Física. Choque de un meteorito sobre la tierra

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1 Física Choque de un meteorito sobre la tierra Hace 65 millones de años la Tierra cambió de forma repentina, muchas especies desaparecieron, plantas, animales terrestres y marinos y sobre todo, los grandes dinosaurios. Sin embargo, los pequeños mamíferos sobrevivieron. El posible causante de tal desastre sería el choque de un gran meteorito en la península del Yucatán (Méjico) cuyas características se han estimado en: diámetro de 10 a 14 km, densidad de kg/m 3 velocidad de km/s La Tierra describe una órbita casi circular de excentricidad ε= Los cálculos demuestran que un impacto de esta magnitud no es suficiente para alterar la excentricidad de la órbita de la Tierra. En esta página, se describe una hipotética situación de choque entre un meteorito y la Tierra. Choque de un meteorito con la Tierra inmóvil Primero, vamos a resolver un problema sencillo que se plantea habitualmente en un curso de Física General: Supongamos la Tierra de masa M y radio R inmóvil en el espacio, un meteorito de masa m<<m se mueve en la dirección radial hacia el centro de la Tierra con velocidad v 0 cuando está a una distancia r 0 >R. Determinar La velocidad v del meteorito justamente antes del impacto. La velocidad V del conjunto después del choque inelástico entre la Tierra y el meteorito. Para resolver el problema supondremos que la masa m del meteorito es pequeña comparada con la masa M de la Tierra, es decir, la fuerza de atracción del meteorito sobre la Tierra no causa un movimiento apreciable de ésta. La fuerza de atracción es conservativa, por lo que la energía total del meteorito permanece constante.

2 Los datos son v 0 y r 0 y la incógnita es la velocidad v del meteorito justamente antes del choque con la Tierra. La Tierra y el meteorito forman un sistema aislado, aplicando el principio de conservación del momento lineal, m v=(m+m)v obtenemos la velocidad del conjunto Tierra-meteorito después del choque, y la parte de la energía cinética del meteorito que se ha trasformado en energía interna del conjunto. Ejemplo Un meteorito de m= kg de masa se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su velocidad a una distancia de r 0 = m del centro de la Tierra es v 0 =30 km/s. Calcular: Datos: La velocidad con la que llega a la superficie de la Tierra (se supone que la Tierra permanece inmóvil antes del choque) La velocidad del conjunto Tierra-meteorito después del choque La energía cinética del meteorito transformada en energía interna del sistema. Masa de la Tierra, M= kg Radio de la Tierra, R= m Constante, G= Nm 2 /kg 2 Resultados: La velocidad con que llega el meteorito a la superficie de la Tierra, v= m/s, y su energía cinética es E k = J Velocidad del conjunto después del choque, V= m/s Energía cinética transformada en energía interna es Q= J. Prácticamente, toda la energía cinética del meteorito se transforma en energía interna, el centro de masas de la Tierra apenas se ve afectado por el choque, su velocidad no cambia apreciablemente. Choque de un meteorito con la Tierra en órbita circular alrededor del Sol Orbita circular de la Tierra Supondremos que la Tierra describe un órbita circular de radio R= m alrededor del Sol. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, obtenemos la velocidad constante V t de la Tierra en su movimiento de

3 traslación alrededor del Sol. Los datos que se precisan son: El radio de la órbita circular de la Tierra, R= m. La masa del Sol M s = kg El resultado es V t = m/s El periodo de la Tierra o tiempo que tarda en dar una vuelta completa es Choque de un meteorito con la Tierra. Establecemos un sistema inercial de referencia con origen en el Sol, la Tierra justamente antes del choque está situada en el eje X a una distancia R del Sol, y se mueve a lo largo del eje Y con velocidad V t. El meteorito se mueve con velocidad V m relativa al Sol haciendo un ángulo α con el eje X, tal como se indica en la figura. Aplicando el principio de conservación del momento lineal mv m +MV t =(m+m)v o bien, mv m cosα=(m+m)v x mv m senα+mv t =(m+m)v y donde m es la masa del meteorito, M la masa de la Tierra, V t la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol, y v la velocidad del conjunto formado por la Tierra y el meteorito después del choque. Calculamos el módulo de la velocidad v y su dirección φ después del choque.

4 donde γ=m/m cociente entre la masas del meteorito y de la Tierra Trayectoria del sistema formado por la Tierra y el meteorito Tenemos que calcular la trayectoria seguida por una partícula de masa (m+m) bajo la fuerza de atracción del Sol, sabiendo que en el instante inicial está alejada una distancia R y lleva una velocidad v que hace un ángulo φ con el eje horizontal tal como se indica en la figura El momento angular y la energía de la combinación meteorito-tierra después del choque es, respectivamente La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es La ecuación de la trayectoria es independiente de la masa de la partícula Si la energía de la partícula es negativa E<0 su trayectoria es una elipse, y su excentricidad ε<1. Conocido d y ε, se calcula el semieje mayor a, que es la media aritmética de los radios mínimo (θ=0) y máximo (θ=π) de la elipse.

5 El periodo viene dado por la fórmula Como vemos en la figura, la trayectoria que sigue la partícula es una elipse, pero que está girada un ángulo β. Este ángulo se calcula poniendo r=r en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ Las partículas cuyas direcciones iniciales formen con el eje X ángulos φ y 180-φ tienen la misma energía y el mismo momento angular, la trayectoria es una elipse con los mismos valores del parámetro d, y de la excentricidad ε, pero su orientación es distinta β, y 2π-β. Las partículas cuyas direcciones iniciales formen con el eje X ángulos φ y π+φ describen la misma trayectoria pero en sentido opuestos. Los meteoritos cuyas velocidades forman ángulos de 0º o de 180º con el eje X, al chocar con la Tierra producen trayectorias que tienen la misma excentricidad y el mismo periodo pero que tienen una orientación distinta, ya que las velocidades finales del conjunto formado por la Tierra y el meteorito después del choque forman ángulos suplementarios. Los cambios más dramáticos se producen en un choque frontal entre el meteorito y la Tierra, es decir, cuando la dirección de la velocidad del meteorito forma 270º con el eje X. Como ejercicio numérico vamos a estudiar, dos ejemplos, un choque frontal y un

6 choque oblicuo. Choque frontal Sea γ=m/m=0.1 el cociente entre la masa del meteorito y la masa de la Tierra Velocidad del meteorito V m =30000 m/s El ángulo que forma la dirección de la velocidad del meteorito con el eje X, α=270º Planteamos las ecuaciones del choque inelástico a lo largo del eje Y -γv m +V t =(γ+1)v Conocida la velocidad V t de la Tierra antes del choque, despejamos la velocidad final del conjunto después del choque v= m/s a lo largo del eje Y, φ=90º. Calculamos el momento angular y la energía en función de la masa m+m, ya que la ecuación de la órbita es independiente de la masa de la partícula. Se precisa el dato de la masa del Sol, M s = kg, y del radio de la órbita de la Tierra R= m E= (m+m) J L= (m+m) kgm 2 /s Con estos datos calculamos la excentricidad de la órbita ε y el parámetro d d= m ε=0.332 El semieje mayor de la elipse es a= m y el periodo P= días Choque oblicuo Cambiamos el ángulo a α=60º y planteamos las ecuaciones de conservación del momento lineal a lo largo del eje X y a lo largo del eje Y. γv m cosα=(γ+1)v x γv m senα+v t =(γ+1)v y Conocida la velocidad V t de la Tierra antes del choque, despejamos la velocidad final del conjunto después del choque v= m/s y su dirección, φ=87.3º. Calculamos el momento angular y la energía E= (m+m) J L= (m+m) kgm 2 /s Con estos datos calculamos la excentricidad de la órbita ε y el parámetro d d= m

7 ε=0.051 La trayectoria es una elipse cuyo eje mayor está girada un ángulo β=117º El semieje mayor de la elipse es a= m y el periodo P= días Variación de la excentricidad con el ángulo α En la figura, se muestra el comportamiento complejo de la excentricidad ε en función del ángulo α que forma la dirección de la velocidad V m del meteorito con el eje X para dos velocidades distintas del meteorito 30 km/s (en rojo) y 90 km/s (en azul). La excentricidad tiene un valor máximo para α=270º que es el choque frontal. Se observa un valor mínimo (curva de color rojo) para α=90º que es un choque en el que la Tierra y el meteorito tienen la misma dirección y sentido. Para velocidades grandes del meteorito, (curva azul) hay mínimos para ciertos ángulos cuyo valor se obtiene en el artículo citado en las referencias.

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