Funciones. Objetivos Definición. Repasar las funciones elementales. Recordar los conceptos de continuidad y límite.

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1 Capítulo 6 Funciones Objetivos Repasar las funciones elementales. Recordar los conceptos de continuidad y límite. Revisar el concepto de derivada y su aplicación. Representar funciones Definición Una función real f es una aplicación entre dos subconjuntos de la recta real. Los valores reales para los cuales f está definida constituyen el dominio de definición de f. Por tanto, f asigna a cada valor x un único valor f(x), si x está en su dominio de definición. El conjunto de valores f(x) se denomina recorrido de la función f. Podemos representar una función f por medio de los puntos (x, f(x)) del plano. A esta representación se la denomina gráfica de la función f. Así la gráfica de una función es una curva en el plano. El eje horizontal se denomina eje de abscisas y el eje vertical, eje de ordenadas. Figura 6.1: Gráfica de una función Si cambiamos f(x) por f(x), la gráfica es la misma, sólo que se intercambia arriba y abajo. 1

2 2 CAPÍTULO 6. FUNCIONES Si cambiamos x por x, la gráfica es la misma, pero se intercambia izquierda y derecha. Los números que verifican f(x) = 0 se denominan ceros de la función f. Ejemplo f(x) = ± x no es una función, ya que asigna dos valores, las dos raíces, a x. f(x) = x 2 es una función definida en toda la recta real R = (, ), con recorrido igual a [0, ). Figura 6.2: Gráfica de la función cuadrática f(x) = x es una función definida en [0, ) con recorrido [0, ). Figura 6.3: Gráfica de la función raíz Decimos que una función es par si f(x) = f( x), es decir, si su gráfica es simétrica en el intercambio de izquierda y derecha. Decimos que una función es impar si f(x) = f( x). La mayoría de las funciones no tienen paridad definida. Ejemplo f(x) = x 2 es una función par y g(x) = x 3 es una función impar. Lo mismo se puede decir del resto de potencias pares e impares. Una función es creciente en a si f(x) f(a) para valores próximos a la izquierda de a y f(x) f(a) para valores próximos a la derecha de a. Una función es decreciente en a si f(x) f(a) para valores próximos a la izquierda de a y f(x) f(a) para valores próximos a la derecha de a. Una función tiene un máximo relativo en a si f(x) f(a) para valores próximos a a. Una función tiene un mínimo relativo en a si f(x) f(a) para valores próximos a a.

3 6.2. FUNCIONES ELEMENTALES 3 Figura 6.4: Gráfica de la función cúbica Ejemplo f(x) = x 2 es una función decreciente para valores negativos y creciente para los positivos. Tiene un mínimo en x = 0. En cambio, g(x) = x 3 es una función creciente para todos los valores y no tiene máximos ni mínimos. Una función g es inversa de otra función f si para y = g(x), x = f(y). La gráfica de la función inversa g se obtiene intercambiando x e y en la gráfica de f. Es decir, se intercambia recorrido con dominio de definición y los cortes con los ejes. Ejemplo Para f(x) = x 2 una función inversa es x, pero también x es otra función inversa. Las funciones se pueden sumar, multiplicar, restar, dividir... sin más que operar con sus valores en cada punto. Una operación importante es la composición de funciones. Si tenemos dos funciones, f, g, su composición es h(x) = g ( f(x) ), en los valores para los que f(x) está en el dominio de g. Ejemplo Componer f(x) = x 2 con g(x) = e x. Vemos que la composición no es conmutativa. El orden influye. g ( f(x) ) = e f(x) = e x2, f ( g(x) ) = ( g(x) ) 2 = e 2x Funciones elementales Polinomios Las funciones elementales más sencillas son los polinomios, para los que f(x) = a n x n + + a 0. Sabemos que tienen a lo sumo n ceros. La gráfica de la función pasa por (0, a 0 ) y esos son sus cortes con los ejes coordenados. Las potencias de mayor grado crecen más deprisa. Así que para grandes valores de x es el término a n x n el que determina el comportamiento de la función. Supongamos que a n es positivo. Si n es par, f es creciente para grandes valores de x y decreciente para grandes valores negativos de x. En cambio, si n es impar, f es creciente para grandes valores de x, sean positivos o negativos.

4 4 CAPÍTULO 6. FUNCIONES Figura 6.5: Gráfica de un polinomio de grado par! Figura 6.6: Gráfica de un polinomio de grado impar Exponencial Otra función elemental importante es la función exponencial f(x) = a x, siendo a positivo. Hasta el momento sabemos calcular la exponencial cuando el exponente es fraccionario, pero dado que en la proximidad de cualquier real existen infinitos números fraccionarios, # se puede extender la definición de la exponencial al resto de números reales. Normalmente, por exponencial propiamente dicha se entiende aquella que tiene por base $% el número e, f(x) = e x. " Figura 6.7: Gráfica de la función exponencial La exponencial es una función creciente y positiva. No tiene ceros, aunque tiende a cero para valores grandes negativos de x y crece indefinidamente, más rápido que cualquier polinomio, para valores grandes de x. Su único corte con los ejes es (0, 1). Su recorrido es, por tanto, (0, ).

5 6.2. FUNCIONES ELEMENTALES Logaritmo '()& & La función inversa de la exponencial es el logaritmo neperiano, y = ln x si y sólo si x = e y. Figura 6.8: Gráfica de la función logaritmo De las propiedades de la exponencial se deduce que el logaritmo sólo está definido para (0, ) y su recorrido es la recta real completa. Es una función creciente y al aproximarnos a cero su valor decrece indefinidamente. Su único corte con los ejes es (1, 0), ya que ln 1 = 0. Otro valor importante es lne = 1. Propiedades que se deducen también de las de la exponencial son ln(xy) = lnx + lny, ln(x/y) = lnx lny. ln(x y ) = y lnx, lne x = x. Para valores grandes de x el logaritmo crece más lento que cualquier polinomio. También se pueden definir logaritmos en otras bases. La inversa de las funciones f(x) = a x es g(x) = log a x. Aparte del logaritmo neperiano, la base más utilizada es la decimal, a = 10. Si no se escribe la base, se sobreentiende que es la decimal. Las propiedades son las mismas que las del logaritmo neperiano Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de dos polinomios f(x) = p(x)/q(x), p(x) = a n x n + +a 0, q(x) = b m x m + +b 0. No están definidas en los ceros del denominador q(x), llamados polos, en cuya proximidad la función toma valores arbitrariamente grandes. Los ceros de la función son los ceros del numerador p(x). Su comportamiento para valores grandes de x depende de los grados de numerador, n, y denominador, m: Si n > m, la función se comporta para valores grandes de x como un polinomio de grado n m, a n x n m /b m. Si n = m, la función se comporta para valores grandes de x como una función constante, a n /b n. Si n < m, la función se comporta para valores grandes de x como la potencia inversa a n x (m n) /b m y se aproxima a cero.

6 6.*+,-, CAPÍTULO 6. FUNCIONES 012/3 Figura 6.9: Gráfica de una función racional con n > m / Figura 6.10: Gráfica de una función racional con n = m 7 Un caso particular es la función recíproca, 456 f(x) = 1/x, que no tiene ceros, tiene un polo en x = 0, es decreciente, y se aproxima a cero para valores grandes de x. 6 Figura 6.11: Gráfica de la función f(x) = 1/x Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas (seno, coseno, tangente hiperbólica) son combinaciones de funciones exponenciales, muy ligadas a las funciones trigonométricas, sinhx = ex e x, coshx = ex + e x 2 2, tanhx = sinhx coshx = ex e x e x + e x. También podemos definir, en analogía con las funciones trigonométricas, secante, cosecante y cotangente hiperbólica, cosechx = 1 sinhx, sechx = 1 coshx, cothx = cosh x sinhx = 1 tanhx.

7 6.2. FUNCIONES ELEMENTALES 7 y funciones inversas, arcoseno hiperbólico, arcocoseno hiperbólico... Presentan propiedades parecidas a sus homónimas trigonométricas, cosh 2 x sinh 2 x = 1, coshx sinhx, 1 tanh 2 x = sech 2 x, coth 2 x 1 = cosech 2 x, cosh(x + y) = coshxcosh y + sinhxsinhy, sinh(x + y) = sinhxcoshy + sinhy coshx, cosh2x = cosh 2 x + sinh 2 x =, sinh 2x = 2 sinhxcoshx. La función seno hiperbólico es una función 89:;< continua, creciente, impar, con un único cero y corte con los ejes en (0, 0). Su dominio y su recorrido comprenden la recta real entera. < Figura 6.12: Gráfica de la función seno hiperbólico C>?@AB B La función coseno hiperbólico es una función continua, positiva, par, decreciente para valores negativos y creciente para valores negativos, con un único cero y corte con los ejes en (0, 1), que se corresponde con el mínimo de la función. Su dominio es la recta real y su recorrido, el intervalo [1, ). Figura 6.13: Gráfica de la función coseno hiperbólico La función tangente hiperbólica es una función continua, creciente, impar, con un único cero y corte con los ejes en (0, 0). Su dominio es la recta real y su recorrido es el intervalo ( 1, 1) Otras funciones Otra función con nombre propio es la función valor absoluto, que toma el valor f(x) = x para x positivos y f(x) = x, para valores negativos.

8 8 IDEFGH H CAPÍTULO 6. FUNCIONES JLKL Figura 6.14: Gráfica de la función tangente hiperbólica K Figura 6.15: Gráfica de la función valor absoluto Es una función continua, positiva, par, decreciente para valores negativos y creciente para valores negativos, con un único cero y corte con los ejes en (0, 0), que se corresponde con el mínimo de la función. Su dominio es la recta real y su recorrido, el intervalo [0, ) Límites y continuidad El concepto de límite tiene una definición matemática compleja, pero en estas notas sólo se pretende dar una imagen intuitiva, aunque exacta, del mismo. Decimos que una función f tiende a l cuando x tiende a a si para valores l, todo lo próximos que queramos a l, existen valores ã próximos a a que tomen dichos valores, f(ã) = l. Decimos entonces que l es el límite de f cuando x tiende a a y lo denotamos lím f(x) = l. x a En el caso en el que al acercarnos a a la función toma valores arbitrariamente grandes, decimos que el límite es infinito (positivo o negativo, según la función crezca o decrezca). Si sólo consideramos valores menores que a, es decir, a la izquierda de a, lo que estamos calculando es el límite por la izquierda de f en a, lím f(x) = l. x a Por contra, si sólo consideramos valores mayores que a, es decir, a la derecha de a, calculamos el límite por la derecha de f en a, lím f(x) = l. A veces, x a + no existe límite, pero existen estos límites laterales. Si los límites laterales son distintos, no hay límite. Ejemplo lím lnx =. En cambio, no existe lím 1/x, ya que al aproximarnos por la izquierda tiende a y por la derecha, a. Pero sí x 0 x 0 existe,

9 6.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 9 lím x 0 1/x2 =, para la recíproca cuadrática. Este comportamiento se extiende al resto de potencias de la función recíproca. Del mismo modo, podemos definir el límite cuando x tiende a infinito para describir el comportamiento de la función para valores grandes de x. Ejemplo lím x ex = 0. lím x ex =. Ejemplo No existe lím x cosx. Puesto que el coseno es una función oscilante y no tiende a ningún valor concreto, para grandes valores de x, ya que es periódica. Los límites presentan propiedades que facilitan su cálculo. Supongamos que existen los límites lím f(x) = l, lím g(x) = k x a x a lím (f(x) + g(x)) = l + k, lím x a lím (f(x) g(x)) = l k, lím x a lím x a f(x)g(x) = l k, (f(x) g(x)) = l k, x a f(x) x a g(x) = l k, lím λf(x) = λ l, x a si λ es un número. Para las funciones elementales que hemos estudiado (polinomios, exponencial, seno, coseno... ), el límite coincide con el valor de la función en ese punto. Es decir, lím f(x) = f(a). En ese caso, decimos que la función f es continua x a en a y la gráfica tiene la forma de una curva. La suma, resta, multiplicación y composición de funciones continuas es una función continua. La división de funciones continuas es una función continua, salvo en los ceros del denominador. Ejemplo Las funciones polinómicas, exponenciales, seno y coseno son continuas. La función logaritmo es continua en (0, ), pero no en cero. Las funciones racionales son continuas salvo en sus polos. Pero en otros casos tal afirmación no es cierta, bien porque no exista el límite o no sea finito o bien porque no esté definida f(a). Decimos entonces que la función es discontinua en a. Ejemplo La función signox, signox = 1 para x positivos y signox = 1 para x negativos. La función signo es continua, ya que es constante, salvo en x = 0. En x = 0 es discontinua, ya que no existe el límite lím x 0 signox, ya que si nos acercamos a cero por la izquierda llegamos al valor 1 y si nos acercamos por la derecha, al valor unidad. Lo mismo sucede para las funciones parte entera y parte decimal. Simplificando un poco, una función no es continua en un punto, bien porque no esté definida en dicho punto, bien porque presente un salto, finito o infinito, o por oscular bruscamente en la proximidad de dicho punto.

10 10 NOPQRSTMU CAPÍTULO 6. FUNCIONES M Figura 6.16: Gráfica de la función signo Ejemplo La función f(x) = sin(1/x) no es continua en x = 0. Puesto que, aunque el seno esté acotado entre menos uno y uno, el seno oscila rápidamente en las proximidades de x = 0 y no tiende a ningún valor concreto. Por tanto, para calcular el límite de una función en un valor finito a, en principio, simplemente hay que sustituir el valor de a en la expresión, siempre que se trate de funciones bien definidas. Ejemplo lím x 3 e 3x /(x + 1) = e 3 /2. lím x 2 ln(2 + x) =. No existe x 1 x 0 lím x 0 x 1 ln(2 + x). Lo mismo sucede para límites en el infinito, ya que sólo hay que tener en cuenta el comportamiento de la función para grandes valores. Ejemplo lím x x3 e 3x =. No obstante, en todos estos límites pueden aparecer combinaciones de ceros e infinitos que no podamos resolver. Son las llamadas indeterminaciones,, 0/0, /, 0, 0 0, 0, 1. En el fondo, todas se reducen a las dos primeras, tomando inversas o logaritmos. Ejemplo Supongamos que los límites de f(x) y g(x) son infinitos: f(x) lím x a g(x) = lím 1/g(x) x a 1/f(x) = 0 0. Ejemplo Supongamos que el límite de f(x) es cero y el de g(x) es infinito: f(x) lím f(x)g(x) = lím x a x a 1/g(x) = 0 0. Ejemplo Supongamos que los límites de f(x) y g(x) son nulos: ln lím x a f(x) g(x) = lím x a g(x)lnf(x) = 0. Nótese que otras expresiones, aparentemente indeterminadas, no lo son.

11 6.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 11 Ejemplo = 0, = 0. Tomando logaritmos, obtenemos = y al volver a exponenciar obtenemos e = 0. Normalmente estas indeterminaciones se pueden resolver y el límite se puede calcular. Basta tener en cuenta unas pocas reglas: En las indeterminaciones, las exponenciales siempre dominan sobre cualquier polinomio y estos, sobre los logaritmos y sus potencias. Un término oscilante y acotado (seno, coseno,...) por un término que tiende a cero produce un límite nulo. Dentro de las potencias, para grandes valores de la variable domina la potencia mayor. En cambio, para valores próximos a cero, domina la potencia menor. Ejemplo lím x 0 xlnx = 0, lím x ex /x =, lím x (x2 x 3 ) =. Ejemplo lím x 0 xsin(1/x) = 0. Finalmente, un procedimiento para resolver indeterminaciones de la forma 0/0 y / es la regla de L Hôpital: f(x) lím x a g(x) = lím f (x) x a g (x). Ejemplo Calcular lím x 0 sin(x)/x. Este límite es una indeterminación de la forma 0/0. Aplicamos la regla de L Hôpital, sin x lím x 0 x = lím cosx = 1. x 0 1 Finalmente, un límite importante es el que conduce a la definición del número e, ( e := lím x, x x) que es útil también para calcular otros límites. Ejemplo Calcular lím x (1 + 2/x) x. Denominando y = x/2, lím (1 + x 2/x) x = ( ) 2 lím (1 + 1/y)y = e 2. y Una aplicación importante del cálculo de límites es la obtención de asíntotas. Las asíntotas son rectas que aproximan el comportamiento de una función en una región, de modo que la gráfica tiende a acercarse a dicha recta cada vez más. Se detectan porque una de las coordenadas, o las dos, tienden a infinito a lo largo de la gráfica. Por ejemplo, en los polos tenemos asíntotas verticales, ya que la función, al crecer indefinidamente, se aproxima a una recta vertical.

12 12 CAPÍTULO 6. FUNCIONES Ejemplo La función f(x) = 1/x presenta una asíntota vertical x = 0. Cuando el límite lím x f(x) es un valor finito k, decimos que la gráfica presenta una asíntota horizontal y = k, ya que se aproxima para valores grandes de x a dicha recta. Lo mismo para el límite en menos infinito. Ejemplo Asíntotas de la función f(x) = (x 2)/(2x + 1). Claramente, presenta una asíntota vertical x = 1/2. Pero, además, como lím f(x) = 1/2, lím x f(x) = 1/2, XYVZ Wx W[ \]^ V[_\]^ V también presenta dos asíntotas horizontales, una para valores positivos y otra para valores negativos, en y = 1/2. Figura 6.17: Gráfica de la función f(x) = (x 2)/(2x + 1) Ejemplo Asíntotas de la función f(x) = arctan x. No tiene polos. Pero, como lím f(x) = π/2, lím x f(x) = π/2, x presenta una asíntota horizontal para valores positivos en y = π/2 y otra para valores negativos en y = π/2. Finalmente, la gráfica presentará una asíntota oblicua de ecuación y = mx + b si existen los límites, y son finitos, f(x) m = lím x x, b = lím ( ) f(x) mx. x Y lo mismo, para menos infinito, que puede proporcionar otra asíntota. En resumen, una función puede tener varias asíntotas verticales, tantas como polos, pero sólo puede tener una asíntota horizontal u oblicua para valores positivos y otra para valores negativos. Ejemplo Asíntotas de la función f(x) = (x 2 + 1)/(x 1).

13 abc`d 6.4. DERIVADAS 13 aèfg èg ` Figura 6.18: Gráfica de la función f(x) = (x 2 + 1)/(x 1) Esta función presenta una asíntota vertical x = 1. No presenta asíntotas horizontales, lím f(x) =, lím f(x) =. x x En cambio, presenta una asíntota oblicua para valores positivos, f(x) m = lím x x = 1, b = lím ( ) x + 1 f(x) mx = lím x x x 1 = 1, en y = x + 1 y otra para valores negativos f(x) m = lím x x = 1, b = lím ( ) x + 1 f(x) mx = lím x x x 1 = 1, en y = x Derivadas La derivada de una función f en un punto x se define como f (x) = df(x) dx = lím f(x + t) f(x) f(x) = lím t 0 t x 0 x. Como veremos, la derivada es una medida del crecimiento de la función. Para que exista derivada, es preciso que la función f sea continua en x. Aunque no toda función continua tiene derivada. La interpretación geométrica de la derivada es que f (x) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto x. Es decir, la tangente del ángulo que forma la tangente a la gráfica con el eje horizontal. A continuación listamos las expresiones de las derivadas de las funciones más comunes: f(x) = k, f (x) = 0, f(x) = x a, f (x) = ax a 1, a R, f(x) = lnx, f (x) = 1 x, f(x) = e x, f (x) = e x,

14 14 ijkhl CAPÍTULO h6. FUNCIONES α Figura 6.19: f (x) = tanα f(x) = sin x, f (x) = cosx, f(x) = cosx, f (x) = sinx, f(x) = tanx, f (x) = 1 + tan 2 x, f(x) = arcsinx, f (x) = 1 1 x 2, f(x) = arc cosx, f 1 (x) =, 1 x 2 f(x) = arctanx, f (x) = x 2, f(x) = sinhx, f (x) = coshx, f(x) = coshx, f (x) = sinhx, f(x) = tanhx, f (x) = 1 tanh 2 x, f(x) = arcsinhx, f (x) = f(x) = arccoshx, f (x) = 1 x2 + 1, 1 x2 1, f(x) = arctanhx, f (x) = 1 1 x 2. Ejemplo f(x) = x = x 1/2, f (x) = x 1/2 /2 = 1/2 x. La derivada es lineal, ( f(x) + g(x) ) = f (x) + g (x), ( λf(x) ) = λf (x), para λ constante. También podemos obtener las expresiones de la derivada de un producto, ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x), y de la derivada de un cociente, ( f(x)/g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) ( g(x) ) 2.

15 6.4. DERIVADAS 15 Ejemplo Calcular la derivada de f(x) = x ln x. f(x) = lnx + x x = lnx + 1. Ejemplo Calcular la derivada de f(x) = tan x. Como f(x) = sin x/ cosx, f (x) = cosxcos x sinx( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x = sec2 x = 1 + tan 2 x. Finalmente, la derivada de una función compuesta h(x) = f ( g(x) ) se rige por la llamada regla de la cadena, h (x) = f ( g(x) ) g (x). Ejemplo Calcular la derivada de h(x) = e x2. Tomamos f(u) = e u, f (u) = e u, u = g(x) = x 2, g (x) = 2x, h (x) = f (u)g (x) = 2xe x2. Una aplicación de la regla de la cadena es la derivada de una función a partir de la derivada de su función inversa, u = g(x), f(u) = f ( g(x) ) = x, g (x) = 1/f (u). Ejemplo Calcular la derivada de g(x) = ln x. La inversa del logaritmo, u = lnx, es la exponencial, f(u) = e u, f (u) = e u. Por tanto, g (x) = 1 f (u) = 1 e u = 1 x. Ejemplo Calcular la derivada de g(x) = arcsin x. La inversa del arcoseno, u = arcsinx, es el seno, f(u) = sin u, f (u) = cosu. Por tanto, g (x) = 1 f (u) = 1 cosu = 1 1 sin 2 u = 1 1 x 2, puesto que el seno es positivo en el recorrido del arcoseno, [0, π]. Las derivadas se pueden acumular. Podemos calcular la derivada de la derivada, que denominaremos derivada segunda, f (x). Y así sucesivamente. f (x) := d2 f(x) dx 2 := (f (x)) = d dx ( ) df(x). dx Ejemplo Calcular la derivada segunda de f(x) = ln x.

16 16 CAPÍTULO 6. FUNCIONES f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2. Una aplicación importante de la derivada es la relativa al crecimiento de una función derivable: Si f (x) > 0, la función es creciente en la proximidad de x. Si f (x) < 0, la función es decreciente en la proximidad de x. Si f (x) = 0, pueden ocurrir varias cosas: Si f (x) > 0, f presenta un mínimo relativo en dicho punto. Si f (x) < 0, f presenta un máximo relativo en dicho punto. Si f (x) = 0, a su vez, pueden darse varios casos: Si f (x) = 0 y la primera derivada que no se anula es de orden par, tenemos un máximo o un mínimo, si esa derivada no nula es negativa o positiva, respectivamente. Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, no tendremos ni máximo ni mínimo, sino un punto de inflexión con tangente horizontal. n opmq La segunda derivada tiene otras interpretaciones, sirve para controlar la concavidad de la gráfica de funciones derivables. m Figura 6.20: Gráfica de una función cóncava La gráfica de una función es cóncava en un punto x si la gráfica de la función queda por encima de la tangente a la gráfica en dicho punto. Si la tangente queda por encima, decimos que la gráfica de la función es convexa. En los puntos en los que cambia la concavidad, es decir, en los puntos en los que la tangente corta a la gráfica, tenemos un punto de inflexión. Si la función es derivable dos veces, tendremos que la gráfica es cóncava en x si f (x) > 0. Será convexa si f (x) < 0 y presentará un punto de inflexión si f (x) = 0. Ejemplo La función f(x) = x 2. Como f (x) = 2x, la función cuadrática es creciente para x positiva y decreciente, para x negativa. La derivada se anula en x = 0. A su vez, f (x) = 2. Por tanto, la gráfica es cóncava y presenta un mínimo en x = 0.

17 6.5. vrstu REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES t 17 Figura 6.21: Gráfica de una función con punto de inflexión Ejemplo La función f(x) = x 3. Como f (x) = 3x 2, la función cuadrática es creciente para x distinta de cero. La derivada se anula en x = 0. A su vez, f (x) = 6x. Por tanto, la gráfica es cóncava para x positiva y convexa, para x negativa. Finalmente, como f (x) = 6, en x = 0 presenta un punto de inflexión con tangente horizontal Representación de funciones Representar una función es obtener su gráfica. La gráfica de una función f se puede construir dándole valores a su variable, pero también podemos trazarla cualitativamente a partir de una serie de informaciones que suelen ser sencillas de obtener: Dominio de definición/recorrido: El dominio es fácil de obtener, ya que contiene los valores de x para los que la expresión de f(x) tiene sentido. Cortes con los ejes: El punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas es fácil de obtener, (0, f(0)). En cambio, obtener los puntos, que pueden ser varios o ninguno, donde la gráfica corta al eje de abscisas, (x i, 0), supone resolver la ecuación f(x) = 0. Es decir, calcular los ceros de f. Paridad: Si la función es par o impar, la gráfica presentará simetría. Periodicidad. Una función tiene periodo T si f(x + T) = f(x), para todo valor de x. Los únicos ejemplos que hemos estudiado son las funciones trigonométricas. Positividad. Es útil conocer regiones donde la función es positiva o negativa. Crecimiento/extremos: A veces se pueden estudiar directamente, o con la ayuda de la derivada primera. Concavidad/inflexión: Se puede estudiar con la ayuda de la derivada segunda. Asíntotas: Sólo precisa estudiar los polos y los límites en el infinito.

18 18 CAPÍTULO 6. FUNCIONES Dar valores a la función: En el caso en el que las informaciones anteriores no sean concluyentes para trazar la gráfica. En realidad, no suele ser necesario acumular tanta información para trazar la gráfica de una función. Es conveniente comenzar por las propiedades que se puedan comprobar más fácilmente e ir esbozando la gráfica. Por ejemplo, la concavidad suele ser complicada de obtener, ya que la derivada segunda será, en general, una expresión larga. Ejemplo Representación gráfica de f(x) = (x 4 1)/x 2. La función está definida en toda la recta real, salvo en x = 0, donde presenta un polo y asíntota vertical. La gráfica no corta al eje de ordenadas, ya que no está definida en x = 0, pero corta al eje de abscisas en los ceros de la expresión x 4 1, es decir, en x = ±1. Por tanto, los cortes con los ejes son (1, 0), ( 1, 0). Como x 4 1 = (x 2 + 1)(x 1)(x xyzw{ + 1) y x 2 y x son factores positivos, la función es positiva para x < 1 y x > 1. La función es par, ya que f( x) = (x 4 1)/x 2 = f(x), por lo que es preciso únicamente estudiar la parte izquierda de la gráfica, ya que es simétrica. w Figura 6.22: Representación gráfica de f(x) = (x 4 1)/x 2 x No hay asíntotas horizontales ni oblicuas, ya que los respectivos límites son infinitos. Pero como lím f(x) =, sabemos que la función crece indefinidamente para grandes valores positivos de x. Y lo mismo para grandes valores negativos de x. Como la derivada primera, f (x) = 2 x4 + 1 x 3, es positiva para x positivos, es creciente en dicha parte de la gráfica. Por contra, es decreciente para x negativos. No presenta máximos ni mínimos, ya que la derivada no se anula. Finalmente, la derivada segunda, f (x) = 2 x4 3 x 4, se anula en los valores ± 4 3, luego presenta en ellos sendos puntos de inflexión. La gráfica es convexa en ( 4 3, 4 3) y cóncava fuera de dicho intervalo.