INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

Transcripción

1 INTROUIÓN L GEOMETRÍ GEOMETRÍ: Es un rm de ls mtemátis que se oup del estudio de propieddes de puntos, rets. polígonos, et.proviene del Griego GEO (tierr) METROS (medid). Podemos lsifir l Geometrí en dos lses: - GEOMETRÍ PLN: Estudi ls propieddes de elementos on un o dos dimensiones. Es deir, solo se oup de todo lo que puede pude sueder en un plno. - GEOMETRÍ ESPIL: Tmbién se llm geometrí desriptiv y estudi ls figurs y todo lo que puede sueder en ls tres dimensiones. Fundmentlmente se oup de l representión de objetos o figurs tridimensionles sobre un plno (el ppel) que tiene únimente dos dimensiones. PUNTO, RET, SEMIRET Y SEGMENTO PUNTO: Geométrimente podemos definir un punto de tres forms: - Interseión de dos rets o ros. - Interseión de un ret on un plno. - irunfereni de rdio 0. RET: Un ret es un sueión de puntos en un mism direión. Según est definiión un ret es infinit y solo l podemos onebir virtulmente y no relmente, y que todos los soportes (ppeles, lienzos, l pizrr de lse) son finitos. Un ret puede ser definid geométrimente por dos plnos que se ortn (geometrí desriptiv) o por dos puntos (geometrí pln). SEMIRET: Un semiret es un porión de ret delimitd por un punto SEGMENTO: Un segmento es un porión de ret delimitd por dos puntos. Por tnto un segmento tiene un prinipio y un fin y es finito y se puede medir. Relmente tods ls rets que dibujmos son segmentos, pues empiezn y bn en lgun sitio. Por eso pr dibujr un segmento se suelen mrr lrmente lso puntos de prinipio y fin. RELIONES ENTRE RETS O SEGMENTOS os rets o segmentos pueden gurdr tres tipos diferentes de reliones: - PRLELS: Todos los puntos de ls dos rets están siempre l mism distni. Es deir, dos rets prlels nun se ortn. - PERPENIULRES: os rets son perpendiulres undo se ortn formndo utro ángulos retos. Este onepto está reliondo on un djetivo importnte, ortogonl, deimos que dos rets son son ortogonles undo formán ángulos de 90º,son retos o perpendiulres. - OLÍUS: dos rets oblíus se ortn sin formr ángulos retos TRES PUNTOS determinn en el plno un irunfereni. dos tres puntos siempre podremos trzr un irunfereni. En términos tridimensionles, tres puntos definen un plno. Un sill on tres pts nun estrá oj. L IRUNFERENI Un irunfereni es un onjunto de puntos que están l mism distni de otro punto llmdo entro. Es un urv errd y pln uyos puntos EQUIISTN (están l mism distni) del entro. Llmmos RIO l distni entre el entro y ulquier de los puntos de l irunfereni. ÍRULO: Es l porión de plno omprendid dentro de l irunfereni RELIONES IRUNFERENI - IRUNFERENI / IRUNFERENI - RET SENTES: Se ortn. undo dos irunferenis o un ret y un irunfereni se ortn produen dos puntos de interseión. Pr un irunfereni y un segmento sentes enontrmos: - uerd: Es l porión de ret que qued dentro de l irunfereni siempre y undo no pse por el entro. - iámetro: Es un segmento que ort l irunfereni en dos puntos psndo por el entro. - ro: Es l porión de irunfereni que qued entre los dos puntos de interseión on otr irunfereni o ret. - Fleh: se llm sí l rdio perpendiulr un uerd de irunfereni. TNGENTES: Un ret y un irunfereni son tngentes undo se ton pero no se ortn. En esos so mbos elementos omprten en omún un punto llmdo punto de tngeni. EXTERIORES: Se llm sí dos irunferenis o un irunfereni y un ret que no se ton ni se ortn. INTERIORES: Se llm irunfereni "interior otr" undo está dentro de otr myor y ni se ton ni se ortn. ONENTRIS: Se llmn sí ls irunferenis que omprten el mismo entro. º ESO: Trzdos Geométrios ásios EFINIIONES IMPORTNTES

2 Pr relizr operiones on segmentos se suele empler siempre el ompás pr tomr medids, opirls o trsldrls. Tmbién se h de empler un regl que puede estr grdud o no, y que el ompás será l herrmient on l que se mide. OPI E UN SEGMENTO: do el segmento, opirlo on l mism mgnitud. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás. º- Trsldmos l distni sobre l semiret que hemos trzdo. on l medid tomd nteriormente on el ompás hremos entro en el punto ' de l semiret y l mrremos obteniendo '. º- Finlmente psmos tint el resultdo (IMPORTNTE). ' ' ' ' ' ' SUM E SEGMENTOS: dos los segmento, y EF, sumrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', obteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ' repetimos l operión on el siguiente segmento sumr (). º- En este so tenemos tres segmentos pr sumr, repetimos on el último. º- L soluión es l totlidd de los segmentos opidos uno detrás de otro, es deir, 'F'. Psmos tint l soluión (IMPORTNTE). E F E F E F E F ' ' ' ' ' ' E F E F ' '' ' E' F' ' '' ' E' F' REST E SEGMENTOS: -,restrlos gráfimente. º- Trzmos un semiret desde un punto '. º- Tommos l medid, el myor, on el ompás y l opimos en l semiret, prtir de ', obteniendo '. (opir el segmento ) º- prtir de ', de nuevo, repetimos l operión on el segmento. Es deir, opiremos el segmento menor dentro del myor que y hemos opido. º- L difereni entre los dos segmentos (distni de ' ') es l soluión. L psmos tint. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' º ESO: Trzdos Geométrios ásios OPERIONES ON SEGMENTOS

3 Meditriz de un segmento: do un segmento, hllr l meditriz. L meditriz de un segmento es un ret perpendiulr este por su punto medio. Tmbién se puede definir omo "el lugr geométrio de los puntos del plno que equidistn de los extremos de un segmento" Proedimiento: º- Se trzn dos ros de igul rádio on entro en mbos extremos y. Se obtienen sí los puntos y donde mbos ros se ortn. º- Se unen los puntos y pr obtener l meditriz. º- Se ps el resultdo tint. Perpendiulr un segmento o semiret por un extremo: do un segmento, trzr l perpendiulr por el punto. º-on entro en se trz un ro (si un semiirunfereni) que ort l segmento en el punto. º-on entro en el punto se trz otro ro on el mismo rdio que ort l nterior ro en el punto. º-on entro en el punto y mismo rdio se trz otro ro que ort l primero en el punto. º-on entro en el punto trzmos otro ro, de mismo rdio, que ort l último en el punto. º-Se une el punto on el punto. Psmos tint l ret. Perpendiulr un ret por un punto exterior ell: º-on entro en P se trz un ro de irunfereni que orte l ret en dos puntos: y. º-on entro en los puntos y, se trzn dos ros de rdio myor l mitd de l distni entre ellos. onde mbos ros se ortn obtenemos el punto. º-Se une el punto y el punto P. P P P P º ESO: Trzdos Geométrios ásios PERPENIULRI on regl y ompás

4 Prlel un ret por un punto exterior, dos métodos: º- Se elige un punto X entrdo en l ret omo entro y se trz un semiirunfenerni de rdio XP que l ort en dos puntos: y. º- on entro en el punto se tom el rdio P y desde el punto se trz un ro que ort l primero en el punto. º- Se une el punto on P. P P P X X X TEOREM E THLES E MILETO Tod ret prlel un ldo de un triángulo que ort los otros dos ldos, determin otro triángulo semejnte l triángulo iniil. /''=/'=/' ' Si se ortn dos rets onurrentes on un hz de rets prlels, l rzón de dos segmentos ulesquier de un de ells es igul ' l rzón de los orrespondientes de l otr. IVISIÓN E UN SEGMENTO EN n () prtes igules: El proedimiento siempre es el mismo unque vríe el número de prtes en ls que quermos dividir el segmento. º- esde un extremo del segmento ddo trzmos un ret uxilir. No import l bertur del ángulo que est forme on el segmento ddo. º- Tommos un rdio de ompás ( no import l bertur del ompás, solo que quep tnts vees omo divisiones nos pide el problem sobre l ret uxilir) y on entro en el vértie del ángulo trzmos un mr sobre l ret uxilir. º- on entro en es primer mr, y on el mismo rdio de ompás repetimos l operion hst tener tnts prtes omo nos pide el problem en l ret uxilir. º- Trzmos prlels l últim ret psd. ests psn por ls divisiones que hemos trzdo sobre l ret uxilir y ortn l segmento ddo en el enunido del problem. º- Trzmos un segmento que une l ÚLTIM IVISIÓN de l ret uxilir on EL EXTREMO del segmento ddo. º- Los puntos de orte de ls prlels on el segmento ddo son l soluión, ls divisiones del segmento en el nº de prtes que pedí el enunido. º ESO: Trzdos Geométrios ásios PRLELISMO on regl y ompás / Teorem de THLES

5 ÁNGULO: Es l porión de plno omprendid entre dos semirets llmds ldos que prten de un punto en omún llmdo vértie. UNIES E MEI: Existen vris uniddes pr medir los ángulos: - Rdines: un irunfereni enter mide rdines. - Grdos entesimles: Un irunfereni enter mide 00 g. - Grdos sexgesimles: Un irunfereni enter mide 0º. Generlmente en geometrí se emplen los grdos sexgesimles. TIPOS E ÁNGULOS SEGÚN SU MGNITU Llno = 80º Obtuso + de 90º Reto = 90º gudo - de 90º ónvo - de80º y + de 0º 80º 00 g rd /rd 0º 00 g 90º 00 g /rd rd 0º 00 g onvexo + de 80º y - de 0º RELIONES NGULRES Reliones ngulres SEGÚN SU POSIIÓN Ángulos dyentes: Son quellos que omprten un ldo y el vértie, pero no tienen ningún punto en omún. Ángulos onseutivos: Son los que omprten un vértie y un ldo (se superponen). Ángulos Opuestos: Son los formdos por semirets opuests. YENTES ONSEUTIVOS OPUESTOS Reliones ngulres SEGÚN SU MGNITU Ángulos omplementrios: Son quellos que sumn 90º Ángulos Suplementrios: Son los que sumn 80º. Ángulos onjugdos: Son los que sumn 0º. YENTES (no tienen por qué serlo) OMPLEMENTRIOS SUPLEMENTRIOS ISETRIZ E UN ÁNGULO: Es l semiret que divide un ángulo en dos prtes igules psndo por el vértie. Todos los puntos de l bisetriz equidistn (están l mism distni)de los ldos del ángulo. L bisetriz es el lugr geométrio de los puntos de un plno que equidistn de los ldos de un ángulo. TRZO E L ISETRIZ: do un ángulo, trzr su bisetriz. º- on entro en el vértie y un rdio ulquier (sufiientemente mplio) se trz un ro que ort mbos ldos del ángulo en los puntos y. º- on entros en los puntos y dos se trzn dos ros de igul rdio (myor l mitd de l distni entre y ) que se ortán en el punto. º- Se une el punto on el vértie del ángulo ddo. º ESO: Trzdos Geométrios ásios Ángulos, oneptos teoríos / isetriz

6 OPI E ÁNGULOS ON OMPÁS Y REGL: ddo un ángulo () trzr otro ángulo (') igul. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vértie del nuevo ángulo opido. º- on entro en el punto v se trz un ro de rdio ulquier que ort los ldos de este en los puntos y. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- esde el punto del ángulo ddo, se mide on el ompás l distni desde hst. En el nuevo ángulo opido on entro en ' se trz un ro que orte l nterior obteniendo ' º- Se une v' on '. v v v v ' ' v' ' v' ' ' SUM E ÁNGULOS ON OMPÁS Y REGL: ddos los ángulos () y (b) trzr otro ángulo () = (+b) Se trt de opir un ángulo enim del otro, omprtiendo mbos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vértie del nuevo ángulo resultndo +b. º- on entros en los puntos (v) y (vb), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mbos ldos de los ángulos en los ptos y b. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', obteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni b-b.esde ' trzmos un ro de rdio b-b pr obtener '. º- Se une v' on '. v' ' b ' v' ' ' b v vb b b v vb b b v vb b b ' ' ' ' v' ' v' ' v' ' REST E ÁNGULOS ON OMPÁS Y REGL: ddos los ángulos () y (b) trzr otro ángulo () = (-b) Se trt de opir el ángulo menor dento del myor, omprtiendo mbos un ldo que finlmente no será prte del resultdo. º- Se trz un segmento o semiret y se indi v' que será el vertie del nuevo ángulo resultdo -b. º- on entros en los puntos (v) y (vb), se trz un ro de rdio ulquier pero igul, que ort mbos ldos de los ángulos en los ptos. on entro en v' se trz un ro de igul rádio que ortrá l ldo y dibujdo en el punto '. º- esde el punto, se mide on el ompás l distni desde -, oloándol en el resultdo desde ', obteniendo sí el pto. '. º- Se mide, on ompás, l distni b-b.esde ' trzmos un ro, situdo entre ' y ', de rdio b-b pr obtener '. º- Se une v' on '. v vb b b v' ' b v vb ' ' v' ' b b b v vb ' ' v' ' b b b º ESO: Trzdos Geométrios ásios Operiones básis on Ángulos: OPI SUM Y REST

7 LOS POLÍGONOS Un polígono es l porión de plno enerrd por vrios segmentos llmdos ldos. El término "polígono" proede del griego ntiguo y signifi "muhos" (poli) ángulos (gono). LSIFIIÓNES Polígono onvexo: Es quel polígono que l ser trvesdo por un ret únimente tiene o puede tener un punto de l ret de entrd y otro de slid. Si l pollrse en uno de sus ldos sobre un ret el polígono qued en su totlidd un ldo de est. Polígono onvo: Es quel que l ser trvesdo por un ret tiene ms de un punto de entrd y slid en l tryetori de l ret. Tmbién es onvexo undo es posible poyr el poligóno sobre lguno de sus ldos en un ret quedándo prte un ldo de est y prte l otro. Equiángulo: Un polígono es equiángulo undo tiene todos sus ángulos igules. Equilátero: Un polígono es equilátero undo todos sus ldos son igules. Regulr: Un polígono es regulr undo todos sus ldos y ángulos son igules. Irregulr: Es el polígono que tiene ldos y ángulos desigules LOS NOMRES E LOS POLÍGONOS SEGÚN SUS LOS Triángulo udrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Otógono Eneágono eágono Ondeágono 8 9 odeágono Triskideágono Tetrdeágono Pentdeágono Hexdeágono Heptdeágono Otodeágono Enedeágono EENS Y UNIES 0 Ios- -hená- / -monó- 0 0 Triont- Tetront- -dí- -trí- 0 Pentont- -tetráky 0 Hexont- -pentá Heptont- Otont- Eneont hexá- -heptá- -otá- -eneá- -gono OTROS Hetógono / Hetágono Kiliágono Miriágono PRTES E UN POLÍGONO LO: d uno de los segmentos que omponen el polígono. VÉRTIE:Es el punto en el que se unen dos ldos onseutivos. IGONL: Segmento que une dos vérties no onseutivos. lgunos polígonos tienen digonl myor y digonl menor. PERÍMETRO: Es l sum de todos los ldos. En un polígono regulr demás enontrmos: ENTRO: Es el punto equidistnte de todos los vérties y ldos. En él se enuentr el entro de ls irunferenis insrit y irunsrit. POTEM: Es el segmento que une el entro del polígono on el punto medio de los ldos perpendiulrmente. VÉRTIE LO IGONL MYOR ENTRO POTEM IGONL MENOR º ESO: Polígonos EFINIIONES IMPORTNTES

8 TRIÁNGULO: Superfiie pln limitd por tres segmentos o ldos que se ortn dos dos en tres vérties. L sum de sus ángulos es 80º NOMENLTUR: Los vérties se nombrn on letrs minúsuls y los ldos on letrs myúsuls emplendo l mism letr que el vértie opuesto. LSIFIIÓN E LOS TRIÁNGULOS: Según sus ldos b Equilátero: los tres ldos igules Isóseles: dos ldos igules Según sus ángulos Reto: utángulo: un ángulo tres ángulos reto(90º) gudos Esleno: tres ldos desigules Obtusángulo: un ángulo obtuso URILTERO: Es un polígono que tiene utro ldos, utro vérties y dos digonles. -L sum de sus ángulos interiores es igul 0º. LSIFIIÓN: PRLELOGRMO: Es un tipo espeil de udrilátero que tiene los ldos prlelos dos dos. PROPIEES E LOS PRLELOGRMOS: - En todo prlelogrmo los ángulos y ldos opuestos son prlelos (igul medid). - Tienen dos pres de ldos opuestos prlelos. - Ls digonles se ortn en su punto médio. - os ángulos ontiguos son suplementrios (sumn 80º). URO: utro ángulos utro ldos igules ROMO: Ldos igules ángulos igules dos dos. igonl myor y otr menor se ortn en putos. medios formndo 90º. RETÁNGULO: utro ángulos retos(90º).ldos igules dos dos. ROMOIE: Ldos igules dos dos ángulos igules dos dos. ldos igules y prlelos dos dos TRPEIO: udrilátero que tiene dos ldos opuestos prlelos TRPEIO ISÓSELES: dos ldos prlelos dos ldos igules dos digonles igules TRPEIO ESLENO: dos ldos prlelos ldos y ángulos desigules TRPEIO RETÁNGULO: os ángulos retos os ldos prlelos TRPEZOIE: ángulos desigules ldos desigules y no prlelos º ESO: Polígonos TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS

9 onstruión de un triángulo onoidos sus tres ldos: º Sobre un ret r se opi el segmento. º on rdio y entro trzmos otro ro. º on rdio y entro en trzmos otro ro. º L interseión de mbos ros es el vértie. onstruión de un triángulo retángulo onoid l hipotenus h y un teto : h º- Trzmos un semiret y por su extremo levntmos un perpendiulr. Sobre est opimos l medid del teto. º- on entro en (extremo superior del teto) y rdio h trzmos un ro que ort l semiret en, terer vértie del triángulo. º- Trzmos el triángulo. onstruión de un retángulo onoidos sus ldos: º- Por un extremo del segmento trzmos un perpendiulr y opimos sobre ell el segmento. º- on entro en trzmos un ro de rdio. º- on entro en trzmos un ro de rdio. Enontrndo el punto. Trzmos el retángulo. onstruión de un retángulo onoido un ldo y l digonl : º- Trzmos l meditriz de l digonl b y desde el punto medio trzmos l irunfereni de l ul es diámetro. º- on rdio y entros y trzmos dos ros que ortn l irunfereni en y º- Trzmos el retángulo. onstruión de un rombo onoids ls digonles y : º- Trzmos ls meditries de mbs digonles. º- Sobre l meditriz de y prtir del punto medio de l digonl opimos ls dos mitdes de l digonl menor, obteniendo los puntos y sobre est. Trzmos el rombo. onstruión de un trpeio retángulo prtir de (vértie reto) onoiendo l bse myor, l ltur h y l digonl : h º- Situmos el segmento omo bse. Por el extremo levntmos un perpendiulr y sobre est opimos h obteniendo de est mner el punto. º- Por el punto trzmos un ret prlel l segmento. on entro en y rdio trzmos un ro que ort l prlel (bse superior) en. º- Trzmos el trpeio. º ESO: Polígonos ONSTRUIONES: TRIÁNGULOS Y URILÁTEROS

10 do el rdio de irunfereni (o l irunfereni on su entro), insribir los polígonos regulres: Triángulo equilátero º- Trzmos un diámetro º- on entro en un extremo y rdio igul l l ir. trzmos un ro º-Unimos el otro extremo del diámetro on los dos puntos en l irunfereni que nos hn ddo los ros. udrdo º- Trzmos un diámetro. º- Trzmos un diámetro perpendiulr. º- Unimos los puntos de orte de los diámetros on l irunfereni. Pentágono º- Trzmos un diámetro. º- Trzmos un diámetro perpendiulr l primero. º- Hemos l meditriz de un rdio obteniendo m º- on entro en m y rdio b trzmos un ro pr obtener b => b es el ldo del pentágono insrito. º- on rdio b empezndo por trzmos ros sobre l irunfereni º- unimos los puntos de l irunfereni. Hexágono º- Trzmos un diámetro. º- on entro en un extremo y rdio igul l l ir. trzmos un ro. º- Repetimos l operión desde el otro extremo. º- Unimos los puntos. Heptágono º- Trzmos un diámetro. º- Trzmos un ro de igul rdio l ir. desde un extremo. º- Unimos on b obteniendo m. m es el ldo del heptágono º- on ros de rdio b trzmos ros sobre l ir. º- Unimos los puntos. Otógono º- Trzmos un diámetro horizontl. º- Trzmos un diámetro perpendiulr l primero. º- Trzmos dos bisetries dos udrntes. º- Hemos obtenido oho puntos sobre l irunfereni, los unimos. º ESO: Polígonos ONSTRUIONES:POLÍGONOS REGULRES INSRITOS

11 do el rdio de irunfereni : onstruir un polígono regulr de n () ldos: º Trzmos un irunfereni on el rdio que nos hn indido y trzmos un diámetro vertil IVIIMOS EL IMETRO EN TNTS PRTES OMOLOS QUEREMOS QUE TENG EL POLIGONO º esde el extremo superior trzmos un semiret uxilir y l dividimos en tnts prtes om queremos dividir el diámetro (podemos herlo on el ompás o on l regl grdud) º unimos el último extremo on el extremo opuesto del diámetro º Trzmos prlels por ls divisiones del segmento uxilir obteniendo l división del diámetro en n prtes igules º on rdio igul l diámetro de l irunfereni y desde los extremos de este trzmos dos ros que nos drán un foo º desde el foo trzmos rets por ls divisiones pres. en los extremos ontrris de l irunfereni obtendremos l mitd de los verties de l soluión. el punto 0 del diámetro tmbién lo inluímos, unque dd su situión no hemos neesitdo trzr un ret puesto que este y se enuentr sobre l irunfereni º Repetimos l últim operión desde el ldo ontrrio. 8º Unimos todos los puntos obtenidos sobre l irunfereni, reordndo ontr on el punto 0 del diámetro 8 º ESO: Polígonos POLIGONOS INSRITOS (Método Generl)

12 Los polígonos estrelldos se obtienen uniendo de form onstnte y no onseutiv los vérties de los polígonos regulres. Según el número de vérties que teng el polígono no estrelldo podremos obtener ninguno, uno o vrios polígonos estrelldos: nº de nº de form de unir vérties estrells los vérties Pr ilustrr el udro de l izquierd tommos el ejemplo del eneágono, del ul podemos obtener hst utro estrells dependiendo del número de vérties que sltemos. Uniendo vérties sltndo l segundo. Uniendo vérties sltndo l terero. FLSS ESTRELLS Uniendo vérties sltndo l urto. / / / Uniendo vérties sltndo l quinto. Se definen por N/M siendo N el número de vérties polígono del regulr onvexo y M el slto entre vérties. N/M h de ser frión irreduible, de lo ontrrio no se gener el polígono estrelldo que indi l frión. Pr sber untos polígonos estrelldos es posible insribir en un polígono onvexo: n es el nº de vérties del polígono regulr onvexo. Es posible onstruir tntos polígonos estrelldos omo números enteros hy, menores que su mitd (n/) y primos on n. Ejemplo: Eptágono ( ldos), su mitd es, y los numeros enteros menores de, primos son el y el. Entones podemos unir los vérties En lgunos sos l unir los vérties de form ltern podemos enontrrnos on que en relidd insribimos otros polígonos onvexos dentro del polígono iniil. En esos sos no obtendremos verdderos polígonos estrelldos sino FLSS L estrell de vid. Flso Otógono estrelldo. ESTRELLS. ESTRELLR POLÍGONOS Estrellr un polígono onsiste en prolongr sus ldos pr que se orten nuevmente entre sí, sí se obtiene un nuevo polígono on form de estrell. l izquierd podemos ver el proeso de estrellr un pentágono. Pr este polígono solo podemos estrellrlo un vez, pues el pentágono únimente gener un polígono estrelldo. l pentágono estrelldo tmbién se le llm generlmente PENTGRM o pentáulo y es un figur muy signifitiv simbólimente, sobre todo por ontener l proporión divin oult en sus medids / ldo del polígono estrelldo polígono generdor Estrellr un polígono onsiste en prolongr sus ldos pr que se orten nuevmente entre sí, sí se obtiene un nuevo polígono on form de estrell. Si estrellmos un polígono onvexo observmos que l primer estrell que se gener es l que se produe l sltr el menor número de vérties. Si ontinumos estrellándol onseguiremos l segund estrell. Y sí suesivmente podremos dibujr, uns dentro de otrs, tods ls estrells posibles que diho polígono nos ofree. Lo mismo ourre si insribimos l estrell empezndo por el máximo slto de vérties (proedimiento inverso). º ESO: Polígonos POLÍGONOS ESTRELLOS

13 SIMETRÍ XIL Y SIMETRÍ RIL SIMETRÍ:Es un trnsformión geométri en l que todo punto y su simétrio (relión biuníbo) se enuentrn distinto ldo de un entro o un eje y igul distni de este. Existen dos tipos de simetrí: SIMETRÍ XIL (eje): Los puntos simétrios se enuentrn sobre un perpendiulr l eje de simetrí, igul distni y en distintos ldos del eje. ' ' ' ' SIMETRÍ ENTRL (entro-punto): Los puntos simétrios se enuentrn linedos on el entro, igul distni y en distinto ldo. ' ' ' ' Los pres de rets simétrios (xiles) tienen su interseión sobre el eje de simetrí. undo el eje de simetrí ort un ret, l ret simétri ortrá l primer sobre el eje de simetrí y el punto de interseión será un PUNTO OLE. ulquier punto que esté sobre el eje de simetrí tiene su simétrio en el mismo punto, estos les llmmos PUNTOS OLES. Trzr el triángulo simétrio respeto un eje. ' L simetrí entrl equivle un giro de 80º on el mismo entro. L rets o segmentos simétrios respeto un entro son prlels. Trzr el triángulo simétrio respeto un entro. ' º- prtir de un vértie trzmos un perpendiulr l eje. En el punto de interseión hemos entro de ompás y trsldmos l distni del eje l punto l otro ldo pr obtener el punto simétrio del vértie. º- Repetimos l operión on los demás vérties. º- Unimos los vérties simétrios Se llm OREN de SIMETRÍ (n) l número de vees que hy que rotr el ángulo menor ( ) pr dr un vuelt omplet ( n = 0º/ ) o, l número de figurs idéntis que formn l figur omplet. sí pues los polígonos regulres umplen on un simetrí rdil de orden igul su número de ldos. º- prtir de un vértie trzmos un ret que pse por el entro de simetrí. En el entro hemos entro de ompás y trsldmos l distni del entro l punto l otro ldo pr obtener el punto simétrio del vértie. º- Repetimos l operión on los demás vérties. º- Unimos los vérties simétrios Simetrí de orden Simetrí de orden Simetrí de orden EJE: Line que divide en dos prtes un figur o imgen, o que mr su direión. XIL: Reltivo l eje RIL: Reltivo l rdio. SIMETRÍ GEOMÉTRI: Es quell que sigue on extitud y rigor ls norms de l geometrí. SIMETRÍ PRENTE: Es quell que he un figur, imgen o form, preer visulmente simétri pero que no sigue on totl extitud ls leyes de l simetrí. TRNSVERSL: lgo que se extiende trvesdo de un ldo otro. MS VISUL: Es un form o grupo de forms que tre l tenión del observdor de un imgen. OMPENSIÓN E MSS: Form de omponer imgenes situndo ls mss de mner que trign l tenión por igul un ldo y otro de un eje imginrio. ONFIGURIÓN: isposiión de ls prtes que omponen un imgen. º ESO: SIMETRÍ PROEIMIENTOS Y EFINIIONES IMPORTNTES