Evaluación de la estabilidad de taludes cohesivos de pie 1

Transcripción

1 Evaluacón de la establdad de taludes cohesvos de pe 1 Julo Cesar Quroz Vaca 2 Profesor Unverstaro e Ingenero Cvl Santa Cruz, 3 de juno del 2015 Resumen Los métodos para determnar el factor de segurdad de taludes smples homogéneos se basan en técncas relatvamente complejas fundadas en gráfcos, a través de ábacos y la consulta de tablas. En esta nvestgacón se plantea un método alternatvo relatvamente smple fundado en la estmacón de una ecuacón polnómca de grado tres. Esta ecuacón es el resultado de un ajuste por mínmos cuadrados de las observacones producdas como solucones exactas medante los métodos analítcos de Taylor y Fellenus para taludes cohesvos. Estas observacones se referen al ángulo central (θ) y al ángulo de la cuerda (α), evaluados ambos, en funcón de la nclnacón del talud (β). Las ecuacones estmadas permten evaluar de forma senclla, los datos necesaros para encontrar el factor de segurdad del talud de una forma rápda y práctca. En efecto, para la evaluacón de la segurdad del talud es posble emplear el método de nuestra preferenca (Fellenus por ejemplo, denomnado tambén, método sueco de las dovelas y/o bshop smplfcado). La ecuacón así propuesta es aplcable al caso de taludes homogéneos sn fltracones y con ángulo de frccón nulo (φ = 0). La valdacón de la ecuacón propuesta se realzó medante la comparacón con la solucón exacta, logrando excelentes resultados. Palabras Claves: ábaco de Taylor, ajuste por mínmos cuadrados, círculo de falla, establdad de taludes homogéneos, método de Fellenus. 1. Introduccón Para taludes en suelo arclloso homogéneo (condcón no drenada), Fellenus ha extraído algunas conclusones de carácter general como resultado de un gran número de aplcacones del procedmento de las dovelas. En la Tabla 1 aparece un aspecto de sus nvestgacones; en dcha tabla se defnen algunos círculos crítcos por los pes del talud en suelos puramente "cohesvos", correspondentes a ángulos de talud β menores a 60 o, frecuentes en la práctca. Las letras tenen el sentdo que se desprende de la Fgura 1. 1 Prmer artículo de nvestgacón presentado al programa de Doctorado en Cenca y Tecnología de la Undad de Postgrado de la Facultad de Tecnología de la UAGRM. 2 Master en Ingenería del Agua. Unversdad Juan Msael Saracho, Tarja, Bolva.

2 Tabla 1. Suelos puramente cohesvos (cohesón C 0; φ = 0) (Ref. 5) Talud V:H β(grados) α1(grados) α2(grados) 1: : : :2.00(o mayor) 26.6(o menor) Fgura 1. Talud de suelo homogéneo cohesvo (ángulos α 1 y α 2) Con los datos de la Tabla 1 (α1 y α2) y H (altura del talud), se puede calcular el rado (R), el ángulo central (θ) y el ángulo de la cuerda (α), de acuerdo a la Fgura 2. Queda así determnado el centro de la crcunferenca (Xc, Yc ubcado en "o") con lo que encontramos el factor de segurdad del talud (Fs). Fgura 2. Talud de suelo homogéneo cohesvo (ángulos α y θ) Para ángulos de talud mayores a 53 o, el círculo crítco es sempre un círculo de pe. La localzacón del centro del círculo de pe se encuentra con ayuda de la Fgura 3. 2

3 Fgura 3. Localzacón del centro de los círculos crítcos para β>53 o (Ref. 9) Los análss de establdad de taludes en suelos "cohesvos" homogéneos en el cuerpo de talud y en el terreno de cmentacón han demostrado (Taylor) que la "cohesón" necesara para garantzar la establdad de un talud de nclnacón se calculan aplcando la ecuacón (1). donde: c = N e γ m H; (1) γ m : peso específco del suelo que forma el talud y el terreno de cmentacón (KN/m 3 ); H: altura del talud (m); c: cohesón del suelo (Kpa); Ne = ndcador de establdad del talud. Vale la pena aclarar que Ne es una funcón de la nclnacón, β, del talud, cuando el círculo más crítco posble pasa por el pe de talud. Puede demostrarse que el valor β = 53 o es una frontera de nterés, de modo que s β > 53 o la superfce de falla más crítca posble pasa sempre por el pe del talud. S β < 53 o el círculo más crítco se presenta delante del pe del talud, producéndose una falla de base. Para encontrar el círculo más crítco posble es precso buscar aquel círculo que en el cálculo, de un factor de segurdad (Fs) mínmo. Según la defncón del ndcador de establdad usado por Taylor, el factor de segurdad puede evaluarse según la ecuacón (2). F s = N ec γ m H ; (2) 3

4 donde Fs es el factor de segurdad del talud analzado en térmnos de "cohesón". La experenca permte consderar a 1.5 como un valor de factor de segurdad compatble con una establdad práctca razonable. Debe entonces, cumplrse para la superfce hpotétca selecconada, FS > 1.5. Taylor presenta dos ábacos, uno para φ = 0, donde se puede hallar el ndcador (número) de establdad y luego el factor de segurdad drectamente (según las lustracones de la Fgura 4), y el otro ábaco para φ > 0, que requere de teracones para encontrar el factor de segurdad. Fgura 4. Abaco de Taylor (Ref.10) 2. Formas conocdas de evaluacón del factor de segurdad En esta seccón se presenta las fórmulas para evaluar el factor de segurdad sguendo el método de los momentos en la prmera, y de las dovelas, en el segundo. El Método Sueco. Es un procedmento de análss de establdad respecto a la falla por rotacón, en los que se consdera que la superfce de falla es un clndro, cuya traza con el plano en el que se calcula es un arco de crcunferenca. Exsten varos procedmentos para aplcar este método a los dstntos tpos de suelo, a fn de ver s un talud dado tene garantzada su establdad. Procedmento 1. Método de los momentos. El factor de segurdad vene dado por la ecuacón (3). 4

5 M R Fs ; (3) M m donde: MR: momento resstente; Mm: momento actuante o motor. Para suelos puramente cohesvos se tene los parámetros, defndos como sgue: (φ = 0, c 0); mentras que el factor de segurdad se calcula según (4). clr F s ; (4) Wd donde estos parámetros defndos como sgue, venen lustrados en la Fgura 5: c: cohesón (KN/m 2 ); L: longtud del arco del crculo; R = rado del crculo; W: peso del suelo; d: brazo de palanca. Fgura 5. Evaluacón del factor de segurdad por los momentos Procedmento 2. Método de las dovelas. Podemos tambén calcular el factor de segurdad por el método ordnaro de las dovelas, donde la fórmula vene dada por la ecuacón (5). 5

6 FS n 1 ( cl W cos( ) u l n 1 ( W sn( )) tan( )) (5) Como en el caso de los taludes cohesvos se tene u = 0 y φ = 0, (5) se transforma en (6). donde: FS n 1 n 1 ( W c: cohesón; L: longtud del arco; ( cl ) sn( )) cl T ; (6) mentras que T responde a la ecuacón (7). donde: T = n 1 ( sn( )) ; (7) W β: ángulo de cada dovela con respecto a la horzontal; T: fuerza tangencal a cada dovela Fundamentacón del método alternatvo de evaluacón Taylor y Fellenus realzaron y publcaron un gran volumen de nvestgacón en el tema de la establdad de taludes con la ntencón de evtar a los proyectstas el trabajo largo y tedoso del cálculo del factor de segurdad por tanteos. Como ya expuesto, Taylor presenta ábacos gráfcos de fácl manejo para encontrar el ndcador (número) de establdad para cualquer nclnacón de talud, con el que se puede calcular el factor de segurdad. Fellenus presenta los datos resumdos en la Tabla 1. Con esos datos podemos encontrar las coordenadas del centro y el rado del círculo crítco o de falla del talud para taludes de nclnacón menor a los 60 o, váldo tan sólo, para algunas nclnacones de los taludes más usuales. De esta manera, s queremos encontrar datos para el círculo de falla del talud para nclnacones mayores a los 60 o tenemos que acudr a un ábaco grafco (como el de la fgura 3 y referenca 9). 3 El lector encuentra una explcacón detallada de este procedmento en la referenca 5 de la bblografía. 6

7 En síntess, Fellenus y Taylor desarrollaron fórmulas analítcas complejas dfíclmente aplcables en stuacones de la práctca, para la estmacón del factor de segurdad. Por esta razón, los proyectstas utlzan los métodos gráfcos y de ábaco, prevamente descrtos en este documento. De esta manera, fruto de esta nvestgacón, se propone un método de evaluacón del factor de segurdad medante ecuacones sencllas estmadas medante una regresón de mínmos cuadrados. Este análss de regresón ha sdo realzado sobre las observacones generadas por las complejas fórmulas analítcas de estos autores encontrando que el ajuste es en un caso, gual al 100%. 4. La ecuacón propuesta Como señalado, el punto de partda de la fórmula propuesta son los valores obtendos al aplcar las ecuacones de Fellenus y Taylor para círculos de pe de talud. En efecto, al r varando el ángulo del talud, (β desde 2 o a 90 o ), se obtenen los ángulos θ y α, (ángulo central y ángulo de la cuerda del círculo respectvamente). Estos valores se obtenen mnmzando estos ángulos con la fnaldad de reducr al mínmo posble, el factor de segurdad. Con estos valores se realza un ajuste de la curva por mínmos cuadrados de manera a obtener una ecuacón θ = f(β) y α = f(β), lo que nos permte encontrar en forma rápda el círculo crítco de falla (el rado y las coordenadas del centro del círculo) de un talud homogéneo. Según lo expuesto, Taylor propone unos ábacos para evaluar un ndcador (número) de establdad que luego nos da el factor de segurdad drectamente. En esta nvestgacón se utlza dcho método no para hallar el ndcador (número) de establdad, sno para hallar los componentes del círculo para así poder calcular el factor de segurdad del talud. En cuanto al método analítco de Fellenus, se lo emplea para verfcar que cada uno de los valores utlzados dé los msmos resultados. Dcho esto, las ecuacones propuestas tenen la forma que sgue en (8) y en (9). α = β β β 3 ; (8) con un coefcente de determnacón gual a %, (R 2 = ); mentras que la prueba de Durbn Watson aplcada a los erores de la ecuacón (8) arroja un valor gual a 2.38, ( = 1.62); con un nvel de sgnfcacón del 5%, el estadístco se encuentra en la zona de ndetermnacón de la prueba, (Dl=1.58), (Du=1.73). θ/2 = β β β 3 ; (9) con un coefcente del 100% (R 2 = 1); mentras que la prueba de Durbn Watson aplcada a los erores de la ecuacón (9) arroja un valor gual a 1.596; con un nvel de sgnfcacón del 5%, el estadístco se encuentra gualmente, en la zona de ndetermnacón de la prueba, (Dl=1.58), (Du=1.73). 7

8 Salvo por el Durbn Watson, los ndcadores de la bondad del ajuste como el coefcente de determnacón, estarían ndcando que el ajuste es completo, en el segundo caso, y cuas completo, en el prmero. Para controlar la valdez del modelo empleamos la solucón exacta de los ángulos de nclnacón de taludes más comunes en la práctca, obtenendo los resultados de la Tabla 2. Tabla2. Comparacón de resultados (en grados sexagesmales) Solucón exacta Fellenus, Taylor Formulas propuestas β θ α θ α En la prmera columna de la Tabla 2 aparece la varable ndependente β, en funcón de la cual se evalúan las funcones. En las sguentes dos columnas se tene los valores exactos del ángulo central (θ) de la crcunferenca y del ángulo de la cuerda (α), calculados según las fórmulas propuestas por Fellenus y Taylor; mentras que en las sguentes dos columnas se observa que los valores que da la fórmula propuesta son muy aproxmados a la solucón exacta. En la Fgura 5 se observa la relacón entre las varables donde la solucón exacta corresponde a un ángulo del talud (β) gual a o y un valor de α = θ/2 = A modo de comprobacón aplcamos la fórmula propuesta de acuerdo a lo que sgue: α = (60.51) (60.51) (60.51) 3 =35.57 θ/2 = (60.51) (60.51) (60.51) 3 =35.58 Se demuestra así, que las ecuacones propuestas(35.57 y 35.58) son muy aproxmadas a la solucón exacta ( o ). 8

9 5. Cálculo del factor de segurdad Fgura 5. Evaluacón α y θ/2 en funcón de β En esta seccón se utlza las fórmulas propuestas para evaluar el factor de segurdad según los métodos expuestos para los datos que fguran a contnuacón. c = 40 KN/m 2 ϒm = 17 KN/m 3 H = 5 m. β = 60 o Procedmento 1. Método de los momentos. De acuerdo a la ecuacón (8) tenemos: α = (60) (60) (60) 3 = Según la ecuacón (9): θ =2( (60) (60) (60) 3 )= Sabendo que M m Wd, calculando Wd en funcón de los ángulos β, α, y θ tenemos: Wd 3 ( 2 17)(5) cot Mm = Wd = KN.m R csc(35.338)csc( ) 7.37 m (60) 3cot(60)cot(35.338) 3cot(60)cot( ) 3cot(35.338)cot( ) 2 2

10 71.815( ) L R( ) 7.37( ) m 180 MR = c L R = (40)(9.237)(7.37) = KN.m De acuerdo a ecuacón (3) y (4) se tene: M FS M R m Según el valor encontrado podemos decr que el talud es estable puesto que 2.47 > 1.5. Procedmento 2. Método de las dovelas. Con este método podemos llegar al msmo resultado. Para ello necestamos conocer las coordenadas del centro del círculo y el rado. Para calcular el centro necestamos prevamente conocer el ángulo ( ) que forma la cuerda con el rado que está en funcón del ángulo central: sn( ) sn(71.815) a sn a sn sn( ) 2sn( ) 2 2 Xc 7.37sn( ) m Yc 7.37 cos( ) m R = 7.37 m Con el centro del círculo (Xc, Yc) y el rado (R), calculamos el factor de segurdad, gual a 2.46, con la ayuda de una planlla realzada en Mcrosoft Excel 4 Se observa que por cualquera de los 2 métodos de cálculo, el factor de segurdad es práctcamente el msmo (2.47 y 2.46, respectvamente); la pequeña dferenca es debdo a que en el método de las dovelas se descompone el círculo en segmentos los que nos permte hallar el valor de la longtud del arco (L = 9.16 m.), en forma aproxmada, lo que orgna la dferenca en el valor del factor de segurdad. o 4 Para más detalle ver Anexo 1 10

11 6. Conclusón Con la aplcacón de las fórmulas propuestas podemos calcular fáclmente el factor de segurdad de un talud homogéneo cohesvo donde el círculo de falla pasa por el pe de talud como se ha demostrado, sn tener que recurrr a tanteos. La fórmula es válda para taludes con nclnacón desde 2 o a 90 o. Referencas 1.- M. J. Goodman, J. L. Chameau and C. W. Lovell (1983) "Desgn of compacted clay embankments for mproved stablty and Settlement performance", Indana department of hghways, jont hghways research project, Purdue Unversty. 2.- Dalm Kumar Majumdar (1964) "Smplfed Approach to the Problem of Stablty of Sol Slopes Under Horzontal Earthquake and Pore Pressure", All Graduate Theses and Dssertatons. Paper 1586.Utah State Unversty, Logan. 3.- JIANG, B. S., M. F. CAI, and A. Z. LV (2004) Analytcal Calculaton of Slope Stablty, Chnese Journal of Rock Mechancs and Engneerng, Vol. 23, No. 16, pp Shuangshuang Xao, Kemn L, Xaohua Dng, L Ma and Tong Lu (2014) "Numercal Calculaton on Stablty of Crcular Slp Slopes", electronc journal of geotechncal engneerng. 5.- JUAREZ BADILLO, RICO RODRIGUEZ (1981) "Mecánca de Suelos", Edtoral Lmusa, Tomo II, 3ra. Edcón, Méxco. 6.- Taylor Donald W.( 1937), "Stablty of Earth Slopes", Journal of the Boston Socety of Cvl Engneers, Vol. XXIV, No W. Fellenus (1936), Calculaton of the stablty of earth dams, In Transactons, 2nd Congress on Large Dams, Washngton, Vol Sad M. Easa & Al R.Vatankhah (2011), "Explct Equaton for safety factor of smple slopes", 9.- Das, Braja M. (2001), "Fundamentos de ngenería geotécnca", 1ra Edcón, Thomson Edtores Suarez Jame (2014), "Deslzamentos: Análss Geotécnco", Tomo 1, Edcón electrónca, Colomba. 11

12 Anexo 1 12