Lección 3. Curvas. 4. Curvas parametrizadas: ejemplos.

Transcripción

1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Curvas paramerizadas: ejemplos. La descripción más direca y flexible de una curva es una represenación paramérica. En lugar de considerar una de las coordenadas recangulares como función de la ora, se consideran ambas coordenadas como funciones de una nueva variable independiene, denominada parámero de la curva, de manera que el puno de coordenadas ( x(), y() ) describe la curva conforme el parámero recorre un ciero inervalo. Desde el puno de visa de la Física, la represenación paramérica de una curva es la más naural en cuano que responde al concepo inuiivo de una curva como la rayecoria descria por un objeo móvil; en ese caso el parámero es el iempo, en función del cual vienen dadas las coordenadas caresianas x = x () e y = y () de la posición del objeo móvil en cada insane. Nauralmene, si el objeo se mueve en el espacio ridimensional, enonces hay que añadir una ercera coordenada z = z(). Esas consideraciones nos llevan a dar la siguiene definición. DEFINICIÓN (CURVA PARAMETRIZADA). Una curva paramerizada en o en es la imagen de una función vecorial coninua C definida para los punos de un inervalo I. La variable independiene de la función vecorial C se llama parámero de la curva y la propia función C recibe el nombre de paramerización de la curva. Las curvas en se llaman planas y, habiualmene, su paramerización C se escribe, componene a componene, por C: I C = x, y, con lo que la curva es el conjuno de punos { x y I} (), () :. La coninuidad de C significa que las funciones componenes x: I x e y: I y son funciones coninuas. y la curva es el con- Análogamene, en se escribe C: I C = ( x, y, z ) juno de punos ( x(), y(), z() ) : I. { } 1

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO OBSERVACIÓN. Recuerda que la coninuidad de las funciones componenes significa que para cada puno 0 I, se verifica que lim x = x( ), lim y = y( ) y lim z = z. Eso lo expresaremos escribiendo lim C = lim x, y, z = lim x,lim y,lim z = x, y, z = C Como hemos señalado anes, desde un puno de visa dinámico, el parámero se puede inerprear como la variable iempo y, en consecuencia, las funciones x( ), y() y z represenarán las coordenadas de la posición, en un insane, de un puno que se mueve en el espacio. La rayecoria descria por el puno es la curva definida por C () = ( x (), y (), z (). ) De acuerdo con esa inerpreación, si I es un inervalo finio I = [ ab, ], enonces los punos Ca y Cb se llaman exremos de la curva; Ca es el puno inicial y Cb es el puno final de la paramerización. Se dice que la curva es cerrada si Ca = Cb. EJEMPLOS. (1) La reca que pasa por el puno ( ab, ) y iene como vecor direcor ( uv, ) se puede x() = a+ u, represenar en forma paramérica mediane donde el parámero. y() = b+ v, () El segmeno reco cuyos exremos son los punos A= ( a1, a, a) y B = ( b1, b, b) puede represenarse en forma paramérica mediane x() = a + ( b a ), y() = a + ( b a ), z() = a + ( b a ), donde () Una curva expresada de forma explícia por la ecuación y = f( x) admie una represenación paramérica en la que el parámero es la propia variable x y esá dada por x = e y() = f(). (4) La circunferencia de cenro ( ab, ) y radio r > 0 se obiene con las ecuaciones paraméricas x() = a+ rcos, y() = b+ rsen, donde el parámero [0, π ]. Si quisiéramos describir sólo un arco de la circunferencia, basaría con considerar la variación del ángulo represenado por el parámero. Así, por ejemplo, el arco correspondiene al primer cuadrane de la circunferencia queda π descrio cuando recorre el inervalo 0,. En ese ejemplo, el parámero que esamos usando es el ángulo polar (rasladado al cenro de la circunferencia en el puno ( ab)., ) (5) De hecho, una curva dada por una ecuación en coordenadas polares r = r( θ ), donde θ [ αβ, ], puede considerarse ambién como una curva paramerizada plana, usando el ángulo polar como parámero. La paramerización de la curva es C( θ ) = ( r( θ)cos θ, r( θ)sen θ), con θ [ αβ, ]. x y (6) La elipse de semiejes ab>, 0, de ecuación caresiana + = 1, puede paramerizarse de la a b siguiene forma. Teniendo en cuena que la ecuación de la elipse se puede escribir de la forma x y + = 1 y considerando la relación rigonomérica a b cos sen 1, + = podemos omar como

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO paramerización de la elipse C = ( acos b, sen ), con [0, π ]. Es conveniene observar que en esa paramerización, el parámero no coincide con el ángulo polar θ. Sabemos que y bsen b anθ = = = an, x () acos a b luego θ = arcan an, salvo que a= b, en cuyo caso, se raa de una circunferencia. a (7) La hélice circular viene dada por la paramerización C () = (cos,sen,), donde. La curva crece cuando la componene z = crece. Cada vez que el parámero recorre un inervalo de ampliud π, la curva complea una vuela sobre el cilindro de ecuación x + y = 1. Observa que la disancia verical enre las espiras es π. Esa canidad se llama paso de la hélice. OBSERVACIÓN. La superficie cilíndrica sobre la que se enrolla la hélice esá formada por odos aquellos punos P = (x, y,z) que verifican la ecuación x + y = 1. Observemos que si un puno de coordenadas ( x0, y0, z perenece al cilindro y, por ano, verifica la ecuación x0 + y0 = 1, al variar la coordenada z y considerar cualquier puno de la forma ( x0, y0, z ); esos punos ambién verificarán la ecuación y, por ano, ambién perenecen al cilindro. En definiiva, eso nos dice que si el puno ( x0, y0, z perenece al cilindro, enonces odos los punos de la reca que pasa por ese puno y es paralela al eje OZ ambién perenecen al cilindro. Enonces, para visualizar esa superficie, basa describir con dealle, por ejemplo, los punos del cilindro del plano OXY, que son aquellos ( x, y, que verifican la ecuación x + y = 1. En ese plano, esa ecuación represena una cir- cunferencia con cenro en (0, y radio 1.

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO (8) La cicloide es la rayecoria que sigue un puno dado de una circunferencia de radio a > 0 cuando ésa rueda a lo largo de una línea reca sin deslizamieno. Consideremos un sisema de ejes de forma que el eje OX coincide con el eje de giro de la circunferencia y omamos el origen precisamene en el puno que comienza a girar. Cuando esa circunferencia comienza a girar, el puno marcado (que en el momeno inicial coincide con el origen de coordenadas) va describiendo una curva plana. Para describir la paramerización de esa curva debemos elegir un parámero que describa las coordenadas ( x, y( )) de un puno genérico de la curva. Elegimos como parámero el ángulo que forma la verical que pasa por el cenro de la circunferencia y la reca que para por el cenro y el puno genérico de la curva que queremos describir. Observemos que para describir un ciclo, es decir, desde que el puno que gira arranca del origen de coordenadas hasa que vuelve a ocar el eje OX, el parámero recorre el inervalo [0, π ]. Ahora calcularemos las coordenadas ( x, y( )) de un puno genérico de la curva en función de ese π parámero. Tenemos que, eniendo en cuena que + θ =, x = a+ acosθ = a asen e y = a+ asenθ = a acos. Esas son las funciones que paramerizan la curva, que se llama cicloide. DEFINICIÓN. Si a dos valores disinos del parámero 1 y, que no sean los exremos del inervalo I, les corresponde un mismo puno P = C( 1) = C de la curva, enonces se dice que P es un puno múliple. Esa definición excluye explíciamene el exremo Ca = Cb en el caso de curvas cerradas. Se dice que una paramerización es simple cuando no iene punos múliples. Una curva que puede ser descria por una paramerización simple se denomina curva simple. 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJEMPLO. Considerando la paramerización C: [0, π ] C = (cos,sen ), obenemos que la circunferencia unidad es una curva cerrada. Sin embargo, la misma función C, pero definida para [0, π ], represena la circunferencia unidad recorrida una vez y media: no es una curva cerrada y los punos del semiplano superior son múliples. Reca angene a una curva paramerizada. Sea C una curva paramerizada por una función Sea P C ( x y z ) ( x y z ) C: I C = x, y, z. = ( = (, (, ( = 0, 0, 0, con 0 I, un puno simple de la curva y sea R() una reca cualquiera que pase por el puno P, digamos abc el vecor direcor de dicha reca. Observemos que R( = P. Enonces e- lim = 0,0,0. Es decir, oda reca que pase por el puno P verifica la siendo (,, ) ( 0,0, nemos que ( C R) R = x + a( ), y + b( ), z + c( ), igualdad anerior. Buscamos ahora una reca que verifique una condición más fuere, a saber, C () R () lim = ( 0,0,0 ). 0 Esa igualdad vecorial es equivalene a las igualdades escalares x() x0 a( y() y0 b( z() z0 c( lim = lim = lim 0, que, como sabemos, es equivalene a decir que las funciones componenes x = x, y = y () y z = z() son derivables en 0 y x ( = a, y ( = b y z ( = c. Observa que el vecor ( x, y, z ) = ( abc,, ) es un vecor no nulo. Al vecor cuyas componenes son las derivadas de las funciones coordenadas C ( ): = x ( ), y ( ), z ( ) y se dice que C es de la curva se le llama vecor derivada, es decir, derivable en 0. En general, puede ocurrir que ese vecor sea nulo. En caso conrario, es decir, si ( 0,0,0, lo llamaremos vecor angene a la curva C en el puno P= C 0 C DEFINICIÓN. Se dice que un puno simple P= C( de C es regular si C es derivable en 0, las derivadas de las funciones componenes son coninuas en y 0 C ( 0. Se define la reca angene a la curva C en el puno regular P como la reca que pasa por P y iene como vecor direcor C (, que se llama vecor angene a la curva en P. Si odos los punos de la curva son regulares, enonces se dice que la paramerización es regular (en oros exos se emplea la palabra suave). Si el inervalo I puede descomponerse en una canidad finia de subinervalos en cada uno de los cuales la paramerización es regular, enonces se dice que la paramerización es regular a rozos.. 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJEMPLO. Vamos a calcular la reca angene a la hélice circular C = (cos,sen, ) en el puno de coordenadas P = (1, 0,. El valor del parámero para el que se obiene el puno P = (1,0, es claramene = 0. Sabemos enonces que la reca angene es la reca que pasa por P con vecor direcor C (. Como enemos que C () = ( sen,cos,1), obenemos que C ( = (0,1,1). La reca que pasa por P = (1, 0, con vecor direcor C ( = (0,1,1) se puede expresar de varias formas, por x 1 y z ejemplo: paraméricamene x = 1, y =, z = ; de forma coninua = = ; o como inersección x = 1, de dos planos y z = 0. EJEMPLO. Vamos a calcular la reca angene a la curva C() = (1,,) en el puno de coordenadas P = (0,1,1). En ese caso, visualizar la curva es un poco más complicado, pero observemos que x = 1 z x = 1, y = y z =, luego los punos ( x, yz, ) de la curva verifican que es decir, y = z, los punos de la curva son la inersección de las cuádricas x = 1 z e y = z en el espacio. Vamos a rabajar ahora con la cuádrica de ecuación x = 1 z, para llegar a la conclusión de que se raa de un cilindro de base parabólica. Esa superficie esá forma por los punos ( x, yz, ) que verifican esa ecuación. Observemos que si un puno de coordenadas ( x0, y0, z perenece al cilindro y, por ano, verifica la ecuación x0 = 1 z0, al variar la coordenada y y considerar cualquier puno de la forma ( x0, yz, ; esos punos ambién verifican la ecuación y, por ano, ambién perenecen a la superficie. En definiiva, eso nos dice que si el puno ( x0, y0, z perenece a la superficie, enonces odos los punos de la reca que pasa por ese puno y es paralela al eje OY ambién perenecen a la superficie. De esa forma, para visualizar esa superficie, basa describir con dealle, por ejemplo, los punos de la curva inersección con el plano OXZ, que son odos aquellos ( x,0, z ) que verifican x = 1 z. En ese plano, es decir, en el plano y = 0 esa ecuación represena una parábola con vérice en el puno (1, que abraza al eje OX en senido negaivo. Procediendo de forma similar con la ora ecuación podemos visualizar las dos superficies, como se muesra en la siguiene figura. Eje OZ y = z Eje OY Eje OX x = 1- z También hemos dibujado en esa figura la curva inersección de esas dos superficies. El valor del parámero para el que se obiene el puno P = (0,1,1) es = 1. Sabemos enonces que la reca an- 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO gene es la reca que pasa por P con vecor direcor C (1). Como C = (,,1), obenemos que C (1) = (,,1). La reca que pasa por P = (0,1,1) con vecor direcor C (1) = (,,1) se puede x y 1 z 1 expresar de varias formas; por ejemplo, en forma coninua, = =. 1 EJEMPLO. Vamos a calcular la reca angene a la curva C () = (, ) en el puno de coordenadas P = (1,1). En ese caso el valor del parámero para el que se obiene el puno P = (1,1) es = 1. Sabemos enonces que la reca angene es la reca que pasa por P con vecor direcor C (1). Como C () = (, ), obenemos que C (1) = (,). La reca que pasa por el puno P = (1,1) con vecor direcor C (1) = (,) se puede expresar de varias formas, por ejemplo: x y 1 = 0. Observemos que en ese ejemplo disponemos de una ecuación explícia de la curva: y = x, lo que nos permie calcular la reca angene por el procedimieno clásico y = 1 + y (1)( x 1) y observar que coincide, como no podía ser de ora forma, con la reca anerior. OBSERVACIÓN. (1) En general, para curvas dadas de forma explícia por una ecuación y = y( x), la noción de reca angene que acabamos de exponer coincide con la ya conocida de la primera lección. En efeco, sabemos que la curva y = y( x) puede paramerizarse por la función C () = (, y ()). La angene en un puno ( x0, y, que se obiene para el valor del parámero = x, 0 es la reca que pasa por el puno ( x0, y con vecor direcor C ( x = (1, y ( x). Esa reca es y = y0 + y ( x( x x, que coincide con la expresión de la reca angene que ya conocemos. () En los punos excepcionales P= C( que no son simples, en los que C no es derivable, o en los que C ( = 0, la noción de reca angene puede perder su significado ya que en ales punos la angene puede no exisir o no esar definida de forma única. Veamos algunos ejemplos ípicos. A) Si el puno P es un puno múliple, pongamos por ejemplo P= C( 1) = C, podemos considerar que exisen varias recas angenes diferenes, una para cada valor del parámero cuya imagen por C sea P. En la inerpreación dinámica del concepo de curva paramerizada, eso corresponde al hecho de que, aunque la rayecoria de un móvil pase varias veces por el mismo puno P, puede hacerlo cada vez con velocidades disinas. Eso ambién se aplica a los exremos Ca = Cb de una curva cerrada: C ( a) es la velocidad de salida y C ( b) es la velocidad de llegada. Consideremos la curva paramerizada por C( θ ) = ((1 cos θ)cos θ,(1 cos θ)sen θ), con θ π π,. π π Observemos que para los valores θ = y θ = la curva pasa por el origen de coordenadas, que es un puno doble de esa curva. B) Oro ejemplo ípico es una esquina o pico de la curva, que corresponde al caso en que C es derivable a ambos lados de 0 pero las derivadas laerales son disinas, lo que da lugar a dos vecores C () =,, con angenes, uno de llegada y oro de parida. Por ejemplo, eso ocurre en la curva el parámero 1 1. Observemos que el origen de coordenadas es un puno esquina. 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO C) El ercer ejemplo ípico son los punos de reroceso, que suelen corresponder al caso en que C ( = 0 y son punos en los que dos ramas de la curva se unen de forma angene pero con aspeco de pico, como si el vecor angene cambiara bruscamene de signo. Es el caso de la curva paramerizada por C () = (, ), donde 1 1. Observemos que el origen de coordenadas es un puno de reroceso. EJERCICIO 1. Describe una paramerización de la cisoide, que es el nombre de la curva plana que se genera del siguiene modo: un rayo arbirario OB inerseca la línea reca de ecuación x = a en el puno B. Sea C la proyección de B sobre el eje OY y M la proyección de C sobre OB. El puno M es el que describe la cisoide. Realiza un dibujo esquemáico de dicha curva. EJERCICIO. Describe una paramerización de la curva que se genera (observa el dibujo) de la siguiene forma. Cuando el puno N recorre la reca y = a, con a > 0, el puno P recorre la curva de al forma que la longiud del segmeno OP coincide con la longiud del segmeno MN. Usa el ángulo que forma el segmeno ON con el eje OY como parámero. EJERCICIO. Considera la curva paramerizada por cos sen cos sen sen C () = + +, +,1 +. Comprueba que describe el movimieno de una parícula que se mueve en una circunferencia, del plano x y z,,,1. Describe las soluciones del sisema de ecuaciones + = de radio 1 cenrada en el puno ( x ) + ( y ) + ( z 1) = 1, x+ y z =. EJERCICIO 4. Deermina la reca angene a la curva paramerizada por C = ( cos,sen,sen ) en el puno ( 0,1,0 ). Describe esa curva como inersección de dos superficies y realiza un dibujo esquemáico de la curva. En qué punos de la curva la angene es paralela al plano OXY? 8

9 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJERCICIO 5. Cada una de las siguienes paramerizaciones describe el movimieno de una parícula en la circunferencia unidad x + y = 1, aunque el comporamieno dinámico es diferene en cada una de ellas. Responde las siguienes cuesiones para cada una de las paramerizaciones. i) Tiene la parícula velocidad consane? En ese caso, indica cual es. ii) Es el vecor aceleración orogonal al vecor velocidad? iii) Indica si el movimieno de la parícula es en el senido de las agujas del reloj o conrario al movimieno de las agujas del reloj. iv) Es el puno ( 0,1 ) el puno inicial del recorrido de la parícula? Las paramerizaciones que debes considerar, odas definidas para 0, son las siguienes: C () cos,sen, C () = cos(),sen(), a) = b) c) C () ( cos, sen ), C () = cos,sen. = d) EJERCICIO 6. Calcula el área que encierra un arco de cicloide y el eje OX. a x () =, + a EJERCICIO 7. La cisoide es la curva paramerizada por donde (, ). De esa y () =, + a curva has obenido una paramerización en el EJERCICIO 1. En varios pasos, vamos a comprobar que el área que limia la cisoide con su asínoa x = a y el eje OX es finia y, de hecho, vamos a calcularla. Para ello debes realizar los siguienes aparados. (1) Calcula la inegral indefinida d usando inegración por pares; omando + a como funciones u = y dv = d ( + a ) () De forma similar al aparado anerior, calcula la inegral indefinida. 4 ( + a ) () Prueba que el área que limia la cisoide con la asínoa x = a y el eje OX es finia. (4) Calcula el área descria aneriormene. EJERCICIO 8. Prueba que el segmeno comprendido enre los ejes coordenados de cualquier angene a la asroide, x + y = a con a > 0, iene longiud consane. Calcula dicha longiud. d. 9