Simulación y Optimización de Procesos Químicos. Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Simplex Flexible de Nedler y Mead.

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Ángela Sandoval Fuentes
hace 8 años
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1 Simulación y Optimización de Procesos Químicos Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Simplex Flexible de Nedler y Mead. Introducción Descripción del Algoritmo Esquema del Algoritmo Octubre de 2009.

2 Método para optimización de una función multivariable sin restricciones. min : f ( x) Probablemente el método numérico para optimización sin restricciones que más se ha utilizado. No exige la función objetivo sea deferenciable ni ninguna otra característica especial.

3 Punto Inicial: Comienza con un simplex: Figura formada por N+1 puntos no alineados (N = número de variables). Normalmente en el punto inicial todos los puntos están igualmente separados, aunque no es necesario. x 2 x 1

Normalmente en el punto inicial todos los puntos están

4 Paso 1: Se evalúa la función objetivo en cada uno de los puntos y se clasifican dichos puntos en función del valor obtenido. Punto con mejor valor de función objetivo Punto con peor valor de función objetivo Puntos con valores intermedios Mejor Valor Mejor valor Peor valor Peor Valor

Punto con mejor valor de función objetivo Punto con peor valor de

5 Paso 2: Excluyendo el peor valor se calcula el centroide de todos los demás puntos. x j cent 1 = N i x j i j = variable; i = punto Peor valor = centroide Peor Valor

6 Paso 3. Reflexión: Se calcula un nuevo por reflexión del peor punto respecto del centroide ( ) ( 1) x = x + x x γ γ = r c c peor r r Q* Reflexión Q* Reflexión Peor valor Peor Valor

7 Tras Reflexión: (a) Si el valor de la función objetivo en el nuevo punto es el mejor de todos Ir a Expansión (b) Si el valor de la función objetivo en el nuevo punto no es el mejor de todos, pero tampoco el peor Formar un nuevo simplex eliminando el punto con peor valor de función objetivo y añadiendo el punto calculado tras la reflexión. Volver a calculo de centroide (c) Si el valor de la función objetivo en el nuevo punto es el peor de todos Ir a Contracción

simplex eliminando el punto con peor valor de función objetivo y añadiendo el punto calculado tras la reflexión.

8 Q** Expansión: Se calcula un nuevo por reflexión extendida del peor punto respecto del centroide ( ) ( 2) x = x + x x γ γ = e c c peor e e Q* Reflexión Q** Q* Reflexión Peor valor Peor Valor

9 Tras Expansión: (a) Si el valor de la función objetivo en Expansión es mejor que el de la reflexión previa Eliminar el peor punto del simplex original y formar un nuevo simplex con los restantes puntos más el obtenido tras expansión. Volver a cálculo de centroide (b) En otro caso Eliminar el peor punto del simplex original y formar un nuevo simplex con los restantes puntos más el obtenido tras reflexión. Volver a cálculo de centroide

obtenido tras expansión. Volver a cálculo de centroide (b) En otro caso obtenido tras reflexión.

10 Contracción: Se calcula un nuevo por reflexión del peor punto respecto del centroide y coeficiente menor de la unidad ( ) ( 0.5) x = x + x x γ γ = co c c peor co co Q* Reflexión Q*** Contracción Q* Reflexión Q*** Contracción Peor Valor

11 Tras Contracción: (a) Si el valor de la función objetivo en Contracción es el mejor de todos los valores de función objetivo Eliminar el peor punto del simplex original y formar un nuevo simplex con los restantes puntos más el obtenido tras contracción. Volver a cálculo de centroide (b) En otro caso Ir a cambio de vértices (reducción del tamaño del simplex)

formar un nuevo simplex con los restantes puntos más el obtenido tras contracción.

12 Cambio de vértices: Se conserva el punto con mejor valor de función objetivo y se calculan N-1 nuevos puntos: ( ) x = x 0.5 x x i = 1... N / i mejor Ni mejor mejor i Mejor valor Mejor valor Nuevos vértices Peor Valor Con los nuevos puntos volver a cálculo del centroide

.. N / i mejor Ni mejor mejor i Mejor valor Mejor valor Nuevos

13 Finalización: El algoritmo termina cuando todos los puntos que forman el simplex están separados una distancia máxima pre-especificada El criterio de finalización se debe comprobar siempre después de una contracción o un cambio de vértices.

pre-especificada El criterio de finalización se debe

14 Evaluar los N+1 puntos iniciales y clasificar los puntos Calcular el centroide SIMPLEX FLEXILE ESQUEMA REFLEXION Aceptar punto reflexión y Rechazar xpeor F(xr) < Fmejor No Sí F(xr) < Fpeor Sí No EXPANSION CONTRACCION Sí F(xe) < Fmejor Sí F(xco) < Fpeor Aceptar punto expandido y rechazar xpeor Aceptar punto reflexión y Rechazar xpeor Aceptar punto Contracción y rechazar xpeor CAMIO DE VERTICES Comprobar convergencia

CONTRACCION Sí F(xe) < Fmejor Sí F(xco) < Fpeor Aceptar punto expandido y rechazar xpeor Aceptar punto

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