Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.

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1 NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C, etc. Los objetos que componen el conjunto reciben el nombre de elementos. Los conjuntos se indican mediante llaves, { }. Cuando los elementos de un conjunto están listados dentro de las llaves, como se ilustran a continuación, se dice que el conjunto está escrito por extensión. A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} B= {amarillo, verde, rojo, azul} C= {a,b,c} El conjunto A tiene diez elementos, el conjunto B tiene cuatro elementos y el conjunto C tiene tres elementos. El símbolo (pertenece) se usa para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto. Como 2 es un elemento de A, podemos escribir 2 A, esto se lee 2 pertenece al conjunto A. Un conjunto puede ser finito o infinito. Los conjuntos A, B y C tienen, cada uno, un número finito de elementos y, por lo tanto, son conjuntos finitos. En algunos conjuntos es imposible listar a todos los elementos. Éstos son conjuntos infinitos. El siguiente conjunto, llamado el conjunto de números naturales es un ejemplo de un conjunto infinito. Los tres puntos después de la última coma, llamados puntos suspensivos, indican que el conjunto continúa de la misma manera. Otro importante conjunto infinito es el de los enteros. El conjunto de los enteros es Observemos que el conjunto de los enteros incluye tanto a los enteros positivos como a los negativos y al número cero, 0. Si escribimos queremos decir que el conjunto continúa de la misma manera hasta el número 50. El conjunto D es el conjunto de los 50 primeros números naturales, por lo tanto D es un conjunto finito. Conjunto Vacío Un conjunto especial que no tiene elementos se llama el conjunto vacío. El conjunto vacío se denota por { } o Φ. Por ejemplo, si C es el conjunto de estudiantes de su curso que tienen más de 150 años, entonces C es el conjunto vacío. 1

2 Por lo que C ={} ó C =Φ. En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos pertenecen usualmente a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal (U) Actividad N 1 Escriba por extensión los siguientes conjuntos: a) A conjunto formado por las vocales b) B conjunto formado por los días hábiles de la semana c) C conjunto formado por las peatonales del centro de Salta d) D conjunto formado por los colores primarios e) E conjunto formado por el interprete y autor de la canción Soy Feliz f) F conjunto formado por las facultades de la Universidad Nacional de Salta (U.N.Sa.) g) G conjunto formado por todas las personas de Argentina que posean 2 números de documentos. Antes de introducir una segunda forma de expresar un conjunto, denominada por comprensión repasaremos los símbolos de desigualdad. se lee es mayor que se lee es mayor o igual que se lee es menor que se lee es menor o igual que Una forma de poder visualizar las desigualdades es a través de los números reales Si decimos que el número a es mayor que el número b, a >b, cuando a está a la derecha de b en la recta numérica. Por ejemplo 2 es mayor que 1, 2 > 1, en la recta podemos observar que 2 está a la derecha de 1, también podemos expresar como 1 < 2, en este caso 1 está a la izquierda de 2. Recordar que el símbolo usado en una desigualdad, si es verdadera, siempre señala o apunta al más pequeño de los dos números. Utilizamos la notación, y se lee, para representar a todos los números reales mayores que 2. Utilizamos la notación y se lee para denotar a todos los números que son menores o iguales que a -3. La notación, significa todos los números que son mayores o iguales a -4 y también menores que 3. A veces comprendemos de manera errónea la palabra entre. La palabra entre indica que los puntos extremos no están perteneciendo al conjunto, por ejemplo, el conjunto de los números naturales entre 2 y 6 es. Si deseamos incluir los extremos, podemos usar la palabra inclusive. Por ejemplo, el conjunto de números naturales entre 2 y 6 inclusive es. 2

3 Ahora como hemos introducido los símbolos de desigualdad, analizaremos otra forma de escribir un conjunto, denominada por comprensión. Un ejemplo de esta notación es Esto se lee El conjunto E es el conjunto de todos los elementos, tales que es un número natural mayor que 7. Por extensión, este conjunto se escribe La forma general de la notación constructiva de conjuntos es El conjunto de Todos los elementos tal que A menudo utilizaremos la variable ocuparse cualquier variable. cuando expresemos un conjunto por comprensión, aunque puede Ejemplos: 1. El conjunto A={a, e, i, o, u} está expresado por extensión. Si deseamos expresar el conjunto A por comprensión debemos buscar una propiedad ó característica en común que contengan cada uno de sus elementos, en este caso sabemos que los elementos son vocales, por lo tanto el conjunto A se puede expresar por comprensión como sigue: A={x : x es una vocal}. 2. Sea B={x : x es un número entero positivo menor que cinco} ó B={x : x <5 y }, este conjunto está expresado por comprensión, para expresar B por extensión debemos determinar el conjunto listando todos sus elementos, es decir B={1,2,3,4}. Actividad N 2 a) Inserte < ó > en el área sombreada para hacer que el enunciado o proposición sea verdadera. i. 5 3 v ix ii. -1-1,01 vi. 2-3 x. -1,1-1,9 iii.-14,98-14,98 vii iv. 0-2 viii b) Exprese los siguientes conjuntos por comprensión. i. iv. ii. v. iii. vi. 3

4 Igualdad de Conjuntos: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Para denotar que A y B son iguales, escribimos: A=B Inclusión de conjuntos Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se dice también que A está contenido en B o que B contiene a A. La relación de subconjunto viene dada por: A B Ejemplo Consideremos los siguientes conjuntos: A={1,3,4,5,8,9}, B={1,2,3,5,7} y C={1,5}. Podemos observar que todos los elementos del conjunto C están en el conjunto A, por tanto C A. De la misma manera podemos observar que C B. Sin embargo, no todos los elementos del conjunto B están en A, por lo que podemos decir que B no está incluido en A. Propiedades: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera se cumple siempre: 1. Φ A U (el conjunto vacío está contenido en el conjunto A ) 2. A A (cualquier conjunto está incluido en sí mismo) 3. Si A B y B C, entonces A C 4. A=B si y solo si A B y B A Operaciones entre Conjuntos Al igual que operaciones tales como la suma y la multiplicación se realizan sobre los números, existen operaciones que pueden realizarse sobre conjuntos. Dos operaciones importantes entre ellos son la unión y la intersección. La unión del conjunto A y el conjunto B, se escribe AUB, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. La palabra o, que se utiliza en este contexto, significa que un elemento pertenece a un conjunto A, o pertenece al conjunto B o puede pertenecer a ambos conjuntos, entonces podemos decir que la unión está formada por la reunión de los elementos del conjunto A con los del conjunto B. Nota: Si un elemento aparece en ambos conjuntos, lo listamos solo una vez cuando escribimos la unión de dos conjuntos. Para describir los elementos de la unión: 4

5 Y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A o x pertenece a B. Notemos que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A (A B) y B ( A B) Gráficamente se representa: Observaciones: Si A B entonces A B = B. Si A = B entonces A B = A = B. Si x A B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos. Ejemplo: Si A ={3,4,5,6} y B ={3,6}, encontrar A B. Solución: Como todos los elementos de B pertenecen al conjunto A (B A) entonces la unión será el conjunto A. A B = {3,4,5,6} Intersección de Conjuntos La intersección del conjunto A y el conjunto B, se escribe A elementos que son comunes a ambos conjuntos A y B. B, es el conjunto formado por todos los Ya que la palabra y, utilizada en este contexto significa que los elementos pertenecen a ambos, al conjunto A y al conjunto B, la intersección está formada con sólo aquellos elementos que están en ambos conjuntos. Si un elemento está en sólo uno de los dos conjuntos entonces no es un elemento de la intersección de los conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B, se escribe simbólicamente: Y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B. De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A B es un elemento de A y también de B, es decir: (A B) A y (A B) B. 5

6 A B Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío. Observaciones: Ejemplos: a) Si A B entonces A B = A. Si A = B entonces A B = A =B. El conjunto de los números Reales ( ) A continuación describiremos los diferentes conjuntos numéricos que están contenidos en los reales. Números reales Números naturales Números enteros Números racionales Números irracionales Veamos rápidamente a los números racionales, irracionales y reales. Un número racional es cualquier número que puede representarse como un cociente de dos números enteros, con el denominador distinto de cero. Ejemplos de números racionales Observe que 0, o cualquier otro entero, también es un número racional, ya que puede escribirse como una fracción con una fracción con un denominador igual a 1. Por ejemplo y. El número 1.63 puede escribirse como y por lo tanto es un cociente de 6

7 dos enteros. Como y 2 es un entero, es un número racional. Todo número racional cuando se escribe como un número decimal será un número con parte decimal que se repite o bien que termina. A continuación veremos cómo expresar un número decimal como fracción: Transformación de una fracción en una expresión decimal: Se divide numerador por denominador. Si el resto es 0, la expresión será decimal exacta (por ejemplo 2 = 5 0, 4 ), caso contrario, la expresión será periódica, en la cual se repiten indefinidamente alguna o algunas cifras decimales llamadas periodo (por ejemplo 1 = 0,333..., se expresa 0, 3ˆ ). 3 Existen dos tipos de expresiones decimales periódicas: Expresión decimal periódica pura: el período aparece inmediatamente después de la coma. Ejemplo: 2, = 2, 3 Expresión decimal periódica mixta: el período aparece luego de una parte no periódica que también está detrás de la coma. Ej: 1, = 1,346 Transformación de una expresión decimal en una fracción A continuación se presentan algunos ejemplos del procedimiento que se realiza para determinar la fracción correspondiente a una expresión decimal: 1) Sea x = 0, 6 x = 0, Multiplicando por 10 10x = 6, restando x = 0, ) Sea y = 3, multiplicando por restando 9 x = 6 x = x = Para facilitar esta transformación podemos ocupar la siguiente regla: Regla Toda expresión decimal periódica pura se puede transformar en una fracción tal que: El numerador se obtiene restando al número sin la coma la parte entera. El denominador se obtiene colocando tantos 9 como cifras periódicas tenga. Ejemplo: 7

8 Regla Toda expresión decimal periódica mixta se puede transformar en una fracción tal que: El numerador se obtiene restando al número decimal sin la coma la parte entera seguida de la parte no periódica. El denominador se obtiene con tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplo: = Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, por ejemplo y son equivalentes porque todas representan el número 0,25. Para pasar de la primera a la segunda se multiplica el numerador y el denominador por 3, o por el contrario si se quiere reducir la tercera fracción a la primera se divide numerador y denominador por 5. Aunque es un número racional, las raíces cuadradas de la mayoría de los enteros no lo son. La mayoría de las raíces cuadradas tendrán decimales que no terminan ni se repiten cuando se expresan como números decimales y son números irracionales. Algunos de los números irracionales son. Otro número irracional es. Cuando damos un valor decimal para un número irracional, sólo estamos proporcionando una aproximación del valor del número irracional. El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales y los números irracionales. Por consiguiente, cualquier número real debe ser un número racional o un número irracional. Con frecuencia se utiliza el símbolo para representar al conjunto de los números reales. Representación Gráfica de : Los números reales se pueden representar sobre una recta, llamada recta real, de modo que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real. En el siguiente gráfico vemos los conjuntos que están incluidos dentro de los reales. 8

9 {} Z N 0 Enteros Z U RacionalesQ Fracciones U Reales R Irracionales I Actividad N 3 a) Considere los siguientes conjuntos i) ii) Para cada uno de ellos liste los elementos que son: 1) Números enteros no negativos 2) Números naturales 3) Números racionales 4) Números enteros 5) Números irracionales 6) Números reales b) Determine y, para cada conjunto y. vi ii. vii iii viii iv ix v x 9

10 Intervalos en R Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, a los cuales llamaremos intervalos. Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biunívoca, entre los puntos de una recta (recta numérica), y el Conjunto de los Números Reales. Así, para cada número real corresponde uno y sólo un, punto de la recta numérica, e inversamente cada punto de la recta numérica representa uno, y sólo un número real. Definiciones: Sean a y b números reales tales que a es menor que b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto cuyos elementos son los números reales x que cumplen la condición de que: y Notación: i.) El intervalo abierto de extremos a y b lo denotaremos por ii.) Si y escribimos, por ejemplo, la expresión, significa que y. De esta manera se tiene que: El intervalo abierto de extremos a y b se puede representar gráficamente de la siguiente manera: Sean a y b un par números reales tales que. Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto cuyos elementos son los números reales x que cumplen la siguiente condición: y Notación: i) El intervalo cerrado de extremos a y b lo denotaremos por ii) Si y escribimos, por ejemplo, la expresión -7, significa que y. De esta manera se tiene que: El intervalo cerrado de extremos a y b se lo puede representar graficamente de la siguiente manera: 10

11 Observación: Notar que en el intervalo abierto de extremos a y b no se incluyen extremos, mientras que en el intervalo cerrado se incluyen los extremos. Sean a y b un par de números reales tales que. Se llama intervalo semi-abierto de extremos a y b, "abierto" en a y "cerrado" en b, al conjunto cuyos elementos son los números reales x que cumplen la siguiente condición: y Este intervalo lo denotaremos: Notación: Si y escribimos De esta manera se tiene que: Gráficamente el intervalo semi-abierto, de extremos a y b, "abierto" en a y "cerrado" en b, lo representamos de la manera siguiente: En forma similar se define el intervalo "semi-abierto" de extremos a y b, "cerrado" en a y "abierto" en b, y se denota de la manera siguiente: Gráficamente este intervalo se representa de la siguiente manera: Sea a un número real. El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que lo denotaremos por y lo representamos gráficamente de la siguiente manera: El símbolo se lee "más infinito" así: En forma similar: i) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que, lo denotaremos por y lo representaremos gráficamente de la siguiente manera: 11

12 Así: ii) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que, lo denotaremos por y lo representaremos gráficamente de la siguiente manera: Así: El símbolo se lee "menos infinito" iii) El conjunto cuyos elementos son los números reales x tales que y lo representaremos gráficamente de la siguiente manera:, lo denotaremos por Así: Actividad N 4 a) Representa cada conjunto en una recta numérica. i. vi. ii. vii. iii. viii. iv. ix. v. x. b) Expresa por comprensión los siguientes conjuntos de números que esté indicado en la recta numérica. 12