ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

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1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San f : R R y g: R R las funcions dfinidas rspctivamnt por f( ) y g + a) [ puntos] Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js y calcula los puntos d cort ntr ambas gráficas a) [,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g a) Ambas funcions son positivas (no ngativas) n todo su dominio Dando algunos valors s pudn trazar fácilmnt Para f( ) : (, ); (, ); (, ) Para g : + (, /5); (, /); (,5,,8); (, ) Admás pud obsrvars qu la rcta y s asíntota horizontal Los puntos d cort d ambas gráficas son la solución d la cuación + Como ambas son funcions pars basta con dtrminar la solución positiva: Sólo ist la solución ; y su opusta, Los puntos d cort d las gráficas son (, /) y (, /) b) Por la simtría dl rcinto, l ára pdida s: π π 4 u S d arctan Andalucía, junio 4 S dsa construir un dpósito n forma d cilindro rcto, con bas circular y sin tapadra, qu tnga una capacidad d 5 m Halla l radio d la bas y la altura qu db tnr l dpósito para qu la suprfici sa mínima Si l radio d la bas dl cilindro s r y su altura h, s db cumplir qu Vπ rh 5 m, con la condición d qu la suma d la suprfici d la bas más la latral S π r + πrh sa mínima 5 Dspjando n Vπ rh 5 h y sustituyndo n S, s tin: π r 5 5 S π r + πr S π r + π r r El mínimo d S s da n las solucions d S qu hacn positiva a S

2 ANÁLISIS (Slctividad 4) Drivando con rspcto a r igualando a : S πr πr 5 r r π π m 5 Como S π+ s positiva para l valor d r hallado, s dduc qu s s l valor r dl radio dl cilindro buscado En s caso, h m π π π Aragón, junio 4 a) Usando l cambio d variabl + ln + ( ln ) d ln ( ) b) Dtrmin l límit: lim ( cos ) t ln, dtrmin l valor d la intgral: sin a) Si t ln dt d ; lugo: + ln + ( ln ) + ln + ( ln ) + t+ t d d dt ( ( ln ) ) ( ( ln ) ) t La última intgral s hac por dscomposición n fraccions simpls Dividindo: + t+ t 4t+ 4t+ A b A( + t) + B( t) 5 + t + A ; t t t t + t t Por tanto: + t+ t 5/ / t 5 dt t + dt ln ( t) ln ( + t) + c t t + t Dshacindo l cambio: + ln + ln (ln ) 5 d ln ( ln ) ln ( ln ) ( ln ) b) lim ( cos ) sin + + c B s una indtrminación dl tipo Aplicando logaritmos: ln lim ( cos ) sin lim ln ( cos ) sin lim ln ( cos ) sin sin ln ( cos ) lim sin (Aplicando L Hôpital) lim cos lim sin cos cos

3 ANÁLISIS (Slctividad 4) Por tanto; ( ) lim cos sin / 4 Aragón, sptimbr 4 Considr la función: f 6 a) Dtrmin l dominio y las asíntotas, si istn, d sa función b) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos rlativos, si istn, d sa función a) Dominio: Dom(f) R {} 9 En la función tin una asíntota vrtical, pus lim 6 También tin una asíntota oblicua, pus s una función racional qu cumpl qu l grado dl numrador s una unidad mayor qu l dl dnominador La rcta y m + n s asíntota oblicua d la curva f () cuando s cumpl qu: f m lim lim lim ( 6) 6 + n lim ( f m) lim lim lim La asíntota oblicua s la rcta y + b) Drivando: ( 6 ) 6 f ( 6) ( 6) ( 6) La drivada s anula n y n 6 Con sto: Si <, como f ( ) > f( ) crc Si < <, como f ( ) < f( ) dcrc Si < < 6, como f ( ) < f( ) dcrc Si > 6, como f ( ) > f( ) crc Como la función crc a la izquirda dl y dcrc a su drcha, n s da un máimo D manra análoga s dduc qu n 6 s da un mínimo La gráfica d la función s la rprsntada a la drcha

4 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 5 Aragón, sptimbr 4 a) La drivada d una función f() s: ( ) ( ) Dtrmin la función f( ) sabindo qu f () b) Dtrmin l límit: lim a) La función pdida db sr una primitiva d f d Oprando: ( ) ( ) ( ) ( ) ; sto s: Lugo: f ( ) d c Como f () c ; y, por tanto: f b) Para calcular st límit pud aplicars la rgla: lím Por tanto: g ( f ) [ ] lím ( f ) g lim lim + + El límit dl ponnt s: lim lim lim Por tanto, lim

5 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 6 Balars, junio 4 Calcula la siguint intgral indfinida: d + Dscomponindo l intgrando (dividindo): Por tanto: d d d ln + + c Balars, junio 4 cos si a) Calcula l valor d a para qu la función f vrifiqu l + a si > torma d Roll n l intrvalo [ π/, ] b) Considrando l valor d a dtrminado n l apartado a), ncuntra l valor π c, tal qu f c a) El torma d Roll dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b), y admás f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto c (a, b) tal qu f ( c) Por tanto, la función dada db sr continua n l intrvalo [ π/, ], drivabl n ( π/, ) y vrificar qu f( π / ) f() Empzando por lo último: π f( π / ) f() cos + a a La función quda: cos si sin si f f si > si > Es continua, pus: lim f lim cos y lim f lim Es drivabl, pus: lim f ( ) lim sin y lim f lim b) El valor d c buscado s c, pus s l qu cumpl qu f ( c) Aunqu no s pid, la situación gráfica s la qu s indica n la figura adjunta

6 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 8 Canarias, junio 4 La fabricación d tabltas gráficas supon un cost total dado por la función C 5+ Cada tablta s vndrá a un prcio unitario dado por la función P 4 Suponindo qu todas las tabltas fabricadas s vndn, cuál s l númro qu hay qu producir para obtnr l bnficio máimo? Costs: C 5+ Prcio por unidad: P 4 I P 4 4 Ingrsos por la vnta d unidads: Bnficios: B I C 4 5 B + 5 El máimo d B s da n la solución d B qu hac ngativa a B B si 5 Como B ( ), para s valor d 5 s da l máimo buscado El bnficio máimo s obtin cuando s producn y vndn 5 tabltas gráficas 9 Canarias, junio 4 cos a) Calcula: lim b) Calcula: lim ( m)( + ) c) Calcula l valor d m d tal forma qu: lim a) S aplica L Hôpital: cos sin cos lim ( LH ) lim lim b) S multiplica y divid por la prsión conjugada dl numrador: + lim lim lim + + lim lim ( + ) ( + ) c) S opra y s aplica L Hôpital: m + m + m + lim lim ( LH ) m + m 4 m lim lim m ( m)( + ) Como s dsa qu lim 6 m 6 m + 4

7 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 Canarias, julio 4 a b Sa la función f + + a) Calcula a y b para qu f( ) tnga un trmo rlativo l punto (, ) (,5 puntos) b) Calcula los trmos d la función f( ) cuando a y b ( punto) a) El punto (, ) db sr d la gráfica d la función ( f () ) y cumplir qu f () f () () + a b + + a+ b a+ b a b f [ f ( + a) + + ] ( a) b) Para a y b, la función quda: Sus dos primras drivadas son: + a b f f + 4 ( + 4 ) f La drivada primra s anula n, qu srá punto máimo o mínimo Como f () >, n s tin un mínimo rlativo: punto (, ) Cantabria, junio 4 a) Halla trs númros no ngativos qu sumn 4, tals qu uno sa l dobl d otro y qu la suma d los cuadrados d los trs sa mínima b) Considra la función f: R R dfinida por f Justifica si las afirmacions siguints son vrdadras o falsas b) lim f b) La función f tin un máimo rlativo n a) Los númros pudn sr, y, z; cumplindo: + y+ z 4 y En conscuncia: + + z 4 z 4 La suma d sus cuadrados + y + z El mínimo d la función f , qu s una parábola, s da n la solución d f ( ) ; sto s, f 8 84 Como f ( ) 8 >, s confirma qu n s tin l mínimo buscado Por tanto, los númros son, 6 y 5 b) Si f, la afirmación lim f s falsa, pus: lim ( LH ) lim b) Drivando f La drivada s anula n ( ) ( ) f

8 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 Como ( ) ( ) ( ) f f () < ; lugo n la función tin un máimo rlativo Cantabria, sptimbr 4 a) S quir vallar una finca rctangular qu stá junto a un camino La valla dl lado dl camino custa 5 uros l mtro, y la d los otros trs lados custa 5 uros l mtro Hallar l ára dl trrno d mayor suprfici qu podmos vallar con uros b) Halla las tangnts a la gráfica d la función f qu son parallas a la rcta + y La situación d la finca s como la qu s mustra n la figura adjunta Si las mdidas d los lados son y, s sab qu 5+ 5y y O lo qu s lo mismo: + y 6 y 6 S dsa qu la suprfici, S y, dl trrno sa máima Sustituyndo: S ( 6 ) 6 Drivando: S 6 6, qu s anula cuando Como S 6 <, s dduc qu la solución hallada s máima Por tanto, las dimnsions d la finca dbn sr d m por m El lado dl camino db sr l d mtros b) Como + y y, hay qu buscar los puntos n los qu la drivada valga ( ) Por tanto, f ( ) ; Las tangnts y f( a) f ( a) ( a) y, qu s la rcta dada y 4 y + 8 srán: La situación, aunqu no s pid, s la qu s indica n la figura adjunta

9 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 Cantabria, sptimbr 4 La gráfica adjunta corrspond a la función drivada f d una función f Estudia l crciminto y dcrciminto d f y di si tin un máimo o un mínimo El signo d la drivada indica si crc o dcrc Como para <, la drivada s ngativa la función dcrc Como para >, da drivada s positiva la función crc En conscuncia, n la función tin un mínimo 4 Castilla Lón, junio 4 Hallar la función polinómica d grado sabindo qu su gráfica pasa por l punto P(, ), qu tin por tangnt n l punto d abscisa la rcta d cuación y +, y qu su intgral ntr y val Sa f a + b + c + d f a + b + c Por pasar por (, ), f () a + b + c + d También pasa por l punto (, ), qu s l d tangncia f () d La drivada n val, por sr la pndint d la rcta tangnt: f () c S obtin qu: c, d y a + b + + b a Por tanto, la función s f a + ( a) + + f d a 4 a Como a + ( a ) + + d a 4 4 Lugo, la función pdida s f Castilla Lón, junio 4 Sa la función f Calcular sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, puntos d inflión y asíntotas Esbozar su gráfica La función y sus dos primras drivadas son: f f + 4 ( + 4 ) f La drivada primra s anula n, cumpliéndos qu: Si <, f ( ) > f( ) s crcint Si >, f ( ) < f( ) s dcrcint En conscuncia, n s da un máimo

10 ANÁLISIS (Slctividad 4) La drivada sgunda s anula n ±, cumpliéndos qu: Si <, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si < <, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) s conva ( ) Como conscuncia d lo antrior, n ± hay puntos d inflión La función tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus, lim (tanto hacia como hacia + ) Nota: Podría indicars qu la función s par y, por tanto, simétrica rspcto dl j OY Para dibujar su gráfica pudn dars algunos valors: 6 Castilla Lón, junio 4 Sa la función f + a) Hallar su dominio y sus intrvalos d crciminto y dcrciminto (,5 puntos) b) Calcular l punto d la gráfica d f () más crcano al punto (4, ) ( puntos) + a) Dominio: R La función s simpr crcint, pus la raíz cuadrada s mayor cuando aumnta l númro Esto pud comprobars hacindo la drivada: f, qu simpr s positiva b) Los puntos gnéricos d la gráfica d la función son P (, ) La prsión d la distancia ntr P y (4, ) s La distancia srá mínima cuando lo sa su cuadrado D , qu, a su vz, srá mínima n la solución d D qu hagan positiva a D Como D 4 y D >, l mínimo buscado s da para s valor d ; sindo l punto P (, ) d 4 +

11 ANÁLISIS (Slctividad 4) Obsrvación: H prfrido hacr l cuadrado d la distancia para vitar la drivada d la raíz, pus rsulta más ngorrosa 7 Castilla Lón, junio 4 Sa la función f ( + ) a) Calcular un punto d su gráfica tal qu la rcta tangnt n dicho punto sa paralla al j OX Escrib la cuación d la rcta tangnt b) Calcular l ára limitada por la gráfica d la función, l j OX y las rctas y ln 5 a) La rcta tangnt s paralla al j OX cuando su pndint valga Por tanto, srá l punto n l qu f ( ) ( ) ( ) + f La cuación d la tangnt s y f() f () f () 4 y 4 b) Como la función simpr toma valors positivos, l ára pdida vin dada por la intgral dfinida, ln 5 d + Una primitiva d sa función pud obtnrs hacindo l cambio Por tanto: d dt ( + t) dt ( + t) + + t + t + t Lugo, ln 5 ln 5 d ln 5 + u d dt

12 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 Castilla Lón, sptimbr 4 Sa la función f Dtrminar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, intrvalos d concavidad y convidad, puntos d inflión y asíntotas Esbozar su gráfica Drivando dos vcs s tin: f f ( ) ( ) ( 4 + ) f La drivada primra s anula n y, admás: Si <, f ( ) < f( ) s dcrcint Si < <, f ( ) > f( ) s crcint Si >, f ( ) < f( ) s dcrcint La drivada sgunda s anula cuando ( ) 4 + ± Si <, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si < < +, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si > +, f ( ) > f( ) s conva ( ) Para ± s dan sndos puntos d inflión Su gráfica s la siguint

13 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 Castilla Lón, sptimbr 4 a) Hallar l punto n l qu la rcta tangnt a la gráfica d la función s paralla a la rcta d cuación y 5 7 f + 4 b) Calcular l ára dlimitada por la parábola d cuación y y la rcta y + 4 a) La pndint d la rcta tangnt s l valor d la drivada n l punto d tangncia Como s dsa qu la rcta tangnt sa paralla a la d cuación y 5 7 la pndint db valr 5 Por tanto: f 5 Para, f () El punto d tangncia s (, ) Lugo, la cuación d dicha rcta tangnt s y 5 5 y b) La rcta corta a la parábola n las solucions d y ; El rcinto limitado por ambas gráficas s l colorado n la figura adjunta Su ára vin dada por la intgral: S ( + 4 ) d u Castila la Mancha, junio 4 Para cada c dfinimos Ac () como l ára d la rgión ncrrada ntr la gráfica d + f >, l j d abscisas y las rctas y c 4 a) Calcula Ac () b) Calcula lim Ac c a) Como la función s positiva n todo R, l ára Ac () pdida vin dada por: c c c 4 4 c c A() c d + d b) lim lim 4 + c 4 Ac c c c

14 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 Comunidad Valnciana, junio 4 S tin un cuadrado d mármol d lado 8 cm S produc la rotura d una squina y quda un pntágono d vértics A (, ), B (, ), C (8, ), D (8, 8) y E (, 8) Para obtnr una piza rctangular s lig un punto P (, y) dl sgmnto AB y s hacn dos corts parallos a los js X Y Así s obtin un rctángulo R cuyos vértics son los puntos P (, y), F (8, y), D (8, 8) y G (, 8) Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El ára dl rctángulo R n función d, cuando b) El valor d para l qu l ára dl rctángulo R s máima c) El valor dl ára máima dl rctángulo R La situación s la qu s mustra n la figura adjunta a) Rcta A B: y P (, y) (, ) Bas dl rctángulo: 8 Altura dl rctángulo: 8 ( ) 6 + Ára: S ( 8 ) ( 6 + ) 48 + b) Si S tin máimo, s obtin n la solución d S qu haga a S < S Como S <, l máimo d S s obtin cuando c) Para s valor, l ára máima dl rctángulo s: S cm Comunidad Valnciana, julio 4 Un club dportivo alquila un avión d 8 plazas para ralizar un viaj a la mprsa VR Hay 6 mimbros dl club qu han rsrvado su billt En l contrato d alquilr s indica qu l prcio d un billt srá 8 uros si sólo viajan 6 prsonas, pro qu l prcio por billt disminuy n uros por cada viajro adicional a partir d sos 6 viajros qu ya han rsrvado l billt Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El total qu cobra la mprsa VR si viajan 6, 7 y 8 pasajros b) El total qu cobra la mprsa VR si viajan 6 + pasajros, sindo c) El númro d pasajros ntr 6 y 8 qu maimiza lo qu cobra n total la mprsa VR a) Si viajan 6 prsonas, cada una paga 79 Ingrsos: Si viajan 7 prsonas, cada una paga 7 Ingrsos: Si viajan 8 prsonas, cada una paga 6 Ingrsos: b) Si viajan 6 + prsonas, cada una paga 8 I Ingrsos: c) El máimo d I s obtin n la solución d I qu hac ngativa a I I Como I ( ) <, l máimo s obtin para l valor Por tanto, cuando viajan 7 prsonas; n s caso, sus ingrsos son d 49

15 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 Etrmadura, sptimbr 4 a) Enunci l torma dl valor mdio d Lagrang b) Aplicando l antrior torma a la función f sin, prub qu cualsquira qu san los númros rals a < b s cumpl la dsigualdad sin b sin a b a a) El torma dl valor mdio d Lagrang dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto c (a, f ( b) f ( a) b) tal qu f ( c) b a b) Si f sin y a < b, como f cos, s tndrá sin b sin a cos( c) b a sin b sin a cos c b a Como cos c cos Por tanto: sin sin cos c b a b a b a b a c b a b a 4 Galicia, junio 4 ln a) Calcula lim (Nota: ln logaritmo npriano) b) Calcula d + + ln ( ) a) 4 4 lim lim lim ( 4 )( ) b) Hacindo l cambio d variabl t s tin: d dt + + t + t+ Por dscomposición n fraccions simpls: A B At ( + ) + Bt ( + ) A + At ( + ) + Bt ( + ) t + t+ t+ t+ ( t+ )( t+ ) B Por tanto, t + d ln dt ( t + ) ln ( t + ) ln t + t+ t+ t+ t+ + + d ln ln ln

16 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 5 Galicia, junio 4 a + b a) Dada la función f calcula los valors d a, b, c sabindo qu s c una asíntota vrtical y qu y 5 6 s la rcta tangnt a su gráfica n l punto corrspondint a Para los valors d a, b, c calculados, pos f( ) más asíntotas? b) Enuncia l torma dl valor mdio dl cálculo difrncial Pud aplicars, n l intrvalo [, ], st torma a la función f? En caso afirmativo calcula l punto al qu hac rfrncia l torma Si s una asíntota vrtical c c a + b La función quda: f Si y 5 6 s la rcta tangnt a su gráfica n l punto corrspondint a f () 5 y f() y() ; y () a + b a ( ) ( a + b) f() a+ b; f ( ) f () a a+ b a+ b Por tanto: a ; b 4 a ( a + b) 5 4 La función buscada s f Es vidnt qu también tin otra asíntota horizontal, la rcta y, pus 4 lim b) El torma dl valor mdio dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), f ( b) f ( a) ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) b a En l intrvalo [, ], la función f s continua y drivabl (sólo s discontinua n, qu no prtnc a s intrvalo) Como f (), f () y f ( ) ( ) ( ), hay qu buscar l valor d qu cumpl: 4+ + La rspusta válida s, qu s l punto qu prtnc al intrvalo (, )

17 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 6 Galicia, sptimbr 4 cos a) Calcula lim sin b) Qurmos dividir un alambr d mtal 7 mtros d largo n trs parts d manra qu una d llas tnga dobl longitud qu otra, y qu, admás, al construir con cada part un cuadrado, la suma d áras d los trs cuadrados s mínima Calcular la longitud d cada part cos sin + a) lim ( LH ) lim sin sin cos cos (s aplica nuvamnt L Hôpital) lim cos sin b) Si la longitud d uno d los trozos s, los otros dos mdirán y 7, rspctivamnt 7 Con sas longituds (prímtros) s construyn cuadrados d lado:, y 4 4 La suma d las áras d sos cuadrados s: S Su mínimo s da cuando S y S > S 5 S cumpl qu S > 6 6 Por tanto, los trozos dbn mdir 5 cm, cm y 5 cm 7 Galicia, sptimbr 4 a) La sgunda drivada d una función f( ) s f 4 Admás, la tangnt a la gráfica d f( ) n l punto (, ) s paralla a la rcta y+ Calcula f( ) π/ b) Calcula sin ( +π) d Si f 4 f ( 4 ) d + c ( ) f + c d + c + d Como pasa por l punto (, ) f() + d d Como la tangnt a la gráfica d f( ) n l punto (, ) s paralla a la rcta y+ y + f () (la pndint d la tangnt s igual a la drivada n l punto) Lugo, f + c cumpl: f () + c c Por tanto, la función buscada s f

18 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 π/ d b) sin ( +π) Una primitiva d sin ( +π ) d s obtin por parts Hacindo: u y sin ( +π ) d dv d du y v sin ( +π ) d cos( +π ) Lugo, cos( +π ) cos +π sin +π sin ( +π ) d + cos( +π ) d + 4 Por tanto: π/ sin ( +π) d ( +π ) ( +π) cos sin + 4 π/ π/ ( +π ) ( +π) π ( π) ( π) ( π) cos sin cos sin sin π Galicia, sptimbr 4 a) Calcula d + b) Enuncia l torma fundamntal dl cálculo intgral Sa + dt, calcula F lim a) Si s hac t d dt d dt dt t Lugo: d dt + t( + t) Por dscomposición n fraccions simpls: A B A( + t) + Bt A+ B + B t( + t) t + t t( + t) A Por tanto: d dt dt ln t ln ( + t) ln + + t( + t) t + t Lugo: ( ) ln ln ln d

19 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 b) El torma fundamntal dl cálculo intgral dic: Si a F f ( t) dt, ntoncs F f Con más prcisión: Sa f() una función intgrabl n [a, b] y a F f ( t) dt su función intgral, ntoncs, si f s continua n [a, b] s dduc qu F s drivabl n [a, b] y su drivada s F f F En st caso, como lim, aplicando L Hôpital s tndrá: F F lim lim lim La Rioja, junio 4 4 Sa h i) Enuncia l torma d Bolzano ii) Dtrmina los trmos rlativos y studia la monotonía d h iii) Utiliza l torma d Bolzano para probar qu la cuación h tin actamnt dos solucions rals i) El Torma d Bolzano dic: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Esto s, si la función s ngativa n a ( f ( a) < ) y positiva n b ( f ( b) > ), ntoncs s anula n algún punto c ntr a y b ( f ( c) ) Gométricamnt, sto significa qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la gráfica d f () corta al j OX n un punto, al mnos (Análogamnt si f ( a) > y f(b) <) Dsd l punto d vista algbraico, st torma asgura qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la cuación f tin una solución ntr a y b Esa solución srá l punto c cuya istncia afirma l torma 4 ii) h h 4 6 h La drivada primra s anula cuando: 4 6 ( ) ; Como h (), n no s concluy lo qu hay; pud habr punto d inflión En fcto, al sr h 4 y h (), n s da una inflión con tangnt horizontal 9 En s da un mínimo, pus 8 9 h 4 >

20 ANÁLISIS (Slctividad 4) Eso mismo s podría habr concluido studiando la monotonía, pus; Si <, h ( ) < h s dcrcint Si < < /, h ( ) < h s dcrcint S concluy qu n s da un PI Si > /, h ( ) > h s crcint En conscuncia, n / s da un mínimo iii) En, 4 h( ) ( ) ( ) > 4 4 En, h < 6 Por tanto, la función corta actamnt una vz al j OX n l intrvalo (, /), pus simpr s dcrcint 4 Como h () 6 >, la función vulv a cortar actamnt una vz al j OX n l intrvalo (/, + ), pus simpr s crcint n s intrvalo Por tanto, la función corta actamnt dos vcs al j OX la cuación h tin actamnt dos solucions rals La Rioja, junio 4 Sa f i) Calcula, si ist, lim f ii) Halla f d i) lim ( LH ) lim / + ii) f d d d ( + ) d / / ( + ) d + + / c + + c Nota: Si l lctor no advirt la suma por difrncia n l numrador dl intgrando pud hacr l cambio d variabl t, obtniéndos: t d dt d tdt; t; t t Por tanto: d tdt ( t) tdt ( t t ) dt t t c t Dshacindo l cambio s obtin l rsultado d arriba

21 ANÁLISIS (Slctividad 4) La Rioja, julio 4 San A una constant positiva y p un polinomio d trcr grado tal qu su drivada s p A, < < i) Dtrmina la abscisa d los trmos rlativos y studia la monotonía d p ii) Enuncia l torma d Roll iii) Justifica qu ist b > tal qu pb p() i) Condición ncsaria d trmo rlativos s qu p ( ) Eso sucd cuando o Hacindo la drivada sgunda: p A( ) p A A Como p () A<, n s da un máimo rlativo Como p () A>, n s da un mínimo rlativo Admás: Si <, p ( ) > p s crcint Si < <, p ( ) < p s dcrcint Si >, p ( ) > p s crcint ii) El torma d Roll dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b), y admás f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto c (a, b) tal qu f ( c) iii) Voy a dar dos solucions: ) D manra intuitiva Como la función dcrc ntr y p() > p() Como crc a partir d volvrá a alcanzar l valor p () (Obviamnt, al sr un polinomio no tin asíntotas y, por tanto, crc por ncima d cualquir valor p () ) ) Aplicando l torma d los valors intrmdios Intgrando ( p A A ) p A( ) d A + c Sustituyndo s tin qu p() c p A + p() En l intrvalo [, ] s cumpl: p() A+ p() < p() ; p() A+ p() > p() 6 En conscuncia (torma d los valors intrmdios) ist un valor b (, ) tal qu pb p()

22 ANÁLISIS (Slctividad 4) Madrid, junio 4 a) ( punto) Sa f : R R una función dos vcs drivabl Sabindo qu l punto d abscisa s un punto d inflión d la gráfica d f( ) y qu la rcta d cuación y 6+6 s tangnt a la gráfica d f( ) n dicho punto, dtrminar: f ( ), f ( ) y f ( ) b) ( punto) Dtrminar l ára d la rgión acotada limitada por la gráfica d la función 4 g + 4 y l j OX a) Como la rcta tangnt n s y 6+6 f ( ) 6 Como n s da una inflión f ( ) En l punto d tangncia l valor d la función y l d la rcta tangnt coincidn f( ) y( ) f( ) y( ) 6 ( ) Por tanto: f ( ) 6 ; f ( ) 6; f ( ) 4 b) Puntos d cort d g + 4 con l j OX ( + 4) 4; En l intrvalo [ 4, ] la función g toma valors ngativos: basta con vr qu g( ) Por tanto, l ára pdida vin dada por: ( 4 ) S + d + 5 ( 4) ( 4) u 5 5 Madrid, junio 4 Calcular justificadamnt: + sin a) lim b) lim ( 5 + )( 6) ( )( ) + sin + cos a) lim ( LH ) lim 9sin otra vz la rgla d L Hôpital) lim (S aplica b) lim ( )( ) lim + Pud aplicars la rgla d L Hôpital o dividir ambos términos d la fracción por

23 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 Madrid, junio 4 a+ ln( ), si < Dada la función f, (dond ln dnota logaritmo npriano), si s pid: a) ( punto) Calcular lim f y lim f b) ( punto) Calcular l valor d a, para qu f( ) sa continua n todo R c) ( punto) Estudiar la drivabilidad d f y calcular f, dond sa posibl a) lim f lim lim ( L H) lim L H lim + lim f lim a+ ln( ) a+ ln [ ] b) Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas y drivabls El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha Srá continua n s punto cuando los límits latrals san iguals Por la izquirda: lim f ( ) lim a+ ln( ) a+ ln a Por la drcha: lim f lim + + Lugo, a, si < c) f, si > La única dificultad para la drivabilidad s da n Srá drivabl n s punto cuando coincidan las drivadas latrals Como sus valors son: f ( ) y f ( + ) la función no s drivabl n

24 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 5 Murcia, junio 4 Dada la función f ln, s pid: a) [,5 puntos] Dtrmin l punto d la gráfica d f para l cual la rcta tangnt s paralla a la bisctriz dl primr cuadrant Calcul la cuación d dicha rcta b) [,5 puntos] Dtrmin l punto d la gráfica d f para l cual la rcta tangnt s paralla al j OX Calcul la cuación d dicha rcta a) La bisctriz dl primr cuadrant s la rcta y, cuya pndint s La pndint d la rcta tangnt a f( ) n l punto d abscisa a val f ( a ) En st caso, f( a ) Como f ln f ln + ln El valor buscado s ln La rcta tangnt srá: y f() f () ( ) y b) En st caso la pndint s ln Como f (), la rcta pdida s y Aunqu no s pid, s adjunta la gráfica

25 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 6 Navarra, junio 4 π π Dada la función f tan + +, dmustra qu ist un valor 6 7 α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso π π Ayuda: tan, tan 4 6 La función dada cumpl l torma d Lagrang, qu dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto α (a, f( b) f( a) b) tal qu f ( α) b a En st caso la función s continua n l intrvalo [, ] Basta con vr qu la raíz cuadrada qu aparc no s anula n s intrvalo ± ( ) 4 ( ) 7 ± 8,74 ( ) 6,7 También s drivabl (básicamnt por lo mismo) Aunqu no s ncsario hacrla, su drivada s: π π π + 6 f + tan f() f() Por tanto, n l intrvalo [, ], s cumpl qu f ( α), con < α < Como: π π π f () tan + + tan + + ; 6 4 π π π f () tan + + tan Entoncs: + + f() f() f ( α)

26 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 7 Navarra, junio 4 ( + + ) cos Dada la función f, dmustra qu ist un valor α (, ) + + tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua y drivabl n todo R, n particular n l intrvalo [, ] (Basta con obsrvar qu l dnominador, l radicando, nunca toma l valor ) Admás, s cumpl qu: cos( ) cos( 6) cos( + + ) cos 6 f ( ) y f () f( ) f() Por tanto, sta función cumpl l torma d Roll: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b) y, admás, f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto α (a, b) tal qu f ( α ) 8 Navarra, junio 4 Dada la función f, ncuntra los dos puntos n qu corta al j d 4 abscisas Calcula l ára d cada una d las dos rgions n qu divid sa curva al círculo d cntro (, ) y radio Corta al j OX n las solucions d f ; 4 La circunfrncia d radio cntrada n l orign tin por cuación + y Ambas curvas s rprsntan n la figura adjunta El ára d la zona sombrad n claro s: S d d El ára dl círculo val SC π r 4π la dl smicírculo srá π En conscuncia l ára d cada una d sas rgions srá: 8 Rgión suprior (n color blanco) π 8 Rgión infrior (colorada n dos tonos) π+

27 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 9 Navarra, julio 4 Dada la función f +, dmustra qu ist un valor α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua n todo R, n particular n l intrvalo [, ] Basta con obsrvar qu l ponnt simpr stá dfinido Su drivada, ( ) f + s también continua n todo R, y n particular n l intrvalo [, ] Por tanto s l pud aplicar l torma d los valors intrmdios, qu dic: Si h s continua n [a, b], ntoncs la función toma todos los valors comprndidos (intrmdios) ntr ha y hb Esto s, para cualquir valor c, ha c hb, ist un punto α [a, b], tal qu h( α ) c Si s cambia la función h por f ( ) y c por, y s obsrva qu: ( ) ; f () + + f () Como < <, (sto s: f () < < f () ) ist un punto α [, ], tal qu f ( α ), como s quría dmostrar 4 Navarra, julio 4 4 Dada la función f +, halla los puntos d cort con l j d abscisas y calcula l ára d la rgión dl plano ncrrada ntr sa curva y l j d abscisas 4 Los puntos d cort con l j OX n las solucions d f + ± 4( ) ± 4 ± ( ) y (, ) Entr sos dos puntos la función stá por ncima dl j, pus La curva corta n los puntos (,) Su gráfica, aunqu no s ncsaria para dtrminar l ára, s la adjunta El ára pdida val: : 4 4 ( ) ( ) 5 S + d + d u

28 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 4 Navarra, julio 4 Calcula la drivada d cada una d las siguints funcions y simplifica la prsión rsultant: f ln cos ( punto) g + ( punto) f ln f ln ( ln( ) ln( + ) ) + + Drivando: f + cos cos g ln ( g ) ln ln ( cos ) ln Drivando mimbro a mimbro: g ( ) cos sin ln + g cos cos sin g g ln + cos cos cos g ln tan 4 Navarra, julio 4 Dada la función 4 f + 5 cos π π + 5, dmustra qu ist un valor α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua y drivabl n todo R, n particular n l intrvalo [, ] (Basta con obsrvar qu l radicando dl ponnt nunca toma valors ngativos; las otras dos funcions, l binomio y l cosno no prsntan ningún inconvnint) Admás, s cumpl qu: 7π f() cos y 7 7 f() cos π cos π cos 7π +π f() f() Por tanto, sta función cumpl l torma d Roll, qu dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b) y, admás, f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto α (a, b) tal qu f ( α ), qu s lo qu s quría dmostrar

29 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 4 País Vasco, junio 4 Sa f la función f a + b + c a) Obtnr los valors d a, b y c para qu pas por l orign d coordnadas y tnga un mínimo n l punto (, ) b) La función obtnida tin otros máimos o mínimos? a) f a + b + c f a + b f 6a Por pasar por (, ), f() c Por pasar por (, ), f() a + b + c a+ b Por máimo n (, ), f () a+ b a+ b Rsolvindo l sistma a ; b a + b Lugo, la función s f b) Como f ( ) s anula también n, la función tin otro punto stacionario; y como f ( ) <, n s tin un máimo rlativo Obsrvación: Aunqu no s pid, la gráfica d la función, qu s la adjunta, confirma l rsultado obtnido 44 País Vasco, julio 4 S hacn variar las trs dimnsions d una caja cúbica (las trs dimnsions iguals) d la siguint manra: s aumnta un % su altura, s disminuy un % su anchura y s mantin la misma dimnsión para su largura a) Afcta sta variación a su volumn?, cuánto? b) El ára total d la nuva caja disminuy n más dl vint por cinto? El procso s l qu s ilustra n las figuras siguints: a) El volumn d la caja cúbica inicial s V a El volumn d la nuva caja s VN a,8 a, a,96a Por tanto, l volumn ha disminuido n un 4% b) El ára d la caja inicial ra: S 6a El ára d la nuva caja s: S a, a+,8 a, a+ a,8a,96a 5,9a N Por tanto, l ára d la nuva caja s un 8% mnor

30 ANÁLISIS (Slctividad 4) 45 País Vasco, julio 4 S sab qu la suma d los cuadrados d dos númros positivos A y B val Calcular dichos númros para qu su producto A B sa máimo S sab qu Por tanto: A + B B A 4 AB A A A A 4 La función f( A) A A tin un máimo n la solución d f ( A ) qu haga ngativa a f ( A ) Drivando rspcto a A: 64A 4A f ( A) 64A 4A 4A 6 A 4 A A S obtin trs solucions: A ; A 4 y A 4 (Las dos primras carcn d sntido) f A cuando Para dtrminar si n A 4 s da l máimo buscado, n vz d drivar d nuvo, pud studiars l crciminto y dcrciminto n un ntorno d s valor Si A < 4, f ( A ) > la función crc Si A > 4, f ( A ) < la función dcrc Esto confirma qu l máimo buscado s da cuando A 4; lo qu implica qu B también val 4 46 País Vasco, julio Hallar la intgral d, plicando l método utilizado para dicho ( + )( ) cálculo Esta intgral db hacrs por dscomposición n fraccions simpls S hac lo qu sigu: Las raícs d + son: y Por tanto: A + B + C + A( )( ) + B( )( ) + C( )( ) ( )( )( ) En conscuncia: + 7 A( )( ) + B( )( ) + C( )( ) Los valors d A, B y C pudn obtnrs dando valors a : si A A 5 si B B si 6 C C 8 Lugo: + 7 d + 5ln ln 8ln d + + c

31 ANÁLISIS (Slctividad 4) 47 País Vasco, julio 4 Al sumar múltiplos sguidos d obtnmos l valor 6 En sa suma, cuál s l primr múltiplo d? Y l último? Si l primr múltiplo d s dsigna por n, ntoncs s tin: n+ ( n+ ) + ( n+ ) + + ( n+ ) 6 El primr mimbro d la igualdad s transforma como sigu: n+ n+ + n+ + + n+ n + ( ) ( + ) 6n+ 6n+ 6 Por tanto: 6n+ 6 6 n El primr númro s ; l último, 9