ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1"

Transcripción

1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San f : R R y g: R R las funcions dfinidas rspctivamnt por f( ) y g + a) [ puntos] Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js y calcula los puntos d cort ntr ambas gráficas a) [,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g a) Ambas funcions son positivas (no ngativas) n todo su dominio Dando algunos valors s pudn trazar fácilmnt Para f( ) : (, ); (, ); (, ) Para g : + (, /5); (, /); (,5,,8); (, ) Admás pud obsrvars qu la rcta y s asíntota horizontal Los puntos d cort d ambas gráficas son la solución d la cuación + Como ambas son funcions pars basta con dtrminar la solución positiva: Sólo ist la solución ; y su opusta, Los puntos d cort d las gráficas son (, /) y (, /) b) Por la simtría dl rcinto, l ára pdida s: π π 4 u S d arctan Andalucía, junio 4 S dsa construir un dpósito n forma d cilindro rcto, con bas circular y sin tapadra, qu tnga una capacidad d 5 m Halla l radio d la bas y la altura qu db tnr l dpósito para qu la suprfici sa mínima Si l radio d la bas dl cilindro s r y su altura h, s db cumplir qu Vπ rh 5 m, con la condición d qu la suma d la suprfici d la bas más la latral S π r + πrh sa mínima 5 Dspjando n Vπ rh 5 h y sustituyndo n S, s tin: π r 5 5 S π r + πr S π r + π r r El mínimo d S s da n las solucions d S qu hacn positiva a S

2 ANÁLISIS (Slctividad 4) Drivando con rspcto a r igualando a : S πr πr 5 r r π π m 5 Como S π+ s positiva para l valor d r hallado, s dduc qu s s l valor r dl radio dl cilindro buscado En s caso, h m π π π Aragón, junio 4 a) Usando l cambio d variabl + ln + ( ln ) d ln ( ) b) Dtrmin l límit: lim ( cos ) t ln, dtrmin l valor d la intgral: sin a) Si t ln dt d ; lugo: + ln + ( ln ) + ln + ( ln ) + t+ t d d dt ( ( ln ) ) ( ( ln ) ) t La última intgral s hac por dscomposición n fraccions simpls Dividindo: + t+ t 4t+ 4t+ A b A( + t) + B( t) 5 + t + A ; t t t t + t t Por tanto: + t+ t 5/ / t 5 dt t + dt ln ( t) ln ( + t) + c t t + t Dshacindo l cambio: + ln + ln (ln ) 5 d ln ( ln ) ln ( ln ) ( ln ) b) lim ( cos ) sin + + c B s una indtrminación dl tipo Aplicando logaritmos: ln lim ( cos ) sin lim ln ( cos ) sin lim ln ( cos ) sin sin ln ( cos ) lim sin (Aplicando L Hôpital) lim cos lim sin cos cos

3 ANÁLISIS (Slctividad 4) Por tanto; ( ) lim cos sin / 4 Aragón, sptimbr 4 Considr la función: f 6 a) Dtrmin l dominio y las asíntotas, si istn, d sa función b) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos rlativos, si istn, d sa función a) Dominio: Dom(f) R {} 9 En la función tin una asíntota vrtical, pus lim 6 También tin una asíntota oblicua, pus s una función racional qu cumpl qu l grado dl numrador s una unidad mayor qu l dl dnominador La rcta y m + n s asíntota oblicua d la curva f () cuando s cumpl qu: f m lim lim lim ( 6) 6 + n lim ( f m) lim lim lim La asíntota oblicua s la rcta y + b) Drivando: ( 6 ) 6 f ( 6) ( 6) ( 6) La drivada s anula n y n 6 Con sto: Si <, como f ( ) > f( ) crc Si < <, como f ( ) < f( ) dcrc Si < < 6, como f ( ) < f( ) dcrc Si > 6, como f ( ) > f( ) crc Como la función crc a la izquirda dl y dcrc a su drcha, n s da un máimo D manra análoga s dduc qu n 6 s da un mínimo La gráfica d la función s la rprsntada a la drcha

4 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 5 Aragón, sptimbr 4 a) La drivada d una función f() s: ( ) ( ) Dtrmin la función f( ) sabindo qu f () b) Dtrmin l límit: lim a) La función pdida db sr una primitiva d f d Oprando: ( ) ( ) ( ) ( ) ; sto s: Lugo: f ( ) d c Como f () c ; y, por tanto: f b) Para calcular st límit pud aplicars la rgla: lím Por tanto: g ( f ) [ ] lím ( f ) g lim lim + + El límit dl ponnt s: lim lim lim Por tanto, lim

5 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 6 Balars, junio 4 Calcula la siguint intgral indfinida: d + Dscomponindo l intgrando (dividindo): Por tanto: d d d ln + + c Balars, junio 4 cos si a) Calcula l valor d a para qu la función f vrifiqu l + a si > torma d Roll n l intrvalo [ π/, ] b) Considrando l valor d a dtrminado n l apartado a), ncuntra l valor π c, tal qu f c a) El torma d Roll dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b), y admás f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto c (a, b) tal qu f ( c) Por tanto, la función dada db sr continua n l intrvalo [ π/, ], drivabl n ( π/, ) y vrificar qu f( π / ) f() Empzando por lo último: π f( π / ) f() cos + a a La función quda: cos si sin si f f si > si > Es continua, pus: lim f lim cos y lim f lim Es drivabl, pus: lim f ( ) lim sin y lim f lim b) El valor d c buscado s c, pus s l qu cumpl qu f ( c) Aunqu no s pid, la situación gráfica s la qu s indica n la figura adjunta

6 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 8 Canarias, junio 4 La fabricación d tabltas gráficas supon un cost total dado por la función C 5+ Cada tablta s vndrá a un prcio unitario dado por la función P 4 Suponindo qu todas las tabltas fabricadas s vndn, cuál s l númro qu hay qu producir para obtnr l bnficio máimo? Costs: C 5+ Prcio por unidad: P 4 I P 4 4 Ingrsos por la vnta d unidads: Bnficios: B I C 4 5 B + 5 El máimo d B s da n la solución d B qu hac ngativa a B B si 5 Como B ( ), para s valor d 5 s da l máimo buscado El bnficio máimo s obtin cuando s producn y vndn 5 tabltas gráficas 9 Canarias, junio 4 cos a) Calcula: lim b) Calcula: lim ( m)( + ) c) Calcula l valor d m d tal forma qu: lim a) S aplica L Hôpital: cos sin cos lim ( LH ) lim lim b) S multiplica y divid por la prsión conjugada dl numrador: + lim lim lim + + lim lim ( + ) ( + ) c) S opra y s aplica L Hôpital: m + m + m + lim lim ( LH ) m + m 4 m lim lim m ( m)( + ) Como s dsa qu lim 6 m 6 m + 4

7 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 Canarias, julio 4 a b Sa la función f + + a) Calcula a y b para qu f( ) tnga un trmo rlativo l punto (, ) (,5 puntos) b) Calcula los trmos d la función f( ) cuando a y b ( punto) a) El punto (, ) db sr d la gráfica d la función ( f () ) y cumplir qu f () f () () + a b + + a+ b a+ b a b f [ f ( + a) + + ] ( a) b) Para a y b, la función quda: Sus dos primras drivadas son: + a b f f + 4 ( + 4 ) f La drivada primra s anula n, qu srá punto máimo o mínimo Como f () >, n s tin un mínimo rlativo: punto (, ) Cantabria, junio 4 a) Halla trs númros no ngativos qu sumn 4, tals qu uno sa l dobl d otro y qu la suma d los cuadrados d los trs sa mínima b) Considra la función f: R R dfinida por f Justifica si las afirmacions siguints son vrdadras o falsas b) lim f b) La función f tin un máimo rlativo n a) Los númros pudn sr, y, z; cumplindo: + y+ z 4 y En conscuncia: + + z 4 z 4 La suma d sus cuadrados + y + z El mínimo d la función f , qu s una parábola, s da n la solución d f ( ) ; sto s, f 8 84 Como f ( ) 8 >, s confirma qu n s tin l mínimo buscado Por tanto, los númros son, 6 y 5 b) Si f, la afirmación lim f s falsa, pus: lim ( LH ) lim b) Drivando f La drivada s anula n ( ) ( ) f

8 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 Como ( ) ( ) ( ) f f () < ; lugo n la función tin un máimo rlativo Cantabria, sptimbr 4 a) S quir vallar una finca rctangular qu stá junto a un camino La valla dl lado dl camino custa 5 uros l mtro, y la d los otros trs lados custa 5 uros l mtro Hallar l ára dl trrno d mayor suprfici qu podmos vallar con uros b) Halla las tangnts a la gráfica d la función f qu son parallas a la rcta + y La situación d la finca s como la qu s mustra n la figura adjunta Si las mdidas d los lados son y, s sab qu 5+ 5y y O lo qu s lo mismo: + y 6 y 6 S dsa qu la suprfici, S y, dl trrno sa máima Sustituyndo: S ( 6 ) 6 Drivando: S 6 6, qu s anula cuando Como S 6 <, s dduc qu la solución hallada s máima Por tanto, las dimnsions d la finca dbn sr d m por m El lado dl camino db sr l d mtros b) Como + y y, hay qu buscar los puntos n los qu la drivada valga ( ) Por tanto, f ( ) ; Las tangnts y f( a) f ( a) ( a) y, qu s la rcta dada y 4 y + 8 srán: La situación, aunqu no s pid, s la qu s indica n la figura adjunta

9 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 Cantabria, sptimbr 4 La gráfica adjunta corrspond a la función drivada f d una función f Estudia l crciminto y dcrciminto d f y di si tin un máimo o un mínimo El signo d la drivada indica si crc o dcrc Como para <, la drivada s ngativa la función dcrc Como para >, da drivada s positiva la función crc En conscuncia, n la función tin un mínimo 4 Castilla Lón, junio 4 Hallar la función polinómica d grado sabindo qu su gráfica pasa por l punto P(, ), qu tin por tangnt n l punto d abscisa la rcta d cuación y +, y qu su intgral ntr y val Sa f a + b + c + d f a + b + c Por pasar por (, ), f () a + b + c + d También pasa por l punto (, ), qu s l d tangncia f () d La drivada n val, por sr la pndint d la rcta tangnt: f () c S obtin qu: c, d y a + b + + b a Por tanto, la función s f a + ( a) + + f d a 4 a Como a + ( a ) + + d a 4 4 Lugo, la función pdida s f Castilla Lón, junio 4 Sa la función f Calcular sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, puntos d inflión y asíntotas Esbozar su gráfica La función y sus dos primras drivadas son: f f + 4 ( + 4 ) f La drivada primra s anula n, cumpliéndos qu: Si <, f ( ) > f( ) s crcint Si >, f ( ) < f( ) s dcrcint En conscuncia, n s da un máimo

10 ANÁLISIS (Slctividad 4) La drivada sgunda s anula n ±, cumpliéndos qu: Si <, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si < <, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) s conva ( ) Como conscuncia d lo antrior, n ± hay puntos d inflión La función tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus, lim (tanto hacia como hacia + ) Nota: Podría indicars qu la función s par y, por tanto, simétrica rspcto dl j OY Para dibujar su gráfica pudn dars algunos valors: 6 Castilla Lón, junio 4 Sa la función f + a) Hallar su dominio y sus intrvalos d crciminto y dcrciminto (,5 puntos) b) Calcular l punto d la gráfica d f () más crcano al punto (4, ) ( puntos) + a) Dominio: R La función s simpr crcint, pus la raíz cuadrada s mayor cuando aumnta l númro Esto pud comprobars hacindo la drivada: f, qu simpr s positiva b) Los puntos gnéricos d la gráfica d la función son P (, ) La prsión d la distancia ntr P y (4, ) s La distancia srá mínima cuando lo sa su cuadrado D , qu, a su vz, srá mínima n la solución d D qu hagan positiva a D Como D 4 y D >, l mínimo buscado s da para s valor d ; sindo l punto P (, ) d 4 +

11 ANÁLISIS (Slctividad 4) Obsrvación: H prfrido hacr l cuadrado d la distancia para vitar la drivada d la raíz, pus rsulta más ngorrosa 7 Castilla Lón, junio 4 Sa la función f ( + ) a) Calcular un punto d su gráfica tal qu la rcta tangnt n dicho punto sa paralla al j OX Escrib la cuación d la rcta tangnt b) Calcular l ára limitada por la gráfica d la función, l j OX y las rctas y ln 5 a) La rcta tangnt s paralla al j OX cuando su pndint valga Por tanto, srá l punto n l qu f ( ) ( ) ( ) + f La cuación d la tangnt s y f() f () f () 4 y 4 b) Como la función simpr toma valors positivos, l ára pdida vin dada por la intgral dfinida, ln 5 d + Una primitiva d sa función pud obtnrs hacindo l cambio Por tanto: d dt ( + t) dt ( + t) + + t + t + t Lugo, ln 5 ln 5 d ln 5 + u d dt

12 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 Castilla Lón, sptimbr 4 Sa la función f Dtrminar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, intrvalos d concavidad y convidad, puntos d inflión y asíntotas Esbozar su gráfica Drivando dos vcs s tin: f f ( ) ( ) ( 4 + ) f La drivada primra s anula n y, admás: Si <, f ( ) < f( ) s dcrcint Si < <, f ( ) > f( ) s crcint Si >, f ( ) < f( ) s dcrcint La drivada sgunda s anula cuando ( ) 4 + ± Si <, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si < < +, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si > +, f ( ) > f( ) s conva ( ) Para ± s dan sndos puntos d inflión Su gráfica s la siguint

13 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 Castilla Lón, sptimbr 4 a) Hallar l punto n l qu la rcta tangnt a la gráfica d la función s paralla a la rcta d cuación y 5 7 f + 4 b) Calcular l ára dlimitada por la parábola d cuación y y la rcta y + 4 a) La pndint d la rcta tangnt s l valor d la drivada n l punto d tangncia Como s dsa qu la rcta tangnt sa paralla a la d cuación y 5 7 la pndint db valr 5 Por tanto: f 5 Para, f () El punto d tangncia s (, ) Lugo, la cuación d dicha rcta tangnt s y 5 5 y b) La rcta corta a la parábola n las solucions d y ; El rcinto limitado por ambas gráficas s l colorado n la figura adjunta Su ára vin dada por la intgral: S ( + 4 ) d u Castila la Mancha, junio 4 Para cada c dfinimos Ac () como l ára d la rgión ncrrada ntr la gráfica d + f >, l j d abscisas y las rctas y c 4 a) Calcula Ac () b) Calcula lim Ac c a) Como la función s positiva n todo R, l ára Ac () pdida vin dada por: c c c 4 4 c c A() c d + d b) lim lim 4 + c 4 Ac c c c

14 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 Comunidad Valnciana, junio 4 S tin un cuadrado d mármol d lado 8 cm S produc la rotura d una squina y quda un pntágono d vértics A (, ), B (, ), C (8, ), D (8, 8) y E (, 8) Para obtnr una piza rctangular s lig un punto P (, y) dl sgmnto AB y s hacn dos corts parallos a los js X Y Así s obtin un rctángulo R cuyos vértics son los puntos P (, y), F (8, y), D (8, 8) y G (, 8) Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El ára dl rctángulo R n función d, cuando b) El valor d para l qu l ára dl rctángulo R s máima c) El valor dl ára máima dl rctángulo R La situación s la qu s mustra n la figura adjunta a) Rcta A B: y P (, y) (, ) Bas dl rctángulo: 8 Altura dl rctángulo: 8 ( ) 6 + Ára: S ( 8 ) ( 6 + ) 48 + b) Si S tin máimo, s obtin n la solución d S qu haga a S < S Como S <, l máimo d S s obtin cuando c) Para s valor, l ára máima dl rctángulo s: S cm Comunidad Valnciana, julio 4 Un club dportivo alquila un avión d 8 plazas para ralizar un viaj a la mprsa VR Hay 6 mimbros dl club qu han rsrvado su billt En l contrato d alquilr s indica qu l prcio d un billt srá 8 uros si sólo viajan 6 prsonas, pro qu l prcio por billt disminuy n uros por cada viajro adicional a partir d sos 6 viajros qu ya han rsrvado l billt Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El total qu cobra la mprsa VR si viajan 6, 7 y 8 pasajros b) El total qu cobra la mprsa VR si viajan 6 + pasajros, sindo c) El númro d pasajros ntr 6 y 8 qu maimiza lo qu cobra n total la mprsa VR a) Si viajan 6 prsonas, cada una paga 79 Ingrsos: Si viajan 7 prsonas, cada una paga 7 Ingrsos: Si viajan 8 prsonas, cada una paga 6 Ingrsos: b) Si viajan 6 + prsonas, cada una paga 8 I Ingrsos: c) El máimo d I s obtin n la solución d I qu hac ngativa a I I Como I ( ) <, l máimo s obtin para l valor Por tanto, cuando viajan 7 prsonas; n s caso, sus ingrsos son d 49

15 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 Etrmadura, sptimbr 4 a) Enunci l torma dl valor mdio d Lagrang b) Aplicando l antrior torma a la función f sin, prub qu cualsquira qu san los númros rals a < b s cumpl la dsigualdad sin b sin a b a a) El torma dl valor mdio d Lagrang dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto c (a, f ( b) f ( a) b) tal qu f ( c) b a b) Si f sin y a < b, como f cos, s tndrá sin b sin a cos( c) b a sin b sin a cos c b a Como cos c cos Por tanto: sin sin cos c b a b a b a b a c b a b a 4 Galicia, junio 4 ln a) Calcula lim (Nota: ln logaritmo npriano) b) Calcula d + + ln ( ) a) 4 4 lim lim lim ( 4 )( ) b) Hacindo l cambio d variabl t s tin: d dt + + t + t+ Por dscomposición n fraccions simpls: A B At ( + ) + Bt ( + ) A + At ( + ) + Bt ( + ) t + t+ t+ t+ ( t+ )( t+ ) B Por tanto, t + d ln dt ( t + ) ln ( t + ) ln t + t+ t+ t+ t+ + + d ln ln ln

16 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 5 Galicia, junio 4 a + b a) Dada la función f calcula los valors d a, b, c sabindo qu s c una asíntota vrtical y qu y 5 6 s la rcta tangnt a su gráfica n l punto corrspondint a Para los valors d a, b, c calculados, pos f( ) más asíntotas? b) Enuncia l torma dl valor mdio dl cálculo difrncial Pud aplicars, n l intrvalo [, ], st torma a la función f? En caso afirmativo calcula l punto al qu hac rfrncia l torma Si s una asíntota vrtical c c a + b La función quda: f Si y 5 6 s la rcta tangnt a su gráfica n l punto corrspondint a f () 5 y f() y() ; y () a + b a ( ) ( a + b) f() a+ b; f ( ) f () a a+ b a+ b Por tanto: a ; b 4 a ( a + b) 5 4 La función buscada s f Es vidnt qu también tin otra asíntota horizontal, la rcta y, pus 4 lim b) El torma dl valor mdio dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), f ( b) f ( a) ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) b a En l intrvalo [, ], la función f s continua y drivabl (sólo s discontinua n, qu no prtnc a s intrvalo) Como f (), f () y f ( ) ( ) ( ), hay qu buscar l valor d qu cumpl: 4+ + La rspusta válida s, qu s l punto qu prtnc al intrvalo (, )

17 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 6 Galicia, sptimbr 4 cos a) Calcula lim sin b) Qurmos dividir un alambr d mtal 7 mtros d largo n trs parts d manra qu una d llas tnga dobl longitud qu otra, y qu, admás, al construir con cada part un cuadrado, la suma d áras d los trs cuadrados s mínima Calcular la longitud d cada part cos sin + a) lim ( LH ) lim sin sin cos cos (s aplica nuvamnt L Hôpital) lim cos sin b) Si la longitud d uno d los trozos s, los otros dos mdirán y 7, rspctivamnt 7 Con sas longituds (prímtros) s construyn cuadrados d lado:, y 4 4 La suma d las áras d sos cuadrados s: S Su mínimo s da cuando S y S > S 5 S cumpl qu S > 6 6 Por tanto, los trozos dbn mdir 5 cm, cm y 5 cm 7 Galicia, sptimbr 4 a) La sgunda drivada d una función f( ) s f 4 Admás, la tangnt a la gráfica d f( ) n l punto (, ) s paralla a la rcta y+ Calcula f( ) π/ b) Calcula sin ( +π) d Si f 4 f ( 4 ) d + c ( ) f + c d + c + d Como pasa por l punto (, ) f() + d d Como la tangnt a la gráfica d f( ) n l punto (, ) s paralla a la rcta y+ y + f () (la pndint d la tangnt s igual a la drivada n l punto) Lugo, f + c cumpl: f () + c c Por tanto, la función buscada s f

18 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 π/ d b) sin ( +π) Una primitiva d sin ( +π ) d s obtin por parts Hacindo: u y sin ( +π ) d dv d du y v sin ( +π ) d cos( +π ) Lugo, cos( +π ) cos +π sin +π sin ( +π ) d + cos( +π ) d + 4 Por tanto: π/ sin ( +π) d ( +π ) ( +π) cos sin + 4 π/ π/ ( +π ) ( +π) π ( π) ( π) ( π) cos sin cos sin sin π Galicia, sptimbr 4 a) Calcula d + b) Enuncia l torma fundamntal dl cálculo intgral Sa + dt, calcula F lim a) Si s hac t d dt d dt dt t Lugo: d dt + t( + t) Por dscomposición n fraccions simpls: A B A( + t) + Bt A+ B + B t( + t) t + t t( + t) A Por tanto: d dt dt ln t ln ( + t) ln + + t( + t) t + t Lugo: ( ) ln ln ln d

19 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 b) El torma fundamntal dl cálculo intgral dic: Si a F f ( t) dt, ntoncs F f Con más prcisión: Sa f() una función intgrabl n [a, b] y a F f ( t) dt su función intgral, ntoncs, si f s continua n [a, b] s dduc qu F s drivabl n [a, b] y su drivada s F f F En st caso, como lim, aplicando L Hôpital s tndrá: F F lim lim lim La Rioja, junio 4 4 Sa h i) Enuncia l torma d Bolzano ii) Dtrmina los trmos rlativos y studia la monotonía d h iii) Utiliza l torma d Bolzano para probar qu la cuación h tin actamnt dos solucions rals i) El Torma d Bolzano dic: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Esto s, si la función s ngativa n a ( f ( a) < ) y positiva n b ( f ( b) > ), ntoncs s anula n algún punto c ntr a y b ( f ( c) ) Gométricamnt, sto significa qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la gráfica d f () corta al j OX n un punto, al mnos (Análogamnt si f ( a) > y f(b) <) Dsd l punto d vista algbraico, st torma asgura qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la cuación f tin una solución ntr a y b Esa solución srá l punto c cuya istncia afirma l torma 4 ii) h h 4 6 h La drivada primra s anula cuando: 4 6 ( ) ; Como h (), n no s concluy lo qu hay; pud habr punto d inflión En fcto, al sr h 4 y h (), n s da una inflión con tangnt horizontal 9 En s da un mínimo, pus 8 9 h 4 >

20 ANÁLISIS (Slctividad 4) Eso mismo s podría habr concluido studiando la monotonía, pus; Si <, h ( ) < h s dcrcint Si < < /, h ( ) < h s dcrcint S concluy qu n s da un PI Si > /, h ( ) > h s crcint En conscuncia, n / s da un mínimo iii) En, 4 h( ) ( ) ( ) > 4 4 En, h < 6 Por tanto, la función corta actamnt una vz al j OX n l intrvalo (, /), pus simpr s dcrcint 4 Como h () 6 >, la función vulv a cortar actamnt una vz al j OX n l intrvalo (/, + ), pus simpr s crcint n s intrvalo Por tanto, la función corta actamnt dos vcs al j OX la cuación h tin actamnt dos solucions rals La Rioja, junio 4 Sa f i) Calcula, si ist, lim f ii) Halla f d i) lim ( LH ) lim / + ii) f d d d ( + ) d / / ( + ) d + + / c + + c Nota: Si l lctor no advirt la suma por difrncia n l numrador dl intgrando pud hacr l cambio d variabl t, obtniéndos: t d dt d tdt; t; t t Por tanto: d tdt ( t) tdt ( t t ) dt t t c t Dshacindo l cambio s obtin l rsultado d arriba

21 ANÁLISIS (Slctividad 4) La Rioja, julio 4 San A una constant positiva y p un polinomio d trcr grado tal qu su drivada s p A, < < i) Dtrmina la abscisa d los trmos rlativos y studia la monotonía d p ii) Enuncia l torma d Roll iii) Justifica qu ist b > tal qu pb p() i) Condición ncsaria d trmo rlativos s qu p ( ) Eso sucd cuando o Hacindo la drivada sgunda: p A( ) p A A Como p () A<, n s da un máimo rlativo Como p () A>, n s da un mínimo rlativo Admás: Si <, p ( ) > p s crcint Si < <, p ( ) < p s dcrcint Si >, p ( ) > p s crcint ii) El torma d Roll dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b), y admás f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto c (a, b) tal qu f ( c) iii) Voy a dar dos solucions: ) D manra intuitiva Como la función dcrc ntr y p() > p() Como crc a partir d volvrá a alcanzar l valor p () (Obviamnt, al sr un polinomio no tin asíntotas y, por tanto, crc por ncima d cualquir valor p () ) ) Aplicando l torma d los valors intrmdios Intgrando ( p A A ) p A( ) d A + c Sustituyndo s tin qu p() c p A + p() En l intrvalo [, ] s cumpl: p() A+ p() < p() ; p() A+ p() > p() 6 En conscuncia (torma d los valors intrmdios) ist un valor b (, ) tal qu pb p()

22 ANÁLISIS (Slctividad 4) Madrid, junio 4 a) ( punto) Sa f : R R una función dos vcs drivabl Sabindo qu l punto d abscisa s un punto d inflión d la gráfica d f( ) y qu la rcta d cuación y 6+6 s tangnt a la gráfica d f( ) n dicho punto, dtrminar: f ( ), f ( ) y f ( ) b) ( punto) Dtrminar l ára d la rgión acotada limitada por la gráfica d la función 4 g + 4 y l j OX a) Como la rcta tangnt n s y 6+6 f ( ) 6 Como n s da una inflión f ( ) En l punto d tangncia l valor d la función y l d la rcta tangnt coincidn f( ) y( ) f( ) y( ) 6 ( ) Por tanto: f ( ) 6 ; f ( ) 6; f ( ) 4 b) Puntos d cort d g + 4 con l j OX ( + 4) 4; En l intrvalo [ 4, ] la función g toma valors ngativos: basta con vr qu g( ) Por tanto, l ára pdida vin dada por: ( 4 ) S + d + 5 ( 4) ( 4) u 5 5 Madrid, junio 4 Calcular justificadamnt: + sin a) lim b) lim ( 5 + )( 6) ( )( ) + sin + cos a) lim ( LH ) lim 9sin otra vz la rgla d L Hôpital) lim (S aplica b) lim ( )( ) lim + Pud aplicars la rgla d L Hôpital o dividir ambos términos d la fracción por

23 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 Madrid, junio 4 a+ ln( ), si < Dada la función f, (dond ln dnota logaritmo npriano), si s pid: a) ( punto) Calcular lim f y lim f b) ( punto) Calcular l valor d a, para qu f( ) sa continua n todo R c) ( punto) Estudiar la drivabilidad d f y calcular f, dond sa posibl a) lim f lim lim ( L H) lim L H lim + lim f lim a+ ln( ) a+ ln [ ] b) Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas y drivabls El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha Srá continua n s punto cuando los límits latrals san iguals Por la izquirda: lim f ( ) lim a+ ln( ) a+ ln a Por la drcha: lim f lim + + Lugo, a, si < c) f, si > La única dificultad para la drivabilidad s da n Srá drivabl n s punto cuando coincidan las drivadas latrals Como sus valors son: f ( ) y f ( + ) la función no s drivabl n

24 ANÁLISIS (Slctividad 4) 4 5 Murcia, junio 4 Dada la función f ln, s pid: a) [,5 puntos] Dtrmin l punto d la gráfica d f para l cual la rcta tangnt s paralla a la bisctriz dl primr cuadrant Calcul la cuación d dicha rcta b) [,5 puntos] Dtrmin l punto d la gráfica d f para l cual la rcta tangnt s paralla al j OX Calcul la cuación d dicha rcta a) La bisctriz dl primr cuadrant s la rcta y, cuya pndint s La pndint d la rcta tangnt a f( ) n l punto d abscisa a val f ( a ) En st caso, f( a ) Como f ln f ln + ln El valor buscado s ln La rcta tangnt srá: y f() f () ( ) y b) En st caso la pndint s ln Como f (), la rcta pdida s y Aunqu no s pid, s adjunta la gráfica

25 ANÁLISIS (Slctividad 4) 5 6 Navarra, junio 4 π π Dada la función f tan + +, dmustra qu ist un valor 6 7 α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso π π Ayuda: tan, tan 4 6 La función dada cumpl l torma d Lagrang, qu dic: Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto α (a, f( b) f( a) b) tal qu f ( α) b a En st caso la función s continua n l intrvalo [, ] Basta con vr qu la raíz cuadrada qu aparc no s anula n s intrvalo ± ( ) 4 ( ) 7 ± 8,74 ( ) 6,7 También s drivabl (básicamnt por lo mismo) Aunqu no s ncsario hacrla, su drivada s: π π π + 6 f + tan f() f() Por tanto, n l intrvalo [, ], s cumpl qu f ( α), con < α < Como: π π π f () tan + + tan + + ; 6 4 π π π f () tan + + tan Entoncs: + + f() f() f ( α)

26 ANÁLISIS (Slctividad 4) 6 7 Navarra, junio 4 ( + + ) cos Dada la función f, dmustra qu ist un valor α (, ) + + tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua y drivabl n todo R, n particular n l intrvalo [, ] (Basta con obsrvar qu l dnominador, l radicando, nunca toma l valor ) Admás, s cumpl qu: cos( ) cos( 6) cos( + + ) cos 6 f ( ) y f () f( ) f() Por tanto, sta función cumpl l torma d Roll: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b) y, admás, f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto α (a, b) tal qu f ( α ) 8 Navarra, junio 4 Dada la función f, ncuntra los dos puntos n qu corta al j d 4 abscisas Calcula l ára d cada una d las dos rgions n qu divid sa curva al círculo d cntro (, ) y radio Corta al j OX n las solucions d f ; 4 La circunfrncia d radio cntrada n l orign tin por cuación + y Ambas curvas s rprsntan n la figura adjunta El ára d la zona sombrad n claro s: S d d El ára dl círculo val SC π r 4π la dl smicírculo srá π En conscuncia l ára d cada una d sas rgions srá: 8 Rgión suprior (n color blanco) π 8 Rgión infrior (colorada n dos tonos) π+

27 ANÁLISIS (Slctividad 4) 7 9 Navarra, julio 4 Dada la función f +, dmustra qu ist un valor α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua n todo R, n particular n l intrvalo [, ] Basta con obsrvar qu l ponnt simpr stá dfinido Su drivada, ( ) f + s también continua n todo R, y n particular n l intrvalo [, ] Por tanto s l pud aplicar l torma d los valors intrmdios, qu dic: Si h s continua n [a, b], ntoncs la función toma todos los valors comprndidos (intrmdios) ntr ha y hb Esto s, para cualquir valor c, ha c hb, ist un punto α [a, b], tal qu h( α ) c Si s cambia la función h por f ( ) y c por, y s obsrva qu: ( ) ; f () + + f () Como < <, (sto s: f () < < f () ) ist un punto α [, ], tal qu f ( α ), como s quría dmostrar 4 Navarra, julio 4 4 Dada la función f +, halla los puntos d cort con l j d abscisas y calcula l ára d la rgión dl plano ncrrada ntr sa curva y l j d abscisas 4 Los puntos d cort con l j OX n las solucions d f + ± 4( ) ± 4 ± ( ) y (, ) Entr sos dos puntos la función stá por ncima dl j, pus La curva corta n los puntos (,) Su gráfica, aunqu no s ncsaria para dtrminar l ára, s la adjunta El ára pdida val: : 4 4 ( ) ( ) 5 S + d + d u

28 ANÁLISIS (Slctividad 4) 8 4 Navarra, julio 4 Calcula la drivada d cada una d las siguints funcions y simplifica la prsión rsultant: f ln cos ( punto) g + ( punto) f ln f ln ( ln( ) ln( + ) ) + + Drivando: f + cos cos g ln ( g ) ln ln ( cos ) ln Drivando mimbro a mimbro: g ( ) cos sin ln + g cos cos sin g g ln + cos cos cos g ln tan 4 Navarra, julio 4 Dada la función 4 f + 5 cos π π + 5, dmustra qu ist un valor α (, ) tal qu f ( α ) Mnciona l rsultado tórico mplado y justifica su uso La función dada s continua y drivabl n todo R, n particular n l intrvalo [, ] (Basta con obsrvar qu l radicando dl ponnt nunca toma valors ngativos; las otras dos funcions, l binomio y l cosno no prsntan ningún inconvnint) Admás, s cumpl qu: 7π f() cos y 7 7 f() cos π cos π cos 7π +π f() f() Por tanto, sta función cumpl l torma d Roll, qu dic: Si f () s una función continua n l intrvalo [a, b] y drivabl n l intrvalo (a, b) y, admás, f (a) f (b), ntoncs ist al mnos, un punto α (a, b) tal qu f ( α ), qu s lo qu s quría dmostrar

29 ANÁLISIS (Slctividad 4) 9 4 País Vasco, junio 4 Sa f la función f a + b + c a) Obtnr los valors d a, b y c para qu pas por l orign d coordnadas y tnga un mínimo n l punto (, ) b) La función obtnida tin otros máimos o mínimos? a) f a + b + c f a + b f 6a Por pasar por (, ), f() c Por pasar por (, ), f() a + b + c a+ b Por máimo n (, ), f () a+ b a+ b Rsolvindo l sistma a ; b a + b Lugo, la función s f b) Como f ( ) s anula también n, la función tin otro punto stacionario; y como f ( ) <, n s tin un máimo rlativo Obsrvación: Aunqu no s pid, la gráfica d la función, qu s la adjunta, confirma l rsultado obtnido 44 País Vasco, julio 4 S hacn variar las trs dimnsions d una caja cúbica (las trs dimnsions iguals) d la siguint manra: s aumnta un % su altura, s disminuy un % su anchura y s mantin la misma dimnsión para su largura a) Afcta sta variación a su volumn?, cuánto? b) El ára total d la nuva caja disminuy n más dl vint por cinto? El procso s l qu s ilustra n las figuras siguints: a) El volumn d la caja cúbica inicial s V a El volumn d la nuva caja s VN a,8 a, a,96a Por tanto, l volumn ha disminuido n un 4% b) El ára d la caja inicial ra: S 6a El ára d la nuva caja s: S a, a+,8 a, a+ a,8a,96a 5,9a N Por tanto, l ára d la nuva caja s un 8% mnor

30 ANÁLISIS (Slctividad 4) 45 País Vasco, julio 4 S sab qu la suma d los cuadrados d dos númros positivos A y B val Calcular dichos númros para qu su producto A B sa máimo S sab qu Por tanto: A + B B A 4 AB A A A A 4 La función f( A) A A tin un máimo n la solución d f ( A ) qu haga ngativa a f ( A ) Drivando rspcto a A: 64A 4A f ( A) 64A 4A 4A 6 A 4 A A S obtin trs solucions: A ; A 4 y A 4 (Las dos primras carcn d sntido) f A cuando Para dtrminar si n A 4 s da l máimo buscado, n vz d drivar d nuvo, pud studiars l crciminto y dcrciminto n un ntorno d s valor Si A < 4, f ( A ) > la función crc Si A > 4, f ( A ) < la función dcrc Esto confirma qu l máimo buscado s da cuando A 4; lo qu implica qu B también val 4 46 País Vasco, julio Hallar la intgral d, plicando l método utilizado para dicho ( + )( ) cálculo Esta intgral db hacrs por dscomposición n fraccions simpls S hac lo qu sigu: Las raícs d + son: y Por tanto: A + B + C + A( )( ) + B( )( ) + C( )( ) ( )( )( ) En conscuncia: + 7 A( )( ) + B( )( ) + C( )( ) Los valors d A, B y C pudn obtnrs dando valors a : si A A 5 si B B si 6 C C 8 Lugo: + 7 d + 5ln ln 8ln d + + c

31 ANÁLISIS (Slctividad 4) 47 País Vasco, julio 4 Al sumar múltiplos sguidos d obtnmos l valor 6 En sa suma, cuál s l primr múltiplo d? Y l último? Si l primr múltiplo d s dsigna por n, ntoncs s tin: n+ ( n+ ) + ( n+ ) + + ( n+ ) 6 El primr mimbro d la igualdad s transforma como sigu: n+ n+ + n+ + + n+ n + ( ) ( + ) 6n+ 6n+ 6 Por tanto: 6n+ 6 6 n El primr númro s ; l último, 9

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II)

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II) IES Padr Povda (Guadi) EJERCICIOS UNIDAD : DERIVACIÓN (II) 3 (03-M4-B-) (5 puntos) Condra la función f : R R dada por f ( ) = + a + b+ c Dtrmina a, b y c sabindo qu la rcta normal a la gráfica d f n l

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad. Aplicacions d la drivada: condicions d

Más detalles

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x (

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x ( ANÁLISIS MATEMÁTICO Continuidad y drivabilidad d funcions si = 0 - Estudia la continuidad d la función f ( ) = si o sn si (, π / ) si π / < 0 - Dtrmina los valors d a y d b para qu sa continua la función:

Más detalles

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 98 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas

Más detalles

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución:

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) PROBLEMAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Pguntas d tipo tst. (J). La función f ( ) ln: a) Tin puntos stacionarios (o críticos, s dcir, puntos cuya primra drivada

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto

Más detalles

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

Límites finitos cuando x: ˆ

Límites finitos cuando x: ˆ . Límits latrals its al infinito 7 FIGURA.3 3 3 La gráfica d = >. (b) La cuación () no s aplica a la fracción original. Ncsitamos un n l dnominador, no un 5. Para obtnrlo multiplicamos por >5 l numrador

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

Idea La derivada de una función, f(x), en un punto P se interpreta geométricamente con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Idea La derivada de una función, f(x), en un punto P se interpreta geométricamente con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. http://matmaticas-tic.wikispacs.com Lambrto Cortázar Vinusa 06 DERIVADAS EJERCICIOS WIKI Ida La drivada d una unción, (), n un punto P s intrprta gométricamnt con la pndint d la rcta tangnt a la curva

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 7 Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

DERIVADAS. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. = 0 utilizando la definición.

DERIVADAS. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. = 0 utilizando la definición. DERIVADAS Dinición d drivada Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. Ejrcicio nº.- Calcula la drivada

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando la función pud comportars d divrsas manras: f l Al aumntar los valors d, los valors d f s aproiman a un cirto númro l.

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS DICIEMBRE DE 7 EJERCICIOS DE

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. Una sri d aspctos d la gráfica d una función vistos antriormnt monotonía, máimos mínimos otros qu vrmos postriormnt, pudn studiars fácilmnt mdiant drivadas. La maor

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. Tasa d variación mdia. Cálculo y signiicado EJERCICIO : Considramos la unción:. Halla la tasa

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones

Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Matmáticas II TEMA 7 Límits y continuidad d funcions Límit d una función n un punto Ida inicial Si una función f stá dfinida para todos los valors d próimos a a, aunqu no ncsariamnt n l mismo a, ntoncs,

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f ) = l S l: El it cuando tind a c d f) s l c Significa: l s l valor al qu s aproima

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado Ejrcicios rsultos d ntroducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 2 La ofrta, la

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada.

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada. MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 6-3- Análisis OPCIÓN A.- Dada la función + b + c f = Ln( + ) > a) Calcular sus asínoas b) Calcular razonadamn b y c para qu sa drivabl y calcular su función drivada. a) El

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción CINÉTICA QUÍMICA 1 - Razon: a) Si pud dducirs, a partir d las figuras corrspondints, si las raccions rprsntadas n (I) y (II) son d igual vlocidad y si, prvisiblmnt, srán spontánas. b) En la figura (III)

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

1.-PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. Límites cuando

1.-PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. Límites cuando -PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo d límits cuando Límits cuando a R a R s raliza sustituyndo por a Si st valor s un númro ral ntoncs ya stá calculado y st límit s único, pro n algunos

Más detalles

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO MTEMÁTICS II PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD DE OVIEDO.- NÁLISIS ª PRTE.- Cálclo Intgral.- MODELO DE PRUEB Dada la parábola, s corta por la rcta d cación ; n los pntos d intrscción s trazan las tangnts a

Más detalles

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL 1.- INTRODUCCIÓN. La prsnt práctica tin por objto introduir al alumno n l cálculo d trns d ngranajs, tanto simpls d js parallos, compustos y trns

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

Límite Idea intuitiva del significado Representación gráfica

Límite Idea intuitiva del significado Representación gráfica LÍÍMIITES DE FUNCIIONES ((rrsumn)) LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f() k s : ímit d a función f() cuando tind a k Límit Ida intuitiva d significado Rprsntación gráfica Cuando f() A aumntar, os vaors d f() s van

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES

LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES 96 LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES JUSTIFICACIÓN: En sta Lcción s cntrará la atnción n l studio d aqullas cuacions difrncials ordinarias d primr ordn

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

DEPARTAMENTO DE QUÍMICA ANALÍTICA Y TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS.

DEPARTAMENTO DE QUÍMICA ANALÍTICA Y TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS. 1.- En ausncia d autoabsorción, la intnsidad d fluorscncia d una mustra s proporcional a la concntración, solo a concntracions bajas. Calcular

Más detalles

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 5 El Mrcado

Más detalles

UNIDAD 2 HIDRAÚLICA. GENERALIDADES. Capítulo 2 PRESIONES EN LOS LÍQUIDOS : HIDROSTATICA SECCIÓN 2 : EMPUJES SOBRE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS

UNIDAD 2 HIDRAÚLICA. GENERALIDADES. Capítulo 2 PRESIONES EN LOS LÍQUIDOS : HIDROSTATICA SECCIÓN 2 : EMPUJES SOBRE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS UNDD HDRÚL. ENERLDDES apítulo PRESONES EN LOS LÍQUDOS : HDROSTT SEÓN : EPUJES SORE SUPERFES PLNS Y URVS ÁLULO DEL EPUJE EN SUPERFES PLNS Una suprfici plana sumrgida n un líquido con pso spcífico γ s ncuntra

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA VELOCIDAD DE REACCIÓN 1.- Escrib la xprsión d la vlocidad d racción n función d la concntración d cada una d las spcis qu intrvinn n l procso d obtnción d amoniaco. N + 3 H NH 3 d 1 v = [N] = 3 d 1 [H]

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposicions d Scundaria) TEMA 3 FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS Y SUS RECÍPROCAS. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN.. Introducción.. Funcions circulars... Funcions d Sno y

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional.

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional. Sistmas d control: Elmntos componnts, variabls, función d transfrncia y diagrama funcional. Introducción Los sistmas d control automático han jugado un papl vital n l avanc d la cincia y d la ingniría.

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl ilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz http://bit.ly/8l8u

Más detalles

1.- a) Hallar a y b para que la siguiente función sea continua en x = 1:

1.- a) Hallar a y b para que la siguiente función sea continua en x = 1: .- a) Hallar a y b para qu la siguit fució sa cotiua = : b L( ) < f = a = > L b) Para sos valors d a y b, studiar la drivabilidad d f =. Solució: a) f s cotiua l puto = lim f = f() E st caso f () = a lim

Más detalles

La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.- b u dv

La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.- b u dv a Dtrminar la intgral dfinida f ( ). g ( ) d, bosqjar l ára rprsntada por b la crva y las rctas a y b, con rspcto l j, aplicando l método d intgración por parts d cada no d los sigints problmas: Ejmplo

Más detalles

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES Asignatura: Economía y Mdio Ambint Titulación: Grado n cincias ambintals Curso: 2º Smstr: 1º Curso 2010-2011 Profsora: Inmaculada C. Álvarz Ayuso Inmaculada.alvarz@uam.s

Más detalles

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Introducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions actas.7 Factor Intgrant.8 Estabilidad dinámica dl quilibrio.9

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tma Límits, continuidad y asíntotas Matmáticas I º Bachillrato TEMA LÍMITES, CONTINUIDAD ASÍNTOTAS CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO : Sobr la gráfica d f), halla : 8 8 8 f f c) f f ) f f f c) f f )

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA OBJETIVOS Invstigación d la rgión visibl dl spctro dl átomo d Hidrógno y dtrminación d la constant d Ridbrg. Calibración d la scala dl spctrómtro d prisma. Dtrminación

Más detalles

ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 CÁLCULO DIFERENCIAL CUADERNILLO DE TRABAJO EN CLASE TERCER CUADERNILLLO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 CÁLCULO DIFERENCIAL CUADERNILLO DE TRABAJO EN CLASE TERCER CUADERNILLLO DE CÁLCULO DIFERENCIAL TERCER CUADERNILLLO DE COMPETENCIAS A DESARROLLAR: 1. Intrprta gráficas d funcions continuas y discontinuas analizando l dominio y contradominio; y argumnta l comportaminto gráfico d la variabl dpndint

Más detalles

4.2. Ejemplo de aplicación.

4.2. Ejemplo de aplicación. HEB 8 Dsarrollo dl método d los dsplazamintos 45 4.. Ejmplo d aplicación. ontinuando con l pórtico dscrito n l apartado (3.8), s van a calcular las cargas y, postriormnt, sguir con l cálculo matricial,

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) . Ecuacions difrncials d ordn suprior Chma Madoz, VEGAP, Madrid 009 Ecuacions linals: toría básica Un problma d valor inicial d n-ésimo ordn consist n rsolvr la EDO linal: a n n d d d a a a0 g n n n d

Más detalles

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 3. LÍMITES COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód. 8367 TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Dfinición: S dic qu l límit d l función f s igul L, cundo tind, si cundo s proim, f s proim L, sin

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN DIO CÍTICO DE ISCIÓN En sta clas s studiará la transfrncia d calor n una tubría d radio xtrno (0,0 ft), rcubirta con un aislant d spsor (0,039 ft), qu transporta un vapor saturado a (80 F). El sistma cañría

Más detalles

Seguridad en máquinas

Seguridad en máquinas Obsrvación d la norma UNE EN ISO 11161 rlacionada con los rquisitos qu db cumplir la structura d dispositivos d protcción Los dispositivos d protcción dbrán disñars y construirs d acurdo con la norma ISO

Más detalles

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA CÓDIGO TÉCNICO DE LA EDIFICACIÓN ACONDICIONAMIENTO TÉRMICO E HIGROMÉTRICO: CÁLCULO SEGÚN CTE El acondicionaminto térmico higrométrico s rcog n l Documnto Básico HE Ahorro d Enrgía, cuyo índic s: HE 1 Limitación

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4 CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS) EUAIONES DIFERENIALES ORDINARIAS EDOS.- Introducción onsidrmos los siguints roblmas. Problma uáls srán las curvas qu vrifican qu la ndint n cada uno d sus untos s igual al dobl d la suma d las coordnadas

Más detalles

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE Rport Nº: 05 Fcha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE El prsnt inform tin como objtivo spcífico stablcr los movimintos migratorios

Más detalles