MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA

Transcripción

1 Universidad de Valladolid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Subsección de Matemáticas Esquemas teóricos de la asignatura de las licenciaturas en Economía y ADE - Derecho MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA II. CONVEXIDAD III. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Confeccionados por los profesores Miguel Martínez Panero Juan Pablo Rincón Zapatero

2 MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA 3. CONJUNTOS CONVEXOS II. CONVEXIDAD 4. FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS III. PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA PROGRAMACIÓN CLÁSICA SIN RESTRICCIONES PROGRAMACIÓN CLÁSICA CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD PROGRAMACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUAL- DAD 9. PROGRAMACIÓN LINEAL

3 Métodos Matemáticos Convexidad 2 TEMA 3. CONJUNTOS CONVEXOS 3.1 Convexidad conjuntista. Vértice. Combinación convexa 3.2 Operaciones con conjuntos convexos 3.3 Caracterización de conjunto convexo 3.4 Conjuntos convexos notables 3.5 Teoremas de separación

4 Métodos Matemáticos Convexidad 3 3 CONJUNTOS CONVEXOS 3.1 CONVEXIDAD CONJUNTISTA. VÉRTICE. COMBINA- CIÓN CONVEXA DEFINICIÓN Dados x, ȳ R n, el segmento con extremos x, ȳ es el conjunto: [ x, ȳ] = {λ x + (1 λ)ȳ λ [0, 1]} DEFINICIÓN Un conjunto C R n es convexo si y sólo si x, ȳ C [ x, ȳ] C OBSERVACIONES Y EJEMPLOS 1. Más explícitamente, C R n es convexo si y sólo si } x, ȳ C λ x + (1 λ)ȳ C. λ [0, 1] 2. El conjunto vacío es convexo. 3. Un conjunto finito no vacío es convexo si y sólo si consta de un único punto.

5 Métodos Matemáticos Convexidad DEFINICIÓN Sea C R n un conjunto convexo no vacío. Un punto z C es un vértice o punto extremo de C si y sólo si z [ x, ȳ] C ( z = x) ( z = ȳ) DEFINICIÓN Un punto x R n es combinación convexa de x 1,..., x m R n si y sólo si existen λ 1,..., λ m 0 tales que λ λ m = 1 y x = λ 1 x λ m x m. 3.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS CONVEXOS 1. La intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo. 2. Dados S, T R n convexos no vacíos, el conjunto S + T = { s + t s S, t T } R n es convexo. 3. Dados S R n, T R m convexos no vacíos, el conjunto S T = {( s, t) s S, t T } R n+m es convexo. 4. Dados S R n convexo no vacío y α R, el conjunto αs = {α s s S} R n es convexo.

6 Métodos Matemáticos Convexidad OBSERVACIÓN La unión de conjuntos convexos no es, en general, un conjunto convexo. Por ejemplo, considérese la unión del primer y tercer cuadrantes de R CARACTERIZACIÓN DE CONJUNTO CONVEXO DEFINICIÓN La envolvente convexa de un conjunto C R n, e(c), es el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos de C. Es decir, x e(c) si y sólo si existen x 1,..., x m C, λ 1,..., λ m 0, tales que λ λ m = 1 y x = λ 1 x λ m x m PROPOSICIÓN La envolvente convexa de un conjunto C R n es el menor conjunto convexo, respecto a la relación de inclusión, que lo contiene COROLARIO Dado C R n, son equivalentes: 1. C es convexo. 2. C = e(c). 3. Toda combinación convexa de puntos de C pertenece a C.

7 Métodos Matemáticos Convexidad CONJUNTOS CONVEXOS NOTABLES DEFINICIÓN Dados ū R n no nulo y a R, el conjunto es un hiperplano. H = { x R n ū x = a} DEFINICIÓN Dados ū R n no nulo y a R, los conjuntos { x R n ū x a}, { x R n ū x a} son semiespacios cerrados, { x R n ū x < a}, { x R n ū x > a} son semiespacios abiertos DEFINICIÓN Un conjunto C R n es un politopo si y sólo si es intersección finita de semiespacios cerrados de R n DEFINICIÓN Un conjunto C R n es un poliedro si y sólo si es un politopo acotado.

8 Métodos Matemáticos Convexidad DEFINICIÓN Un conjunto C R n es un símplex si y sólo si es un poliedro de exactamente n + 1 vértices TEOREMA Todo hiperplano, semiespacio, politopo, poliedro o símplex es un conjunto convexo DEFINICIÓN Un conjunto C R n es un cono convexo si y sólo si es un conjunto convexo y se verifica: } x C λ x C. λ TEOREMAS DE SEPARACIÓN TEOREMA (Hiperplano límite) Dados un conjunto convexo C R n no vacío, x 0 R n, x 0 / C, existe un hiperplano H = { x R n ū x = a} tal que x 0 H y C { x R n ū x a} o bien C { x R n ū x a}.

9 Métodos Matemáticos Convexidad TEOREMA (Hiperplano soporte) Dados un conjunto convexo C R n no vacío y x 0 C, existe un hiperplano H = { x R n ū x = a} tal que x 0 H y C { x R n ū x a} o bien C { x R n ū x a} TEOREMA (Hiperplano separador) Dados dos conjuntos convexos C 1, C 2 R n no vacíos tales que C 1 C 2 =, existe un hiperplano H = { x R n ū x = a} tal que C 1 { x R n ū x a} y C 2 { x R n ū x a}.

10 Métodos Matemáticos Convexidad 9 TEMA 4. FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS 4.1 Convexidad funcional 4.2 Operaciones con funciones cóncavas y convexas 4.3 Relación entre convexidad conjuntista y funcional. Cuasiconvexidad 4.4 Caracterización de las funciones cóncavas y convexas de clases C 1 y C Optimización y convexidad. Teorema Local Global

11 Métodos Matemáticos Convexidad 10 4 FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS 4.1 CONVEXIDAD FUNCIONAL DEFINICIONES Sean C R n convexo no vacío y f : C R. La función f es convexa si y sólo si } x, ȳ C f(λ x + (1 λ)ȳ) λf( x) + (1 λ)f(ȳ). λ [0, 1] La función f es cóncava si y sólo si } x, ȳ C f(λ x + (1 λ)ȳ) λf( x) + (1 λ)f(ȳ). λ [0, 1] La función f es estrictamente convexa si y sólo si x, ȳ C x ȳ f(λ x + (1 λ)ȳ) < λf( x) + (1 λ)f(ȳ). λ (0, 1) La función f es estrictamente cóncava si y sólo si x, ȳ C x ȳ f(λ x + (1 λ)ȳ) > λf( x) + (1 λ)f(ȳ). λ (0, 1)

12 Métodos Matemáticos Convexidad OBSERVACIONES 1. (Desigualdades de Jensen). Las definiciones anteriores se pueden extender inductivamente a combinaciones convexas de puntos de C. Así f es convexa si y sólo si dados x 1,..., x m C m y λ 1,..., λ m 0 tales que λ i = 1, se verifica i=1 f(λ 1 x λ m x m ) λ 1 f( x 1 ) + + λ m f( x m ). Si f es cóncava, cambia el signo de la desigualdad anterior ( ). En el caso de que f sea estrictamente convexa (resp. estrictamente cóncava) hay que tomar x 1,..., x m distintos dos a dos y λ i (0, 1), i {1,..., m}, así como la desigualdad estricta: f(λ 1 x λ m x m ) < λ 1 f( x 1 ) + + λ m f( x m ) (resp. > para f estrictamente cóncava). 2. Si f es estrictamente cóncava (resp. estrictamente convexa), entonces f es cóncava (resp. convexa). 3. Los conceptos de función cóncava y función convexa no son exhaustivos ni contrarios entre sí: existen funciones que no son ni cóncavas ni convexas (un ejemplo son las funciones trigonométricas seno y coseno con dominio en R) y funciones que son a la vez cóncavas y convexas (las funciones lineales, caso límite en que la desigualdad de Jensen es una igualdad).

13 Métodos Matemáticos Convexidad Una función puede tener distinto carácter en cuanto a su concavidad o convexidad, es decir, distinta curvatura, dependiendo del conjunto convexo sobre el que esté definida. Así, la función seno con dominio en R no es cóncava ni convexa, es cóncava en [0, π], y convexa en [π, 2π]. 5. En dimensiones n = 1, 2 las definiciones anteriores tienen el siguiente significado geométrico: Una función es convexa (resp. cóncava) si y sólo si la cuerda que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función está por encima (resp. por debajo) de dicha gráfica. En el caso no estricto se puede dar yuxtaposición de la cuerda sobre la gráfica, pero si la convexidad o concavidad de la función es estricta, la yuxtaposición no ha de darse más que en los puntos extremos de la cuerda. 6. Las funciones cóncavas y convexas son continuas en el interior de su dominio de definición.

14 Métodos Matemáticos Convexidad OPERACIONES CON FUNCIONES CÓNCAVAS Y CON- VEXAS PROPOSICIÓN Sean C R n convexo no vacío y f, g : C R. 1. f, g convexas (resp. cóncavas) f + g convexa (resp. cóncava). 2. f, g estrictamente convexas (resp. estrict. cóncavas) f +g estrictamente convexa (resp. estrict. cóncava). 3. f convexa (resp. cóncava), α 0 αf convexa (resp. cóncava). 4. f convexa (resp. cóncava), α 0 αf cóncava (resp. convexa). 5. f estrictamente convexa (resp. estrict. cóncava), α > 0 αf estrictamente convexa (resp. estrict. cóncava). 6. f estrictamente convexa (resp. estrict. cóncava), α < 0 αf estrictamente cóncava (resp. estrict. convexa). 7. En particular, f convexa (resp. cóncava) f cóncava (resp. convexa). Análogo para el caso estricto OBSERVACIÓN El apartado 7. de permite trasladar los resultados válidos para funciones convexas a funciones cóncavas y viceversa, sin más que cambiar de sentido las desigualdades.

15 Métodos Matemáticos Convexidad RELACIÓN ENTRE CONVEXIDAD CONJUNTISTA Y FUNCIONAL. CUASICONVEXIDAD DEFINICIONES Sean C R n no vacío y f : C R. El grafo de f, G(f), es el conjunto G(f) = {( x, y) C R f( x) = y}. El epígrafe de f, E(f), es el conjunto E(f) = {( x, y) C R f( x) y}. El hipógrafo de f, H(f), es el conjunto H(f) = {( x, y) C R f( x) y}. Dado α R, el α-corte inferior, N α (f), es el conjunto N α (f) = { x C f( x) α}. Dado α R, el α-corte superior, N α (f), es el conjunto N α (f) = { x C f( x) α}.

16 Métodos Matemáticos Convexidad TEOREMA Sean C R n convexo no vacío y f : C R. Se verifica: 1. f convexa E(f) convexo. 2. f cóncava H(f) convexo. 3. f convexa N α (f) convexo. 4. f cóncava N α (f) convexo OBSERVACIÓN No son ciertos los recíprocos de los dos últimos apartados. Así, por ejemplo, una función monótona tiene α-cortes (superiores e inferiores) convexos sin necesidad de ser cóncava o convexa DEFINICIONES Sean C R n convexo no vacío y f : C R. La función f es cuasiconvexa si y sólo si N α (f) es convexo para todo α R. La función f es cuasicóncava si y sólo si N α (f) es convexo para todo α R.

17 Métodos Matemáticos Convexidad COROLARIO Sean C R n convexo no vacío y f : C R. Se verifica: 1. f convexa f cuasiconvexa. 2. f cóncava f cuasicóncava TEOREMA Sean C R n convexo no vacío y f : C R. Se verifica: 1. La función f es cuasiconvexa si y sólo si } x, ȳ C f(λ x + (1 λ)ȳ) max{f( x), f(ȳ)}. λ [0, 1] 2. La función f es cuasicóncava si y sólo si } x, ȳ C f(λ x + (1 λ)ȳ) min{f( x), f(ȳ)}. λ [0, 1] 4.4 CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS DE CLASES C 1 y C TEOREMA Sean C R n abierto, convexo y no vacío y f : C R de clase C 1. Se verifica: 1. f convexa x, ȳ C, f( x) f(ȳ) f(ȳ)( x ȳ).

18 Métodos Matemáticos Convexidad f estrictamente convexa x, ȳ C, x ȳ, f( x) f(ȳ) > f(ȳ)( x ȳ). 3. f cóncava x, ȳ C, f( x) f(ȳ) f(ȳ)( x ȳ). 4. f estrictamente cóncava x, ȳ C, x ȳ, f( x) f(ȳ) < f(ȳ)( x ȳ) OBSERVACIÓN En dimensiones n = 1, 2 los resultados anteriores tienen el siguiente significado geométrico: Una función es convexa (resp. cóncava) si y sólo si la recta o plano tangente a la gráfica en cada punto está bajo (resp. sobre) la misma. En el caso no estricto se puede dar yuxtaposición de la tangente sobre la gráfica, pero si la convexidad o concavidad de la función es estricta, la yuxtaposición no ha de darse más que en el punto de tangencia OBSERVACIÓN Dada una función f : D R, D R n abierto no vacío, tal que f es de clase C 2 en D, identificaremos la matriz hessiana de f en x 0, Hf( x 0 ), con la forma cuadrática que define sobre R n.

19 Métodos Matemáticos Convexidad TEOREMA Sean C R n abierto, convexo y no vacío y f : C R de clase C 2. Se verifica: 1. f convexa x C, Hf( x) definida positiva o semidefinida positiva. 2. f cóncava x C, Hf( x) definida negativa o semidefinida negativa. 3. x C, Hf( x) definida positiva f estrictamente convexa. 4. x C, Hf( x) definida negativa f estrictamente cóncava COROLARIO Sean C R n abierto, convexo y no vacío y f : C R de clase C 2. Se verifica: 1. Si Hf( x) es indefinida para algún x C, entonces f no es cóncava ni convexa. 2. Si Hf( x) y Hf(ȳ) son definidas, o semidefinidas y no nulas, positiva y negativa, respectivamente, para algún par de puntos x, ȳ C, entonces f no es cóncava ni convexa.

20 Métodos Matemáticos Convexidad OBSERVACIÓN No es cierto el recíproco de los dos últimos apartados del teorema anterior. Así, por ejemplo, la función f(x, y) = x 4 + y 4 es estrictamente convexa; sin embargo, Hf(0, 0) = (0) es la matriz nula, que tiene asociada una forma cuadrática que no es definida positiva. 4.5 OPTIMIZACIÓN Y CONVEXIDAD. TEOREMA LOCAL- GLOBAL DEFINICIONES. Extremos (u óptimos) de una función Sean D R n no vacío, f : D R, x 0 D. x 0 es un máximo local (o relativo) de f en D si y sólo si existe r > 0 tal que x B r ( x 0 ) D, f( x 0 ) f( x). Si la desigualdad es estricta (>) siempre que x x 0, entonces x 0 es un máximo local estricto. x 0 es un mínimo local (o relativo) de f en D si y sólo si existe r > 0 tal que x B r ( x 0 ) D, f( x 0 ) f( x). Si la desigualdad es estricta (<) siempre que x x 0, entonces x 0 es un mínimo local estricto. x 0 es un máximo global (o absoluto) de f en D si y sólo si f( x 0 ) f( x), x D. Si la desigualdad es estricta (>) siempre que x x 0, entonces x 0 es un máximo global estricto.

21 Métodos Matemáticos Convexidad 20 x 0 es un mínimo global (o absoluto) de f en D si y sólo si x D, f( x 0 ) f( x). Si la desigualdad es estricta (<) siempre que x x 0, entonces x 0 es un mínimo global estricto OBSERVACIONES 1. Los extremos globales estrictos, si existen, son únicos. 2. Sean D R n no vacío, f : D R, g : E R estrictamente creciente, con Im f E y x 0 D. Entonces, x 0 es un máximo local/global (resp. estricto) de f en D si y sólo si lo es de g f en D PROPOSICIÓN Sean D R n no vacío, f : D R, x 0 D. x 0 es un máximo local/global (resp. estricto) de f en D si y sólo si x 0 es un mínimo local/global (resp. estricto) de f en D OBSERVACIÓN La proposición anterior permite trasladar los resultados válidos para máximos de funciones a mínimos y viceversa, sin más que cambiar de sentido las desigualdades.

22 Métodos Matemáticos Convexidad TEOREMA (Local-global) Sean C R n convexo y no vacío, f : C R y x 0 C. Se verifica: 1. Si f es convexa y x 0 es un mínimo local de f en C, entonces x 0 es un mínimo global de f en C. 2. Si f es cóncava y x 0 es un máximo local de f en C, entonces x 0 es un máximo global de f en C. 3. Si f es estrictamente convexa y x 0 es un mínimo local de f en C, entonces x 0 es un mínimo global estricto de f en C. 4. Si f es estrictamente cóncava y x 0 es un máximo local de f en C, entonces x 0 es un máximo global estricto de f en C OBSERVACIÓN El teorema local global no afirma la existencia de extremos para las funciones que son cóncavas o convexas; sólo asegura su globalidad una vez supuesto su carácter local TEOREMA Sean C R n convexo, abierto y no vacío, f : C R de clase C 1 y x 0 C tal que f( x 0 ) = 0. Se verifica: 1. Si f es convexa, entonces x 0 es un mínimo global de f en C. 2. Si f es cóncava, entonces x 0 es un máximo global de f en C.

23 Métodos Matemáticos Convexidad Si f es estrictamente convexa, entonces x 0 es un mínimo global estricto de f en C. 4. Si f es estrictamente cóncava, entonces x 0 es un máximo global estricto de f en C PROPOSICIÓN Sean C R n convexo y no vacío y f : C R. Se verifica: 1. Si f es convexa, entonces su conjunto de mínimos es convexo. 2. Si f es cóncava, entonces su conjunto de máximos es convexo TEOREMA Sean C R n convexo y no vacío, f : C R y x 0 C. Se verifica: 1. Si f es convexa y x 0 es un máximo global de f en C, entonces f es constante. 2. Si f es cóncava y x 0 es un mínimo global de f en C, entonces f es constante.

24 Métodos Matemáticos Convexidad COROLARIO Sean C R n convexo y no vacío, f : C R no constante y x 0 C. Se verifica: 1. Si f es convexa y x 0 es un máximo global de f en C, entonces x 0 se encuentra en la frontera de C. 2. Si f es cóncava y x 0 es un mínimo global de f en C, entonces x 0 se encuentra en la frontera de C TEOREMA Sean C R n convexo, no vacío y compacto, f : C R continua. Se verifica: 1. Si f es convexa, entonces f alcanza su máximo global en algún vértice de C. 2. Si f es cóncava, entonces f alcanza su mínimo global en algún vértice de C TEOREMA Sean C R n convexo y no vacío, f : C R y x 0 C. Se verifica: 1. Si f es estrictamente convexa y alcanza en x 0 un máximo global, entonces x 0 es un vértice de C. 2. Si f es estrictamente cóncava y alcanza en x 0 un mínimo global, entonces x 0 es un vértice de C.

25 Métodos Matemáticos Programación matemática 24 TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 5.1 Programas matemáticos 5.2 Clasificación de los problemas de programación matemática 5.3 Resolución gráfica de programas matemáticos

26 Métodos Matemáticos Programación matemática 25 5 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN MA- TEMÁTICA 5.1 PROGRAMAS MATEMÁTICOS La programación matemática consiste en el estudio y resolución de problemas de optimización o búsqueda de extremos de funciones en su dominio de definición, o bien sobre subconjuntos determinados por restricciones que aparecen en forma de igualdades o desigualdades. Un programa matemático se expresa: opt f( x) s.a: x S, (1) donde f : D R, D R n y S D. El símbolo opt (optimizar) contempla tanto max (maximizar) como min (minimizar) DEFINICIONES f es la función objetivo y S el conjunto factible de (1). El programa (1) es imposible si S =. Un punto x 0 D es factible si x 0 S. En caso contrario es no factible. f S denota la restricción de f al conjunto S: x S, f S ( x) = f( x).

27 Métodos Matemáticos Programación matemática 26 1 z x y 0.25 Figura 1: Restricción de f en el ejemplo de Un punto factible x 0 es solución local (resp. global) de (1) si x 0 es un extremo local (resp. global) de f S OBSERVACIÓN Si f es continua y S es compacto y no vacío, entonces el problema (1) tiene solución global, en virtud del Teorema de Weierstrass EJEMPLO Si f(x, y) = 2x 2 +xy+y 2 y S = {(x, y) R 2 y x 2, x y 2 }, la restricción de f a S viene representada en la Figura 1.

28 Métodos Matemáticos Programación matemática CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROGRA- MACIÓN MATEMÁTICA El programa (1) se clasifica atendiendo a las diferentes características que presenten la función objetivo y el conjunto factible DEFINICIONES El problema (1) es un programa clásico sin restricciones si y sólo si S = D. El problema (1) es un programa clásico con restricciones de igualdad si y sólo si S = { x D ḡ( x) = b}, donde ḡ = (g 1,..., g m ), g i : D R i {1,..., m} y b = (b1,..., b m ) R m. El problema (1) es un programa con restricciones de desigualdad si y sólo si S adopta una de las tres formas siguientes: S = { x D x 1 0,..., x n 0}, S = { x D g 1 ( x) b 1,..., g m ( x) b m, x 1 0,..., x n 0}, S = { x D g 1 ( x) b 1,..., g m ( x) b m }, donde g i : D R n R, b i R, i {1,..., m}. El problema (1) es un programa lineal si y sólo si f es una aplicación lineal y S es un politopo.

29 Métodos Matemáticos Programación matemática DEFINICIÓN El problema (1) es un programa convexo si y sólo si S es un conjunto convexo y opt min y f es una función convexa. opt max y f es una función cóncava. 5.3 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE PROGRAMAS MATEMÁ- TICOS DEFINICIÓN El conjunto de nivel k de una función f : D R n R es C k (f) = { x D f( x) = k} OBSERVACIONES 1. Si k, k R, k k, entonces C k (f) C k (f) =. Además C k (f) = D. k R 2. Si n = 2, los conjuntos de nivel se denominan curvas de nivel y al variar k R describen el denominado mapa de curvas de nivel. Si n = 3, los conjuntos de nivel son superficies EJEMPLOS 1. Si D es un territorio y f asigna a cada punto su presión atmosférica, entonces las curvas de nivel se denominan isobaras.

30 Métodos Matemáticos Programación matemática Si D es el conjunto de disponibilidad de dos bienes económicos y f es la función que les asigna su utilidad conjunta, entonces las curvas de nivel son las curvas de indiferencia TEOREMA Sea f : D R n R diferenciable. Entonces: 1. Dado x 0 D, la dirección de mayor crecimiento de f a partir de x 0 viene dada por el vector gradiente, f( x 0 ). 2. En cada punto x 0 D, el vector gradiente, f( x 0 ), es ortogonal al conjunto de nivel C k (f) que contiene a x OBSERVACIÓN (Método gráfico) Si n = 2 o n = 3, pueden encontrarse las soluciones globales de (1) mediante la superposición de los conjuntos de nivel de f al conjunto factible S. Los puntos de S contenidos en C k (f) con mayor (resp. menor) valor para k R, si existen, son máximos (resp. mínimos) globales de f sobre S. El vector gradiente permite conocer en cada punto la dirección de mayor crecimiento de f y el opuesto al vector gradiente la de decrecimiento.

31 Métodos Matemáticos Programación matemática Figura 2: Conjunto factible y curvas de nivel en el Ejemplo EJEMPLO La Figura 2 representa el conjunto factible, delimitado por la línea gruesa, y diferentes curvas de nivel (en línea fina) de la función f que aparecen en Hay dos puntos de tangencia, correspondientes a un máximo global de f en S (situado en la restricción y = x) y a un mínimo global de f en S (situado en la restricción y = x 2 ), respectivamente.

32 Métodos Matemáticos Programación matemática 31 TEMA 6. PROGRAMACIÓN CLÁSICA SIN RES- TRICCIONES 6.1 Condiciones necesarias de primer orden 6.2 Condiciones necesarias y suficientes de segundo orden 6.3 Programas convexos

33 Métodos Matemáticos Programación matemática 32 6 PROGRAMACIÓN CLÁSICA SIN RESTRICCIO- NES A lo largo de este tema se considera el programa matemático: donde f : D R, D R n. opt f( x), (2) 6.1 CONDICIONES NECESARIAS DE PRIMER ORDEN PROPOSICIÓN Sean f : D R, D R n, x 0 D, tal que f es diferenciable en x 0. Si x 0 es un extremo local de f, entonces f( x 0 ) = OBSERVACIÓN afirma que los extremos locales de la función diferenciable f interiores a D pertenecen al conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones f x 1 ( x) = 0... f x i ( x) = 0... f x n ( x) = 0.

34 Métodos Matemáticos Programación matemática DEFINICIONES Sean f : D R, D R n, x 0 D tal que f es diferenciable en x 0. Se dice que x 0 es un punto crítico (o estacionario) de f si y sólo si f( x 0 ) = 0. Se dice que x 0 es un punto de silla de f si y sólo si x 0 es un punto crítico de f y no es extremo de f, es decir: f( x 0 ) = 0 Para todo r > 0, existen x 1, x 2 B r ( x 0 ) D tales que f( x 1 ) < f( x 0 ) < f( x 2 ). 6.2 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE SE- GUNDO ORDEN PROPOSICIÓN Sean f : D R, D R n, f de clase C 2 en D y x 0 D punto crítico de f. 1. x 0 máximo local de f Hf( x 0 ) definida negativa o semidefinida negativa. 2. x 0 mínimo local de f Hf( x 0 ) definida positiva o semidefinida positiva. 3. Hf( x 0 ) definida positiva x 0 mínimo local estricto de f. 4. Hf( x 0 ) definida negativa x 0 máximo local estricto de f.

35 Métodos Matemáticos Programación matemática COROLARIO Si Hf( x 0 ) es indefinida, entonces x 0 es punto de silla de f OBSERVACIÓN (Test de la derivada primera) Sea f : (a, b) R derivable en (a, b). 1. Si existen a c d b tal que f < 0 en (c, x 0 ) y f > 0 en (x 0, d), entonces x 0 es mínimo local estricto de f. En el caso en que c = a y d = b, x 0 es mínimo global estricto de f en (a, b). 2. Si existen a c d b tal que f > 0 en (c, x 0 ) y f < 0 en (x 0, d), entonces x 0 es máximo local estricto de f. En el caso en que c = a y d = b, x 0 es máximo global estricto de f en (a, b) Los recíprocos de las dos implicaciones anteriores no son ciertos. 6.3 PROGRAMAS CONVEXOS Cuando el programa (2) es convexo, es aplicable el teorema contenido en

36 Métodos Matemáticos Programación matemática 35 TEMA 7. PROGRAMACIÓN CLÁSICA CON RES- TRICCIONES DE IGUALDAD 7.1 Planteamiento del problema. Eliminación de restricciones 7.2 Condiciones necesarias de primer orden: Teorema de Lagrange 7.3 Condiciones necesarias y suficientes de segundo orden 7.4 Programas convexos 7.5 Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange

37 Métodos Matemáticos Programación matemática 36 7 PROGRAMACIÓN CLÁSICA CON RESTRIC- CIONES DE IGUALDAD 7.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. ELIMINACIÓN DE RESTRICCIONES El problema general de programación clásica con restricciones de igualdad es opt f( x) s.a: x S, (3) donde f : D R n R, ḡ = (g 1,..., g m ) : D R m, m < n y S = { x D ḡ( x) = b} OBSERVACIÓN Si en el programa (3) es posible encontrar una función continua h que permita expresar m variables (mediante una reordenación se pueden suponer que son las primeras) en función de las n m restantes: (x 1,..., x m ) = h(x m+1,..., x n ) de manera que este sistema de ecuaciones equivalga a ḡ( x) = b, entonces x 0 = (x 0 m+1,..., x 0 n) es solución del problema sin restricciones opt f( h(x m+1,..., x n ), x m+1,..., x n ) si y sólo si ( h( x 0 ), x 0 ) es solución de (3).

38 Métodos Matemáticos Programación matemática 37 No siempre es posible encontrar una función h que permita expresar m variables en función de las restantes o, aún existiendo, su cálculo puede ser costoso, por lo que se hace preciso buscar otras vías de resolver este tipo de problemas. 7.2 CONDICIONES NECESARIAS DE PRIMER ORDEN: TEOREMA DE LAGRANGE Sean D R n abierto y f : D R, ḡ : D R m, tal que f, ḡ son de clase C 1 en D DEFINICIÓN Se dice que x 0 S es un punto regular de (3) si y sólo si el rango de la matriz J ḡ( x 0 ) es m DEFINICIÓN Se define la función lagrangiana de (3) como L( x, λ) = f( x) + λ ( b ḡ( x)), donde x = (x 1,..., x n ) D y λ = (λ 1,..., λ m ) R m TEOREMA Si x 0 S es regular y solución de (3), entonces existe un único vector λ 0 = (λ 0 1,..., λ 0 m) R m tal que ( x 0, λ 0 ) es un punto crítico de la función lagrangiana de (3).

39 Métodos Matemáticos Programación matemática DEFINICIONES Si ( x 0, λ 0 ) es un punto crítico de la función lagrangiana de (3), entonces se dice que x 0 es un punto crítico de f condicionado por S y que λ 0 1,..., λ 0 m R son sus multiplicadores de Lagrange asociados OBSERVACIONES 1. El Teorema de Lagrange afirma que, supuestas condiciones de regularidad, los extremos de f condicionados por S están entre los puntos críticos de f condicionados por S. El recíproco no es cierto. El Teorema de Lagrange proporciona una condición necesaria de optimalidad, pero no suficiente. En consecuencia, entre las soluciones ( x, λ) del sistema de ecuaciones: i {1,..., n} f x i ( x) λ 1 g 1 x i ( x) λ m g m x i ( x) = 0, tales que x S, se encuentran las posibles soluciones regulares x 0 de (3). 2. De la igualdad x L( x 0, λ 0 ) = 0 se deduce m f( x 0 ) = λ 0 i g i ( x 0 ), i=1 es decir, el vector gradiente de la función objetivo en el óptimo es combinación lineal de los vectores gradientes de las funciones que definen las restricciones en dicho punto.

40 Métodos Matemáticos Programación matemática Si el conjunto factible S es compacto, el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia de soluciones globales de (3). Supuesta la condición de regularidad, estas soluciones globales han de estar entre los puntos críticos de f condicionados por S y se determinarán evaluando dichos puntos críticos mediante la función objetivo; los valores extremos obtenidos determinan los máximos y mínimos globales de f sobre S. 7.3 CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES DE SE- GUNDO ORDEN Sean D R n abierto y f : D R, ḡ : D R m, tal que f, ḡ son de clase C 2 en D DEFINICIONES La matriz hessiana de L respecto a x, H x L( x, λ), tiene por elemento ij: 2 L x i x j ( x, λ). El subespacio tangente a las restricciones en el punto x 0 S viene dado por T g( x 0 ) = {ȳ R n J g( x 0 ) ȳ = 0} TEOREMA (Condiciones necesarias de segundo orden) Sea x 0 un punto regular de (3) que verifica las condiciones necesarias de primer orden, con multiplicador asociado λ 0. Entonces

41 Métodos Matemáticos Programación matemática Si x 0 es un mínimo local de f sobre S, entonces la forma cuadrática H x L( x 0, λ 0 ) restringida al subespacio T g( x 0 ) es definida positiva o semidefinida positiva. 2. Si x 0 es un máximo local de f sobre S, entonces la forma cuadrática H x L( x 0, λ 0 ) restringida al subespacio T g( x 0 ) es definida negativa o semidefinida negativa COROLARIO Si la forma cuadrática H x L( x 0, λ 0 ) restringida al subespacio T g( x 0 ) es indefinida, entonces x 0 no es ni máximo ni mínimo local de f sobre S TEOREMA (Condiciones suficientes de segundo orden) Sea x 0 un punto regular de (3) que verifica las condiciones necesarias de primer orden, con multiplicador asociado λ 0. Entonces 1. Si la forma cuadrática H x L( x 0, λ 0 ) restringida al subespacio T g( x 0 ) es definida positiva, entonces x 0 es un mínimo local estricto de f sobre S. 2. Si la forma cuadrática H x L( x 0, λ 0 ) restringida al subespacio T g( x 0 ) es definida negativa, entonces x 0 es un máximo local estricto de f sobre S.

42 Métodos Matemáticos Programación matemática PROGRAMAS CONVEXOS Sean D R n abierto y f : D R, ḡ : D R m, tal que f, ḡ son de clase C 1 en D TEOREMA 1. Si f es convexa (resp. estrict. convexa) en D, S es convexo, y x 0 S es un punto regular que verifica las condiciones necesarias de primer orden del programa (3), entonces x 0 es un mínimo global (resp. mínimo global estricto) de f en S. 2. Si f es cóncava (resp. estrict. cóncava) en D, S es convexo, y x 0 S es un punto regular que verifica las condiciones necesarias de primer orden del programa (3), entonces x 0 es un máximo global (resp. máximo global estricto) de f en S OBSERVACIÓN Aunque el programa no sea convexo se pueden establecer condiciones suficientes de optimalidad basadas en la convexidad o concavidad respecto de x de la lagrangiana de (3) TEOREMA 1. Si x 0 S es un punto crítico de f condicionado por S con multiplicador asociado λ 0 y L( x, λ 0 ) es convexa respecto x, entonces x 0 es un mínimo global de f sobre S.

43 Métodos Matemáticos Programación matemática Si x 0 S es un punto crítico de f condicionado por S con multiplicador asociado λ 0 y L( x, λ 0 ) es cóncava respecto x, entonces x 0 es un máximo global de f sobre S. 7.5 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LOS MULTIPLI- CADORES DE LAGRANGE Se considera el problema max f( x) s.a: ḡ( x) = b (4) DEFINICIÓN La función valor óptimo asociada a (4) es donde b B R m. V ( b) = max {f( x) g( x) = b}, OBSERVACIÓN Si x 0 ( b) es solución de (4), entonces V ( b) = f( x 0 ( b)) TEOREMA Sean f : D R con D R n abierto, ḡ : D R m, f y ḡ de clase C 2 en D, b R m y x 0 ( b) una solución regular de (4). Si se verifica: det (0) J g( x 0 ( b)) J t g( x 0 ( b)) H x L( x 0 ( b), λ) 0,

44 Métodos Matemáticos Programación matemática 43 donde λ es el vector de multiplicadores de Lagrange asociado a x 0 ( b), entonces V es de clase C 1 en un entorno abierto B de b y además: λ i = V b i ( b) OBSERVACIÓN Y DEFINICIÓN El multiplicador de Lagrange λ i asociado a la i ésima restricción de (4) mide la sensibilidad de la función valor óptimo respecto a variaciones de la constante b i, y se denomina precio sombra o valor marginal de una unidad adicional de b i OBSERVACIÓN En las condiciones establecidas en 7.5.3, si b varía en b 0, entonces V ( b + b) V ( b) λ( b) b. En particular, si el incremento es unitario en la restricción i ésima, es decir, b = ē i, entonces V ( b + ē i ) V ( b) λ i ( b).

45 Métodos Matemáticos Programación matemática 44 TEMA 8. PROGRAMACIÓN CON RESTRICCIO- NES DE DESIGUALDAD 8.1 Planteamiento del problema 8.2 Teoremas de Kuhn Tucker 8.3 Programas convexos 8.4 Interpretación económica de los multiplicadores de Kuhn Tucker

46 Métodos Matemáticos Programación matemática 45 8 PROGRAMACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD 8.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El problema básico de programación matemática que se estudia en este tema es: max f( x) s.a: x S, (5) donde f : D R, con D R n. El conjunto S puede presentar alguna de las tres estructuras siguientes: S = { x D x 1 0,..., x n 0}, S = { x D g 1 ( x) b 1,..., g m ( x) b m, x 1 0,..., x m 0}, S = { x D g 1 ( x) b 1,..., g m ( x) b m }, con g i : D R n R, b i R, i {1,..., m}, a cada una de las cuales corresponde el programa: max f( x) s.a: x 0, (6) max f( x) s.a: { ḡ( x) b, x 0, (7) max f( x) s.a: ḡ( x) b, (8) respectivamente, con la notación ḡ = (g 1,..., g m ) y b = (b 1,..., b m ).

47 Métodos Matemáticos Programación matemática OBSERVACIÓN Una restricción del tipo g i ( x) b i es equivalente a g i ( x) b i. El programa min f( x), s.a: x S es equivalente al programa max f( x), s.a: x S. 8.2 TEOREMAS DE KUHN TUCKER TEOREMA (Condiciones necesarias para (6)) Sean f : D R, donde D R n es abierto, f de clase C 1 en D y S = { x D x 0}. Se verifica: Si x 0 es un máximo local de f en S, entonces f ( x 0 ) 0 x i {1,..., n} i x 0 f i ( x 0 ) = 0. x i DEFINICIONES Sean ḡ : D R m, con D R n abierto, ḡ de clase C 1 en D y considérense los programas (7) y (8). x 0 S satura la restricción i ésima si y sólo si g i ( x 0 ) = b i. En tal caso se dice que la restricción no tiene holgura. x 0 S es regular si y sólo si no satura ninguna restricción o bien el sistema de vectores de R m formado por los gradientes de las restricciones saturadas en dicho punto (incluídas las de no negatividad), es libre.

48 Métodos Matemáticos Programación matemática DEFINICIÓN La función lagrangiana asociada a (7) y (8) es: donde λ = (λ 1,..., λ m ) R m. L( x, λ) = f( x) + λ ( b ḡ( x)), TEOREMA (Condiciones necesarias para (7)) Sean f : D R con D R n abierto, ḡ : D R m, f y ḡ de clase C 1 en D, b R m. Sea x 0 un punto regular de S de (7). Se verifica: Si x 0 es un máximo local de f en S, entonces existe λ 0 = (λ 0 1,..., λ 0 m), tal que: i {1,..., n} x 0 i L x i ( x 0, λ 0 ) = 0, L x i ( x 0, λ 0 ) 0, i {1,..., m} { λ 0 i ( bi g i ( x 0 ) ) = 0, λ 0 i OBSERVACIONES 1. El vector λ 0 = (λ 0 1,..., λ 0 m) se denomina vector de multiplicadores de Kuhn Tucker.

49 Métodos Matemáticos Programación matemática Si un máximo local de f en S no es regular, entonces no puede asegurarse que cumpla las condiciones necesarias establecidas en (Condiciones de holgura complementaria). Las condiciones necesarias establecidas en afirman que L x i ( x 0, λ 0 ) se a- nula si x 0 i > 0 y es no positiva si x 0 i = 0. Por otra parte, si λ 0 i > 0, entonces x 0 satura la i ésima restricción. 4. Una forma práctica de aplicar las condiciones de es encontrar las soluciones del sistema de n+m ecuaciones e incógnitas: L x 1 ( x, x λ) = L x n ( x, x λ) = 0 ( n λ 1 b1 g 1 ( x) ) = 0. λ m ( bm g m ( x) ) = 0, mediante las condiciones de holgura complementaria. De las soluciones ( x, λ) obtenidas se eliminan aquellas tales que x / S o bien no verifiquen el resto de condiciones: i {1,..., n}. L x i ( x, λ) 0, i {1,..., m} λ i 0..

50 Métodos Matemáticos Programación matemática TEOREMA (Condiciones necesarias para (8)) Sean f : D R con D R n abierto, ḡ : D R m, f y ḡ de clase C 1 en D, b R m y x 0 un punto regular de (8). Se verifica: Si x 0 es un máximo local de f en S, entonces existe un vector λ 0 = (λ 0 1,..., λ 0 m) R m, tal que: i {1,..., n} i {1,..., m} L ( x 0, x λ 0 ) = 0, i { ( λ 0 i bi g i ( x 0 ) ) = 0, λ 0 i OBSERVACIONES 1. En el programa (8), de la igualdad x L( x 0, λ 0 ) = 0 se deduce m f( x 0 ) = λ 0 i g i ( x 0 ), i=1 es decir, el vector gradiente de la función objetivo en el óptimo es combinación lineal, con escalares positivos, de los vectores gradientes de las funciones que definen las restricciones en dicho punto. 2. En los programas (7) y (8), si el conjunto factible S es compacto, entonces el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia de soluciones globales. Supuesta la condición de regularidad, estas soluciones globales han verificar las condiciones

51 Métodos Matemáticos Programación matemática 50 necesarias establecidas en o y se determinarán evaluando los puntos hallados mediante la función objetivo; los valores mayores obtenidos determinan los máximos globales de f sobre S. 8.3 PROGRAMAS CONVEXOS Sean D R n abierto y f : D R, ḡ : D R m, tal que f, g son de clase C 1 en D TEOREMA 1. Si en (6) la función f es cóncava, habida cuenta de que S es convexo, las condiciones establecidas en son también suficientes y si x 0 S las verifica, entonces x 0 es un máximo global de f en S. 2. Si en (7) o (8) la función f es cóncava y las funciones g 1,..., g m son convexas, las condiciones establecidas en y respectivamente, son también suficientes y si x 0 S las verifica, entonces x 0 es un máximo global de f en S OBSERVACIÓN En los casos anteriores cuando la función f es estrictamente cóncava sólo puede existir un único máximo global de f en S. Esta propiedad es muy útil, ya que permite parar el proceso de búsqueda de puntos que verifican las condiciones necesarias en el momento en que se ha encontrado uno.

52 Métodos Matemáticos Programación matemática INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LOS MULTIPLI- CADORES DE KUHN TUCKER DEFINICIÓN La función valor óptimo del problema (7) es donde b B R m. V ( b) = max{f( x) g( x) b, x 0}, OBSERVACIÓN Si x 0 ( b) es solución de (7), entonces V ( b) = f( x 0 ( b)) PROPOSICIÓN 1. Si existe V : B R, función valor óptimo del problema (7), entonces V es creciente respecto a cada una de las variables b 1,..., b m. 2. Si, además, f es cóncava y S, B son conjuntos convexos, entonces V es cóncava TEOREMA Sea x 0 ( b) una solución regular del problema (7), en el que f es cóncava y g 1,..., g m son convexas y de clase C 2. Si se verifica: (0) J g( x 0 ( b)) det J t g( x 0 ( b)) H x L( x 0 ( b), λ) 0,

53 Métodos Matemáticos Programación matemática 52 donde λ es el vector de multiplicadores de Kuhn Tucker asociado a x 0 ( b), entonces V es de clase C 1 en un entorno abierto B de b y: λ i = V b i ( b) OBSERVACIÓN En las condiciones del Teorema 8.4.4, si b varía en b 0, entonces V ( b + b) V ( b) λ( b) b. En particular, si el incremento es unitario en la restricción i ésima, es decir, b = ē i, entonces V ( b + ē i ) V ( b) λ i ( b). Nótese que si en el óptimo x 0 ( b) no se satura la restricción i ésima, entonces λ i = 0 y, por tanto, ligeras variaciones de b i no alterarían el valor de la función objetivo.

54 Métodos Matemáticos Programación matemática 53 TEMA 9. PROGRAMACIÓN LINEAL 9.1 Planteamiento del problema. Formas estándar y canónica 9.2 Teoremas fundamentales de la Programación Lineal 9.3 El problema dual de un programa lineal 9.4 Teorema fundamental de la dualidad 9.5 Condiciones de holgura complementaria

55 Métodos Matemáticos Programación matemática 54 9 PROGRAMACIÓN LINEAL 9.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. FORMAS ESTÁN- DAR Y CANÓNICA NOTACIÓN Y FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL Sean x = (x 1,..., x n ) t, ȳ = (y 1,..., y n ) t con x i, ȳ i R y = ( 1,, m ) t tal que cada i es uno de los signos, =,. Se denota x ȳ si y sólo si x i i y i para cada i = 1,..., n. Asimismo x ȳ significa x i y i para cada i = 1,..., n (análogo para ). El problema básico de programación matemática que se estudia en este tema es: opt c t x s.a: A x b, x 0, (9) donde c t 0 t, x t R n, b t R m, A = (a ij ) M m n (R) DEFINICIÓN Un problema lineal viene dado en forma estándar si se expresa como min c t x s.a: A x = b, x 0, (10) donde c t 0 t, x t R n, b 0 R m, A = (a ij ) M m n (R) DEFINICIÓN Un problema lineal viene dado en forma canónica si se expresa de alguna de las dos formas siguientes: min c t x s.a: A x b, x 0, (11)

56 Métodos Matemáticos Programación matemática 55 o bien max c t x s.a: A x b, x 0, (12) donde c t 0 t, x t R n, b t R m, A = (a ij ) M m n (R) OBSERVACIONES 1. El problema lineal genérico (9) se puede expresar en forma estándar (10) o canónicas (11) y (12) mediante las siguientes operaciones: max c t x min c t x a i1 x a in x n b i a i1 x 1 a in x n b i a i1 x a in x n b i a i1 x a in x n = b i a i1 x a in x n b i a i1 x a in x n b i a i1 x a in x n b i a i1 x a in x n + x i = b i x i 0 a i1 x a in x n x i = b i x i 0 La nueva variable introducida, x i, se denomina de holgura. 2. La forma estándar (10) es la requerida en la resolución de (9) mediante el algoritmo del símplex. Las formas canónicas (11) y (12) son las que se utilizan en las secciones 9.3 y 9.4.

57 Métodos Matemáticos Programación matemática TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Un programa lineal, en cualquiera de sus formas, es un problema de optimización al que pueden aplicarse los resultados del tema anterior. No obstante, la linealidad de la función objetivo y de las restricciones permiten desarrollar métodos específicos de resolución OBSERVACIONES 1. Al ser la función objetivo no constante, cóncava y convexa simultáneamente, y el conjunto factible convexo (un politopo), en virtud de 4.5 los máximos (resp. los mínimos) de (9), si existen, (a) son globales (por el teorema local-global) (b) forman un conjunto convexo (c) se encuentran en la frontera del conjunto factible. 2. Al ser la función objetivo continua (polinómica homogénea de grado 1) y el conjunto factible cerrado (definido mediante un número finito de desigualdades no estrictas e igualdades relativas a funciones continuas) se puede asegurar la existencia de soluciones (máximos y mínimos globales de (9)) cuando el conjunto factible sea acotado y no vacío (en virtud del teorema de Weierstrass).

58 Métodos Matemáticos Programación matemática TEOREMA Si el conjunto factible de (9) es acotado y no vacío, entonces dicho programa lineal tiene solución en alguno de sus vértices TEOREMA Si (9) tiene solución, entonces alguna solución se encuentra en algún vértice TEOREMA Si dos puntos son mínimos (resp. máximos) de (9), entonces también es mínimo (resp. máximo) cualquier combinación convexa de dichos puntos COROLARIO Si el conjunto factible de (9) es compacto, entonces el conjunto de sus soluciones es la envolvente convexa de un número finito de vértices del conjunto factible y, por tanto, es un poliedro OBSERVACIONES Y DEFINICIONES 1. Los resultados anteriores no excluyen que (9) carezca de solución, lo cual sucede cuando (a) El conjunto factible es vacío. En este caso se dice que (9) es un problema imposible.

59 Métodos Matemáticos Programación matemática 58 (b) La función objetivo no está acotada superior o inferiormente en el conjunto factible. En este caso de dice que (9) es un problema sin solución. 2. En el caso de que (9) admita solución el programa puede ser (a) un problema con solución única o bien (b) un problema con solución múltiple. 3. Supuesta la existencia de soluciones de (9), pudiera pensarse que, evaluando la función objetivo sobre los vértices del conjunto factible, sería posible determinar los máximos y mínimos de (9). Esta idea es válida para problemas lineales sencillos, y de hecho, mejorada mediante un criterio selectivo, es el fundamento del método del símplex. No obstante, en general este procedimiento es inviable en la práctica, ya que la localización de tales vértices requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales tanto más complicados cuantas más variables y restricciones tenga (9). 9.3 EL PROBLEMA DUAL DE UN PROGRAMA LINEAL DEFINICIÓN Sean A M m n (R), c t R n, bt R m, m < n. Dado el programa lineal en forma canónica { A x b min c t x s.a: (P) x 0,

60 Métodos Matemáticos Programación matemática 59 se dice que su programa dual asociado es max bt λ s.a: { A t λ c λ 0. (D) Las variables λ 1,..., λ m se denominan variables duales y el problema (P) es un programa primal OBSERVACIONES 1. Los programas lineales (P) y (D) están expresados en forma canónica simétrica. 2. El número de variables (resp. restricciones) del problema dual coincide con el número de restricciones (resp. variables) del problema primal (no se tienen en cuenta las restricciones sobre el signo). 3. El dual del programa es max c t x s.a: min bt λ s.a: { A x b x 0, { A t λ c λ El dual de un programa lineal dual del problema (P) es el propio (P). Esto es inmediato si se tiene en cuenta la definición de problema dual y el item anterior.

61 Métodos Matemáticos Programación matemática TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA DUALIDAD Existe una relación entre las soluciones de los problemas primal y dual, la cual se precisa en esta sección. Se denota por S p (resp. S d ) al conjunto factible del problema (P) (resp. (D)) PROPOSICIÓN Se verifica: 1. Para todo x S p, para todo λ S d, c t x b t λ. 2. Si el programa (P) (resp. (D)) no admite solución, entonces (D) (resp. (P)) es imposible. 3. Si existen x S p, λ S d tales que c t x = b t λ, entonces x es solución de (P) y λ es solución de (D) TEOREMA Si existe solución, x, del programa (P), entonces existe solución, λ, del programa (D) y es cierto el recíproco. Además, el valor óptimo de ambos programas coincide: c t x = b t λ. 9.5 CONDICIONES DE HOLGURA COMPLEMENTARIA Dados el par de programas (P) (D), las condiciones de holgura complementaria permiten conocer una solución óptima de uno de los problemas a partir de una solución óptima del otro problema.

62 Métodos Matemáticos Programación matemática PROPOSICIÓN (Condiciones de holgura complementaria) Dados x solución de (P) y λ solución de (D), se verifican las siguientes igualdades: i {1,..., n} i {1,..., m} x i λ i m a ji λ j c i = 0 j=1 n a ij x j b i = 0. j= OBSERVACIONES 1. La primera igualdad de se interpreta así: si la solución de (D) no satura la restricción i ésima de (D), entonces la componente i ésima de la solución de (P) es cero; si la solución de (P) tiene su i ésima componente positiva, entonces la solución de (D) satura la restricción i ésima de (D). La segunda igualdad admite análoga interpretación. 2. Una vez conocida una solución de (P) (resp. (D)), es inmediato obtener una solución de (D) (resp. (P)), sin más que resolver el sistema lineal formado por los dos conjuntos de igualdades de Un ejemplo muy interesante es aquél en que (P) consta sólo de dos restricciones, en cuyo caso (D), al tener dos variables, podrá resolverse fácilmente mediante el método gráfico. Las condiciones de holgura complementaria permiten entonces hallar la solución de (P).

63 Métodos Matemáticos Programación matemática INTERPRETACIÓN DE LAS VARIABLES DUALES DEFINICIÓN La función valor óptimo del problema (P) es z ( b) = min{ c t x A x b, x 0} OBSERVACIÓN Si x ( b) es solución de (P), entonces z ( b) = c t x ( b) TEOREMA Sea (P) con solución x ( b) y (P ) un nuevo problema construido a partir de (P) modificando b en cantidades b suficientemente pequeñas para que sus respectivos problemas duales tengan la misma solución λ. Entonces z ( b + b) z ( b) = λ b OBSERVACIÓN En particular, si el incremento es unitario en la restricción i ésima, es decir, b = ē i, y se cumplen las hipótesis del teorema anterior, entonces z ( b + ē i ) z ( b) = λ i.