Prueba Matemática. Resolución. Proceso de admisión Documento Oficial. Universidad de Chile

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1 Proceso de adisión 0 6 de agosto de 00 Docuento Oficial Universidad de Chile VicerrectorÍa de asuntos acadéicos DEMRE Consejo de rectores UNIVERSIDADES CHILENAS Resolución Prueba Mateática Parte II En esta segunda parte, se pueden encontrar los coentarios de las preguntas 9 a la, que corresponden a los contenidos de Álgebra Funciones a las habilidades cognitivas de Reconociiento, Coprensión, Aplicación Análisis, Síntesis Evaluación. N Serie DEMRE - UNIVERSIDAD DE CHILE

2 RESOLUCIÓN DE LA PRUEBA OFICIAL DE MATEMÁTICA PARTE II PRESENTACIÓN Continuando con la difusión de la Prueba Oficial de Mateática publicada el de junio de este año, en esta ocasión se coentarán las preguntas N 9 a la N. Estos ítees apuntan a los contenidos del Eje Teático de Álgebra Funciones a las Habilidades Cognitivas de Reconociiento, Coprensión, Aplicación Análisis, Síntesis Evaluación. Cabe encionar que los ítees de Álgebra de esta publicación corresponden a los contenidos de los niveles de segundo tercer año edio los de Funciones de segundo a cuarto edio. En cada uno de los ítees se detalla el contenido involucrado, en algunos casos los contenidos previos que se requieren, junto con las operaciones a realizar. Adeás, se señala el grado de dificultad con la que resultó el íte, su porcentaje de oisión los errores ás frecuentes que llevan al postulante a arcar algunos de los distractores. Es iportante resaltar que los contenidos de Álgebra de Funciones son fundaentales para resolver probleas tanto en Mateática coo en lo referido a otras disciplinas, es por lo que los conceptos algoritos ateáticos facilitan la resolución de una gran cantidad de probleas que se presentan en la vida diaria. S DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS AL ÁREA TEMÁTICA DE ÁLGEBRA PREGUNTA 0 Dada la fracción, con > 0 t > 0, cuál(es) de las siguientes afiraciones es (son) siepre verdadera(s)? I) Si a a t se le agrega, entonces la fracción auenta en. II) Si el nuerador de la fracción se duplica su denoinador se divide por, entonces la fracción queda igual. III) Si el denoinador de la fracción se divide por, entonces la fracción se triplica. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II E) Sólo II III Esta es una pregunta del tipo cobinada está referida al contenido de resolución de desafíos probleas no rutinarios. Para llegar a la solución el aluno debe analizar los datos entregados en el enunciado junto con las afiraciones así llegar a la veracidad o falsedad de éstas. En I) se tiene que a a t se le sua, entonces la fracción dada queda: ( ) (t ) ( ) ( t ), fracción que es distinta al resultado de la fracción t dada en el enunciado auentada en, es decir, lo que I) es falsa. + por PREGUNTA 9 Si t, entonces la expresión t t t es igual a En II), al duplicar el nuerador dividir por el denoinador de la fracción, resulta () (), por lo que la fracción resultante es cuatro veces la fracción dada, de esta anera la afiración II) tabién es falsa. A) t B) t C) t D) t t E) t + En III), si el denoinador de la fracción dada se divide por, resulta () verdadera. (), que es el triple de la fracción original, por lo tanto III) es Por el análisis anterior, la alternativa correcta es C). Esta pregunta se refiere al contenido de operatoria con fracciones algebraicas, en donde el aluno debe realizar una resta de fracciones con igual denoinador, luego factorizar un binoio coo una sua por su diferencia, terinando con una siplificación de la fracción algebraica resultante. Es así coo, se tiene t t E). t t t (t + )(t ) t +, por lo que la alternativa correcta es t Este íte resultó difícil, a que fue contestado en fora correcta por el 9% de los postulantes que lo abordaron. La oisión resultó alta llegando al 7%, lo que indica que los alunos no están acostubrados a realizar este tipo de desafíos. Al analizar los distractores, se observa que los postulantes que optaron por alguno de ellos, se distribueron en fora hoogénea, donde el error radica probableente en no saber operar con fracciones o no saber interpretar las afiraciones. Sorprende que este íte haa resultado difícil, a que es un tipo de operatoria recurrente en el trabajo de aula, fue contestado correctaente por el % de los estudiantes que la abordaron la oisión fue alta alcanzando el 8%. El distractor ás arcado fue D) con un %, quienes se inclinaron por él, lo ás probable es que suaron los denoinadores restaron los nueradores.

3 PREGUNTA Si a + b, entonces se puede afirar que A) la sua de a b es. B) a es aor que b. C) a es veces b. D) a es enor que b. E) la diferencia entre a b, en ese orden, es. Para llegar a la respuesta correcta el aluno debe interpretar la relación que existe entre dos variables, en este caso a b. En efecto, el postulante al interpretar la relación a + b del enunciado, conclue que la variable b es igual a la variable a auentada en unidades, en otras palabras, b es unidades aor que a, por lo tanto a es enor que b. De esta anera la opción correcta es D), que fue arcada por la itad de los postulantes que abordaron el íte, considerado éste coo ediano su oisión alcanzó el 9%. El distractor con la aor preferencia fue E) con un 8%, quienes lo arcaron, probableente, hicieron una ala operación en la igualdad, a + b, lo escriben coo a b + luego, a b. PREGUNTA 6n 6 a A) a n 6 B) a n C) a n D) a n 6 E) a 6n El contenido que el aluno debe aplicar es la definición de raíz cúbica coo potencia, es decir, a a, adeás debe aplicar la propiedad de potencia de una potencia, factorización siplificación de fracciones algebraicas. 6n 6 En efecto, a 6n 6 ( a ) a 6n 6 6(n ) a a (n ) a n Así, la opción correcta es B), contestada por el % de los postulantes que abordaron el íte, resultando éste difícil. Llaa la atención su alta oisión, la que alcanzó al %, lo que deuestra que es un íte poco trabajado en clases. Uno de los distractores ás arcados fue C), con un %, el error que probableente se coetió fue una ala aplicación del concepto de raíz cúbica coo potencia, obteniendo 6n 6 6n a a 6 a 6(n ) n a. En esta pregunta se deben interpretar las desigualdades señaladas en el enunciado, para establecer todos los posibles valores que puede toar (a + b). En efecto, el aluno para deterinar el ínio valor que puede toar (a + b) debe coprender que coo el ínio valor que puede toar a es 0 el ínio valor que puede toar b es, la sua de abos a lo enos toaría el valor. De la isa anera, coo el áxio valor que puede toar a es b es 0, se deduce que el áxio valor que puede toar la sua de abos es. Así la respuesta correcta está en la opción A), la que fue arcada por el % de los postulantes que la abordaron, resultando un íte difícil la oisión fue alta alcanzando el %, deostrando que los postulantes no están habituados a este tipo de ítees. Uno de los distractores ás arcado por los alunos fue D), con un 6%, probableente ellos suan los extreos de abas desigualdades dándoles 0, sin advertir el sentido que ellas tienen. PREGUNTA Para todo > 0 la expresión es igual a A) B) C) D) E) En este íte el postulante debe aplicar la definición de una raíz cúbica coo potencia, las propiedades de la ultiplicación de raíces de igual índice la ultiplicación de potencias de igual base, ellas son: a a, a b ab b r b s b r + s, respectivaente. Así, Dicha expresión se encuentra en la opción C), la que fue elegida por el 7% de los postulantes que abordaron el íte. De acuerdo a este porcentaje el íte resultó difícil la oisión alcanzó el 6%. El distractor E) fue el ás arcado con el 6% de preferencias por quienes abordaron el íte, el error que coeten probableente es que suan los exponentes de las cantidades subradicales suan el índice de las raíces, considerando el índice de coo 0, es decir, ( + + 0) ( + + ) 6 7. PREGUNTA Si a 0 b 0, qué valor(es) puede toar (a + b)? A) Los valores entre, abos incluidos. B) Sólo los valores entre 0, abos incluidos. C) Sólo los valores entre 0, abos incluidos. D) Sólo el 0. E) Ninguno de los anteriores.

4 S DE LAS PREGUNTAS REFERIDAS AL ÁREA TEMÁTICA DE FUNCIONES PREGUNTA Una epresa paga a sus vendedores un sueldo base ensual de $ ás $.000 por artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un es, cuál de las siguientes funciones representa el sueldo S(x), que le paga la epresa, en pesos? A) S(x) x B) S(x).000x C) S(x) 8.000x D) S(x) x E) S(x).000 x Este íte apunta al contenido de situaciones fenóenos que se pueden odelar utilizando la función lineal o afín. Su resolución requiere del postulante la capacidad de coprender la inforación dada en el enunciado para encontrar la función S(x) que representa el sueldo que paga la epresa. Del enunciado se tiene que el sueldo base ensual es $ ; la coisión por artículo vendido es $.000 que los artículos vendidos son x, luego lo que gana por los artículos vendidos es.000x. Entonces, la función S(x) que representa la situación planteada es equivalente a lo que gana coo base ás lo ganado por los artículos vendidos, esto es, S(x).000x Dicha expresión se encuentra en la opción B), la que fue contestada correctaente por el 7% de las personas que abordaron la pregunta, resultando un íte fácil la oisión fue del 9%. Estos datos uestran que es un tipo de problea tratado al interior del aula. El distractor ás arcado por los postulantes fue D) con un 7%, quienes se inclinaron por él, probableente suaron el sueldo base con la coisión obteniendo $ a este resultado le agregaron los x artículos vendidos en el es. PREGUNTA 6 La tabla adjunta uestra los ahorros que posee Alicia, después de gastar seanalente la isa cantidad de dinero. Cuál gráfico representa ejor esta situación? Seana 0 Ahorros en $ A) Ahorro B) Ahorro C) Ahorro Este íte se refiere a situaciones fenóenos que se pueden odelar utilizando la función afín. Para responder este íte, el aluno debe interpretar que los ahorros de Alicia van disinuendo en fora constante cada seana en $.000. Por lo tanto, la gráfica que representa ejor la situación planteada debe ser una línea recta no una curva, de esta anera se descartan las opciones A, B C. Ahora, coo en la quinta seana Alicia tiene $ no $ 0, la ejor gráfica que representa la situación planteada es la que se encuentra en D), la que fue contestada por el 9% de los alunos, resultando un íte ediano la oisión alcanzó el %. El distractor B) fue arcado por el 0% de los postulantes, el error probableente estuvo en considerar que la disinución de los ahorros fue en fora exponencial no lineal. PREGUNTA 7 Dado el sistea A) B) 0 C) D) 8 E) x + 7 x, el valor de x es igual a Esta pregunta está relacionada con la resolución de un sistea de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para su solución el postulante debe aplicar algún étodo que le perita deterinar x los valores de x e, para luego calcular el valor de la expresión. En efecto, si al sistea x + 7 x se le aplica el étodo de reducción, se deben suar las ecuaciones obteniéndose que 6x 8, por lo que x. Reeplazando este valor en x + 7, se tiene que 9 + 7, llegando a que. Ahora, reeplazando x e en se encuentra en la opción A). x, se tiene. Dicho valor 0 Seana D) Ahorro E) 0 Seana Ahorro 0 Seana Esta pregunta resultó difícil, a que la contestó correctaente el 8% de quienes la abordaron la oisión fue alta, alcanzando el %. Lo anterior llaa la atención, pues el sistea a resolver es u rutinario la valoración de la expresión es sencilla. El distractor ás arcado fue E) con un %, probableente los alunos deterinaron bien los valores de x e, pero al reeplazar estos valores en la expresión dada, no se fijaron en el signo del resultado. 0 Seana 0 Seana

5 PREGUNTA 8 En la recta de la figura, el valor de p es A) B) C) 7 D) E) El aluno para encontrar la respuesta a la pregunta debe saber calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, es decir, debe recordar que la pendiente de una recta dados los puntos P(x, ) Q(x, ) es. x x Adeás, el aluno debe recordar que no iporta qué puntos se toen de una recta, la pendiente siepre toa el iso valor. Es así coo, de la gráfica se deduce que la recta pasa por los puntos (0, 8) (0, 0), luego se tiene que la pendiente de la 0 8 recta es. x x 0 0 Ahora, si se toan los puntos (0, 8) (p, ) se tiene que donde p, así p, valor que se encuentra en la opción B). 8, de p 0 Esta pregunta resultó u difícil, a que el % de quienes la abordaron contestaron correctaente su oisión fue alta alcanzando el %. El distractor D) fue el ás arcado con un 0%, probableente los alunos pensaron que p es el punto edio entre el origen el 0, llegando a p. PREGUNTA 9 Si f(x) x + x + x + A) x B) x + C) x + D) x + E) x, entonces para x < la función f(x) es igual a El aluno para resolver este íte debe recordar el concepto de valor absoluto cua definición es x, x x, si x < 0 si x 0 A continuación, el aluno debe analizar cada uno de los térinos que coponen la función f(x), es decir, debe analizar lo que sucede con cada valor absoluto en el,. intervalo [ [ fig. 8 p 0 x En efecto, en De la isa anera, para x + se tiene que la expresión (x + ) siepre es positiva en el intervalo dado, de tal anera que x + x +. Por el análisis anterior, se deduce que f(x) x + x + x + x (x ) + x + x +. Luego, la opción correcta es C) que fue contestada por el % de los postulantes que abordaron el íte resultando éste difícil. Su alta oisión del % indica que los alunos no trabajan regularente con este tipo preguntas, en donde no se pide calcular el valor absoluto de un núero, sino que analizar el coportaiento de una función valor absoluto definida en un intervalo. El distractor que tuvo un aor porcentaje de adherentes fue A) con un % corresponde a los alunos que probableente utilizan las barras que indican valor absoluto coo paréntesis llegando a f(x) x. PREGUNTA 0 Si f(x) x x g(x) x, cuál(es) de las siguientes afiraciones es (son) verdadera(s)? I) f(0) g(0) 0 II) f(x) g(x) (x + ) III) g() + f() 7 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III x se tiene que para cualquier valor de x en el intervalo [, [ expresión (x ) es aor o igual que cero, por lo tanto x x. la Ahora, para x se tiene que la expresión (x ) siepre toa valores negativos en el intervalo en que está definida x, así x (x ). En esta pregunta el postulante debe valorar una función cuadrática una afín, luego con los resultados obtenidos, realizar algunas operaciones de ultiplicación adición que les peritan verificar la veracidad de las igualdades que aparecen en I), en II) en III). Es así coo, en I) se tiene que f(0) 0 0 g(0) 0, por lo que f(0) g(0) ( ) ( ) 6, así la afiración dada en I) es falsa. En II), se tiene que g(x) (x + ) (x ) (x + ) x x f(x), por lo que la afiración II) es verdadera. En III), coo f() 6 g(), se tiene que g() + f() + 6 7, luego III) es verdadera. De esta anera la alternativa correcta es D), la que fue arcada por el 0% de los alunos que la abordaron, ostrando así que la pregunta fue difícil. Llaa la atención la alta oisión de la pregunta, la cual fue del %, considerando que lo pedido en ella debería ser un tipo de operatoria coún en el trabajo del aula. Quienes se equivocaron, se distribueron en fora siilar entre los distractores, estos postulantes coetieron diversos errores en las operaciones pedidas.

6 PREGUNTA Cuál de las siguientes funciones representa ejor a la parábola de la figura? A) f(x) (x ) B) g(x) x C) h(x) (x ) D) (x) ( x) E) n(x) (x + ) fig. x PREGUNTA p Si < 0, cuál(es) de las siguientes afiraciones es (son) verdadera(s)? q I) II) p + q p + q p + q p + q III) p + q > 0 En este íte referido a una función cuadrática, el postulante debe identificar cuál de las funciones dadas en las opciones representa ejor a la gráfica de la figura dada. Coo de la parábola de la figura se desprende que tiene concavidad hacia abajo su vértice es (, 0), entonces se analizará la concavidad las coordenadas del vértice de cada función dada en las opciones así deterinar cuál de ellas representa ejor a la parábola de la figura. Lo priero es desarrollar cada función expresarla de la fora r(x) ax + bx + c, en donde el signo de a indica la concavidad de la parábola, es decir, si a > 0 la concavidad es hacia arriba si a < 0 la concavidad es hacia abajo. Adeás, se debe b b recordar que las coordenadas del vértice están dadas por, r. a a Entonces, f(x) (x + x + ) x x g(x) x h(x) x + x + (x) ( x + x ) x + x n(x) x x + Ahora, en las opciones C) E) el valor de a es positivo, por lo tanto representan a parábolas con concavidad hacia arriba, por lo que no son la clave. A continuación, se deterinaran las coordenadas del vértice de cada una de las tres funciones restantes. Es así coo se tiene que en: f(x), g(x), (x), b ( ) a ( ) b 0 a ( ) b a f() + 8 0, luego el vértice es (, 0). 0 g(0) 0, luego el vértice es (0, ). () + 8 0, luego el vértice es (, 0). ( ) Por el análisis anterior el vértice de la función f coincide con el de la parábola de la figura, por lo que la alternativa correcta es A). El íte resultó difícil, porque fue contestado por el % de los postulantes que lo abordaron su oisión fue alta, la que llegó al 7%. El distractor ás arcado por los estudiantes fue B), con un % de preferencia, lo ás probable es que sólo buscan el punto de intersección con el eje, pero no coprueban que el vértice en este caso coincide con este punto de intersección no es el de la parábola de la figura. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I III E) Sólo II III En esta pregunta de función raíz cuadrada el postulante debe recordar que x x, es decir, x p desigualdad < 0 que p < 0 ó q < 0. q Ahora, por definición se tiene que porque p + q p + q. La afiración II), q 0 para cualquier valor de x. Adeás, debe deducir de la p p q q, luego I) es verdadera, p + q p + q, es falsa porque no se cuple que q dado que uno de ellos es un núero negativo. En III), coo por definición p p > 0 Así, III) es verdadera la alternativa correcta es D). q q > 0, luego p p p + q > 0. Este íte resultó u difícil para quienes lo abordaron, contestándolo correctaente sólo el % de ellos la oisión fue alta, llegando al 9%. El 0% de los alunos que lo abordaron se inclinó por el distractor B), lo ás probable es que en esta igualdad anularon la raíz cuadrada con el exponente de la potencia, desconociendo la definición de PREGUNTA x. Dadas las funciones f(x) x, g(x) x h(x) x. Cuál de las siguientes opciones es correcta? A) f < g < h B) g < f < h C) f < h < g D) g < h < f E) f < g h

7 En esta pregunta los alunos deben aplicar las propiedades de los logaritos. En este caso, deben aplicar la propiedad del logarito de un producto, esto es log b (ac) log b a + log b c la propiedad del logarito de una potencia, log b a n nlog b a. Es así coo, log (x ) log x + log log x log. De esta anera la opción correcta es C). Llaa la atención lo difícil que resultó esta pregunta, pues la contestó bien sólo el % de los estudiantes que la abordaron la alta oisión del % indicaría que desconocen las propiedades de los logaritos. En esta pregunta el estudiante debe evaluar funciones potencias de la fora f(x) ax n, para distintos valores de a, con n, para luego realizar una coparación entre sus iágenes. Así, f 9 g 7 h Coo los nueradores de las fracciones resultantes son iguales, se tiene que a aor denoinador el valor de la fracción disinue, contenido tratado en la Enseñanza Básica, por lo tanto se tiene la siguiente relación g f h. Por lo que la alternativa correcta es B). Este íte resultó difícil, pues lo contestó bien el % de quienes lo abordaron la oisión fue alta alcanzando el %, lo que podría indicar que los estudiantes no están habituados a trabajar con este tipo de preguntas. Quienes contestaron equivocadaente, se repartieron en fora siilar entre los distractores, probableente los errores que pudieron haber coetido están referidos a la operatoria al oento de valorar, o bien no hacen una buena coparación entre las iágenes. PREGUNTA Sean x e núeros positivos, la expresión log (x ) es siepre igual a A) 6 log (x) B) log (x) C) log x log D) log x log E) ( log x)( log ) En esta pregunta los alunos deben aplicar las propiedades de los logaritos. En este caso, deben aplicar la propiedad del logarito de un producto, esto es log b (ac) log b a + log b c la propiedad del logarito de una potencia, log b a n nlog b a. Es así coo, log (x ) log x + log log x log. De esta anera la opción correcta es C). Llaa la atención lo difícil que resultó esta pregunta, pues la contestó bien sólo el % de los estudiantes que la abordaron la alta oisión del % indicaría que desconocen las propiedades de los logaritos. El distractor ás arcado por los alunos fue E) con un %, estos alunos lo ás probable es que distribueron el logarito en el paréntesis luego aplicaron bien la propiedad del logarito de una potencia. PREGUNTA Viviana deposita en una financiera $ al % de interés copuesto ensual. Cuál es el valor ás cercano a lo que ganará al cabo de tres eses, si no hace retiros ni depósitos en ese período? A) $ B) $ 06. C) $ D) $ E) $ 6. Este íte se refiere al contenido de planteo resolución de probleas que involucren el cálculo de interés copuesto. Para su resolución el aluno debe aplicar la fórula utilizada para el cálculo de t este tipo de interés, es decir, C f C i +, donde: 00 C f capital final C i capital inicial t tanto por ciento de interés n tiepo Luego, debe reeplazar en la fórula los datos entregados en el enunciado: C i $ , t % n eses. Por lo tanto, C f (,0) 06.0,8, resultado que 00 es, aproxiadaente, $ 06.. Esta cantidad es el capital final acuulado al térino de los tres eses, pero coo se pregunta por lo que ganará al cabo de este período se le debe restar al capital final el capital inicial, luego el dinero que ganará Viviana al cabo de los tres eses será de de $ 6., valor que se encuentra en la opción E). A pesar de que es una aplicación u directa de la fórula de interés copuesto el cálculo a realizar es sencillo, el íte resultó difícil, pues lo contestó bien sólo un % de los estudiantes que lo abordaron la oisión alcanzó a un %. El distractor ás arcado fue C), con un 8%, quienes obtuvieron este resultado, trabajaron la pregunta coo un interés siple. En efecto, coo se aplica el % de interés ensual, este porcentaje lo ultiplicaron por los tres eses, calculando de esta anera el 6% de $ Tabién resultó bastante alto el distractor A) con un 7%, quienes lo arcaron calcularon el 6% de $ este valor se lo suaron al capital inicial obteniendo $ n El distractor ás arcado por los alunos fue E) con un %, estos alunos lo ás probable es que distribueron el logarito en el paréntesis luego aplicaron bien la propiedad del logarito de una potencia.

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