MODELADO MATEMÁTICO DE FENÓMENOS FÍSICOS. APRENDIZAJE COLABORATIVO UTILIZANDO AULAS VIRTUALES

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1 MODELADO MATEMÁTICO DE FENÓMENOS FÍSICOS. APRENDIZAJE COLABORATIVO UTILIZANDO AULAS VIRTUALES Jorge Azpilicueta 1 y José Luis Galoppo 2 Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Universidad Nacional de Córdoba 1 2 Materias: Análisis Matemático I y Física I Objetivo de los problemas El objetivo del planteamiento de esta serie de problemas es propender al desarrollo de diversas competencias emprendedoras en los alumnos. Para ello, se propone recurrir a trabajo colaborativo que los alumnos puedan realizar en grupo a través de Aulas Virtuales, en la plataforma educativa Moodle. El método consiste en la formación de grupos de alumnos, elegidos en clase, coordinados por uno de los propios integrantes, abocados a la tarea de resolución de los problemas propuestos tanto dentro como fuera del horario de clase. Para ello, se utilizarán todas las diferentes herramientas que disponen las Aulas Virtuales: discusión en foros, chat, mensajería, suba de materiales, preguntas, cuestionarios, entre otros. Cada problema consta de un enunciado, el cual hay que llegar a resolver a través de un modelo matemático, detallando los pasos seguidos para su resolución y verificándolo luego mediante la construcción de un prototipo. A modo de guía para los alumnos, recomendamos una serie de pasos a dar para lograr la resolución de los problemas: 1

2 Identificación, comprensión y delimitación del problema Modelado matemático del problema, identificando variables (dependientes e independientes) Resolución del modelo Comparación con un caso concreto (elaboración de un prototipo) Implementación Elaboración de conclusiones Para completar la explicación del trabajo que los alumnos deben realizar, podemos explicitar, a continuación, el funcionamiento de los grupos utilizando el Aula Virtual, detallando las tareas y la forma en que serán evaluadas. - El profesor dividirá a los alumnos en grupos de 10 integrantes cada uno. - A todos los grupos se les darán los mismos cinco problemas a resolver. Los enunciados estarán disponibles en el Aula Virtual. - Para resolverlos tendrán un plazo estimado de 15 días. - Los grupos elegirán un coordinador de grupo que oficiará las funciones de líder del proyecto. - Entre las funciones que tendrá dicho coordinador se encuentran la de organizar el trabajo en distintos subgrupos de tareas, haciendo que cada uno se aboque a determinados ejercicios y a las averiguaciones necesarias para la construcción de los prototipos, y de velar por el cumplimiento de los plazos establecidos. - El intercambio de mensajes entre los integrantes de los grupos se llevará a cabo utilizando los recursos del Aula Virtual: mensajería instantánea, correo electrónico, intercambio de archivos y foros de discusión. - El docente podrá controlar el funcionamiento de los grupos observando los mensajes intercambiados entre los integrantes de los grupos; podrá orientar la resolución de los ejercicios, sugerir bibliografía complementaria y ayudar a los grupos en lo que sea necesario a 2

3 través de los recursos del Aula Virtual: escribiendo preguntas generales en los foros, moderando las respuestas que los alumnos vayan publicando, subiendo archivos o vínculos webs, etcétera. - A lo hora de evaluar el funcionamiento de los grupos se tendrán en cuenta las competencias emprendedoras que se quieren promover, o sea se verificará: la función del coordinador de grupo, la participación de todos los integrantes del grupo, el intercambio de mensajes entre ellos, el cumplimiento de los plazos y la originalidad de la solución de los problemas. 3

4 Significado de un modelo Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las partes más relevantes. Claramente, no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que mediante símbolos, números y operaciones representen variables, magnitudes y sus relaciones. Así, en una materia básica como Análisis Matemático I (generalmente del primer año de las carreras de ingeniería) el alumno conoce la representación de funciones matemáticas y las operaciones que se pueden realizar sobre ellas; en materias posteriores de aplicación, como Física, relacionará dichas funciones con fenómenos físicos y visualizará cómo los modelos matemáticos sirven para representar a esos fenómenos físicos dentro de un rango acotado dado las simplificaciones que se hicieron (no existencia de rozamiento con el aire, incompresibilidad de los materiales, etcétera). La construcción de un prototipo permitirá que el alumno compruebe la aplicabilidad del modelo al sistema real que trata de resolver. Qué es un prototipo? Un prototipo es un ejemplar o primer molde en que se fabrica una figura u otra cosa. Estos nos permiten comprobar la validez de los modelos matemáticos propuestos para resolver un problema, testar el objeto antes de que entre en producción, detectar errores, deficiencias, etcétera. Se pueden crear con rapidez y a un costo bajo ya que pueden ser realizados con materiales relativamente fáciles de conseguir y de manipular mediante el uso de herramientas sencillas. 4

5 Ejercicio 1. Gráficas de un movimiento Trabajo en equipo y liderazgo: El profesor sugerirá que el equipo de trabajo elija un coordinador (o líder) del grupo. Este será el que distribuya las tareas, encargando a los distintos integrantes que propongan los gráficos que representen la situación física del problema. Aprendizaje continuo: El ejercicio brinda la oportunidad de utilizar distintas técnicas (por ejemplo, gráficos con Matlab o con algún otro software similar) y luego reunirlos en un informe para presentar con las conclusiones. Se tiene un automóvil que parte de la ciudad de Córdoba con destino a la ciudad de Mendoza. Los primeros 200 kilómetros del recorrido los realiza a una velocidad constante de 80 km/h. Luego se detiene a cargar combustible durante 15 minutos y reinicia su marcha con movimiento uniformemente acelerado, con una aceleración a = 20 m/s 2, la cual mantiene durante 30 minutos. Al darse cuenta de que se había olvidado un bolso en la estación de servicio, desacelera deteniéndose a los 2 minutos y retorna a buscar su bolso. Finalmente, emprende el viaje hacia su destino con movimiento de velocidad uniforme v = 100 km/h, y llega a destino. Lea atentamente el enunciado y trate de responder las siguientes consignas: a) Trazar en un gráfico la posición del automóvil en función del tiempo. b) Trazar en un gráfico la velocidad del automóvil en función del tiempo. Identificar los puntos de velocidad máxima, nula y mínima c) Trazar en un gráfico la aceleración del automóvil en función del tiempo. Identificar los puntos de aceleración máxima, nula y mínima d) Reunir en un mismo gráfico la posición, la velocidad y la aceleración del automóvil en función del tiempo. e) Explicar qué relación matemática existe entre las tres magnitudes (posición, velocidad, aceleración) f) Calcule el tiempo total que empleó en el viaje. Si existe más de una posibilidad de recorrido, realizar tantos cálculos como sea necesario. g) Si otro automóvil partió junto al primero y mantuvo su velocidad constante v = 90 km/h durante todo el camino; llegó antes o después? Justifique su respuesta. Realice gráficos para representar su posición, velocidad y aceleración 5

6 Ejercicio 2. Lanzamiento de un proyectil Trabajo en equipo y liderazgo: El profesor sugerirá que el equipo de trabajo elija un coordinador (o líder) del grupo. Este será el encargado de distribuir las tareas y reunir las opiniones de los demás integrantes. Ejecución: En base a las propuestas sobre formas y materiales se construirá un prototipo para verificar la experiencia. Se desea construir un artefacto que dispare un proyectil de masa M = 200 g a una distancia de 30 metros. Realice los siguientes análisis teóricos basados en el modelo matemático elegido: a) Escriba la ecuación (que responda al formato de la ecuación de una parábola) de la altura alcanzada por el proyectil (en la dirección vertical) en función de la distancia recorrida (en la dirección horizontal). b) Obtenga el modelo matemático de la velocidad (como derivada de la posición). c) Realice un gráfico de dicha función d) A qué distancia (en la dirección horizontal) el proyectil alcanza su mayor altura? e) Construya un prototipo para verificar estos resultados; proponga el sistema de lanzamiento, elija el material para el proyectil, la forma, etcétera. f) Compruebe los resultados obtenidos en la práctica con los calculados en base al modelo matemático. Son iguales? g) Indique las posibles causas de las diferencias observadas 6

7 Ejercicio 3. Construcción de una caja Captación de recursos y ejecución: En base a las propuestas sobre formas y materiales para construir un prototipo, se compararán alternativas de materiales, costos y tiempos de ejecución. Se dispone de una madera cuadrada de lado A = 1 m y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. a) Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? b) Cuál es el volumen de la caja? c) Si se quisiera hacer un recipiente cilíndrico (de cualquier otro material) que contuviera el mismo volumen; Qué tamaño debería tener el cuadrado de material con el que se construirá el cilindro? d) Construya los prototipos para verificar estos resultados. e) Compruebe los resultados obtenidos en la práctica con los calculados sobre la base del modelo matemático. f) Indique las posibles causas de las diferencias observadas. 7

8 Ejercicio 4. Áreas mínimas Creatividad y aprendizaje continuo: Los alumnos deberán modelar el problema usando la matemática como herramienta heurística. Un alambre de longitud L = 35 cm se va a cortar en dos trozos. Uno de ellos se ha de doblar para formar un círculo, y el otro para formar un rectángulo cuyo largo b es el doble el ancho a. Determinar las dimensiones L 1 y L 2 de cada trozo de alambre, para que la suma de las áreas del círculo y del rectángulo sea mínima. L = 35 cm L 1 L 2 a b 8

9 Ejercicio 5. Diseño de un marco con condiciones Creatividad y aprendizaje continuo: Los alumnos deberán modelar el problema usando la matemática como herramienta heurística. Se desea fabricar una ventana en forma de rectángulo de base b y altura h, coronado por un triángulo rectángulo isósceles. Para ello se cuenta con una plancha de material de 542 centímetros de longitud, que se va a emplear para la construcción del marco. Determinar las dimensiones de la ventana si se desea que, a través de ella, penetre la mayor cantidad de luz posible. L = 542 cm h b 9

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