(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4.

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1 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles. RADICALES... Ríz cudrd. Anlicemos los siguientes ejemplos: == es un potenci de se y exponente. El resultdo,, es un cudrdo perfecto: (lo podemos visulizr como el áre de un cudrdo de ldo ) Pues ien, diremos que l se de dich potenci,, es su ríz cudrd exct: =. Análogmente psrí con = = : = 9 9 = : Así pues, podemos definir l ríz cudrd de un número como otro número cuyo cudrdo es igul l primero: = =. Además, podemos definir un número cudrdo perfecto como quel que tiene ríz cudrd exct. Oserv: =, =9, =0,... y 9 =8, 9 =8,... Terminn en los cudrdos de los números termindos en o en 9. =, =, =0,... y 8 =, 8 =,... Terminn en los cudrdos de los números termindos en o en 8. =, =, 9 =90,... Terminn en los cudrdos de los números termindos en. =, =9, =,... y =, =,... Terminn en los cudrdos de los números termindos en o en. =9, =89, 9 =89,... y =9, =9,... Terminn en 9 los cudrdos de los números termindos en o en. 0 =00, 0 =900, 90 =800,... Terminn en 0 los cudrdos de los números termindos en 0. Por tnto, un cudrdo perfecto sólo puede terminr en 0,,,,,9. Sin emrgo, existen muchos números que no son cudrdos perfectos:,, 9,... Por tnto, no representn un cudrdo ni tienen ríz cudrd exct. Ahor ien: =<<9= ; =9<<= ; 0 =00<9<= ;... José Gllegos Fernández

2 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles En el primer cso, es el myor número cuyo cudrdo es menor que, en el segundo cso es el myor número cuyo cudrdo es menor que, etc. Decimos que es l ríz enter de, es l ríz enter de,... Además, como - =, se dice que es el resto de l ríz cudrd enter de. Análogmente, - = es el resto de l ríz cudrd enter de, 9-0 =9 es el resto de l ríz cudrd enter de 9,... Podemos sí definir l ríz cudrd enter de un número como el myor número entero cuyo cudrdo es menor que dicho número, y el resto de l ríz cudrd de un número como l diferenci entre el número y el cudrdo de su ríz enter: = < 9< = : < < resto Por último vemos, en el siguiente ejemplo, cuál es el lgoritmo (o conjunto de procedimientos) que nos permite clculr un ríz cudrd: = ) Hcemos grupos de dos cifrs, de derech izquierd en l prte enter y de izquierd derech en l prte deciml, completndo con ceros si el último grupo qued con un sol cifr (el nº de grupos formdos en l prte enter indic el nº de cifrs que tendrá el resultdo). ) Se usc un nº que elevdo l cudrdo se menor o igul que el primer grupo (), que es. ) Se hce el cudrdo de (9) y se rest l primer grupo (), y d. ) Se j el segundo grupo de cifrs (8) y otenemos 8; l vez, se j el dole de () y se usc ñdirle un cifr (d), de modo que (dd) dé un número lo más próximo 8, sin superrlo, que es, cifr que colocmos l ldo del (y otenemos ). ) A 8 le restmos el nº otenido (), y d 9. ) Repetimos el proceso igul que en el pso : se j el tercer grupo de cifrs () y otenemos 9; l vez, se j el dole de (8) y se usc ñdirle un cifr (8d), de modo que (8dd) dé un número lo más próximo 9, sin superrlo, que es, cifr que colocmos l ldo del (y otenemos ). ) A 9 le restmos el nº otenido (), y d 9. 8) Como no hy más loques que jr, y hemos clculdo l ríz enter de 8., que es, y el resto, que es 9: 8 = ()² +9. 9) Como no es exct, podemos scr decimles jndo un grupo de dos ceros (00), colocndo un com de deciml en el resultdo ( ) y repitiendo otr vez todo el proceso, teniendo en cuent que cd vez que jmos el dole del resultdo que estmos oteniendo, lo hcemos sin tener en cuent l com del deciml. Ejercicio: Ríz Resto Complet l siguiente tl José Gllegos Fernández

3 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles.. Generlizción del concepto de ríz. (A) Si en vez de un número que elevdo l cudrdo nos dé otro, uscmos uno que elevdo l cuo o l curt o l quint, etc. proporcione otro número, otenemos el concepto de ríz cúic, curt, quint, etc. Así: = porque = = porque ( ) = = porque = 8 8 = porque = 8 9 =??? porque no hy un nº rel que elevdo l sext dé negtivo Así pues, l ríz de índice n de un número (o rdicl de índice n) será otro número tl que elevdo n nos d : (B) Ejemplos: índice n rdicl rdicndo = = n {} 0 índice ríz n n donde m signo rdicl rdicndo = ; = ; = ; m = m ; etc. Por tnto, si l ríz es exct tenemos un cntidd rcionl. ; ; ; ; etc. Por tnto, si l ríz es inexct tenemos un cntidd irrcionl o rdicl propimente dich. NOTA IMPORTANTE: n * Si 0, siempre existe =, en cuyo cso, 0. 9 = ; = ; 8 = ; = n * Si < 0, sólo existe = si n es impr, en cuyo cso < 0. 9 ; = ; 8 ; = Por desgrci, no existe ningún lgoritmo similr l que hy pr ls ríces cudrds que permit otener, mno, el resultdo de un ríz cúic o curt o quint, etc. De momento, l únic form de hcerlo serí utilizndo l clculdor, que tiene implntdo un progrm que le permite relizr culquier ríz de form proximd. José Gllegos Fernández 8

4 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles.. Potenci de exponente rcionl. Intentemos resolver l siguiente cuestión: Clculr un número, cuyo cudrdo se. ( ) = = = = = = Potenci de un potenci = Por tnto, prece lógico hcer l siguiente definición: (A) Un potenci de exponente rcionl es igul un rdicl cuyo índice es el denomindor del exponente y el rdicndo todo lo demás, es decir, l se de l potenci elevd l numerdor del exponente: p q q p =. Qued sí de mnifiesto l relción que existe entre ls ríces y ls potencis, de form que: hemos generlizdo l definición de potenci, permitiendo que en el exponente prezc un número rcionl. podemos justificr el hecho de que culquier ríz dee tener siempre un índice nturl (no cero): * = = = (los índices negtivos se pueden evitr) 0 0 * = =??? (el índice cero no tiene sentido) * = = (si el índice es uno, no es necesrio escriir l ríz) Así, el primer índice nturl que tiene sentido utilizr es el dos y, por ello, no se escrie. * = = = = (los índices rcionles tmién se pueden evitr) como prece lógico pensr que ls propieddes de ls potencis se vn seguir cumpliendo cundo el exponente es rcionl (los ejemplos siguientes lo corroorn), ésts nos sirven como un instrumento pr operr con ríces, unque podremos hcerlo sin necesidd de escriir los rdicles en form de potencis, lo cul hrá más reve l resolución de dichs operciones. ( ) ( ) + = = 8 = = = = = = 0 = 0 = = ( ) 9 = 9 = = = = 9 = 9 + ( ) + = = ; ( ) = ( ) ; : = = = = 9 0 = 9 ; ( ) : = ; = En este punto insistiremos más delnte, cundo nlicemos despcio ls operciones con rdicles. José Gllegos Fernández 9

5 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles (B) Ejercicios:. Escriir ls siguientes potencis en form de ríz: POTENCIA RAÍZ POTENCIA RAÍZ POTENCIA RAÍZ m n n m ( ) ( ) 8 8 x, x 0 x 9 y ( ) 9 x ( x y) x, 0 ( ) ( ) ( + ) + 9. Escriir ls siguientes ríces en form de potenci de exponente rcionl: RAÍZ POTENCIA RAÍZ POTENCIA RAÍZ POTENCIA 9 x x - x = - x = x = - = = ( ) ( ) 8 José Gllegos Fernández 80

6 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles. Expres en form de un únic potenci de exponente positivo: OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL , : 0, : : x x x - : - : - + m m + m - m - x y x + y -. Hllr, si es posile, el vlor de ls siguientes expresiones: OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. 8 0, , 00. Clcul si es posile: ; ; 8 ; ; 9 ; 8.. Operciones con rdicles. (A) SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Existen dos tipos de simplificción de ríces: + 9 = = = = ; = = = = = ( ) ( ) + ( ) 00 = = = = = = c = c = c = c = c c José Gllegos Fernández 8

7 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles En los ejemplos nteriores podemos oservr que se pueden simplificr ls ríces que, puests en form de potenci, tienen como exponente un frcción reducile o un frcción myor que l unidd: ést es l diferenci entre los dos tipos de simplificción...) Simplificción exponentes-índice: 8 = = = = 9 ; = = = = ( ) ( ) = = = = = = ( ) Potenci de un producto c = c = c = c Potenci de un producto Producto de potencis igul exponente Se pueden simplificr los exponentes y el índice del rdicl cundo todos se pueden dividir l vez por el mismo número, en cuyo cso, se reliz dich división y se escrie l ríz resultnte. Ejercicio: RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL x y 0 x : x y z 9 c 0 p x pq ( ) c x pq p 9 x c 0 x 8 c 8 Ls ríces sí otenids, se dice que son rdicles equivlentes y, pr otener rdicles equivlentes uno ddo, st con multiplicr (o dividir) el índice y los exponentes del rdicndo por un mismo número. Además, utilizndo est propiedd, podemos escriir vrios rdicles de form que tengn todos el mismo índice, es decir, podemos reducir rdicles común índice: 0 ; ; ; ; Reducir frcciones dor común d Pr hcerlo directmente, sin psr form de potenci, seguiremos los siguientes psos: Clculr el mcm de los índices (que será el índice común): ; mcm(, ) = 0 José Gllegos Fernández 8

8 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles Dividir el índice común entre el índice nterior y elevr el rdicndo l resultdo, o lo que es igul, multiplicr el resultdo por el exponente del rdicndo: = 0 ( ) y = 0 ( ). Entonces : ; Ejercicio: RADICALES SOL. RADICAL SOL. 8 ; 8 ; ; 0 ; z z ; ; ; 8 9 ; ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; 9 ; ; 0 ; 8 ; ; ; ; x y ; x y x y ; x y 8x ; m ; x ; ; m 0 x ; y ; z x ; ; 8 ; ; x 0 m ; x ; x y y ; x ; 9 m n n x ; x..) ERRADICAR: extrer fctores fuer del rdicl. ( ) ( ) = = = = Potenci de un producto Potenci de un potenci ( ) ( )( ) x = x = x = x = x x = x x Producto de potencis igul se + = = = 8 Pot enci Producto de un de potencis cociente igul se 8 = = = Asocitiv José Gllegos Fernández 8

9 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles Pueden scrse fuer del rdicl los fctores que tienen exponente myor o igul que el índice del rdicl. En este cso, se divide el exponente del rdicndo entre el índice del rdicl: el cociente es el exponente del fctor extrído y el resto el exponente del fctor dentro de l ríz. Ejercicios:. Extrer todos los fctores posiles de los siguientes rdicles. RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL c x y 8 x y 08 mn 9x y 8 m mn 8 x y 0 8 xy 8 x y x y z c 80 c 8 x y z mn 8 m n 9 c 9 x 9n m y x xy 8 9 x y. Simplific: 8 ; 9 ; ; 9 ; ; 0000 ; ; 000 ; 8 El proceso contrrio l errdicción es introducir fctores dentro del rdicl. Como cmos de ver, errdicr simplific los rdicles, por lo que introducirlos los complic y, por tnto, no lo hremos csi nunc. Aún sí, es importnte ser cómo se introducen los fctores, y que, en ocsiones, puede resultr de utilidd. José Gllegos Fernández 8

10 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles + = = = = = = = Potenci de un potenci Producto de potencis igul se Producto de potencis igul exponente Producto de potencis igul se x x = ( x ) = x = x = Pr introducir un fctor en un rdicl, se elev dicho fctor l índice de l ríz y lo escriimos y dentro del rdicl multiplicndo l rdicndo. Ejercicio: Introducir dentro del rdicl todos los fctores que se encuentren fuer de él. RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL. x y 8 xy x x n p m xy m m 8 x y 0 mn p m np - x m xm - x x 9 (B) SUMA-RESTA DE RADICALES: Ls ríces que tienen el mismo índice y el mismo rdicndo (diferenciándose solmente en los coeficientes), se llmn rdicles semejntes. - Ejemplos: ; = = ; ; = = = 8 Como pone de mnifiesto el ejemplo nterior, hy ocsiones en ls que, en prienci, los rdicles no son semejntes, pero después de simplificrlos sí lo son. Por tnto, siempre deemos relizr previmente el proceso de simplificción de ls ríces. + Anlicemos hor ls dos sums siguientes: +. José Gllegos Fernández 8

11 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles En mos, pr relizr l operción que se plnte, deemos seguir ls norms: primero l ríz, después l multiplicción y, por último, l sum. Ahor ien, existe un diferenci esencil entre mos: los dos rdicles de l primer cuent NO son semejntes, mientrs los dos de l segund cuent SÍ lo son, por lo que en el primer cso no podemos hcer nd (slvo cumplir ls norms), mientrs que en el segundo cso podemos scr fctor común l ríz (que es igul en los dos rdicles): + = ( + ) = y escriir l sum de un form más sencill. Esto lo podremos hcer siempre que los rdicles sen semejntes y, en este cso, como hemos visto, sumremos o restremos los coeficientes y dejremos l mism prte rdicl. Ejercicio: Sumr/restr los siguientes rdicles: OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL José Gllegos Fernández 8

12 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles (C) MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN DE RADICALES: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = ( ) = 0 = 0 = 0 Asocitiv Producto potencis igul exponente ( ) ( ) dor : = = = = = Cociente potencis igul exponente Común d (común índice) Oservmos, en los ejemplos nteriores, que hy que distinguir dos csos: c..) Rdicles del mismo índice: Multiplicmos-dividimos los coeficientes entre sí. Multiplicmos-dividimos, jo un mismo rdicl común, los rdicndos entre sí. Simplificmos el rdicl otenido. Ejercicio: Relizr ls siguientes operciones con rdicles. OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0) x ( ) ( ) 9 ( )( ) ( x) ( ) ( ) x mn 9x m n 0, m n 9x y 8 x x x x x ( ) ( ) ( ) 9 8 x x y y x y xy x y x ( ) mx - m x m x 9 José Gllegos Fernández 8

13 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. - 0 : ( ) :( ) ( ) ( ) 0 :( ) :( ) 8 : - : ( 8 ) (- 9 8) : 0 :( ) 88 : : : ( 0 ) - x y :( xy) x x :( x ) - :( ) - xy : x x y z : ( x y ) x :( x ) 0-8 x y z : 0, x y z x : x x x : x - - xy :( x ) ( ) c : ( mx) mx : 0 0 x : x José Gllegos Fernández 88

14 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles c..) Rdicles de distinto índice: Reducimos los rdicles común índice. Multiplicmos-dividimos como rdicles del mismo índice. Ejercicio: Relizr ls siguientes operciones con rdicles. OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. x x 8 9x y 8 x x y x m m n ( ) x x y 0, x y - - ( ) x x y 0, x y c c c 0, c c 0 9 xyz xyz 0 9 9x : x 8: 9 mn: mn m : m 8x yz : xyz ( ) x y : x y x y : x y : x y : x y x x : x x yz:, ( 0 xyz ) 9 mny :, ( 0mny ) - - : 0 x y x y : mz mz 9 xy : x z ( ) 9 0 xyz xyz xz 9 x yz xyz 8xyz z c cz (- m p ) m p x 0 mp x mn p m n p m n 8 José Gllegos Fernández 89

15 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles (D) RACIONALIZACIÓN: quitr el rdicl del denomindor. Por qué es necesrio quitr l ríz de un denomindor? Podemos oservr que en los ejemplos y ejercicios que hemos plntedo de división de rdicles, en ocsiones, un vez relizdo el cociente, otenemos un rdicl cuyo rdicndo es un frcción. El proceso de rcionlizción nos permite otener siempre un rdicl en el que el rdicndo es un expresión enter (sin frcciones). Además, si trjmos con números y pretendemos clculr el vlor proximdo de un ríz de un frcción, podemos oservr lo siguiente (trjmos en cd pso con un redondeo en diezmilésims): = 0 '... 0 ' 0 ' 89 ' = 0 ' 8 ' Potenci de un cociente ' 9 = = = = 0 ' 8 Potenci de un Rcionlizr cociente Si relizmos culquier de ls cuents nteriores en l clculdor, y trjmos con todos los decimles, otenemos Por tnto, de los tres resultdos nteriores, el que más se proxim l vlor rel de l expresión es el tercero. Con el proceso de rcionlizción, hemos evitdo relizr redondeos hst el finl, de form que los errores no se vn cumulndo y, por eso, tenemos un myor precisión. Todo esto justific el hecho de que merezc l pen rcionlizr expresiones rdicles unque, como veremos continución, no siempre será posile hcerlo. Sólo hy tres csos (que se pueden reducir dos, puesto que el primero es un cso prticulr del segundo) en que es posile conseguir lo que uscmos, pero merece l pen estudirlos. d..) er Cso: cundo en el denomindor hy un ríz cudrd. Ejemplos: y y y y = = = x x x x x x/ x x = = = = x x x x x/ 0 0 = = = n n n = = = n Por tnto, pr rcionlizr un ríz cudrd strá multiplicr el numerdor y el denomindor por el mismo número, en éste cso por el denomindor. José Gllegos Fernández 90

16 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles d..) do Cso: el rdicl del denomindor no es un ríz cudrd (tiene índice myor que ). Ejemplos: = = = = = = = x x x = = = x x x x x x x = = = x x x x x = x Por tnto, pr rcionlizr un ríz no cudrd strá con multiplicr el numerdor y el denomindor por el mismo número, en este cso otro rdicl del mismo índice y rdicndo que el denomindor, unque con el exponente del rdicndo igul l diferenci entre el índice y el exponente del rdicndo que pretendemos rcionlizr. d..) er Cso: el d dor es un sum/rest de expresiones, l menos un rdicl (de índice dos). Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) = = ( ) ( ) ( m n) ( m n) = = ( ) ( ) m n ( x+ x) ( ) ( + 9x/ x + 9 x + ) ( ) ( + ) x x x ( x ) x 9 I) = = + + II ) + III) m + n m + n m n 9 x 9 x 9x x 9x IV ) = = = = x x x x x x / Si tenemos un expresión que es un sum/rest de dos cntiddes, su expresión conjugd es otr expresión igul slvo en el signo existente entre ls dos cntiddes, que en un es opuesto que en l otr. Por ejemplo: x x x+ x ; m + n m n expresión conjugd expresión conjugd expresión conjugd ; + expresión conjugd Por tnto, pr rcionlizr un sum/rest de expresiones, l menos un de ells rdicl (de índice dos), strá con multiplicr el numerdor y el denomindor por el mismo número, en este cso l expresión conjugd del denomindor. José Gllegos Fernández 9

17 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles Ejercicio: Rcionlizr el denomindor de los siguientes cocientes. RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL. n mn x y y x x 9x c 9c x x 9 x 8x x y x x c mn c mn n c José Gllegos Fernández 9

18 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL. 9x c 9c x x 9 x 8x x y x x c mn c mn n c José Gllegos Fernández 9

19 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles RADICAL SOL. RADICAL SOL. RADICAL SOL José Gllegos Fernández 9

20 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles.. Ejercicios vridos.. Reliz ls siguientes operciones cominds: OPERACIÓN SOL. OPERACIÓN SOL. ( ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( 8 ) ( ) ( + ) ( + ) ( x + y) x ( )( ) ( x) ( + x) y xy x ( ) +. Expres como ríces ls siguientes potencis: ) ) 0 c). Expres como potenci de exponente frccionrio: ) ) c). Clcul : ) ( 8 ) ) e) f). Clcul: ) c) 9 g) 0, 8 d) ). Clcul: ) 0 + ) 8 c) + d) e) José Gllegos Fernández 9

21 Deprtmento de Mtemátics ARITMÉTICA: Rdicles. Clcul: ) ( + ) ) ( ) d) e) c) ( ) ( ) g) h) 8 i) + f) ( ) 8 j) 8. Orden los números siguientes sin utilizr l clculdor: ; ; ; 9. Escrie en un sol ríz: ) ) 0. Clcul y expres el resultdo en form de potenci de se un nº entero: 8 9 ) ). Oper y simplific: 8. Rcionliz ls expresiones siguientes: ) ) c) + d) + e) f) g) + h) + i) + j) k) + l) + m) n) +. Oper: +. Rcionliz y clcul l expresión deciml de: + José Gllegos Fernández 9

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