1.- Teoría de Errores

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1 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág.- Teoría de Errores La Física es una ciencia experimental basada en la medida de determinadas magnitudes. Esta medida viene expresada mediante dos parámetros: un número y una unidad. Toda medida va acompañada de cierta imprecisión, ya que nunca es posible obtener el verdadero valor de la magnitud medida. A los dos parámetros antes mencionados se debe añadir un tercero que nos dé idea de la incertidumbre que acompaña a la medida...- TIPOS DE ERRORES: SISTEMÁTICOS Y ACCIDENTALES Los errores se deben fundamentalmente a tres causas: # Al método: Si medimos la f.e.m. de una pila con un voltímetro, obtenemos un resultado aproximado por defecto, debido a la resistencia interna de la pila. # Al instrumento: Defectos de fabricación, mala calibración, etc. # Al experimentador. Por limitaciones físicas y psíquicas de este último. Un ejemplo típico lo constituye el error de paralaje. Los errores son de dos tipos: sistemáticos y accidentales. # Los SISTEMÁTICOS suelen tener siempre el mismo sentido. En general se deben al instrumento o al método utilizado. Ejemplos típicos son el error de paralaje o la mala calibración del instrumento de medida. Los errores sistemáticos deben ser identificados y eliminados o, al menos, reducidos en lo posible. # Los ACCIDENTALES, o aleatorios son fruto del azar y se deben a numerosas causas imprevisibles, tanto internas como externas, que dan lugar a diferentes resultados, cuando se repite la medida de cierta cantidad en condiciones idénticas. Los errores accidentales afectan a la precisión de la medida. Al realizar un gran número de medidas se espera que las incertidumbres se distribuyan estadísticamente, de manera que exista la misma probabilidad de que sean tanto por exceso como por defecto. Esta naturaleza aleatoria de las incertidumbres accidentales permite tratarlas con métodos estadísticos, tratamiento que recibe el nombre de Teoría de Errores. CUALIDADES DEL INSTRUMENTO DE MEDIDA. # Exactitud, o aproximación al valor verdadero. Un instrumento de medida es exacto cuando sus errores sistemáticos son despreciables. # Precisión. Cuanto menor sea el error accidental que se comete más preciso será el instrumento de medida; una regla dividida en mm es más precisa que otra dividida en cm. # Sensibilidad. Un aparato es más sensible cuanto más claramente detecte pequeñas variaciones en el valor de la cantidad que se está midiendo. # Fidelidad. Un aparato es fiel cuando, al realizar varias medidas de la misma cantidad en idénticas condiciones, se obtienen resultados idénticos. La fidelidad se relaciona con el grado de reproductibilidad de las medidas que se obtienen de la misma cantidad.2.- ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO.

2 Pág 2 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES El valor de una magnitud física se obtiene siempre a través de su medida, la cual se encuentra siempre sujeta a errores de diversa índole, de manera que, al comparar la magnitud con su patrón, surgen inevitablemente imprecisiones. Se admite el siguiente postulado: Es imposible conocer el verdadero valor o valor exacto de una magnitud. Llamaremos A al valor verdadero (en general no conocido) de cierta magnitud y a al valor representativo o asignado. IMPRECISIÓN ABSOLUTA es el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor representativo (hallado experimentalmente). e(a) =*A - a* La imprecisión absoluta es imposible conocerla. Sí podemos, a través de la teoría de errores, estimar su límite superior y su probabilidad. La imprecisión es una estimación que también se encuentra afectada de incertidumbre; por tanto no tiene mucho sentido expresarla con mucha precisión; una cifra significativa o dos suelen ser suficientes para designar el error final de una medida. Lo que se suele conocer es el valor representativo a y su incertidumbre e(a); de aquí en adelante, toda cantidad medida vendrá expresada por un valor representativo (su valor medio normalmente) y su incertidumbre (existen varios métodos para su estimación). El resultado de la medida se expresará: {a ± e(a)} (u), lo que significa que A, el verdadero valor de la magnitud, se encuentra en el intervalo a - e(a) < A < a + e(a), donde a es el valor representativo y u la unidad de la medida. La incertidumbre e(a) es una cantidad del mismo tipo que la magnitud medida y debe tener la misma unidad. En general debe ser, ya que si la incertidumbre es del mismo orden que el valor determinado, la medida "carece de sentido" (no siempre es así). Ejemplo { ± 0.48} puede expresarse como {0 ± 0.5}. Ejemplo: Si al medir una longitud con una regla graduada obtenemos L, tal que 3 < L < 4 mm, entonces la longitud determinada se expresaría de la siguiente manera: L = {3.5 ± 0.5} mm ó bien L = 3.5 (0.5) cm Al dar una medida es la última cifra la que se encuentra afectada por el error. m ={34.3±0.} g indica que es la cifra de las décimas (el 3) la que va afectada de error. Ejemplos: L = ( ± 0.4) u se expresa correctamente L = (34.3 ± 0.4) u. M = (77.23 ± 0.365) u se expresa correctamente M = (77.2 ± 0.4) u. ERROR RELATIVO es el cociente entre la imprecisión absoluta y el valor verdadero., R (a) = e(a)/a En general es un número mucho menor que la unidad, no tiene dimensiones y suele expresarse en tanto por ciento, lo que le convierte en un parámetro útil para evaluar la calidad de la medida realizada., R (a) = 00Ae(a)/A % El error relativo, R no es posible conocerlo, ya que no podemos saber el valor verdadero de la medida; pero sí podemos conocer su límite superior, aumentando e(a) y disminuyendo A.

3 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág 3 Ejemplo: Sea A = % 2& = si tomamos a =.4 e(a) = , R = / , R < 0.005/.40 < 0.005/ = OTRAS DEFINICIONES: # VALOR MEDIO &x DE UN CONJUNTO DE N MEDIDAS X I DE UNA MAGNITUD. Media aritmética de los distintos valores x i. Cuando los errores considerados son accidentales, en general el valor medio será tanto más próximo al valor verdadero cuanto mayor sea el número de medidas efectuadas. # DESVIACIÓN )x DE UNA MEDIDA. Diferencia entre el valor de la medida y el valor medio de las diversas medidas de la misma magnitud, obtenidas en condiciones similares, los mismos aparatos y métodos de medida. *x = x-&x # DESVIACIÓN MEDIA DE UN CONJUNTO DE n MEDIDAS x i. Media aritmética de los valores absolutos de las respectivas desviaciones. # DESVIACIÓN NORMAL O ESTÁNDAR, F x DE UNA MEDIDA, EN UN CONJUNTO DE n MEDIDAS. Su cuadrado coincide con la varianza. # DESVIACIÓN NORMAL O ESTÁNDAR, DEL VALOR MEDIO F x& DE UN CONJUNTO DE n MEDIDAS. Desviación típica media..3.- ESTIMACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS MEDIDAS EN LAS QUE SE OBTIENE UN MISMO VALOR. Si se realiza una única medida x de una magnitud X, o una serie de n medidas y se obtiene siempre el mismo valor x dentro del grado de precisión del aparato, por convenio se toma, como incertidumbre asociada a esta medida, la precisión del aparato. El resultado de la medida se expresará: X = {x ± e(x)} u. Ejemplo: Con una regla dividida en mm obtenemos 5 mm, como valor de una única medida o como resultado idéntico de n medidas; la medida se expresaría correctamente:

4 Pág 4 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES L = {5.0 ± 0.5} mm, ya que 0.5 mm es la precisión de la regla MEDIDAS CON RESULTADOS DIFERENTES. Supongamos que al medir n (con n muy grande) veces una magnitud X resultan x, x 2,...x p valores de frecuencias respectivas N, N 2,...N p. Si sólo hay errores accidentales y éstos cumplen las condiciones: a) Cada error accidental es producido por un gran número de errores elementales iguales, independientes y pequeños. b) Para cualquier error accidental los errores elementales pueden aparecer con la misma probabilidad con signo positivo o negativo. Entonces las frecuencias con las que aparecen las medidas de la magnitud X se distribuyen alrededor del valor medio según la distribución normal o de Gauss (Figura -) Figura - El valor medio &x es el valor más probable y la desviación normal F representa cómo están dispersos los valores experimentales alrededor de &x. La desviación típica media, se toma como una estimación del error de la cantidad X medida. En la Figura -2 se observa que la distribución de mayor F 2 tiene los valores más dispersos que la de menor F. Figura -2 La distribución de Gauss se utiliza para interpretar muchos tipos de mediciones físicas. Se demuestra que el área comprendida entre las ordenadas &x - F, &x + F y el eje de abcisas es igual a 0.683, análogamente entre &x - 2.F, &x + 2.F es y entre &x - 3.F, &x + 3.F es 0.997; siendo el área total encerrada en la campana, ver Figura -3. Teniendo en cuenta la distribución normal de Gauss, tomamos como: Figura -3

5 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág 5 # Valor "verdadero" el valor medio. # Incertidumbre asociada a la medida e(x) = A8 donde es la desviación típica media y 8 es un parámetro que puede tomar diferentes valores, según el grado de precisión con el que se quiera expresar la medida. Así, el valor de la magnitud medida se expresará como: X = {&x ± 8A } u # Si 8 = indica que existe una probabilidad del 68.3 % de que el valor verdadero se encuentre en el intervalo &x ± # Si 8 = 2 indica que existe una probabilidad del 95.4 % de que el valor verdadero se encuentre en el intervalo &x ± 2 # Si 8 = 3 indica que existe una probabilidad del 99.7 % de que el valor verdadero se encuentre en el intervalo &x ± 3 Ejemplo: Al medir n = 20 veces la longitud de una mesa se obtienen los valores: R(m) N i * i ** i * ** i * A0-5.6 A0-5 4 A A0-6 4 A0-6.6 A0-5 {* i = R i - valor medio de las R i (en el ejemplo 2.36 m)} El resultado de la medida lo podemos expresar: R = {2.36 ± } m [68.3 % de probabilidad] (8 = ) R = {2.36 ± 0.000} m [95.4 % de probabilidad] (8 = 2) R = {2.36 ± 0.005} m [99.7 % de probabilidad] (8 = 3)

6 Pág 6 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Ejemplo: Al medir n = 20 veces la masa de una muestra se obtienen los valores: m (g) N i * i ** i * ** i * 2 4A0-4 A0-4 0 A0-4 4A0-4 {* i = m i - valor medio de las m i (en el ejemplo 3.7 g)} El resultado de la medida lo podemos expresar: m = {3.7 ± 0.0} g [68.3 % de probabilidad] (8 = ) m = {3.7 ± 0.02} g [95.4 % de probabilidad] (8 = 2) m = {3.7 ± 0.03} g [99.7 % de probabilidad] (8 = 3) PARA TRATAR CORRECTAMENTE LOS RESULTADOS DE LAS MEDIDAS TOMADAS ES NECESARIO TENER EN CUENTA LA PRECISIÓN DEL APARATO Y LA POSIBLE EXISTENCIA DE ERRORES SISTEMÁTICOS. SUPONIENDO QUE LOS ERRORES SISTEMÁTICOS HAN SIDO ELIMINADOS, EL ERROR TOTAL SE EXPRESARÁ COMO SUMA DE LOS ERRORES ACCIDENTALES Y DE ESCALA. g TOTAL = g ESCALA + g ACCIDENTAL

7 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág 7 Ejemplo: Al medir n = 9 veces la longitud de un objeto con un calibre de precisión 0.02 mm se obtienen los valores que aparecen en la tabla. Determinar el valor representativo con su correspondiente error. R(mm) N i 2 * i ** i * ** i * 2 (0-4 ) {* i = R i - valor medio de las R i (en el ejemplo 6.32 mm)} Si 8 =, R = {6.32 ± 0.05} mm. Tenemos el resultado con un 68 % de probabilidad de que el valor verdadero se encuentre comprendido entre 6.27 mm y 6.37 mm. El resultado final, teniendo en cuenta el error de escala, y suponiendo que no hay errores sistemáticos, se expresaría: R = {6.32 ± 0.07} mm Si 8 = 2, R = {6.32 ± 0.0} mm. Tenemos el resultado con un 95 % de probabilidad de que el valor verdadero se encuentre comprendido entre 6.22 mm y 6.42 mm. El resultado final, teniendo en cuenta el error de escala, y suponiendo que no hay errores sistemáticos, se expresaría: R = {6.32 ± 0.2} mm Ejemplo: Al tirar una esfera por un plano inclinado 00 veces, desde la misma altura, se obtienen 00 tiempos que aparecen en la tabla adjunta con sus correspondientes frecuencias. Las medidas se han hecho con un cronómetro que aprecia décimas de segundo. Expresar correctamente el resultado y representar la gráfica de la distribución de frecuencias. t (s) N i *** *** 2 (0-4 ) {* i = t i - valor medio de las t i (en el ejemplo s)}

8 Pág 8 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES El resultado final sería t = {2.436 ± 0.07} s. Teniendo en cuenta el error total suma del error de escala y el error accidental calculado con un 68.3 % de probabilidad, el resultado después de redondear sería: t = {2.44 ± 0.2} s Figura PROPAGACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS. Veamos cómo se manipulan datos inciertos en operaciones aritméticas sencillas: mostrándonos prudentes, supondremos que los verdaderos valores de los datos iniciales son aquellos que conducen al mayor error en el resultado final, es decir, nos pondremos en el caso más desfavorable. Sean a ± e(a) y b ± e(b) los datos iniciales de partida ERROR ABSOLUTO DE SUMA Y DIFERENCIA. a) Sea z = a + b. Tratemos de averiguar su incertidumbre: El mayor valor que z puede tener es z = a + e(a) + b + e(b) El menor valor que z puede tener es z = a - e(a) + b - e(b) El error de z será por tanto: e(z) = e(a) + e(b) b) Sea z = a - b. Tratemos de averiguar su incertidumbre: El mayor valor que z puede tener es z = a + e (a) - [b - e(b)] = a - b + [e(a) + e(b)], lo que ocurrirá cuando el valor de a sea el mayor dentro de su margen, y el valor de b sea el menor dentro de su margen. El menor valor que z puede tener es z = a - e(a) - [b+e(b)] = a - b - [e(a) + e(b)], lo que ocurrirá cuando el valor de a sea el menor dentro de su margen y el valor de b sea el mayor dentro de su margen. El error de z será por tanto: e(z) = e(a) + e(b) El error absoluto de una suma o diferencia es la suma de los errores absolutos de los sumandos.

9 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág ERROR RELATIVO DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE. Sean: z = a b ln(z) = ln(a) + ln(b) z = a/b ln(z) = ln(a) - ln(b) z = a n ln(z) = n ln(a) Diferenciando z = a b ln(z) = ln(a) + ln(b) dz/z = da/a + db/b z = a/b ln(z) = ln(a) - ln(b) dz/z = da/a - db/b z = a n ln(z) = n ln(a) dz/z = n da/a Suponiendo siempre errores muy pequeños, e(a)<< a y e(b)<<b, y teniendo en cuenta que tanto "da" como "db" pueden ser positivos o negativos, y poniéndonos siempre en el caso más desfavorable, podemos escribir: z = a b e(z)/z = e(a)/a + e(b)/b,(z) =,(a) +,(b) z = a/b e(z)/z = e(a)/a + e(b)/b,(z) =,(a) +,(b) z = a n e(z)/z = nae(a)/a,(z) = n,(a) El error relativo de un cociente o producto es la suma de los errores relativos de cada uno de los términos del producto o cociente..5.- PROPAGACIÓN DE LA DESVIACIÓN TÍPICA DEL VALOR MEDIO. El caso más general sería el de una función de varias variables. Así consideremos una función y = f(x, x 2,...x n ). Supongamos conocida la desviación típica media media de la función y viene dada por: de cada una de las variables x i. Entonces la desviación típica Todas las derivadas parciales se calculan en el punto correspondiente al valor medio de las variables independientes. PROPAGACIÓN DE ERRORES ACCIDENTALES

10 Pág 0 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Un problema frecuente que se presenta en los experimentos físicos es encontrar relaciones funcionales entre dos magnitudes x e y; una vez representados en el papel milimetrado los datos experimentales como puntos (x i, y i ), se analiza si la nube de puntos obtenida obedece alguna ley que relacione las magnitudes x e y. El caso más sencillo se presenta cuando la relación funcional es lineal; si los puntos experimentales (x i, y i ) muestran una clara distribución en torno a una línea recta (regresión lineal), ésta recibe el nombre de Recta de Regresión de Y sobre X. Entre los puntos experimentales, representados, pueden pasar varias rectas; con el método de los mínimos cuadrados podemos encontrar la recta de ecuación Y = a + bax que mejor se ajusta a la nube de puntos experimentales. Necesitamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas y i correspondientes a los n valores fijos x i ; admitiremos que los valores x i de la variable independiente están dados con error despreciable, mientras que los valores y i son fluctuantes, ya que se encuentran afectados de errores aleatorios. Si y i es la ordenada experimental de un cierto punto se entiende por Y i la ordenada teórica que se obtendría al sustituir en la ecuación Y = a + bax el valor experimental x i de la abcisa para dicho punto. Y i = a + b x i Los parámetros a y b vienen dados por la siguientes ecuaciones:

11 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág que es aproximada, estando afectada de incertidumbre en mayor o menor cuantía. Si el error no se indica, éste es de una unidad de la última cifra. Si al medir un objeto se obtiene 5.7 cm, por convenio se considera que se ha medido la longitud hasta la décima de centímetro más próxima y que el valor exacto está comprendido en el intervalo {5.6; 5.8} cm; la medida puede expresarse como L = {5.7 ± 0.} cm. Si la medida realizada fuese exacta hasta las centésimas de centímetro, se expresaría como: L = {5.70 ± 0.0} cm. El número 5.7 tiene tres cifras significativas 6 {}, {5}, {7}. El número 5.70 tiene cuatro cifras significativas 6 {}, {5}, {7}, {0}. Consideremos 28 ml: ese número tiene dos cifras significativas {2}, {8}; si ese mismo volumen lo expresamos como l, el nuevo número sólo tiene dos cifras significativas {2}, {8}. Los ceros que aparecen como primeras cifras de un número no son cifras significativas. # Los ceros a la izquierda no son cifras significativas. # Los ceros a la derecha sí son cifras significativas. Ejemplo: La medida 452 mm puede expresarse de diversas maneras sin que por ello varíe el número de cifras significativas: 452 mm = m = Km En Física 452 mm mm!!

12 Pág 2 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Ejemplo: Expresaremos en notación científica los números de la tabla: m A0 m ml 6 8.3A0-2 ml km A0 4 km s 6 6A0-5 s kg 6 3.A0-3 kg g A0 g 20.0 cm A0 2 cm 3 0. mol 6.A0 - mol En los cambios de unidades NO debe variar el número de cifras significativas del dato..8.- REDONDEO. Un dato se redondea hasta el número deseado de cifras significativas, eliminando uno o más dígitos a la derecha. # En el caso de que el primer dígito suprimido sea superior a 5, el anterior se aumentará en una unidad. # En el caso de que el primer dígito suprimido sea inferior a 5, el último dígito conservado se deja invariable. # Si el dígito suprimido es el 5, se aumentará en una unidad el anterior dígito si es impar; si el dígito anterior es par se deja invariable. Ejemplo: Los números de la tabla, si se estima necesario, pueden redondearse de la siguiente forma: g g 45.7 s s 2.9 m. 3 m 2.43 s. 2.4 s.3882 m..388 m N N 5.75 g. 5.8 g 5.65 mg. 5.6 mg 2.85 J. 2.8 J 2.55 mg. 2.6 mg 2.45 W. 2.4 W 3.5 kg. 3.2 kg.8.. NORMAS PARA SUMAR Y RESTAR. El resultado se expresará después del redondeo con tantas cifras decimales como el término que tenga menos cifras decimales NORMAS PARA MULTIPLICAR Y DIVIDIR. En cálculos de multiplicación, división y extracción de raíces el resultado se debe expresar con tantas cifras significativas como el dato que menor número de ellas tenga. Los números exactos (/2) m v 2 se consideran constituidos por un número infinito de cifras significativas.

13 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág 3 Ejemplos. NOTA: En todos los ejemplos supondremos que los errores están calculados por sus desviaciones típicas medias. EJEMPLO..- Elevar al cubo y extraer la raíz cuadrada del número x = 5.3 ± 0.2 y = x 3 y = % x& EJEMPLO.2.- Hallar el logaritmo neperiano y la exponencial e x de x = 2.25 ± a) y = Ln(x) y = 0.8 ± 0.08

14 Pág 4 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES CUESTIONES.- Calcular la densidad de una pieza cilíndrica maciza de determinado material. La medida de sus parámetros R; h; y m se refleja en la tabla adjunta: Calcular los errores teniendo en cuenta el error de escala. Propagar errores para el cálculo de la incertidumbre asociada a la densidad de la pieza R (cm) m (g) h (cm) La tabla de datos siguiente permite deducir el valor de la eficiencia de un detector de partículas alfa, colocado a una determinada distancia de la muestra. Para ello, se ha medido el número de cuentas detectadas por el sistema (N) en diferentes intervalos de tiempo (t) procedentes de una muestra de 24 Am con actividad conocida A = 276 Bq. Empleando la expresión para la actividad de una muestra radiactiva: y tomando I =, deducir con sus errores la eficiencia del detector analizado. NOTA: Bq = cuentaa s - N (cuentas) t i (min)

15 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág Gráficas y Obtención de Leyes 2..- OBJETIVOS: - Familiarizarse con la recogida de datos (tablas). - Realizar representaciones gráficas correctamente. - Dominar las funciones más importantes de la Física, y = aax + b; y = aax n ; etc. - A partir de una gráfica ser capaz de obtener leyes cuantitativas y cualitativas FUNDAMENTO: Normas para la recogida de datos. - Anotar alguna indicación que identifique el aparato y su precisión. - No anote las medidas en un papel para después pasarlas a limpio. Qué queden anotadas para siempre en el cuaderno de laboratorio!. - No haga los cálculos de las medidas indirectas mientras realiza las medidas directas (lecturas de aparatos, etc). - Los registros de los aparatos se deben efectuar mediante tablas. La medida debe estar encabezada con el nombre de la magnitud, su símbolo y unidad correspondiente entre paréntesis. - Cuando aparezcan medidas muy grandes o muy pequeñas, use potencias enteras de diez (0 n ). Si la potencia es fija para todos los valores de la columna deberá colocar la potencia en el encabezamiento de ésta. Normas para la representaciones gráficas. - Utilizar preferentemente papel milimetrado. - Para representar una ley física del tipo y = f(x), trazar previamente los ejes coordenados sobre el papel. La variable independiente (relacionada con la causa física) se representa en el eje OX o de abcisas. La variable dependiente (relacionada con el efecto físico) se sitúa sobre el eje de ordenadas OY. - La gráfica deberá ocupar todo el papel milimetrado, por lo que los valores de las variables estarán previamente tabulados y las escalas se elegirán de manera que cumplan esta finalidad; las escalas de los ejes no tienen que coincidir. - No es necesario que el origen de la escala coincida con el cero del eje correspondiente. - Junto al respectivo eje, especificaremos el nombre o símbolo de la unidad utilizada entre paréntesis, por ejemplo l (cm). Se pueden simplificar los números de la escala utilizando potencias enteras de diez (datos grandes o pequeños), los cuales se colocan junto al nombre o símbolo de la unidad utilizada, por ejemplo l (0 7 cm). - No deberá rayarse el papel milimetrado al situar sobre él un valor experimental determinado. - La función y = f(x) será representada por una línea recta o curva según la función en estudio. La línea se traza promediando los punto experimentales, quedando éstos por encima o por debajo de ella e incluso es posible que no pase por ninguno de ellos. - Los puntos se representan por una cruz o una pequeña circunferencia en cuyo centro estaría situado el valor representado. - Primero se hará toda la representación a lápiz para poder borrar en las equivocaciones. Conseguida la claridad se entintará. - La gráfica llevará en la parte superior el título y la función que representa en caso de que exista.

16 Pág 6 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES A continuación mostramos varios ejemplos de una misma representación gráfica en la que se han cometido varios errores conforme a las normas expuestas: En este primer ejemplo se han elegido mal las escalas, no aparecen las definiciones de los ejes con sus unidades y no se cuenta con el título de la gráfica. Por su parte, este segundo ejemplo muestra una correcta definición de los ejes, una mejora en la elección de la escala de los ejes, si bien el eje Y no está correctamente dimensionado. Aparece un error muy común es la representación en alguno de los ejes (cuando no en los dos) de los valores obtenidos en la experiencia. Eso no debe hacerse. Finalmente, no aparece el título del gráfico, así como la función lineal que, por mínimos cuadrados, debe dar cuenta de la evidente correlación entre ambas magnitudes representadas.

17 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES Pág 7 En este último ejemplo se ha hecho una correcta representación de la función investigada. Los ejes aparecen bien dimensionados (obsérvese que el origen en X no es el cero), se han definido bien los ejes con sus unidades, se ha puesto al título de la gráfica y se expresa la función lineal que se ha obtenido por mínimos cuadrados. Repaso de las funciones más comunes de la Física. Ecuación de la recta: y = aax + b Función potencial: y = aax n, a y n constantes. * n = 2 Parábola con el eje de simetría OY. * n = /2 Parábola con el eje de simetría OX. * n = - Proporcional inversa. Hipérbola. * n = -2 Proporcional inversa cuadrática. * Los otros casos no son tan comunes. Ecuación general de la parábola: y = aax 2 + bax + c Elipse: x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = Exponencial: y = aa0 bax ó y = aaexp(bax)

18 Pág 8 TEORÍA DE ERRORES. GRÁFICAS Y OBTENCIÓN DE LEYES CUESTIONES.- Para la calibración de un determinado espectrómetro, se precisa saber qué "canal" asigna el sistema para una determinada energía (expresada en MeV). Dada la tabla de datos adjunta, se pide: a) Obtener por mínimos cuadrados la recta de calibración energía (como variable dependiente) frente a "canal" (variable independiente) Dar el coeficiente de correlación obtenido. b) Efectuar una representación gráfica de los valores obtenidos y dibujar la recta obtenida en el apartado a). Energía (MeV) Canal Al atravesar determinados materiales, la intensidad de una radiación electromagnética se ve reducida en función del espesor de la barrera del material mencionado. En una determinada experiencia, se ha dispuesto de una fuente de rayos gamma y se ha hecho pasar por barreras de Pb con espesor variable. Tras las barreras se colocó un detector de radiación que daba la intensidad resultante de la emisión en "cuentas por minuto" (cpm). Los resultados obtenidos se expresan en la tabla siguiente: I (cpm) Espesor (mm) Se pide: a) Representar gráficamente los valores obtenidos de la intensidad resultante frente al espesor. Dibujar una curva que una esos puntos. b) Elaborar una tabla de datos en la que se tenga el logaritmo neperiano de I frente al espesor. Obtener la recta de regresión expresando el correspondiente coeficiente de correlación. Representar gráficamente los puntos y recta obtenidos. Expresar claramente (con sus unidades) la pendiente de la recta y la ordenada en el origen. c) A tenor de lo efectuado, qué clase de función de las comúnmente empleadas en Física crees que liga las dos variables de este problema?