes dificultdes entre los estudintes son los signos en ls frcciones lgebrics. Esto se puede deber que existen 3 elementos que tienen signo: numerdor, denomindor y l frcción. Algunos ejemplos b b b b b b b b Hy ciertos cmbios que podemos hcer en los signos de un frcción lgebric sin lterr con ello su vlor. Lo importnte es mntener el signo generl de l frcción tomndo en cuent ls regls de los signos l multiplicr y dividir números que y hemos borddo en otr oportunidd. Llmemos x l cociente de dividir con b. El cociente lo podemos escribir como un frcción b, por lo tnto es correcto decir que: Y tmbién por l regl de los signos: O tmbién podemos concluir que: b x b x b x 3

4 Otr firmción válid es: b x b x b x Resumiendo podemos hcer ls siguientes equivlencis: 3. Simplificción de frcciones b b b b Cundo hblmos de simplificr un expresión frccionri nos referimos reescribirl en un form más compct pero sin cmbir su vlor. En el cso de ls frcciones lgebrics lo que se busc es que el numerdor y denomindor sen primos entre sí. A ls frcciones con ést crcterístic se les llm irreductible y es l form más simple pr poder expresrls. 3.. Simplificción de monomios Recordemos que l frcción es un form de representr un división y por lo tnto, todo lo que sbemos sobre división es válido en este contexto. En prticulr recordemos ls propieddes de ls potencis y l descomposición prim de los números con el siguiente ejemplo:. Simplificr 9x 2 y x 3 y 4 Solución: L ide es relizr ls misms operciones en el numerdor y denomindor, y usr ls propieddes de ls potencis de igul bse que se dividen. El primer pso será simplificr 9 y 24 por 3 y luego restmos los exponentes de ls potencis con igul bse. 9x 2 y x 3 y 4 3x2 y x 3 y 4 3x2 3 y x y xy Otr mner de proceder, sin olvidr el fundmento detrás de ello, es cncelr ls potencis que tienen igul bse. De est mner decimos que x 2 se cncel con el x 3 del denomindor y nos qued Dos números son primos entre sí cundo el MCD entre ellos es igul. 4

5 sólo un x en el denomindor. Así mismo decimos que y 3 se cncel con el y 4 del denomindor y nos qued sólo un y en el denomindor. No es el lenguje mtemático correcto pero nos sirve pr mecnizr lgunos procedimientos y horrrnos lgunos psos, sin embrgo no debemos olvidr nunc el fundmento detrás de ello y que l hcerlo estremos corriendo el riesgo de cometer errores de procedimiento. 2. Reducir 30x 6 y x 4 l expresión más simple. y3 Solución: 30x 6 y x 4 y 3 2x6 y x 4 y 3 2x2 y y 3 2x2 3 3 y Ejercicios Escribe cd frcción lgebric en su form más simplificd. x 2 x x 3 y 5 25xy n 4 x 2 24mn 2 x m 2 n 4 34m 3 n 4 p 6. 2x 6 y 5 z 4 w 3 63x 4 z 3 w Simplificción de polinomios L únic mner de suprimir términos entre el numerdor y denomindor es cundo todos los términos se están multiplicndo. Por lo tnto, pr simplificr los polinomios en un frcción lgebric debemos descomponerlos en sus fctores y, luego de ello, podremos suprimir los fctores comunes entre numerdor y denomindor. Vemos un ejemplo:. Simplificr l frcción b 3 2 b 3b 2 Solución: No podemos simplificr l frcción inmeditmente porque en el denomindor hy dos términos que se sumn, por lo tnto, debemos reescribir el denomindor como producto de sus fctores comunes. b 3 2 b 3b 2 b 3b b) 3 b) 5

6 2. Reducir su form más simple l expresión 52 bn 45 2 bm 0 2 b 2 n 30 2 b 2 m Solución: 5 2 bn 45 2 bm 0 2 b 2 n 30 2 b 2 m 52 bn 3m) 0 2 b 2 n 3m) 52 b 0 2 b 2 3 2b Recuerd que cundo en el denomindor hy un sum de términos no podemos simplificr. Sólo se puede hcer cundo ls expresiones están fctorizds. No podemos olvidr que en lgunos csos los polinomios pueden fctorizrse como productos notbles. Vemos el siguiente cso. Simplificr 2 2b + b b Solución: Notr que el numerdor es un cudrdo de binomio de b y el denomindor lo podemos fctorizr por b + b b b)2 4 b) b) b) 4 b) b 4 Ejercicios 2 Escribe ls frcciones en su form irreducible.. 2b 4 2 x x 2 y 3 z 80x 2 x 2 y) 5. x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 2. m 2 2m 3 m 3 4. x 2 y 2 x + y 6. m 2 + n 2 m 4 n 2 6

7 7. 6x x 5x 2 7x x 4 xy 3 4x 4 4x 3 y + x 2 y 2 3. x 2 x 3 x x 2 + x 3 x x 2 y 2 x 3 y 3 2 b c) 2 + b) 2 c x 3) x) 2 9 m m + n n Operción con frcciones lgebrics Los psos recomenddos pr sumr o restr frcciones son los mismos que en l ritmétic: Simplificr ls frcciones en l medid de lo posible. Identificr el mínimo común denomindor. Amplificr ls frcciones pr que tengn el mismo denomindor. Efectur ls multiplicciones. Sumr los términos en el numerdor y denomindor. Reducir términos semejntes en el numerdor. Si es necesrio, simplificr nuevmente. 4.. Adición Pr entender cómo sumr expresiones lgebrics frccionris vemos el siguiente ejemplo: Simplificr b Solución: Entre 5 2 y 3b debemos encontrr el mínimo común denomindor. Primero buscmos el MCM entre los coeficientes 3 y 5 que es 5. En segundo lugr vemos entre 2 y b cuál es el MCM. Notr que el MCM es el que tiene todos los fctores de los dos términos elevdos ls máxims potencis ls que precen. Entonces el MCM será: 5 2 b Notr que est expresión es divisible por 5 2 y 3b. Como tercer pso debemos ver por cuánto debemos mplificr cd frcción? pr que su denomindor se 5 2 b. L primer frcción l debemos mplificr por 3b, y que 3b b y l segund frcción l debemos mplir por 5, y que 5 3b 5 2 b. Entonces el problem qued escrito como: b 3b 3b b 6b 5 2 b b 6b b 7

8 A veces encontrr el mínimo común denomindor es un poco más complejo, pr estos csos es recomendble fctorizr cd denomindor pr identificr los fctores comunes. Vemos otro ejemplo: Simplific l siguiente dición Solución: Fctorizmos los denomindores El mínimo común denomindor contiene todos los múltiplos diferentes de los denomindores de cd sumndo elevdos ls máxims potencis que precen. 5x x 2 + x 2 5x + ) + 2x ) + x + )x ) El mínimo común denomindor contiene todos los múltiplos diferentes: 5, 2, x ) y x + ). Entonces el denomindor buscdo es: 0x )x + ) Ahor mplificmos cd frcción por el fctor que nos permite obtener el mínimo común denomindor. 5x + ) + 2x ) + 2x ) x + )x ) 2x ) 5x + ) + 5x + ) 5x + ) 2x ) x + )x ) 2x ) 0x + )x ) + 5x + ) 0x + )x ) + 0 0x + )x ) 2x ) + 5x + ) + 0 0x + )x ) 2x 2 + 5x x + )x ) 7x + 3 0x + )x ) 7x + 3 0x 2 ) 4.2. Sustrcción Pr relizr un sustrcción hcemos los mimos psos descritos en el cso de l dición, pero hor debemos considerr el signo de rest como el signo de l frcción. Pr entender este cso vemos el siguiente ejemplo: 8

9 Simplific Solución: El mínimo común denomindor entre 2 y 8 2 es 8 2, y que l multiplicr 2 por 4 lo obtenemos. Entonces l nuev sustrcción es: Ahor que ls frcciones tienen igul denomindor, restmos los numerdores teniendo especil cuiddo con el signo menos ) Ejercicios 3 Simplific ls siguientes expresiones: x b 0 b 2 9x x x 4 + x 3 m n m + n m + n m n b + + b 2x x + 2x 2 x 2 n m mn + 8 n 2x 3 3x x y x + y 2 x x b b 3m 2 m b 2 x x + x + 5 x x 2 x + x De modo generl siempre podemos resolver l sum o rest de dos frcciones como: b ± c d ± cb d bd 9

10 4.3. Multiplicción Al igul que en l multiplicción de frcciones en ritmétic, ést se hce de form horizontl, es decir, numerdor por numerdor y denomindor por denomindor. Vemos un ejemplo donde desrrollmos est ide: Simplificr 23 3b 6b2 4 Solución: Multiplicmos los numerdores, denomindores y luego simplificmos: 2 3 3b 6b )6b 2 ) 3b)4) 22 b 2 2 b Es recomendble hcer tods ls simplificciones posibles y luego multiplicr. De mner generl, l multiplicción de dos frcciones es: b c d b c c Ejercicios 4 Simplificr ls siguientes multiplicciones: b 3 3b3 5 2 x 2 y b 0 5x y2 4xy 4 0x + 0 5x x x 2 x2 + 2x + x + x 2 y 0 4y3 7m 3 4m2 5x

11 En lgunos csos nos enfrentremos con l necesidd de multiplicr expresiones mixts. En tl situción es recomendble reducir ls expresiones mixts frcciones y luego multiplicrls. Vemos el ejemplo: Simplific el resultdo de + ) ) b b + Solución: Primero escribimos ls expresiones mixts como un únic frcción. + ) ) ) ) b + b + ) b b + b b + ) ) b + b + b b + ) ) b + b b b + Ahor relizmos l multiplicción y simplificción. ) ) b + b b + )b b b + bb + ) b + ) b + 2 b + 2 b + 2 b + ) b + 2 Vemos lo que sucede si en el ejercicio nterior hubiésemos fctorizdo y simplificdo ntes de multiplicr. ) ) ) ) b + b b + ) b b b + ) b b + ) ) ) b b 2

12 Ejercicios 5 Simplific ls siguientes multiplicciones:. x ) + x ) + x ) ) b b x ) x 2 + x + ) 0 3x x x ) x x2 y x + y x ) + 2 x ) ) ) ) División L división de dos frcciones puede entenderse como el producto entre el dividendo y el inverso multiplictivo del divisor. Por lo tnto después de escribir l división como producto del dividendo y el divisor invertido, sólo tenemos que usr todo lo visto pr l multiplicción de expresiones lgebrics frccionris. L división de b y c d es: b c d b d c d bc Ls divisiones pueden entenderse como frcciones, entonces: b c d b c d bc d El numerdor del cociente es l multiplicción de los extremos y, el denomindor del cociente es el producto de los medios. Notemos que ls frcciones y ls divisiones son dos mners de decir lo mismo, es decir, un frcción es l representción del cociente de dos cntiddes y su vez l división puede reescribirse como un frcción donde el numerdor es el dividendo y el denomindor es el divisor. Aunque suene trivil est relción es relmente importnte considerrl siempre, y que nos permite tener diferentes mners de bordr un mismo problem.. Simplificr 5m2 7n 3 0m4 4n 4 Solución: Reescribimos l división como multiplicción: 5m 2 7n 3 0m4 4n 4 5m2 7n 3 4n4 0m 4 2

13 Ahor simplificmos y luego multiplicmos: 5m 2 7n 3 4n4 0m 4 2. Reduce l expresión x x m2 7n 3 4n4 0m 4 m2 n 3 n4 m 4 n m 2 n m 2 Solución: Debemos fctorizr los numerdores y denomindores pr poder simplificr x x x x x )2 ) ) 2 2 x 2 + 5) Ejercicios 6 Simplific ls siguientes expresiones: b 2 2x 9b b 2 0x 2 2 b 3 x 9 2x x 3 3 x b 2 x 2 + 2x + x + b Bibliogrfí [ ] Álgebr, Edición 983, CODICE S.A. Mdrid 983) Dr. Aurelio Bldor. [2 ] Apuntes pr l preprción de l PSU Mtemátic, Segund Edición, 2009, Pmel Predes Núñez, Mnuel Rmírez. 3

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