Interpretar un caso (univariable) Vicente Manzano Arrondo 2012,2013

Transcripción

1 Iterpretar u caso (uivariable) Vicete Mazao Arrodo 2012,2013 Tego iterés por saber qué piesa los jóvees adaluces sobre el papel que puede desempeñar e los asutos del bie comú o de la vida pública o política. Para ese estudio, hemos pesado que ua variable pertiete es el úmero de actividades de acció política o covecioal e las que se ha participado (asistir a maifestacioes, participar e recogidas de firmas, orgaizar co u colectivo ua acció social, redactar u maifiesto, etc.). Se trata de ua variable cuatitativa. Pogamos, por ejemplo, que hemos etrevistado a 50 jóvees y hemos recogido los siguietes datos respecto a esa variable: Datos El primer acercamieto es coocer la variable e térmios grupales. Para ello realizamos la siguiete tabla de frecuecias (dispuesta e setido horizotal) y su correspodiete represetació gráfica. Tabla de frecuecias Xi fi Número de accioes políticas o covecioales Frecuecia Número de accioes Figura 1. Diagrama de áreas. Se puede observar que existe cierto agolpamieto de datos e los valores iferiores, y cierta dispersió hacia los superiores. E otras palabras, la mayoría de estas cicueta persoas ha participado e cotadas ocasioes e accioes políticas de tipo o covecioal. Esta iformació puede complemetarse co el cálculo de los 1

2 estadísticos de tedecia cetral o de represetació umérica a los que acudimos e el caso de variables cuatitativas: Estadísticos 50 Media 5,7 Des.tip. 4,5 CV 78 La media es 5,7. Teiedo e cueta que el cetro del recorrido (de 0 a 20) es 10, vemos que el valor de la media se ecuetra sesiblemete desplazada hacia los valores iferiores, lo que resalta el agolpamieto ya mecioado. La desviació tipo es muy elevada (u 78% de la media, segú muestra el coeficiete de variació de Pearso). No debe asombrar. Esto ocurre siempre e distribucioes co ua asimetría evidete, como pasa e este caso. El coocimieto de la distribució de datos es isuficiete. Es habitual que os preocupe otro aspecto: cómo se comporta los casos cocretos, cómo iterpretar putuacioes cocretas a la luz del cojuto e el que está isertas. E psicología, por ejemplo, es muy habitual que os iterese la excepció al meos tato como os iteresa la orma. Nos preocupa el modo e que alguie se aleja de lo cosiderado previamete más que el modo e que cumple co las expectativas. Observemos, por ejemplo, que el cojuto de datos muestra u caso que sobresale por la parte de los valores altos: ua persoa que dice haber participado e 20 accioes políticas o covecioales. No hay adie co 19, i 18, i 17, i 16. La siguiete persoa dice haber realizado 15 de este tipo de accioes. Luego, el caso de X i = 20 es muy llamativo y merece ateció e dos setidos. Nos iteresa compreder o solo qué explicacioes justifica ese agolpamieto e toro a los valores bajos sio tambié cuáles permite eteder esas excepcioes a la orma. Co estos datos o teemos iformació para respoder a estas iquietudes, pero tal vez el estudio que estamos realizado (dode se ha medido muchos otros aspectos) os permita arrojar luz sobre estos iterrogates. Otra cosecuecia de la existecia de estos valores peculiares es que tiee mucho efecto e las coclusioes sobre el grupo. Si volvemos a calcular los mismos estadísticos, pero elimiado el caso X i = 20, la media dismiuye 3 décimas y la desviació tipo dismiuye 5 décimas. Puede o parecer mucho, pero recuerda que hablamos del efecto de u solo dato etre 50 y que la escala (e toro al valor 6 de media) maeja pocas uidades. Si prescidimos tambié de los tres casos extremos co valores X i = 13, 14 y 15, etoces la media dismiuye 6 décimas y la desviació tipo 5. Observa el efecto: Estadísticos 50 Media 5,7 Des.tip. 4,5 CV 78 Estadísticos 49 Media 5,4 Des.tip. 4,0 CV 74 Estadísticos 46 Media 4,8 Des.tip. 3,5 CV 71 Los casos peculiares, raros o extremos tiee mucho efecto e las medidas de represetació umérica. La moraleja es clara: a la hora de costruir ua orma o podemos teer e cueta los casos extremos. El estudio de los casos particulares o está justificado solo porque tiee importates efectos e las coclusioes sobre el grupo. Tambié merece ua ateció per se. E psicología, por ejemplo, habitualmete los casos so persoas. Cada persoa 2

3 es u fi e sí mismo, o u istrumeto. E la práctica de la psicología os preocupa el bieestar de la gete, tato e grupo como idividualmete. Si alguas persoas muestra comportamietos peculiares, que o se adapta a la orma y que o puede recibir ua ateció estadarizada, es importate saber qué ocurre y obrar e cosecuecia. Ua misma terapia o fucioa igual co todo el mudo. U mismo método de asesoramieto educativo tampoco. Ua misma estrategia de apredizaje puede dar resultados muy diferetes e diferetes participates. E defiitiva, hay dos razoes por las que os iteresa mucho teer recursos para estudiar los casos raros o peculiares: 1. Su presecia dificulta costruir la orma, ecotrar el comportamieto geeral. 2. So casos reales que requiere ua ateció específica. Vamos a cosiderar dos herramietas para idetificar e iterpretar datos co valores que se aleja del cetro o de lo característico de la distribució de datos. Vemos dos estrategias para cocretarlos. La primera, que llamamos medidas de posició, divide al cojuto ordeado de datos e u úmero cocreto de partes co igual catidad de datos, facilitado la iterpretació del caso al idetificar e qué parte se ecuetra. La seguda, que llamamos distacias estadarizadas, realiza ua trasformació cuatitativa del valor origial para que esa trasformació exprese e qué grado ese caso se distacia de u valor represetativo del cojuto. Medidas de posició Coocemos la mediaa. Es el valor del puto cetral de la distribució ordeada de datos. Es decir, si colocamos u dato tras otro, ordeados segú su valor, y buscamos la posició o puto del cetro, la mediaa es el valor de ese puto. Ya lo hemos visto y calculado e el documeto Coocer ua variable. La mediaa permite iterpretar u caso, de forma poco precisa: podemos decir si ese caso se ecuetra por ecima o por debajo de la mediaa, es decir, si está respectivamete e la mitad superior o e la mitad iferior de los datos. E el ejemplo aterior, la mediaa tiee el valor Md = d + 1/ 2 = d 25,5 = d 25 + d 26 2 = Podemos iterpretar u caso sabiedo si su valor está por ecima o por debajo de 5. La figura 2 muestra los datos del ejemplo e u diagrama de barras dode cada dato represeta u bloque. He coloreado cada bloque e fució de si se ecuetra por debajo o por ecima de la mediaa. A su vez, cada bloque está umerado para expresar si su posició es la 1 (por debajo de la mediaa) o la 2 (por ecima). La figura 2 es útil tambié para observar los problemas irresolubles de imprecisió cuado se divide al cojuto de datos e partes. Como teemos 50 datos, cada mitad está compuesta por 25. Al cosiderar 25 datos por debajo y 25 por ecima de u puto, este puto se ecuetra e la columa de los datos situados sobre el valor 5. Pero 2 bloques (datos) perteece a ua mitad y otros dos bloques a la otra. Hay cuatro datos co el valor 5. Es arbitrario cosiderar a dos de ellos como perteecietes a la parte 1 y los otros dos como perteecietes a la parte 2, pues los cuatro coicide e el mismo valor y, por tato, ha de ser iterpretados del mismo modo. Pero o hay forma de solucioar esto. Fíjate que, de los 50 datos, 23 está por ecima de 5, o está por debajo, y 4 coicide. Esto ocurrirá co frecuecia. Por eso decimos que la mediaa es el valor de u puto (la posició 25,5) y que es ese puto y o el valor ecesariamete, lo = 5 3

4 que divide al cojuto de datos e dos partes co igual frecuecia. Destaco esto aquí porque esta discrepacia etre valores y putos aumeta cuado decidimos aumetar el úmero de partes e las que separar o dividir u cojuto de datos Figura 2. Coloreado y umerado de los dos lados de la mediaa. Utilizar la mediaa como recurso para distiguir la posició de u caso es ta compresible como poco útil. Le falta precisió. Sería mejor cosiderar más partes o posicioes para iterpretar de forma más fia o precisa u dato. Las dos mitades del cojuto de datos se ha coseguido gracias a utilizar u puto de corte. Pues bie, u recurso habitual es dividir la distribució ordeada de datos e cuatro partes, gracias a utilizar tres putos de corte llamados cuartiles y represetados mediate la letra Q co subídice. La figura 3 muestra el resultado a partir del cojuto de datos del ejemplo y y Figura 3. Coloreado y umerado de cuartiles. Como la mitad y las dos cuartas partes so lo mismo, el segudo cuartil coicide co la mediaa (Q 2 = Md). El primer cuartil, es decir, el puto de corte que distigue etre el primer y el segudo de los cuartos, se ecuetra e el valor 2 (Q 1 = 2), mietras que Q 3 = 8. E el ejemplo aparece u uevo problema. Cotamos co 50 datos. La mitad so 25. Pero la cuarta parte ya o coicide co u úmero etero: 50/4 = 12,5. Las frecuecias co decimales o tiee setido. Existe el dato de la posició 12 y el de la posició 13, pero o hay u dato e la posició 12,5 porque e setido estricto esa posició o existe. Así que el dato que se ecuetra e la posició 12 perteece al primer cuarto, es decir, se ecuetra por debajo del primer cuartil. El dato de la posició 14 está claramete por ecima del primer cuartil y por debajo del segudo, es decir, perteece al segudo cuarto. Pero y el dato de la posició 13? La mitad de ese dato se ecuetra e el primer cuarto, mietras que la otra mitad perteece al segudo. Esto o es posible e la práctica. Es más, como ocurrió e el caso de la mediaa, es arbitrario afirmar que ese dato cocreto es uo u otro etre los siete datos co valor 2. Observa que tres de esos datos se ecuetra e el primer cuarto, otros tres e el segudo y uo de los siete está a medio camio etre ambos cuartos. Y es más, o hay solució. 4

5 Decimos que los cuartiles divide a la distribució ordeada de datos e cuatro partes co igual frecuecia (u 25% cada ua de ellas). E setido preciso, los cuartiles se refiere a los valores de tres posicioes exactas, o a datos cocretos. Así, es correcto afirmar que Q 1 deja por debajo a 12,5 datos y por ecima a 47,5, mietras que el valor 2 (pues Q 1 = 2) deja por debajo a 10 datos, mietras por ecima se ecuetra 43. Este problema dismiuye cuado teemos muchos valores y muchos datos. E uestro ejemplo (pesado para ser maejable a mao) o es muy relevate etrar e estas discusioes. Los cuartiles o se utiliza para iterpretar casos porque cuatro partes sigue implicado poca precisió. Los cuartiles se utiliza más para compreder el cojuto de datos, como ocurrió e la costrucció de diagramas de caja y patillas que vimos e el documeto Coocer ua variable. Para gaar e precisió, utilizamos más putos de corte. U ejemplo so los deciles (D i ): ueve cortes para coseguir diez partes co la misma frecuecia de datos. Tampoco se utiliza, salvo rara vez, para iterpretar casos, sio para el mismo cometido que los cuartiles. La medida de posició más utilizada es la que cosigue cie partes co igual catidad de datos, por lo que los 99 putos de corte recibe el ombre de cetiles (C i ) o tambié percetiles (P i ). Esta subdivisió es mucho más útil porque permite mejor el cometido de iterpretar casos, al distiguir co más fiura etre ellos. No obstate, imagia los problemas de discrepacia etre posicioes y valores que puede teer lugar e el caso de los percetiles, si ya los hemos teido e mediaas o cuartiles. E la práctica, la solució tiee varios aspectos. Vamos a verlo. Hay que teer presete que el cálculo de percetiles o tiee igú setido co u cojuto de datos co pocos valores. Cuado ua familia va a la cosulta de pediatría co su bebé, los profesioales iterpreta los valores de crecimieto (logitud, peso...) a partir de tablas de percetiles. Co este recurso, el profesioal iforma a los padres, por ejemplo, de que el iño es más alto de lo habitual porque se ecuetra e el percetil 75 (es decir, es más alto que el 75% de los bebés de su sexo y edad), o que hay que vigilar su sobrepeso porque se sitúa e el P 90. Los percetiles se utiliza mucho para iterpretar putuacioes e test psicológicos. Segú el baremo de u test de asiedad, por ejemplo, sabemos que el ivel de asiedad de ua persoa se ecuetra e el percetil 28 (el 28% de la població tiee meos asiedad que ella, o bie, el 72% tiee iveles más altos). Para coseguir esta precisió, es bueo cotar co mucha riqueza de valores. E el ejemplo de pediatría, esas tablas se ha costruido a partir de la medida de peso y altura de muchos bebés que ha geerado ua gra diversidad de valores. La iterpretació de los casos segú ua tabla de percetiles o baremo es útil cuado el caso que se quiere iterpretar cueta co características equiparables o similares a las que se utilizaro e la muestra desde la que se geeró el baremo. Pesemos e u test de agilidad metal, por ejemplo. La agilidad megua co la edad. Imagia que utilizamos u baremo de agilidad metal geerado co jóvees de 16 a 20 años. Co bastate probabilidad, ua persoa de 70 años sumiistrará u valor que se ecotrará e los percetiles más bajos. Esto es, etre otras cosas, iútil. Necesitamos u baremo de persoas mayores para iterpretar la agilidad metal de ua persoa mayor. Las iñas desarrolla sus capacidades itelectuales co más rapidez que los iños durate la pubertad. Si vamos a iterpretar el desarrollo itelectual de ua persoa de 12 años, ecesitamos utilizar el baremo costruido o solo co persoas de ua edad similar a la suya, sio tambié distiguiedo etre chicos y chicas. Lo mismo ocurre e térmios 5

6 culturales. U mismo ivel de asiedad puede ser ormal e u país occidetal típico, pero ser iterpretado como alto e u país sureño, dode la gete valora el sosiego. La carga erótica de ua image tiee u fuerte compoete cultural. Auque cada vez se ecuetra más extedida (o impuesta) la cultura globalizada aglosajoa y sus patroes so los mismos e cada vez más putos del plaeta, todavía ocurre que e diversos lugares o es raro que ua mujer camie co los pechos descubiertos, mietras que e otros se cosidera la uca como ua zoa erótica que ha de permaecer cubierta e público. Si ordeamos u cojuto de fotografías segú su carga erótica, habrá que teer muy e cueta la cultura de referecia. E psicología existe u área específica que estudia lo que se deomia el fucioamieto diferecial de los items. Es la costacia de que los items de u cuestioario o de u test psicológico tiee u fucioamieto muy diferete e diferetes grupos humaos, especialmete caracterizados por referetes culturales distitos. Por último, observa que estas medidas de posició se deomia tambié percetiles. Esto se debe a que su iterpretació habitual se basa e porcetajes o tatos por cieto. E u ejemplo aterior he hablado de que u bebé puede teer problemas de sobrepeso al ecotrarse e el P 90, es decir, al cotar co u peso superior al 90% de la població de bebés de su sexo y edad. Los percetiles o tiee por qué coicidir co los tatos por cieto, pero sí parecerse mucho. Dado que las medidas de posició tiee los problemas que hemos visto e toro a la discrepacia etre posicioes y valores, y dado que podemos teer iterés específico e medir posicioes desde diferetes putos de vista, ocurre que e la práctica se utiliza fórmulas o algoritmos diversos para calcular percetiles. No todos sumiistra el mismo valor. Si os ceñimos escrupulosamete a ua fórmula de cálculo, etoces la utilidad de la iterpretació dismiuye drásticamete. Imagia a ua psicóloga cotado a uos padres que su hijo muestra u ivel de extroversió que se ecuetra e el percetil 87, es decir, que tiee u valor que se correspode co la posició 193,28 que surge de poderar la distacia equivalete etre ua extroversió de valor directo 18 y otra de valor directo 18,72 que es precisamete.... Si te da tiempo de imagiar la cara de esos padres ates de que salga del despacho asustados, cocluirás igualmete que ese discurso o tiee setido e ese cotexto. Lo que hará la psicóloga e la práctica es decir algo parecido a su hijo es muy extrovertido, su ivel de extroversió es superior a casi el 90% de los chicos de su edad. E uestro caso, dado que los percetiles se iterpreta como porcetajes, dado que vamos a maejar cojutos de datos si ua barbaridad de valores, dado que percetiles y porcetajes acumulados coicide aproximadamete, y dado que hemos decidido o complicaros la vida e exceso si o hay bueas razoes para ello, etoces vamos a utilizar los porcetajes acumulados como medida para los percetiles. Te presete que esta es ua decisió cocreta etre u cojuto amplio de posibilidades. Si calculas los percetiles e SPSS, e LibreOffice Calc, a mao co ua fórmula específica, o co cualquier otro procedimieto, o te alarmes si o coicide co el porcetaje acumulado. No es grave. Lo importate es o perder la sesatez y saber iterpretar los percetiles, se calcule como se calcule. Del mismo modo que vas a hacerlo e esta asigatura co porcetajes acumulados, así lo harás para iterpretar el baremo de u test psicológico o los pesos de bebés, por ejemplo. Para ejemplificarlo, tomamos la tabla de frecuecias de uestro ejemplo y le añadimos ua fila (o columa si estuviera dispuesta e vertical): la de porcetajes acumulados. 6

7 Tabla de frecuecias Xi fi %ai Como la mayoría de los datos se ecuetra agolpados e toro a los valores bajos y el cojuto de datos se dispersa coforme se aleja hacia los valores altos, puedes observar que los porcetajes altos se alcaza co rapidez, de tal forma que el valor X i = 5 muestra ya u %a = 54. La forma e que vamos a utilizar los porcetajes acumulados como percetiles es la siguiete: De percetil a valor. Cada valor cocreto ocupa u rago de porcetajes. Así, el valor 2 se asocia co el porcetaje acumulado 32, mietras que el valor 3 lo hace co %a = 40. Esto sigifica que los porcetajes 33 a 40 so todos del 3. Si os iteresa coocer el valor de percetil P 35, la respuesta será P 35 = 3, puesto que P 32 < 3 P 40. E otras palabras, todos los percetiles co subídice mayor de 32 e iguales o meores a 40 se correspode co el valor 3. De valor a percetil. Si el valor está presete. El percetil asociado a u valor es su porcetaje acumulado. Así para iterpretar el valor 10 e la tabla, decimos que se correspode co P 84, puesto que X i = 10 %a i = 84. Si ese valor o se ecuetra explícitamete e la tabla. Se acude etoces al itervalo de valores e el que se iserta y se toma el %a del extremo meor. Cuál es el percetil del valor 17? X i = 17 o existe e uestra tabla. El valor iferior más cercao es X i = 15, cuyo %a = 98. Así pues, X i = 17 P 98. Si %a = 100. Como sabes, el porcetaje acumulado de valor 100 se ecuetra e todas las tablas. Es el %a del valor máximo. Si embargo, los percetiles so origialmete 99, puesto que se requiere k-1 putos de corte para coseguir k partes. Luego, o existe P 100. Por coveiecia, hacemos P 100 = P 99. Para termiar este apartado vamos a resolver los dos camios: pasar de valores a percetiles y de percetiles a valores, para todos los valores eteros etre 0 y 20 y para todos los percetiles de 1 a 99, segú los datos del ejemplo. De valores a percetiles: Valor i e P i De percetiles a valores: (El subídice del percetil se divide etre uidad y decea. Las uidades se ecuetra e columas. Las deceas e filas. Para ecotrar el valor del percetil P 38, dado que 38 =30+8, mira la columa 8 y la fila 30, co lo que ecuetras que P 38=3) 7

8 Distacias estadarizadas Las medidas de posició se utiliza co mucha frecuecia, pero existe otro recurso más extedido todavía: las distacias estadarizadas. Cueta co cico importates vetajas frete a los percetiles: 1. No sufre los problemas de discrepacia etre posicioes y valores. 2. So fáciles de calcular e térmios aritméticos. Observa que los percetiles surge de poer e práctica u algoritmo o aritmético (busca la posició, idetifica el valor), mietras que e estadística existe ua compresible predilecció por las herramietas que surge ítegramete del cálculo, de tal forma que, por ejemplo, so fáciles de obteer e ua calculadora, ua hoja de cálculo o u programa aritmético de ordeador. Además, las operacioes aritméticas permite realizar deduccioes co relativa comodidad. 3. Se utiliza como resultado o producto itermedio e varias herramietas estadísticas muy frecuetes e el aálisis de los datos. 4. Los percetiles o aprovecha toda la iformació de ua variable cuatitativa, sio que utiliza úicamete su orde. No obstate, las distacias estadarizadas cosidera toda la iformació origial de la variables porque tambié tiee e cueta la cuatía. 5. Las distacias estadarizadas admite trasformacioes aritméticas, lo que permite geerar variables muy útiles para facilitar la iterpretació psicológica, como veremos más adelate. A pesar de estas vetajas y como vamos a ver, las distacias estadarizadas cueta co u icoveiete serio respecto a los percetiles: so más difíciles de iterpretar. Lo so por dos razoes: para comprederlas es ecesario poer e juego más coocimieto estadístico. Y tambié porque geera resultados co decimales y sigo. Si ua persoa lee el valor 9, o pasa ada. Pero si lee -0,013, es posible que le resulte desagradable. Así somos. La mayoría de las distacias estadarizadas e la mayoría de los cojutos de datos se ecuetra etre -2 y +2. A la hora de comuicarse co persoas (sea o o profesioales de la psicología) los percetiles so más recomedables que las distacias estadarizadas porque o hay que dar u curso de estadística para que uestro iterlocutor etieda lo que le estamos diciedo. Aú así, alguos baremos e psicología utiliza distacias estadarizadas trasformadas. Veremos esto más adelate, e el subapartado trasformació de escala. 8

9 Estadarizar ua distacia La idea fudametal de ua distacia estadarizada, como puede deducirse de su ombre, es calcular la distacia directa que existe etre u valor cocreto y u valor que se utiliza como referete. Acto seguido, esa distacia sufre ua trasformació que deomiamos estadarizació y cuyo objetivo es facilitar la iterpretació y la comparabilidad etre varias distacias. Esta comparabilidad es posible porque la estadarizació es sesible a las características del cojuto de datos. De esta forma, auque dos valores provega de dos cojutos diferetes de datos (por ejemplo, dos muestras de persoas de culturas diferetes, o resultados de exámees e dos uiversidades), podemos iterpretar y comparar casos cocretos si sus valores se ha estadarizado. Lo primero, pues, es escoger ese valor de referecia que utilizamos para calcular las distacias. Se trata de la media aritmética. Es la mejor opció, desde el coocimieto que teemos de la estadística e este curso. Es la mejor opció porque el cálculo de distacias, y más aú su estadarizació, requiere de los datos que siga ua escala cuatitativa. Como sabemos, de las represetacioes uméricas o medidas de tedecia cetral, la iicialmete más recomedable para variables cuatitativas es la media aritmética. Así que la escogemos como valor represetativo del cojuto de datos. La primera fase del cálculo de distacias estadarizadas es obteer la distacia que separa a cada valor respecto a la media de su cojuto de datos, es decir: X i X Esta operació sumiistra ya ua iformació muy útil: si el resultado es egativo, sabemos que el valor se ecuetra por debajo de la media aritmética; e caso cotrario, se ecuetra por ecima; y si el valor es cero, etoces coicide co la media. Ua diferecia de -7, por ejemplo, idica que el valor origial se ecuetra a 7 putos de la media y que es iferior a esta. Es ua iformació útil pero muy icompleta. No sabemos iterpretar la cuatía de la distacia, es decir, si 7 es mucha diferecia o poca. Para esa iterpretació podríamos utilizar u criterio absoluto, como por ejemplo más de 5 putos de distacia e la variable itroversió implica la existecia de serios problemas de comuicació co los demás. E la práctica, estos criterios absolutos so ua rareza. No solemos cotar co ellos. Así que utilizamos u mecaismo relativo: comparamos la distacia que queremos iterpretar e el cojuto de distacias. E otras palabras, si los datos del cojuto de referecia está muy distates etre sí y, por lo tato, tambié de la media, etoces la distacia que os preocupa será mucho meos importate que si los datos está muy cercaos a la media. Así, si lo habitual es alejarse e toro a 10 uidades, ua distacia de 7 es poca cosa. Pero si lo habitual es alejarse 3, ua distacia de 7 es muy importate. Hemos visto u recurso para medir cómo de distates se ecuetra los datos respecto a su media aritmética: la desviació tipo. Recuerda: Ua buea idea para medir cuá distates está los datos etre sí es calcular la media de las distacias a la media, es decir, cuáto de distates está los datos por térmio medio. Pero la suma de las distacias a la media siempre vale cero, lo que es lógico porque a ambos lados de la media cotamos co la misma suma de distacias. Así que se eleva las distacias al cuadrado para evitar que las distacias egativas se aule co las positivas. 9

10 La media de las distacias al cuadrado se deomia variaza. Pero tiee u icoveiete: se expresa e uidades al cuadrado (por ejemplo, la variaza de la variable edad puede ser 78 años cuadrados qué es u año al cuadrado?). Así que os ivetamos la desviació tipo: la raíz cuadrada de la variaza. Para iterpretar cuá importate es ua distacia calculada e u cojuto de datos, podemos expresarla utilizado la desviació tipo de ese cojuto como uidad de medida. E otras palabras: la distacia se divide por el valor de la desviació tipo. Yo solía hacer eso co los bocadillos. Cuado estudiaba psicología era habitual que almorzara u bocadillo. Cuado alguie me decía cuáto valía algo (u coche, ua casa, uos pataloes...), yo dividía su coste por lo que me costaba a mí u bocadillo. Co ese recurso, expresaba el valor de ese objeto e el úmero de bocadillos a que equivalía, ua medida para mí co mucho setido y que resiste el paso del tiempo. Si me mudo a otro puto del plaeta y sigo almorzado bocadillos, seguirá siedo u bue recurso para iterpretar el precio de las cosas. Así, por ejemplo, si el bocadillo que suelo tomarme cuesta 2 euros, y los zapatos que dices que me compre cuesta 70, yo pieso por ese precio almuerzo yo 70/2=35 días. Mi uidad de medida es el bocadillo. Co las distacias ocurre lo mismo. Dado que cada cojuto de datos tiee su propia media (que expresa sobre qué valor roda el cojuto) y su propia desviació tipo (que expresa cuá distates se ecuetra los datos respecto a la media), ua buea maera de iterpretar u caso cocreto es re-expresarlo como el úmero de desviacioes tipo que se ecuetra alejado de la media. Por eso lo llamamos distacia estadarizada: se estadariza. Esto permite comparar datos que proviee de cojutos distitos. Imagia que vas de vacacioes a u país dode o has estado uca. Ua de tus preocupacioes es el diero que debes llevar para o teer problemas. Si utilizas el referete del país dode vives puedes llevarte ua sorpresa (agradable o desagradable). Para iterpretar cuá cara o barata es la vida a dode vas, u bue criterio es averiguar cuáto cuesta las cosas que sueles cosumir, como la comida o los medios de trasporte. Tiees que situarte e ese lugar para iterpretarlo, o te servirá utilizar el tuyo. Qué sigifica que hoy ha hecho mucho calor? Cuátos grados cetígrados es eso? La respuesta es depede. 30 grados es ua temperatura muy agradable e el verao adaluz, pero muy caluroso e el verao daés. Depede del cojuto de datos e dode se iserte, u valor cocreto se iterpretará de formas muy diferetes. Las distacias estadarizadas recibe varias deomiacioes. E térmios habituales, se las cooce mejor como putuació. Ese es el ombre. El apellido es el mismo que la desviació tipo, tambié co varios apellidos: tipo, típica o estádar. Por este motivo, uestra distacia estadarizada tambié se cooce como putuació tipo, putuació típica o putuació estádar. Y suele deotarse co el símbolo Z. Nuestro ejemplo Z i = X i X S Vamos a observar cómo so las distacias estadarizadas para uestro ejemplo. 10

11 Tabla de frecuecias Xi fi %ai Zi -1,28-1,05-0,83-0,61-0,38-0,16 0,07 0,29 0,52 0,74 0,96 1,19 1,41 1,64 1,86 2,09 3,21 Los valores más raros o peculiares, e el setido de ser especialmete distates, se ecuetra e la parte de las distacias positivas o valores altos e el caso de uestro ejemplo (e otros ejemplos, pasará lo cotrario). El valor X i = 20 se ecuetra a 3,21 desviacioes tipo de la media. Teiedo e cueta que suele ser ifrecuete ecotrar distacias superiores a 2, este valor estadarizado expresa ua distacia muy sobresaliete. El siguiete dato muy alejado es el correspodiete al valor X i = 15 (Z i = 2,09). Observa que las distacias egativas so relativamete pequeñas e uestro ejemplo. La distacia egativa (valor por debajo de la media del cojuto) más sobresaliete es Z i = -1,28 que se correspode co X i = 0. Hay 6 valores e el extremo superior co valores más alejados (desde X i = 12 hasta X i = 20, ambos iclusive). Este comportamieto sigue expresado lo que ya sabemos: los datos está agolpados e el lado de los valores bajos y se dispersa hacia los altos. Propiedades iteresates Las distacias estadarizadas o putuacioes tipo tiee uas cuatas propiedades matemáticas muy iteresates. La pricipal de todas ellas la hemos abordado ya, auque co otras palabras: es idepediete de la escala utilizada. Auque coceptualmete ya sabemos que Z cosigue expresarse e ua uidad (úmero de desviacioes tipo) que permite iterpretar casos auque provega de cojutos distitos de datos, vamos a verlo de otras formas. Lo primero es u ejemplo. Imagia que estamos utilizado el metro como uidad para expresar las logitudes de las calles de tu barrio. Tu calle mide 85 metros. Es larga, corta o ormal? Si la media de logitudes es 85, ocurre que la tuya represeta muy bie las dimesioes de las calles de tu barrio. Si la media es 100, tu calle es corta, auque o sabemos si mucho o poco. Si S = 5, etoces Z = -3 y tu calle es muy corta. Si S = 30, etoces Z = -0,5 y tu calle es levemete corta, prácticamete ormal. Pogamos que X i = 85, la media es 100 y la desviació tipo 10. Etoces: Z i = X i X S = = 1,5 La distacia estadarizada que represeta la logitud de tu calle es -1,5 metros. Esto sigifica que tu calle es claramete más corta que la media. Y si medimos e cetímetros? Al cambiar la uidad de medida todo queda afectado. Tu calle ya o mide 85, e metros, sio 8500, e cetímetros. La media aritmética ya o so 100 metros sio 10 mil cetímetros. La desviació tipo ya o tiee el valor de 10 metros sio de 1000 cetímetros. Y tu Z? Veamos: Z i = X i X S = = 1,5 La putuació tipo es la misma! No es sorpredete, pues se trata de ua distacia estadarizada, es decir, idepediete de la escala. Este comportamieto es la 11

12 pricipal fuerza de Z, pues permite comparar datos auque provega de cojutos dode se ha utilizado escalas diferetes. Veamos u ejemplo de comparació. Belé ha obteido u 6 e el exame de geografía. Susaa ha obteido u 7. Si el exame está bie hecho, deberíamos cocluir que Susaa sabe más que Belé e asutos de geografía. No obstate, cada ua asiste a clase e u istituto de eseñazas medias diferete. Los exámees ha sido tambié diferetes. Eso hace que o podamos comparar las calificacioes de ambas. Es posible que la prueba de Susaa sea más secilla y, por tato, sea más fácil obteer calificacioes altas que e el caso de la prueba a la que se ha efretado Belé. Pero... u mometo... Si el exame es más difícil, lo será presumiblemete para toda la clase de Belé y la ota media de la clase de Susaa debería ser más elevada. Si restamos la media a ambas calificacioes podremos elimiar la ifluecia de la dificultad. Auque... Hay otro problema. Es posible que los exámees o se mida ambos e la escala de 0 a 10, o que la variabilidad de resultados sea mayor e ua clase que e la otra. Tal vez cada problema tega u peso de u puto e ambos casos, pero el úmero de problemas sea diferete. Para cotrolar la escala, que a su vez cotrola la calificació media, etoces estadarizamos ambos resultados y ello os permitirá resolver la duda de la comparació. Vamos a imagiar varias situacioes, ya que me estoy ivetado el ejemplo y ello me da la libertad de hacer lo que me dé la gaa. Así que vamos a aprovecharlo para partir de situacioes diferetes que, mateiedo la mismas calificacioes, os lleva a coclusioes diferetes. Situació A Situació B Situació C Xi Media Des.tip. Z Media Des.tip. Z Media Des.tip. Z Belé , ,00 5 0,5 2,00 Susaa , ,00 8 0,5-2,00 E la situació A, las medias y las desviacioes tipo de ambas pruebas coicide, por lo que o añade ada a la comparació y basta co coocer las putuacioes directas u origiales. La coclusió es que, segú esta iformació (las situacioes reales so siempre más ricas o complejas), Susaa cotrola mejor la geografía que Belé. Es más, Susaa sabe bastate, puesto que el valor de su putuació estádar es muy prouciado (ya he dicho que Z=2 es ua distacia poco habitual). E la situació B, las medias de ambas pruebas coicide, pero la dispersió de las calificacioes es más elevada e la clase de Susaa que e la de Belé. Al fial, ambas ha obteido ua calificació que supera a la media de su clase e 1 desviació tipo, por lo que ambas tiee la misma calificació estádar y sus coocimietos e geografía so, por tato, equivaletes. Por último, e la situació C las cosas cambia bastate. Lo primero que destaca es que parece que el exame que ha hecho Susaa es más secillo que el realizado por Belé (si la preparació del cojuto de la clase es equivalete, claro), por lo que la gete que acompaña a Susaa ha elevado sesiblemete la media. Ocurre etoces que Susaa ha obteido ua calificació iferior a la media de su clase, mietras que a Belé le ha ocurrido lo cotrario. No acaba ahí la cosa. Ambas clases muestra ua dispersió pequeña, pues S = 0,5 traducido a CV de Pearso es de 10% para el grupo de Belé y de 6,25% para el grupo de Susaa, dos valores que implica dispersioes muy bajas. Co poca dispersió, ua misma distacia es más importate. Por eso, auque las otas sigue siedo 6 y 7, su importacia ahora es mayor, pues está muy separadas de la media: Belé supera el valor medio de su clase e dos desviacioes tipo, mietras que a Susaa le ocurre lo cotrario, queda por debajo del valor característico de su clase e dos 12

13 desviacioes tipo. Ambas ha obteido calificacioes muy diferetes y auque Susaa tiee ua putuació directa superior a la de Belé, cotrola mucho meos la geografía. Además de esta capacidad para cotrolar la escala y permitir que comparemos putuacioes etre sí, hay otras peculiaridades aritméticas iteresates: la media de las putuacioes tipo siempre es 0 y su desviació tipo siempre es 1. Recuerda que la media de las distacias a la media siempre es 0. De ahí se deduce que la media de las putuacioes tipo (que so distacias a la media, estadarizadas) tambié es 0. E el aexo a este documeto tiees las demostracioes para estas afirmacioes. La demostració de que la media de las putuacioes tipo siempre vale 0 es la úmero 7. La 9 es la demostració de que la desviació tipo de las putuacioes tipo siempre vale 1. Trasformació de escala Las dos propiedades que acabamos de ver (media 0 y desviació tipo 1) tiee más cosecuecias de las que tal vez puedas pesar ahora mismo. Vamos a ver ua e cocreto co muchas repercusioes, especialmete e psicología. Ocurre que cuado sumamos ua costate a u cojuto de úmeros, la media se ve afectada del mismo modo. Si sumamos, por ejemplo, el valor 5 a todos los datos, etoces la media resultate tambié se ve icremetada e 5 uidades. Gráficamete es como si desplazamos todo el cojuto de datos 5 uidades hacia la derecha, lo que afecta igualmete a la media, pero deja a la dispersió exactamete igual (la gráfica sigue siedo igual de acha o estrecha). Si lo que hacemos o es sumar sio multiplicar, la media y la desviació tipo tambié se ve multiplicadas por el mismo valor. Pues bie, si multiplicamos las putuacioes tipo por ua costate de valor a, su desviació tipo y su media se ve tambié multiplicadas por a. Dado que S Z = 1 etoces, la ueva desviació será exactamete a. Y dado que la media de Z vale 0, la media seguirá valiedo 0 (pues 0 por cualquier valor sigue siedo 0). Y si a todos los datos le sumamos ua costate b, etoces, la ueva media valdrá exactamete b (pues 0+b=b) y la desviació tipo o se verá afectada (por mucho que sumemos, las distacias o varía). E otras palabras, si queremos geerar ua variable que tega de media exactamete b y de desviació tipo exactamete a, etoces la ueva variable surge de hacer la siguiete trasformació a partir de las putuacioes tipo de la variable origial: V i = az i + b La demostració 11 justifica que la ueva variable tedrá de media el valor b, mietras que la demostració 14 hace lo mismo co la desviacio tipo de valor a. Estas operacioes so útiles e psicología porque podemos costruir u baremo de putuacioes trasformadas co la media y la desviació tipo que deseemos. Por ejemplo, e los test de cociete itelectual, primero se obtiee las putuacioes directas, que puede ir de 0 a 200 putos (o te lo tomes literalmete, me lo acabo de ivetar). Después se tipifica o estadariza, co lo que las putuacioes tipo resultates sabemos que tiee 0 de media y 1 de desviació tipo. So putuacioes de valores bajos (recuerda que es poco habitual alejarse más de 2 desviacioes tipo de la media) que además maeja decimales y dode buea parte de los valores so egativos. Estas tres características so icómodas para el comú de los mortales. Así que realizamos dos trasformacioes: 13

14 1. Se multiplica las putuacioes tipo por u úmero, por ejemplo 20, que permita prescidir de los decimales porque amplía la escala de medida. Tras la multiplicació, las putuacioes resultates irá de -40 a +40 e su mayoría, ua amplitud suficiete como para hacer prescidible la coma decimal. 2. Se suma ua costate que haga muy difícil llegar a valores egativos y que tega u setido psicológico positivo. Si sumamos, por ejemplo, el valor 100, la mayoría de los datos se ecotrará etre 60 y 140, co media e 100, u valor que maejamos co cierta comodidad. Cuado revises la documetació de u test psicológico ecotrarás los baremos expresados e putuacioes cetiles o percetiles, o bie e putuacioes típicas trasformadas de u modo similar al que hemos visto aquí. Si aplicamos la trasformació V i = 10Z i + 50 a los datos del ejemplo, obteemos: Tabla de putuacioes tipo trasformadas Xi Zi -1,28-1,05-0,83-0,61-0,38-0,16 0,07 0,29 0,52 0,74 0,96 1,19 1,41 1,64 1,86 2,09 3,21 Vi Debido a la trasformació que hemos realizado, la mayoría de los datos se va a ecotrar etre 30 y 70 (dos desviacioes tipo por ecima y por debajo de la media). Observa que hay dos casos que se sale de esa orma, los que correspode a X i = 15 y muy especialmete X i = 20. La escala V i es cómoda y fácil de iterpretar. Aexo: demostracioes 1. X i = X i = X i = X 2. X = i=1 X = X 1 = X i =1 3. (X i X ) = X i X = (1 y 2) = X X = 0 4. Z i = X i X S = ( X i X ) S = (3) = 0 S = 0 5. (X i X ) 2 = ( X i X ) 2 = ( X i X ) 2 6. Z i 2 = ( = S 2 X 2 i X S ) = ( X i X ) 2 = (5) = S2 S 2 S = 2 7. Z = Z i = (4) = 0 = 0 14

15 8. S Z 2 = ( Z i Z ) 2 9. S Z = S Z 2 = (8) = 1 = 1 2 Z = (7) = i = (6) = = 1 Co V i = az i + b etoces: 10. V i = (a Z i + b) = a Z i + b = (4) = b = b 11. V V = i = (10) = b = b 12. V i 2 = (a Z i + b) 2 = (a 2 Z i 2 + b 2 + 2abZ i ) = = a 2 Z i 2 + b 2 + 2ab Z i = (4 y 6) = a 2 + b = (a 2 + b 2 ) S V 2 = ( V i V ) 2 = (11) = ( V i b) 2 ( V 2 i + b 2 2bV i ) = = 13. V i 2 + b 2 2b V i = (10 y 12) = (a2 + b 2 ) + b 2 2b 2 = = a 2 + b 2 + b 2 2b 2 = a S V = S V 2 = (13) = a 2 = a 15