Introducción a la geometría diferencial

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1 Cpítulo 6 Introducción l geometrí diferencil 6.1. Concepto de curv. Expreione nlític L curv en el epcio repreentn intuitivmente l tryectori de un punto en movimiento. Vmo definir, dede un punto de vit nlítico, el concepto de curv comenzndo por el co de coordend crtein. Se un item de referenci fín (O; ı, j, k en R 3 donde ( ı, j, k formn un be ortonorml. Un curv e un plicción tl como: I R R 3 λ X (λ [x(λ, y(λ, z(λ] donde I e un intervlo de R de longitud finit o infinit. L expreión X (λ = x(λ ı + y(λ j + z(λ k (6.1.1 recibe el nombre de expreión crtein vectoril de l curv. Si ecomponemo en u funcione componente e obtiene x = x(λ y = y(λ z = z(λ λ I (6.1.2 que on l ecucione prmétric crtein de l curv. Si l funcione componente on derivble y l meno un de ell e ditint de cero, por ejemplo x (λ 0 0, l plicción del teorem de l función inver determin que exite un entorno E(λ 0 donde e puede encontrr un fución λ = λ(x y en dicho entorno podemo poner como { y = y(λ(x = y(x z = z(λ(x = z(x (

2 64 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil el mimo rzonmiento pero con y (λ 0 0 no permitirí ecribir { x = x(λ(y = x(y z = z(λ(y = z(y y i fuer z (λ 0 0 podrímo poner { x = x(λ(z = x(z y = y(λ(z = y(z (6.1.4 (6.1.5 que e denominn ecucione crtein explícit de l curv. Otr form de definir un curv, bjo l hipótei del teorem de l función implícit, e: { F (x, y, z = 0 G(x, y, z = 0 denomind ecucione crtein impliícit de l curv. L curv vendrí dd como interección de do uperficie. Si I[λ 1, λ 2 ] / X (λ 1 = X (λ 2 l curv e dice que e cerrd. Si λ, λ λ 1, λ 2 / X (λ = X (λ el punto e denomim punto múltiple. Si ocurre pr do vlore e dice que el punto e doble, i tre triple, etc. Ejemplo Se llm cicloide l curv decrit por un punto fijo P de un circunferenci que rued in delizr lo lrgo de un rect. Si l rect e el ej OX, el rdio de l cirunferenci, e inicilmente P etá en el origen l girr l circunferenci un ángulo λ el punto e encontrrá en l poición que indic l figur 6.1 entonce l ecucione prmétric crtein on: x = λ en λ = (λ en λ y = co λ = (1 co λ (6.1.6 z = 0 Figur 6.1: Cicloide Grdo en I. Min

3 6.1. Concepto de curv. Expreione nlític 65 i quiiérmo obtener l ecucione crtein explícit podrímo depejr λ en y = ( co λ y utituir. λ = rc co y, { [ x = rc co y z = 0 en ( ] rc co y (6.1.7 L circunferenci e un curv pln, i l uponemo en el plno z = 0 y de rdio, podemo exprerl medinte u ecucione prmértic: x = co λ y = en λ (6.1.8 z = 0, λ [0, 2π] u ecucione crtein explícit erán: { ( x = co rcin y z = 0 (6.1.9 y l ecucione crtein implícit: { x 2 + y 2 = 0 z = 0 ( L hélice circulr e puede decribir como l curv que decribe un punto que recorre un circunferenci y l vez e deplz verticlmente con repecto dicho deplzmiento como podemo obervr en l figur 6.2. Figur 6.2: Hélice circulr Temrio Mtemátic II

4 66 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Un ecucione poible de l hélice circulr erín: x = co λ y = en λ z = bλ, λ [, + ],, b R ( L lemnict e define como el lugr geométrico de lo punto P tle que el producto de ditnci do punto fijo e contnte. Si lo punto fijo e itun imétrico en el eje OX con coordend (, 0 y (, 0, figur 6.3, l ecución en coordend polre reult er: r 2 = 2 2 co 2φ, φ [0, 2π Figur 6.3: Lemnict de Bernouilli Obérvee que el origen e un punto múltiple de l curv. De lo ejemplo motrdo l curv como l lemnict, cicloide o circunferenci que etán contenid en un plno e denominn curv pln mientr que l l que no lo etán e denominn lbed Punto ingulre y punto regulre Se Γ un curv expred por u ecucione prmétric crtein, ecución 6.1.2, y e λ 0 I \ E(λ 0 donde x(λ, y(λ, z(λ on derivble, e dice que el punto P 0 [x(λ 0, y(λ 0, z(λ 0 ] e un punto ingulr de Γ i x (λ 0 2 +y (λ 0 2 +z (λ 0 2 = 0, en co contrrio e dice que el punto e regulr. Grdo en I. Min

5 6.3. Cmbio de prámetro Cmbio de prámetro Podemo cmbir de prámetro i efectumo un cmbio ddo por λ = λ(t, donde i λ [λ 1, λ 2 ] t [t 1, t 2 ], entonce l curv quedrá definid por: x = x[(λ(t] = x (t y = y[(λ(t] = y (t (6.3.1 z = z[(λ(t] = z (t t [t 1, t 2 ] Un cmbio de prámetro e dice que e dmiible i no lter el crácter de lo punto de l curv, lo punto regulre continun inedo regulre y lo punto ingulre, ingulre. El teorem que crcteriz lo cmbio de prámetro e: Teorem Un cmbio de prámetro e dmiible i y ólo i λ (t Longitud de un rco de curv. Prámetro de curv Se l curv X = X (λ pr λ [λ 1, λ 2 ] y en λ, λ [λ : 1, λ 2 ], l longitud de un rco de curv en coordend crtein entre lo punto λ y λ del prámetro e expre como Ejemplo [λ,λ ] = λ λ X X dλ = λ λ x (λ 2 + y (λ 2 + z (λ 2 dλ (6.4.1 Vmo clculr l longitud de un po de hélice circulr, un po de hélice e el intervlo [λ 0, λ 0+2π ]. L ecucione prmétric crtein de l hélice circulr, egún vimo, ern: x = co λ y = en λ (6.4.2 z = bλ, λ [, + ],, b R L longitud erá: = λ0 +2π λ 0 2 en 2 λ + 2 co 2 λ + b 2 dλ = λ0 +2π λ b 2 dλ = 2π 2 + b 2 En coordend polre un curv pln tiene por ecucione prmétric crtein x = r(θ co θ y = r(θ en θ (6.4.3 z = 0 Temrio Mtemátic II

6 68 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Derivndo con repecto θ e obtiene: = θ1 θ 0 (dx 2 + dx dy dz = dr co θ r(θ en θ = dr en θ + r co θ = 0 ( 2 dy + ( 2 dz θ1 = θ 0 (dr 2 + r(θ 2 (6.4.4 Ejemplo Vmo clculr l longitud del rco de l epirl r = e θ medido dede ht θ. = θ ( eθ 2 + r( e θ 2 = 2 θ e θ = lím θ0 e θ θ θ 0 = 2 e θ Hemo vito l ecución, 6.4.1, que me permite clculr l longitud de un rco de curv. Si e trt de punto regulre podemo poner: d dλ = x (λ 2 + y (λ 2 + z (λ 2 0 y entonce en virtud del teorem de l función inver exite un λ = λ( y l curv puede exprere: x = x(λ = x[(λ(] = x ( y = y(λ = y[(λ(] = y ( (6.4.5 z = z(λ = z[(λ(] = z ( recibe el nombre de prámetro rco o implemente rco de l curv. Un curv referid l prámetro rco verific dx d = 1 y que dx dx = d2 y entonce X ( X ( = 1 ( El prámetro de rco fcilit el etudio teórico de un curv Grdo en I. Min

7 6.4. Longitud de un rco de curv. Prámetro de curv 69 Ejemplo Prmetrizr por u rco l circunferenci de ecucione: x = co λ y = en λ z = 0, λ [0, 2π] (6.4.7 Ecogemo como origen de rco λ = 0, entonce: (λ = λ 0 2 en 2 λ + 2 co 2 λ dλ = λ 0 dλ = λ luego λ =, entonce l prmetrizción bucd erá: x = co y = en z = 0, [0, 2π] (6.4.8 Prmetrizr por u rco l hélice circulr de ecucione: x = co λ y = en λ z = bλ, λ [, + ],, b R (6.4.9 Tomndo como origen de rco λ = 0 (λ = y por tnto λ = λ 0 λ 2 en 2 λ + 2 co 2 λ + b 2 dλ = 2 + b 2, entonce l prmetrizción erá: 2 + b2 x = co 2 +b 2 y = en 2 +b 2 z = b 2 +b 2, [, ] 0 dλ = 2 + b 2 λ ( Temrio Mtemátic II

8 70 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil 6.5. Triedro de Frenet Se X = X ( un curv, donde repreent el rco; trtmo de definir en cd punto X ( 0 donde e poible un refernci fín {X ( 0 ; T ( 0, N ( 0, B( 0 } donde lo vectore T ( 0 (vector tngente, N ( 0 (vector norml y B( 0 (vector binorml formn un triedro ortonorml denomindo triedro móvil o triedro de Frenet. Se define pr todo punto regulr de l curv el vector tngente T ( = dx y por lo tnto d T ( 0 = dx d, que e unitrio egún =0 El vector norml principl N ( 0 e un vector unitrio en l dirección del vector d2 X d 2. E =0 un vector ortogonl T ( 0 y que d2 X e el vector derivd de un vector dx de módulo d 2 d contnte. El vector norml principl no tiene determindo u entido, teniéndoe d 2 X d 2 = κ( 0 N ( 0 (6.5.1 =0 donde κ( e l curvtur. El eclr κ( 0 tmpoco tiene determindo u igno, dependiendo del entido elegido pr N ( 0. Sim embrgo el producto, el producto κ( 0 N ( 0 etá perfectmente determindo. El vector binorml B( 0 e define El {T, N, B} í obtenido e directo. Ejemplo B( 0 = T ( 0 N ( 0. (6.5.2 Determinr el triedro de Frenet en el punto (, 0, 0 de l hélice circulr de ecución El punto (,( 0, 0 correponde l = 0. Por tnto tendremo que obtener lo vectore {T (0, N (0, B(0}. De X ( = co 2 + b, en b, b obtenemo T ( = X ( ( b 2 X ( = 2 + b en b, b co b, b hciendo = b 2 T (0 = ( 0, 2 + b 2, b 2 + b 2 Por otr prte y pr = 0 X ( = ( 2 + b co b, 2 X (0 = 2 + b 2 en ( 2 + b, 0, b, 0 2 Grdo en I. Min

9 6.5. Triedro de Frenet 71 Un vector unitrio en l dirección de X (0 e N (0 = (1, 0, 0 y entonce B(0 = T (0 N (0 = ( 0, 2 + b 2, ( b (1, 0, 0 = 0, 2 + b 2 b 2 + b 2, 2 + b 2 Un vez contruido el triedro de Frenet en un punto P de un curv e pueden definir tre rect y tre plno ocido él. Supongmo l curv X = X (λ y e el punto P el correpondiente l vlor λ 0 del prámetro, entonce definimo: Definición (Rect tngente. E l rect que p por P y tiene como vector director T(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µt(λ 0, µ R (6.5.3 Definición (Rect norml principl. E l rect que p por P y tiene como vector director N(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µn(λ 0, µ R (6.5.4 Definición (Rect binorml. E l rect que p por P y tiene como vector director B(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µb(λ 0, µ R (6.5.5 Definición (Plno norml. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico T(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] T(λ 0 = 0 (6.5.6 Definición (Plno rectificnte. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico N(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] N(λ 0 = 0 (6.5.7 Definición (Plno oculdor. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico B(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] B(λ 0 = 0 (6.5.8 En l figur 6.4 podemo ver el triedro de Frenet y u elemento ocido. Temrio Mtemátic II

10 72 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Figur 6.4: Triedro de Frenet 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión Se el triedro ortonorml {T (, N (, B(}. Lo vectore dt d, dn d, db d por: dt = κ(n ( d vienen ddo dn d = κ(t ( +τ(b( (6.6.1 db d = τ(n ( expreione que reciben el nombre de fórmul de Serret-Frenet. Al er {T (, N (, B(} linelmente independiente, contituyen un be ; culquier vector del epcio podrá exprere en función de dich be, vemo como podemo encontrr dich coordend. dt = 11 T + 12 N + 13 B d dn d = 21 T + 22 N + 23 B (6.6.2 db d = 31 T + 32 N + 33 B Como T, N, B on de módulo contnte, u vectore derivd erán perpendiculre ello, luego 11 = 22 = 33 = 0 (6.6.3 T y N on ortogonle, por tnto T N = 0 y derivndo con repecto, dt d N + T dn d = 0 Grdo en I. Min

11 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión 73 Teniendo en cuent y 6.6.3: lo que implic que = 0 y por tnto ( 12 N + 13 B N + T ( 21 T + 23 B = 0 21 = 12 (6.6.4 N B = 0 por er ortogonle; derivndo y teniendo en cuent 6.6.2, y de donde = 0 y reultrá dn d B + N db d = 0 ( 12 T + 23 B B + N ( 31 T + 32 N = 0 23 = 32 (6.6.5 T B = 0 por er ortogonle; derivndo y teniendo en cuent 6.6.2, y de donde = 0 y reultrá db d T + B dt d = 0 ( 31 T 23 N T + B ( 12 N + 13 B = 0 31 = 13. (6.6.6 Como N tiene l dirección de dt d erá 13 = 0. (6.6.7 Si deignmo 12 por κ( y 23 por τ( y trldmo lo reultdo no quedrán l fórmul de Serret-Frenet. Et fórmul pueden exprere de form mtricil, dt d dn d db d 0 κ( 0 T ( = κ( 0 τ( N ( 0 τ( 0 B( Not: L fórmul de Frenet ólo on válid i el prámetro e el rco. L función κ( recibe el nombre de curvtur, y l función τ( recibe el nombre de torión Expreione de l curvtur y l torión Vmo coniderr, unicmente, el co en el que l curv veng expred en función del prámetro rco. Temrio Mtemátic II

12 74 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Clculemo l curvtur. Se X = X (, multiplicndo eclrmente por i mim et expreión d 2 X d = dt = κ(n ( ( d e obtiene κ( 2 = d2 X d 2 Clculemo l torión. Multiplicndo eclrmente l egund fórmul de Frenet por el vector B obtenemo: dn d d2 X d 2 (6.6.9 B = ( κt + τb B = τ ( τ = dn d B = dn d (T N =< T, N, dn d > ( Ejemplo Determinr l curvtur y l torión de l hélice circulr de ecución ( Pr clculr l curvtur prtimo de X ( = co 2 + b, en b, b b 2 y obtenemo X ( y X ( ( X ( = 2 + b en b, 2 y entonce X ( = ( 2 + b co b, 2 κ( 2 = d2 X d b 2 co 2 + b 2 en d2 X d 2 = 2 ( 2 + b b 2, 2 + b, 0 2 b 2 + b 2 Obervémo que en et exprrión etá determindo κ 2 y no κ y que un vrición en el entido del vector N llev conigo un cmbio de igno en l curvtur. L torión l clculmo de l iguiente form. Prtiendo de X ( = ( co 2 + b 2, en X ( = 2 + b, b clculmo X ( X ( y X ( b b co b, b b 2 ( 2 + b en b, 2 X ( = X ( = ( ( 2 + b co b, 2 ( 2 + b en 2 + b 2, 2 + b 2 en ( 2 + b b, 0 2 co 2 + b, 0 2 Grdo en I. Min

13 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión 75 entonce d2 X d 2 dx d d2 X d 2 d2 X d 2 = 2 ( 2 + b 2 2 y ( b ( 2 + b en 2 + b 2, < X (, X (, X ( >= en ( 2 + b b 2 + b 2 2 ( 2 + b co b en b b co b 2 b ( 2 + b b 2 co 2 + b, 2 2 ( 2 + b b co b 2 b 2 + b b en b 2 ( 2 + b b + b b 2 ( 2 + b en 2 co 2 + b b 2 = b 2 ( 2 + b 2 3 = Temrio Mtemátic II

14 76 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Problem 6.1 { Hllr l rect tngente y el plno norml l curv de ecucione x 2 +y 2 +z 2 = 3 en el punto (1, 1, 1. 9x 2 +4x 2 13z 2 = Hllr l ecución del plno oculdor l curv x = 2enh λ 2, y = 2 coh λ 2, z = 3λ. Grdo en I. Min

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