Perturbación de los valores propios simples de matrices de polinomios dependientes diferenciablemente de parámetros

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1 Perturbacón de los valores propos smples de matrces de polnomos dependentes dferencablemente de parámetros M Isabel García-Planas 1, Sona Tarragona 2 1 Dpt de Matemàtca Aplcada I, Unverstat Poltècnca de Catalunya, Barcelona E-mal: 2 Dpto de Matemátcas, Unversdad de León, León E-mal: Resumen Sea P (λ) = k =0 λ A (p) una famla de matrces polnomales mónca dependente dferencablemente de parámetros reales Las matrces polnomales aparecen de forma natural asocadas a los sstemas de ecuacones dferencales lneales de la forma k =0 A x () (t) = f(t) De especal relevanca es el caso de los sstemas dferencales lneales de segundo orden, ya que aparecen en muchas aplcacones de ngenería En este trabajo se estuda el comportamento de los valores propos de una famla de matrces polnomales móncas, P (λ), obtenendo fórmulas explíctas descrbendo el comportamento de los valores y vectores propos correspondentes, en funcón de los parámetros El estudo de la varacón de los valores propos de una matrz polnomal, dependente dferencablemente de parámetros, es, por sus múltples aplcacones, de gran nterés La teoría de perturbacones de valores y vectores propos de matrces cuadradas está ben establecda En este trabajo se extenden, a las matrces polnomales, algunos de estos resultados El resultado obtendo es un punto clave para los estudos de establdad, ya que permte analzar las sngulardades en la frontera de la establdad Es ben sabdo, que el estudo de la establdad, para muchos problemas mecáncos y sstemas de control, se reduce al análss de valores propos de la matrz polnomal asocada a la ecuacón dferencal Palabras clave: Matrz polnomal, Valores propos, Perturbacones 1 Introduccón Los valores propos desempeñan un papel mportante en stuacones en que la matrz polnomal es una aplcacón lneal de un espaco vectoral sobre sí msmo Como ejemplo tenemos los sstemas de ecuacones dferencales lneales ordnaras Los valores de los valores propos pueden corresponder a las frecuencas de vbracón, a los valores crítcos de los parámetros de establdad o a los nveles de energía de los átomos, entre otros Los valores propos de algunas matrces son sensbles a las perturbacones Pequeños cambos en los elementos de la matrz pueden dar lugar a grandes cambos en los valores propos Los errores de redondeo ntroducdos durante el cálculo de los valores propos con 1

2 M Isabel García-Planas, Sona Tarragona artmétca de coma flotante, tenen el msmo efecto que vstos como perturbacones en la matrz orgnal En consecuenca, estos errores de redondeo se magnfcan en los cálculos de los valores de los valores propos sensbles El estudo del comportamento de los valores propos, tanto smples como múltples, de una matrz dependente dferencablemente de parámetros, tene un gran nterés por sus múltples aplcacones La teoría de perturbacones para los valores y vectores propos de matrces cuadradas está ben establecda, ver [6] por ejemplo En este trabajo se extenden algunos de estos resultados a matrces polnomales El resultado obtendo es un punto clave para estudar la establdad y la nestabldad, ya que permte analzar las sngulardades en la frontera de la establdad Es ben sabdo que el estudo de la establdad, para muchos problemas mecáncos y sstemas de control, se reduce al análss de los valores propos de la matrz polnomal asocada a la ecuacón dferencal Así tambén, la establdad asntótca se logra cuando todos los valores propos de la matrz polnomal se encuentran a la zquerda del semplano complejo Las matrces polnomales que poseen esta propedad se dce que son estables 2 Matrces polnomales Una matrz polnomal cuadrada de orden n y grado k es un polnomo cuyos coefcentes son matrces de la forma k P (λ) = λ A, A 0,, A k M n (F), (1) =0 donde F es el cuerpo de los números reales o complejos Nos centramos en matrces polnomales móncas Una matrz polnomal P (λ) se dce que es mónca s A k = I n Las matrces polnomales como las defndas en (1) aparecen asocadas de forma natural a los sstemas de ecuacones dferencales lneales A k x (k) (t) + A k 1 x (k 1) (t) + + A 1 x 1 (t) + A 0 x(t) = f(t) (2) donde x(t) es una funcón vectoral real con n coordenadas (ncógntas), x (j) (t) denota la j-ésma dervada de x(t) y f(t) es otra funcón vectoral con n coordenadas De partcular relevanca es el caso de sstemas lneales de segundo orden, ya que aparecen en muchas aplcacones de ngenería Los valores propos de una matrz polnomal P (λ) son los ceros del polnomo escalar de grado nk, det P (λ) Sea λ 0 un valor propo de la matrz polnomal P (λ), entonces exste un vector v 0 0 tal que P (λ 0 )(v 0 ) = 0, este vector recbe el nombre de vector propo Llamaremos cadena de Jordan de longtud k + 1 para P (λ) correspondente al número complejo λ 0 a la sucesón de vectores n-dmensonales v 0,, v k tales que l=0 1 l! P (l) (λ 0 )v l = 0, = 0,, k (3) donde P (l) denota la l-dervada de P (λ) con respecto a la varable λ S λ 0 es un valor propo, entonces exste una cadena de Jordan de longtud al menos 1, formada por el vector propo 2

3 Perturbacón de los valores propos smples de matrces polnomales Sea λ 0 un valor propo de P (λ), como det P t (λ 0 ) = det P (λ 0 ) = 0, entonces λ 0 es un valor propo de P t (λ) Para este valor propo exste un vector propo u 0, esto es P t (λ 0 )(u 0 ) = 0, equvalentemente u t 0 P (λ 0) = 0, por lo que u 0 recbe el nombre de vector propo por la zquerda de valor propo λ 0 de P (λ) Lema 1 Sea λ 0 un valor propo smple de P (λ) Entonces dado un vector propo v 0, exste un vector propo por la zquerda u 0 tal que u t 0 v 0 0 Demostracón: Sea v 0 un vector propo de P (λ) de valor propo smple λ 0, entonces v 0 es un vector del núcleo del endomorfsmo P (λ 0 ) Consderemos una base ortonormal completada de v 0 y escrbamos la matrz del endomorfsmo en esta base 0 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 a n2 a nn al ser la matrz en bases ortonormales tenemos que la matrz de P t (λ 0 ) es su traspuesta, de donde el subespaco [v 0 ] es nvarante por el endomorfsmo P t (λ 0 ) S u 0 [v 0 ] entonces 0 es valor propo de a 22 a 2n a n2 a nn por lo que λ 0 es valor propo de P (λ) de multplcdad al menos 2, lo que contradce la hpótess de que el valor propo es smple, de donde u 0 / [v 0 ] y u t v 0 0 Un vector polnomal p(λ) de dmensón n, recbe el nombre de raíz polnomal s y sólo s p(λ 0 ) 0 y P (λ 0 )p(λ 0 ) = 0 El orden de λ 0 como cero de P (λ)p(λ) recbe el nombre de orden de la raíz polnomal (Nótese que el orden de una raíz polnomal es menor o gual que la multplcdad de λ 0 como raíz de det P (λ) Para más nformacón ver [5] o [4] por ejemplo 3 Perturbacón de valores propos smples Sea P (λ) = k =0 λ A una matrz polnomal y supongamos que las matrces A dependen dferencablemente del vector p de parámetros reales p = (p 1,, p n ) La funcón P (λ; p) = k =0 λ A (p) recbe el nombre famla multparamétrca de matrces polnomales Los valores propos de la funcón de matrces polnomales son funcones contnuas del vector p de parámetros En esta seccón vamos a estudar el comportamento de un valor propo smple de la famla de matrces polnomales P (λ; p) Sea λ(p) un valor propo smple de la matrz polnomal P (λ; p) Puesto que λ(p) es una raíz smple del polnomo det P (λ), tenemos det P (λ; p) 0 (4) λ 3

4 M Isabel García-Planas, Sona Tarragona La expresón (4) nos permte aplcar el teorema de la funcón mplícta a la ecuacón det P (λ; p) = 0, y observamos que el valor propo λ(p) de la famla de matrces polnomales, dependente dferencablemente del vector de parámetros p, y sus dervadas con respecto a los parámetros son λ(p) det P (λ; p) p =, = 1,, n (5) λ det P (λ; p) Ejemplo 1 λ p 1 p 1 p 1 + p 2 P (λ; p) = 0 λ p 1 p 1 p λ p 2 det P (λ; p) = (λ p 1 ) 2 (λ p 2 ), entonces exsten dos valores propos λ 1 (p) = p 1 doble y λ 2 (p) = p 2 smple Para todo (λ, p 1, p 2 ) tal que det P (λ; p) 0 podemos aplcar el teorema de la funcón mplícta, en partcular en el punto (p 2, p 1, p 2 ) λ(p) p 1 = 2(λ p 2) 3λ 2p 2 p 1, En el punto (p 2, p 1, p 2 ) tenemos λ(p) p 1 λ(p) p 2 = = 0 y λ(p) p 2 = 1 λ p 1 3λ 2p 2 p 1 Tenendo en cuenta que λ(p) es un valor propo smple y que la suma de las longtudes de las cadenas de Jordan en un conjunto canónco, es la multplcdad de los valores propos como ceros det P (λ; p), tenemos que las cadenas de Jordan conssten sólo de vectores propos El vector propo v 0 (p) correspondente al valor propo smple λ(p) es determnado salvo un factor escalar α no nulo Este vector propo determna un subespaco de nuldad de dmensón uno del operador matrcal P (λ(p); p) dferencablemente dependente de p Por lo tanto, el vector propo v 0 (p) puede ser escogdo como una funcón dferencable de los parámetros En el ejemplo 1 los vectores propos son v 0 (p) = α(p 2, p 1 p 2, p 1 p 2 ), con α 0 En general los vectores propos no son obtendos tan fáclmente Vamos a tratar de obtener una aproxmacón medante sus dervadas De ahora en adelante y s no hay confusón posble, escrbremos λ en lugar de λ(p) Sea P (λ; p) = λ k I n + λ k 1 A k 1 (p) + + λa 1 (p) + A 0 (p) una matrz polnomal mónca de grado k S P (λ; p) tene un valor propo smple λ(p) entonces exste un vector propo v 0 (p) tal que P (λ(p); p)v 0 (p) = 0 Tomando las dervadas con respecto a p tenemos 4

5 Perturbacón de los valores propos smples de matrces polnomales (kλk 1 λ I n + (k 1)λk 2 λ A k 1 (p) + λ k 1 A k 1(p) λ A 1 (p) + λ A 1(P ) + A 0(p) )v 0 (p) + P (λ; p) v 0(p) = 0 ( λ ( v 0 (p) = P (λ; p) v 0(p) λ Sea p 0 tal que λ(p 0 ) = λ 0 es un valor propo smple y v 0 (p 0 ) un vector propo Consderamos un vector propo por la zquerda u 0 para este valor propo Lema 2 Exste un vector propo por la zquerda tal que u t 0 λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) 0 Demostracón: S u t 0 λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) = 0, entonces λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) [u 0 ], pero [u 0 ] = Im P (λ 0, p 0 ) ya que λ 0 es smple En estas condcones, tenemos que el vector λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) es una combnacón lneal de columnas de P (λ 0 ; p 0 ), es decr exste v 1 tal que equvalentemente λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) = P (λ 0 ; p 0 )v 1 λ P (λ; p) (λ 0,p 0 )v 0 (p 0 ) + P (λ 0 ; p 0 )( v 1 ) = 0 Pero, esto no es posble puesto que la longtud de las cadenas de Jordan para valores propos smples es uno Proposcón 1 La matrz T 0 = P (λ 0 ; p 0 ) + u 0 u t 0 es nvertble Demostracón: u 0 u t 0 es un endomorfsmo smétrco de rango 1 El vector u 0 es un vector propo de valor propo u 0 2 ; por tanto [u 0 ] es el subespaco de vectores propos de valor propo 0 Sea ahora, w Ker T 0, entonces w = αu 0 + w 1 con w 1 [u 0 ] Entonces, 0 = u t 0 T 0(w) = u t 0 (P (λ 0; p 0 ) + u 0 u t 0 )(αu 0 + w 1 ) = αu t 0 P (λ; p 0)u 0 + αu t 0 u 0u t 0 u 0 + u t 0 P (λ 0; p 0 )w 1 + u t 0 u 0u t 0 w 1 = (a) α(ut 0 u 0) 2 (a) observar que u 0 es un vector propo por la zquerda de P (λ; p 0 ) y w 1 Ker u t 0 u 0 Por lo que α = 0 y w [u 0 ] = Ker u t 0 u 0, de donde w Ker P (λ 0 ; p 0 ); es decr w es un vector propo de P (λ; p 0 ) de valor propo λ 0, pero el valor propo λ 0 es smple luego w = βv 0, pero por el lema 1, tenemos u t 0 v 0 0 lo que mplca β = 0 y w = 0 5

6 M Isabel García-Planas, Sona Tarragona Teorema 1 El sstema ( λ ( λ p (λ0,p 0 )v 0 (p 0 ) = P (λ 0 ; p 0 ) v 0(p) (λ0,p 0 ) tene una solucón s y sólo s u t 0( λ ( λ p (λ0,p 0 )v 0 (p 0 ) = 0 (6) Demostracón: S el sstema tene una solucón entonces exste un vector propo por la zquerda u 0 para el valor propo λ 0, luego (6) se cumple Recíprocamente Supongamos que (6) se verfca, tenendo en cuenta el lema 2 obtenemos una solucón para λ : (λ0,p 0 ) λ (λ0 ;p 0 ) = v 0 (p 0 ) (λ0,p 0 ) u t 0 ( λ P (λ; p)) (λ 0 ;p 0 )v 0 (p 0 ) Una vez conocdo el valor de λ podemos despejar v(p), de la sguente manera, puesto que u t P (λ 0 ; p 0 ) = 0 y S = P (λ 0 ; p 0 ) + u t 0 u 0 es nvertble podemos añadr a (λ0,p 0 ) la derecha de la ecuacón ( λ ( λ p (λ0,p 0 )v 0 (p 0 ) = P (λ 0 ; p 0 ) v 0(p) (λ0,p 0 ) el térmno u t 0 u v 0 (p) 0, tenendo (λ0,p 0 ) y ( λ ( λ p (λ0,p 0 )v 0 (p 0 ) = S v 0(p) (λ0,p 0 ) v 0 (p) = S 1 ( λ ( (λ0,p 0 ) λ p (λ0,p 0 )v 0 (p 0 ) Ejemplo 2 Sea P (λ; p) = λ 2 I 3 + A(p) con p 1 p 2 0 A(p) = p 2 p 1 p 1 + p 2, 0 p 2 p 1 una matrz polnomal mónca de segundo grado a dos parámetros En p 0 = (1, 1) la matrz polnomal es λ P (λ; p 0 ) = 1 λ λ 2 1 6

7 Perturbacón de los valores propos smples de matrces polnomales que tene el valor propo smple λ 0 = 1 Un vector propo para este valor propo es v 0 (p 0 ) = (2, 0, 1) t y un vector propo por la zquerda de P (λ 0, p 0 ) puede ser u t 0 = (1, 0, 1), entonces u t 0 v 0(p 0 ) = 3 0 Calculando A(p) = tenemos p λ = 1 p 1 (λ0,p 0 ) /3 1/3 1/3 S 0 = 1 0 2, S 1 = 1/2 0 1/ /6 1/3 1/6 Entonces, v 0(p) = (1/3, 0, 1/3) salvo el térmno adtvo αv 0 (p 0 ) p 1 Análogamente, calculamos v 0(p) p 2 Para esto, A(p) p 2 = , y tenemos λ = 0 Entonces p (λ0,p 0 ) v 0 (p) = ( 1/3, 0, 1/3) p 2 (λ0,p 0 ) Observamos que λ(p) = p 1 es un valor propo smple, un vector propo es v 0 (p) = (p 1 + p 2, 0, p 2 ), y para α = 1/3 obtenemos la solucón exacta v 0(p) p 1 = (1, 0, 0) = (1/3, 0, 1/3) + 1/3(2, 0, 1), y para α = 2/3 el valor exacto para v 0(p) p 2 = (1, 0, 1) = ( 1/3, 0, 1/3) + 2/3(2, 0, 1) Referencas [1] P Benner, V Mehrmann, H Xu, Perturbaton Analyss for the Egenvalue Problem of a Formal Product of Matrces, BIT, Numercal Mathematcs, 42, pp 1-43, (2002) [2] A P Seyranan, AA Malybaev, Multparameter Stablty Theory wth Mechancal Applcatons, World Scentfc, Sngapore, 2003 [3] FR Gantmacher, The Theory of Matrces I, II, Chelsea Pub Co New York (1977) [4] M ā I García, Introduccón a la Teoría de Matrces Polnomales Edcons UPC, Barcelona, 1999 [5] I Gohberg, P Lancaster, L Rodman, Matrx Polynomals, Academc Press, New York, 1982 [6] GW Stewart, J Sun, Matrx Perturbaton Theory, Academc Press, New York,

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