Introducción a la geometría diferencial

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Introducción a la geometría diferencial"

Transcripción

1 Cpítulo 6 Introducción l geometrí diferencil 6.1. Concepto de curv. Expreione nlític L curv en el epcio repreentn intuitivmente l tryectori de un punto en movimiento. Vmo definir, dede un punto de vit nlítico, el concepto de curv comenzndo por el co de coordend crtein. Se un item de referenci fín (O; ı, j, k en R 3 donde ( ı, j, k formn un be ortonorml. Un curv e un plicción tl como: I R R 3 λ X (λ [x(λ, y(λ, z(λ] donde I e un intervlo de R de longitud finit o infinit. L expreión X (λ = x(λ ı + y(λ j + z(λ k (6.1.1 recibe el nombre de expreión crtein vectoril de l curv. Si ecomponemo en u funcione componente e obtiene x = x(λ y = y(λ z = z(λ λ I (6.1.2 que on l ecucione prmétric crtein de l curv. Si l funcione componente on derivble y l meno un de ell e ditint de cero, por ejemplo x (λ 0 0, l plicción del teorem de l función inver determin que exite un entorno E(λ 0 donde e puede encontrr un fución λ = λ(x y en dicho entorno podemo poner como { y = y(λ(x = y(x z = z(λ(x = z(x (

2 64 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil el mimo rzonmiento pero con y (λ 0 0 no permitirí ecribir { x = x(λ(y = x(y z = z(λ(y = z(y y i fuer z (λ 0 0 podrímo poner { x = x(λ(z = x(z y = y(λ(z = y(z (6.1.4 (6.1.5 que e denominn ecucione crtein explícit de l curv. Otr form de definir un curv, bjo l hipótei del teorem de l función implícit, e: { F (x, y, z = 0 G(x, y, z = 0 denomind ecucione crtein impliícit de l curv. L curv vendrí dd como interección de do uperficie. Si I[λ 1, λ 2 ] / X (λ 1 = X (λ 2 l curv e dice que e cerrd. Si λ, λ λ 1, λ 2 / X (λ = X (λ el punto e denomim punto múltiple. Si ocurre pr do vlore e dice que el punto e doble, i tre triple, etc. Ejemplo Se llm cicloide l curv decrit por un punto fijo P de un circunferenci que rued in delizr lo lrgo de un rect. Si l rect e el ej OX, el rdio de l cirunferenci, e inicilmente P etá en el origen l girr l circunferenci un ángulo λ el punto e encontrrá en l poición que indic l figur 6.1 entonce l ecucione prmétric crtein on: x = λ en λ = (λ en λ y = co λ = (1 co λ (6.1.6 z = 0 Figur 6.1: Cicloide Grdo en I. Min

3 6.1. Concepto de curv. Expreione nlític 65 i quiiérmo obtener l ecucione crtein explícit podrímo depejr λ en y = ( co λ y utituir. λ = rc co y, { [ x = rc co y z = 0 en ( ] rc co y (6.1.7 L circunferenci e un curv pln, i l uponemo en el plno z = 0 y de rdio, podemo exprerl medinte u ecucione prmértic: x = co λ y = en λ (6.1.8 z = 0, λ [0, 2π] u ecucione crtein explícit erán: { ( x = co rcin y z = 0 (6.1.9 y l ecucione crtein implícit: { x 2 + y 2 = 0 z = 0 ( L hélice circulr e puede decribir como l curv que decribe un punto que recorre un circunferenci y l vez e deplz verticlmente con repecto dicho deplzmiento como podemo obervr en l figur 6.2. Figur 6.2: Hélice circulr Temrio Mtemátic II

4 66 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Un ecucione poible de l hélice circulr erín: x = co λ y = en λ z = bλ, λ [, + ],, b R ( L lemnict e define como el lugr geométrico de lo punto P tle que el producto de ditnci do punto fijo e contnte. Si lo punto fijo e itun imétrico en el eje OX con coordend (, 0 y (, 0, figur 6.3, l ecución en coordend polre reult er: r 2 = 2 2 co 2φ, φ [0, 2π Figur 6.3: Lemnict de Bernouilli Obérvee que el origen e un punto múltiple de l curv. De lo ejemplo motrdo l curv como l lemnict, cicloide o circunferenci que etán contenid en un plno e denominn curv pln mientr que l l que no lo etán e denominn lbed Punto ingulre y punto regulre Se Γ un curv expred por u ecucione prmétric crtein, ecución 6.1.2, y e λ 0 I \ E(λ 0 donde x(λ, y(λ, z(λ on derivble, e dice que el punto P 0 [x(λ 0, y(λ 0, z(λ 0 ] e un punto ingulr de Γ i x (λ 0 2 +y (λ 0 2 +z (λ 0 2 = 0, en co contrrio e dice que el punto e regulr. Grdo en I. Min

5 6.3. Cmbio de prámetro Cmbio de prámetro Podemo cmbir de prámetro i efectumo un cmbio ddo por λ = λ(t, donde i λ [λ 1, λ 2 ] t [t 1, t 2 ], entonce l curv quedrá definid por: x = x[(λ(t] = x (t y = y[(λ(t] = y (t (6.3.1 z = z[(λ(t] = z (t t [t 1, t 2 ] Un cmbio de prámetro e dice que e dmiible i no lter el crácter de lo punto de l curv, lo punto regulre continun inedo regulre y lo punto ingulre, ingulre. El teorem que crcteriz lo cmbio de prámetro e: Teorem Un cmbio de prámetro e dmiible i y ólo i λ (t Longitud de un rco de curv. Prámetro de curv Se l curv X = X (λ pr λ [λ 1, λ 2 ] y en λ, λ [λ : 1, λ 2 ], l longitud de un rco de curv en coordend crtein entre lo punto λ y λ del prámetro e expre como Ejemplo [λ,λ ] = λ λ X X dλ = λ λ x (λ 2 + y (λ 2 + z (λ 2 dλ (6.4.1 Vmo clculr l longitud de un po de hélice circulr, un po de hélice e el intervlo [λ 0, λ 0+2π ]. L ecucione prmétric crtein de l hélice circulr, egún vimo, ern: x = co λ y = en λ (6.4.2 z = bλ, λ [, + ],, b R L longitud erá: = λ0 +2π λ 0 2 en 2 λ + 2 co 2 λ + b 2 dλ = λ0 +2π λ b 2 dλ = 2π 2 + b 2 En coordend polre un curv pln tiene por ecucione prmétric crtein x = r(θ co θ y = r(θ en θ (6.4.3 z = 0 Temrio Mtemátic II

6 68 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Derivndo con repecto θ e obtiene: = θ1 θ 0 (dx 2 + dx dy dz = dr co θ r(θ en θ = dr en θ + r co θ = 0 ( 2 dy + ( 2 dz θ1 = θ 0 (dr 2 + r(θ 2 (6.4.4 Ejemplo Vmo clculr l longitud del rco de l epirl r = e θ medido dede ht θ. = θ ( eθ 2 + r( e θ 2 = 2 θ e θ = lím θ0 e θ θ θ 0 = 2 e θ Hemo vito l ecución, 6.4.1, que me permite clculr l longitud de un rco de curv. Si e trt de punto regulre podemo poner: d dλ = x (λ 2 + y (λ 2 + z (λ 2 0 y entonce en virtud del teorem de l función inver exite un λ = λ( y l curv puede exprere: x = x(λ = x[(λ(] = x ( y = y(λ = y[(λ(] = y ( (6.4.5 z = z(λ = z[(λ(] = z ( recibe el nombre de prámetro rco o implemente rco de l curv. Un curv referid l prámetro rco verific dx d = 1 y que dx dx = d2 y entonce X ( X ( = 1 ( El prámetro de rco fcilit el etudio teórico de un curv Grdo en I. Min

7 6.4. Longitud de un rco de curv. Prámetro de curv 69 Ejemplo Prmetrizr por u rco l circunferenci de ecucione: x = co λ y = en λ z = 0, λ [0, 2π] (6.4.7 Ecogemo como origen de rco λ = 0, entonce: (λ = λ 0 2 en 2 λ + 2 co 2 λ dλ = λ 0 dλ = λ luego λ =, entonce l prmetrizción bucd erá: x = co y = en z = 0, [0, 2π] (6.4.8 Prmetrizr por u rco l hélice circulr de ecucione: x = co λ y = en λ z = bλ, λ [, + ],, b R (6.4.9 Tomndo como origen de rco λ = 0 (λ = y por tnto λ = λ 0 λ 2 en 2 λ + 2 co 2 λ + b 2 dλ = 2 + b 2, entonce l prmetrizción erá: 2 + b2 x = co 2 +b 2 y = en 2 +b 2 z = b 2 +b 2, [, ] 0 dλ = 2 + b 2 λ ( Temrio Mtemátic II

8 70 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil 6.5. Triedro de Frenet Se X = X ( un curv, donde repreent el rco; trtmo de definir en cd punto X ( 0 donde e poible un refernci fín {X ( 0 ; T ( 0, N ( 0, B( 0 } donde lo vectore T ( 0 (vector tngente, N ( 0 (vector norml y B( 0 (vector binorml formn un triedro ortonorml denomindo triedro móvil o triedro de Frenet. Se define pr todo punto regulr de l curv el vector tngente T ( = dx y por lo tnto d T ( 0 = dx d, que e unitrio egún =0 El vector norml principl N ( 0 e un vector unitrio en l dirección del vector d2 X d 2. E =0 un vector ortogonl T ( 0 y que d2 X e el vector derivd de un vector dx de módulo d 2 d contnte. El vector norml principl no tiene determindo u entido, teniéndoe d 2 X d 2 = κ( 0 N ( 0 (6.5.1 =0 donde κ( e l curvtur. El eclr κ( 0 tmpoco tiene determindo u igno, dependiendo del entido elegido pr N ( 0. Sim embrgo el producto, el producto κ( 0 N ( 0 etá perfectmente determindo. El vector binorml B( 0 e define El {T, N, B} í obtenido e directo. Ejemplo B( 0 = T ( 0 N ( 0. (6.5.2 Determinr el triedro de Frenet en el punto (, 0, 0 de l hélice circulr de ecución El punto (,( 0, 0 correponde l = 0. Por tnto tendremo que obtener lo vectore {T (0, N (0, B(0}. De X ( = co 2 + b, en b, b obtenemo T ( = X ( ( b 2 X ( = 2 + b en b, b co b, b hciendo = b 2 T (0 = ( 0, 2 + b 2, b 2 + b 2 Por otr prte y pr = 0 X ( = ( 2 + b co b, 2 X (0 = 2 + b 2 en ( 2 + b, 0, b, 0 2 Grdo en I. Min

9 6.5. Triedro de Frenet 71 Un vector unitrio en l dirección de X (0 e N (0 = (1, 0, 0 y entonce B(0 = T (0 N (0 = ( 0, 2 + b 2, ( b (1, 0, 0 = 0, 2 + b 2 b 2 + b 2, 2 + b 2 Un vez contruido el triedro de Frenet en un punto P de un curv e pueden definir tre rect y tre plno ocido él. Supongmo l curv X = X (λ y e el punto P el correpondiente l vlor λ 0 del prámetro, entonce definimo: Definición (Rect tngente. E l rect que p por P y tiene como vector director T(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µt(λ 0, µ R (6.5.3 Definición (Rect norml principl. E l rect que p por P y tiene como vector director N(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µn(λ 0, µ R (6.5.4 Definición (Rect binorml. E l rect que p por P y tiene como vector director B(λ 0. Su ecución erá: Y = X(λ 0 + µb(λ 0, µ R (6.5.5 Definición (Plno norml. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico T(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] T(λ 0 = 0 (6.5.6 Definición (Plno rectificnte. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico N(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] N(λ 0 = 0 (6.5.7 Definición (Plno oculdor. E el plno que p por P y tiene como vector crcterítico B(λ 0. Su ecución erá: [Y X(λ 0 ] B(λ 0 = 0 (6.5.8 En l figur 6.4 podemo ver el triedro de Frenet y u elemento ocido. Temrio Mtemátic II

10 72 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Figur 6.4: Triedro de Frenet 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión Se el triedro ortonorml {T (, N (, B(}. Lo vectore dt d, dn d, db d por: dt = κ(n ( d vienen ddo dn d = κ(t ( +τ(b( (6.6.1 db d = τ(n ( expreione que reciben el nombre de fórmul de Serret-Frenet. Al er {T (, N (, B(} linelmente independiente, contituyen un be ; culquier vector del epcio podrá exprere en función de dich be, vemo como podemo encontrr dich coordend. dt = 11 T + 12 N + 13 B d dn d = 21 T + 22 N + 23 B (6.6.2 db d = 31 T + 32 N + 33 B Como T, N, B on de módulo contnte, u vectore derivd erán perpendiculre ello, luego 11 = 22 = 33 = 0 (6.6.3 T y N on ortogonle, por tnto T N = 0 y derivndo con repecto, dt d N + T dn d = 0 Grdo en I. Min

11 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión 73 Teniendo en cuent y 6.6.3: lo que implic que = 0 y por tnto ( 12 N + 13 B N + T ( 21 T + 23 B = 0 21 = 12 (6.6.4 N B = 0 por er ortogonle; derivndo y teniendo en cuent 6.6.2, y de donde = 0 y reultrá dn d B + N db d = 0 ( 12 T + 23 B B + N ( 31 T + 32 N = 0 23 = 32 (6.6.5 T B = 0 por er ortogonle; derivndo y teniendo en cuent 6.6.2, y de donde = 0 y reultrá db d T + B dt d = 0 ( 31 T 23 N T + B ( 12 N + 13 B = 0 31 = 13. (6.6.6 Como N tiene l dirección de dt d erá 13 = 0. (6.6.7 Si deignmo 12 por κ( y 23 por τ( y trldmo lo reultdo no quedrán l fórmul de Serret-Frenet. Et fórmul pueden exprere de form mtricil, dt d dn d db d 0 κ( 0 T ( = κ( 0 τ( N ( 0 τ( 0 B( Not: L fórmul de Frenet ólo on válid i el prámetro e el rco. L función κ( recibe el nombre de curvtur, y l función τ( recibe el nombre de torión Expreione de l curvtur y l torión Vmo coniderr, unicmente, el co en el que l curv veng expred en función del prámetro rco. Temrio Mtemátic II

12 74 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Clculemo l curvtur. Se X = X (, multiplicndo eclrmente por i mim et expreión d 2 X d = dt = κ(n ( ( d e obtiene κ( 2 = d2 X d 2 Clculemo l torión. Multiplicndo eclrmente l egund fórmul de Frenet por el vector B obtenemo: dn d d2 X d 2 (6.6.9 B = ( κt + τb B = τ ( τ = dn d B = dn d (T N =< T, N, dn d > ( Ejemplo Determinr l curvtur y l torión de l hélice circulr de ecución ( Pr clculr l curvtur prtimo de X ( = co 2 + b, en b, b b 2 y obtenemo X ( y X ( ( X ( = 2 + b en b, 2 y entonce X ( = ( 2 + b co b, 2 κ( 2 = d2 X d b 2 co 2 + b 2 en d2 X d 2 = 2 ( 2 + b b 2, 2 + b, 0 2 b 2 + b 2 Obervémo que en et exprrión etá determindo κ 2 y no κ y que un vrición en el entido del vector N llev conigo un cmbio de igno en l curvtur. L torión l clculmo de l iguiente form. Prtiendo de X ( = ( co 2 + b 2, en X ( = 2 + b, b clculmo X ( X ( y X ( b b co b, b b 2 ( 2 + b en b, 2 X ( = X ( = ( ( 2 + b co b, 2 ( 2 + b en 2 + b 2, 2 + b 2 en ( 2 + b b, 0 2 co 2 + b, 0 2 Grdo en I. Min

13 6.6. Fórmul de Frenet. Curvtur y torión 75 entonce d2 X d 2 dx d d2 X d 2 d2 X d 2 = 2 ( 2 + b 2 2 y ( b ( 2 + b en 2 + b 2, < X (, X (, X ( >= en ( 2 + b b 2 + b 2 2 ( 2 + b co b en b b co b 2 b ( 2 + b b 2 co 2 + b, 2 2 ( 2 + b b co b 2 b 2 + b b en b 2 ( 2 + b b + b b 2 ( 2 + b en 2 co 2 + b b 2 = b 2 ( 2 + b 2 3 = Temrio Mtemátic II

14 76 Cpítulo 6. Introducción l geometrí diferencil Problem 6.1 { Hllr l rect tngente y el plno norml l curv de ecucione x 2 +y 2 +z 2 = 3 en el punto (1, 1, 1. 9x 2 +4x 2 13z 2 = Hllr l ecución del plno oculdor l curv x = 2enh λ 2, y = 2 coh λ 2, z = 3λ. Grdo en I. Min

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

geometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5

geometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5 geometri proyectiv primer cutrimestre 2003 Práctic 5 1. Encontrr un curv prmetrizd α cuy trz se el círculo x 2 + y 2 = 1, que lo recorr en el sentido de ls gujs del reloj y tl que α(0) = (0, 1). 2. Se

Más detalles

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace Semn 7 - Cle 2. Definicione pr Comenzr Trnformd de Lplce En generl vmo definir un trnformción integrl, F (), de un función, f(t) como F () = b K (, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (, t) e un función conocid

Más detalles

Contenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar.

Contenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar. Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S.

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática Moviiento ociltorio Moviiento rónico iple (MAS) Cineátic IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Se dice que un prtícul ocil cundo tiene un oviiento de vivén repecto de u poición de equilibrio, de for tl que el oviiento

Más detalles

Teorema de Green. 6.1 Introducción

Teorema de Green. 6.1 Introducción SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i

Más detalles

TRIEDRO DE FRENET. γ(t) 3 T(t)

TRIEDRO DE FRENET. γ(t) 3 T(t) TRIEDRO DE FRENET Matemática II Sea Γ R 3 una curva y ean γ : I = [a,b] R 3, γ(t = (x(t,y(t,z(t una parametrización regular y α : I = [a,b ] R 3 u parametrización repecto el parámetro arco. A partir de

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática

Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática Moiiento ociltorio Moiiento rónico iple (MAS) Cineátic IES L Mgdlen. Ailé. Aturi Se dice que un prtícul ocil cundo tiene un oiiento de ién repecto de u poición de equilibrio, de for tl que el oiiento e

Más detalles

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales mpos vectoriles ALULO VETORIAL Un cmpo vectoril o cmpo de vectores es un función que sign un vector un punto del plno o del espcio. Si M y N son funciones de vriles definids en un región R del plno, un

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR

EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR 1. L poición de un óvil, que igue un tryectori rectilíne, qued deterind por l ecución x = 5 + t, en l que tod l gnitude etán expred en el S.I. ) Arrnc el óvil dede

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

INTEGRALES Curso , 2 tal que f(c) = k? ), para algún punto [a, b].

INTEGRALES Curso , 2 tal que f(c) = k? ), para algún punto [a, b]. INTEGRALES Curso 9-.- ) Enuncir el Teorem del vlor medio integrl y dr un interpretción del mismo. Cundo f(), cómo puede interpretrse geométricmente? cos si [-, ] ) Se f () = 4 + sen si (, ] ) Hllr I =

Más detalles

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas) ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES (De revolución) A. Cálculo

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno

Más detalles

Integrales de Superficie y sus Aplicaciones

Integrales de Superficie y sus Aplicaciones iclo Básico Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo Vectoril (054) Junio 01 UNIVERIDAD ENTRAL DE VENEZUELA FAULTAD DE INGENIERÍA Integrles de uperficie y sus Aplicciones José Luis Quintero 1. Encuentre un

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica

1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica 1 Métodos Mtemáticos I Prte II Integrles de ĺıne y superficie Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic 2 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en

Más detalles

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura). TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A

Cálculo II. Volúmenes de Sólidos. M. en C. Ricardo Romero. Grupo CTG87 Trimestre 11-P. Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A Cálculo II Volúmenes de Sólidos M. en C. Ricrdo Romero Deprtmento de Ciencis Básics, UAM-A Grupo CTG87 Trimestre 11-P Grupo CTG87 Trimestre 11-P 1 / Progrm 1 Cálculo de volúmenes prtir de secciones trnsversles

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Integral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n.

Integral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n. Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n. Definición 3.1 Se [, b] IR, diremos que α: [, b] IR n es un cmino en IR n si α es continu en [, b]. A los puntos α y αb de IR n los llmremos extremos del

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

2 Funciones vectoriales

2 Funciones vectoriales 2 Funciones vectoriles 2.1. Definición, dominio, imgen, gráfic Definición de función Un función de vlor vectoril o simplemente un función vectoril (en R n ) vectoril es un función cuyo dominio es un conjunto

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

04) Vectores. 0403) Componentes Vectoriales

04) Vectores. 0403) Componentes Vectoriales Págin 1 04) Vectores 0403) Componentes Vectoriles Desrrolldo por el Profesor Rodrigo Vergr Rojs Octubre 007 Octubre 007 Págin Un mismo ector se puede epresr como l sum de numerosos conjuntos de dos, tres

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo = π. r 360º = πrd = 400 G α º = α R = α G 360º π 400 G C = π. rdio Longitud de l Circunferenci Áre de Anillo

Más detalles

vectores Componentes de un vector

vectores Componentes de un vector Vectores Un vector es un segmento orientdo. Está formdo por se representn: - con un flech encim v - en un eje de coordends - el módulo: es l longitud del origen l extremo - l dirección: es l rect que contiene

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

EFECTO HALL. FUENTES DE CAMPO MAGNETICO - LEY DE BIOT SAVART - LEY DE AMPERE

EFECTO HALL. FUENTES DE CAMPO MAGNETICO - LEY DE BIOT SAVART - LEY DE AMPERE ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUIA NRO. 10 EFECTO HALL. FUENTES DE CAMPO MAGNETICO - LEY DE BIOT SAVART - LEY DE AMPERE Bibliogrfí Obligtori (mínim) Cpítulo 30 Físic de Serwy Tomo II Apunte de cátedr:

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

CAPÍTULO. La derivada

CAPÍTULO. La derivada CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente,

Más detalles

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

6. Curvas en el espacio

6. Curvas en el espacio FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del rmo Mtemátics Aplicds, de Felipe Álvrez, Jun Diego Dávil, Roberto Cominetti y Héctor

Más detalles

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena)

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena) i f(z), l derivd dey de f(x) con repecto e define como 2. h donde AZ. derivd tmbién e deign por (x). El proceo eguido pr hllr e llm diferencición. AZ En iguiente on funcione de b, c, contnte [con retriccione

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z e A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) x D INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de

Más detalles

EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA

EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DEFINIDA. Definición de función integrble. Primers propieddes. Clculr ls integrles de ls siguientes funciones en los intervlos que se indicn: ) f(x) = [x] en [, n], con n N. b)

Más detalles

La Integral Multiplicativa

La Integral Multiplicativa Universidd del Pís Vsco Mtemátic Aplicd y Estdístic L Integrl Multiplictiv Jun-Miguel Grci Extrcto: Se nliz l relción de l integrl multiplictiv de Volterr con l derivd logrítmic y los sistems diferenciles

Más detalles

Integrales de ĺınea complejas

Integrales de ĺınea complejas Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Guía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Guía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática . RESUMEN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Vris Vriles 08- Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Guí Semn 4 Grdiente. Sen Ω Ê N un ierto, f

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Tema 3 Respuesta en Frecuencia

Tema 3 Respuesta en Frecuencia CIRCUITOS ANALÓGICOS SEGUNDO CURSO Tem 3 Repuet en Frecuenci Sebtián López y Joé Fco. López Intituto Univeritrio de Microelectrónic Aplicd IUMA Univeridd de L Plm de Grn Cnri 357 - L Plm de Grn Cnri Tfno.

Más detalles

1 Aproximación de funciones por polinomios.

1 Aproximación de funciones por polinomios. GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; :::::

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N. Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Longitud de un curv. Áre de un superficie de revolución. Ejercicios Código : MAT-CDI. resueltos Ejemplo :

Más detalles

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar

Funciones de Variable Compleja - Clase 27-28/08/2012 ( ) 4) Acotación del módulo de la integral. Demostrar Funciones de Vrile omplej - lse 7-8/08/01 [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv( y) L derivd de ω se define como: [ ] ω : I =, R t I ω Donde : ω = u + iv L integrl definid de funciones ω sore t, se define

Más detalles

5. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO

5. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO 149 5.1 Trlción pur 5. CINÉTIC DEL CUERP RÍID 1. El utomóvil repreentdo en l fiur vij hci l izquierd 7 km/h cundo comienz frenr, uniformemente, ht detenere por completo en un lonitud de 40 m. Sbiendo que

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

PROBLEMA RESUELTO DE ESTABILIDAD

PROBLEMA RESUELTO DE ESTABILIDAD Univeridd Ncionl de Rorio Fcultd de Cienci Exct Ingenierí y Agrimenur Ecuel de Ingenierí Electrónic Deprtmento de Electrónic ELECTRÓNICA III PROBLEMA RESUELTO DE ESTABILIDAD AUTOR: Federico Miyr REVISIÓN:

Más detalles

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre ) Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

1. Introducción: longitud de una curva

1. Introducción: longitud de una curva 1. Introducción: longitud de un curv Integrles de L ide pr clculr l longitud de un curv contenid en el plno o en el espcio consiste en dividirl en segmentos pequeños, escogiendo un fmili finit de puntos

Más detalles

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z Se A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de

Más detalles

y se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C.

y se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C. Cpítulo I Concepto de curv 1. Curvs regulres Intuitivmente, un curv en R n es un conjunto C R n que puede describirse con un único prámetro que vrí en un intervlo I de l rect rel R. Dich descripción se

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 12. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL Práctics Mtlb Práctic Objetivos Profundizr en l comprensión del concepto de integrción. Aplicr l integrl l cálculo de áres y volúmenes Comndos de Mtlb int Clcul de

Más detalles