Introducción La topología de las... Grafos aleatorios Redes small world y el... El modelo de Newman... Algoritmos sobre grafos Resultados obtenidos

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1 Page 1 of 36 REDES SMALL WORLD

2 Page 2 of Introducción Las estructuras complejas de red describen una gran variedad de sistemas de alta importancia tecnológica e intelectual: ➊ la célula se describe mejor como una compleja red de sustancias conectadas por reacciones químicas, ➋ Internet es una compleja red de enrutadores y computadores conectados por varios enlaces físicos o inalámbricos, ➌ aficiones e ideas se dispersan por la red social cuyos nodos son seres humanos y los enlaces representan relaciones sociales, ➍ la World-Wide Web es una enorme red virtual de páginas web conectadas por hipervínculos.

3 Page 3 of 36 Existe un gran número de atributos característicos de una red. No obstante, se han definido tres propiedades fundamentales, cuyo comportamiento permite diferenciar a qué paradigma de modelado obedece una red. Estas propiedades son: la longitud de camino promedio, el coeficiente de agrupamiento, y la distribución del número de correlación.

4 Page 4 of Longitud de camino promedio El concepto de small world en términos sencillos describe el hecho de que, no obstante su frecuente gran tamaño, en la mayoría de las redes hay un camino relativamente corto entre cualquier par de nodos. La distancia entre dos nodos se define como el número de enlaces a lo largo del camino más corto que los conecta. La propiedad de small world se cuantifica con la longitud de camino promedio, l, y aparece para caracterizar la mayoría de redes complejas.

5 Page 5 of Agrupamiento Una propiedad común de las redes sociales es la formación de corrillos, que representan círculos de amigos o conocidos en los cuales cada miembro conoce a todos los otros. Esta tendencia inherente al agrupamiento se cuantifica con el coeficiente de agrupamiento. Se centra la atención sobre un nodo i seleccionado en la red, el cual tiene k i enlaces que lo conectan a otros k i nodos. Si los primeros vecinos del nodo original son parte de un corrillo, debería haber k i (k i 1)/2 enlaces entre ellos. La razón entre el número E i de enlaces que realmente existen entre estos k i nodos y el número total ki(ki 1)/2 da el valor del coeficiente de agrupamiento del nodo i, C i = 2E i /k i (k i 1). (1) El coeficiente de agrupamiento de toda la red, C, es el promedio de todos los C i individuales.

6 1.3. Distribución del número de correlación No todos los nodos en una red tienen el mismo número de enlaces. La dispersión en el número de enlaces que tiene un nodo, o número de correlación del nodo, se caracteriza con una función de distribución P (k), la cual da la probabilidad de que un nodo seleccionado aleatoriamente tenga exactamente k enlaces. Page 6 of 36

7 Page 7 of 36 La búsqueda de modelos que se aproximen más a las redes reales ha provocado un renacimiento del modelado de redes, dando como resultado la introducción y estudio de tres clases principales de paradigmas de modelado [1]: 1., los cuales son variantes del modelo de Erdós-Rényi. 2. Una clase de modelos colectivamente llamados modelos de small world. 3. Modelos libres de escala (SF).

8 Page 8 of La topología de las redes reales: resultados empíricos Red Tamaño l l rand C C rand γ MC I-DL MC (Math coautorship): Grafo de colaboración de matemáticos en publicaciones entre 1991 y Los nodos son los matemáticos y dos nodos estan conectados si los dos matemáticos han escrito un artículo juntos. I-DL (Internet, domain level): Cada dominio, compuesto de cientos de routers y computadores, se representa con un nodo, y se dibuja un enlace entre dos dominios si existe al menos una ruta que los conecta.

9 Page 9 of En términos matemáticos una red se representa con un grafo. Un grafo es un par de conjuntos G = {P, E}, donde P es un conjunto de N nodos P 1, P 2,..., P N y E es un conjunto de enlaces que conectan dos elementos de P. Erdós y Rényi definen un grafo aleatorio como N nodos rotulados conectados por n enlaces los cuales son escogidos aleatoriamente de entre los N(N 1) posibles enlaces. En total 2 hay C n N(N 1) 2 grafos con N nodos y n enlaces, formando un espacio de probabilidad en el cual cada realización es equiprobable. La teoría de grafos aleatorios estudia las propiedades del espacio de probabilidad asociado con grafos con N nodos cuando N.

10 Page 10 of 36 Resultados para los grafos aleatorios: donde pn (pn)k P (k) e k! = e k k k k! k = p(n 1) pn. l rand ln(n) ln( k ) C rand = p = k N..,

11 Page 11 of Redes small world y el modelo de Watts-Strogatz Las redes small world se caracterizan por tener un coeficiente de agrupamiento alto y una longitud de camino promedio l pequeña. El primer intento exitoso de generación de grafos con estas propiedades es debido a Watts y Strogatz [1]. 1. Comenzar con orden: Comenzar con una red en anillo de N nodos, en la cual cada nodo está conectado a sus primeros K vecinos (K/2 a cada lado). Para tener una red dispersa pero conectada en todo instante de tiempo, considerar N K ln N Aleatoriedad: Redireccionar aleatoriamente cada enlace de la red con probabilidad p, excluyendo auto conexiones y enlaces duplicados. Este proceso introduce en promedio pnk/2 enlaces de largo alcance que conectan nodos que de otro modo harían parte de vecindades diferentes. Variando p, se puede monitorear la transición entre orden (p = 0) y aleatoriedad (p = 1).

12 Page 12 of 36 Por ejemplo, en los sistemas sociales la mayoría de la gente tiene como amigos a sus vecinos de barrio o a sus compañeros de trabajo; pero por otro lado, todos tienen uno o dos amigos en otros países, los cuales están representados por los enlaces de largo alcance que se obtienen mediante redireccionamiento en el modelo de Watts-Strogatz.

13 Page 13 of El modelo de Newman y Watts y las propiedades de las redes small world Existe una variante muy estudiada del modelo de WS, propuesta por Newman y Watts [1], en la cual se adicionan enlaces entre pares de sitios escogidos aleatoriamente, pero no se remueven enlaces de la red regular. Este modelo es más fácil de analizar que el modelo de Watts-Strogatz porque no lleva a la formación de grupos aislados, lo cual sí puede suceder en el modelo original. Para p suficientemente pequeña y N suficientemente grande, este modelo es equivalente al modelo WS. A continuación se resumen los principales resultados concernientes a las propiedades de los modelos small world, los cuales se encuentran recopilados en [1].

14 Page 14 of Longitud de camino promedio El el modelo WS hay un cambio en el comportamiento de la longitud de camino promedio, l, a medida que se incrementa la fracción p de los ejes redireccionados. Para pequeñas p, l escala linealmente con el tamaño del sistema, mientras que para grandes p el escalado es logarítmico. Existe una longitud crítica N (dependiente de p) tal que l N si N < N, y l ln N si N > N. Este concepto permitió que se conjeturara que la longitud de camino característica escala como ( ) N l(n, p) N F, (2) donde F (u) = N { u si u 1, ln(u) si u 1. (3)

15 Page 15 of 36 Simulaciones numéricas y argumentos analíticos [2] permiten concluir que la longitud crítica N escala con p como N p τ, donde τ = 1/d y d es la dimensión de la red original a la cual se le adicionan los enlaces aleatorios. Así, para el modelo original WS, definido sobre un círculo (d = 1), se tiene τ = 1, y el inicio del comportamiento small world tiene lugar en la probabilidad de redireccionamiento p 1/N.

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17 Page 17 of Coeficiente de agrupamiento Para calcular C (p) para el modelo WS, se comienza con una red regular con un coeficiente de agrupamiento C(0). Para p > 0, dos vecinos de un nodo i que estaban conectados con p = 0 son aún vecinos de i y están aún conectados por un enlace con probabilidad (1 p) 3, ya que hay tres enlaces que deben permanecer intactos. Consecuentemente, C (p) C(0)(1 p) 3. Se ha verificado que la desviación de C(p) de esta expresión es pequeña y tiende a cero cuando N. La expresión correspondiente para el modelo de Newman-Watts es [1], C (p) = 3K(K 1) 2K(2K 1) + 8pK 2 + 4p 2 K 2. (4)

18 Page 18 of Distribución del número de correlación En el modelo WS con p = 0, cada nodo tiene el mismo número de correlación K, de modo que la distribución del número de correlación es una función delta centrada en K. Una p diferente de cero introduce desorden en la red, ensanchando la distribución del número de correlación mientras mantiene el número de correlación promedio igual a K. La forma de la distribución del número de correlación es similar a la de un grafo aleatorio: tiene un pico pronunciado en k = K y decae exponencialmente para k grande. De este modo, la topología de la red es relativamente homogénea, con todos los nodos teniendo aproximadamente el mismo número de enlaces.

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20 Page 20 of Los grafos son estructuras de datos muy importantes en ciencias de la computación, y los algoritmos para trabajar con ellos son fundamentales para este campo Representaciones de grafos Existen dos métodos estándar para representar un grafo G = (N, E): como una colección de listas de adyacencia o como una matriz de adyacencia. Los dos métodos son aplicables tanto a grafos dirigidos como no dirigidos.

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23 Page 23 of Cálculo de los caminos más cortos entre todas las parejas Los algoritmos de esta sección usan una representación en matriz de adyacencia. Por conveniencia, se asume que los nodos están numerados 1, 2,..., N, de modo que la entrada es una matriz W de dimensión n x n, la cual representa los pesos de los enlaces de un grafo dirigido de n nodos G = (N, E). Esto es, W = (w ij ), donde 0 si i = j, w ij = 1 si i j y (i, j) E, si i j y (i, j) / E. La salida tabular de los algoritmos para los caminos más cortos entre todas las parejas presentados en esta sección es una matriz D = (d ij ) de dimensión n x n, donde la entrada d ij contiene el peso del camino más corto desde el nodo i hasta el nodo j. Esto es, si δ(i, j) denota el peso del camino más corto desde el nodo i hasta el nodo j, entonces d ij = δ(i, j) al final.

24 Page 24 of 36 EXTEND-SHORTEST-PATHS(L, W ) 1 n rows[l] 2 sea L = (l ij) una matriz n x n 3 for i 1 to n 4 do for j 1 to n 5 do l ij 6 for k 1 to n 7 do l ij min(l ij, l ik + w kj ) return L FASTER-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W ) 1 n rows[w ] 2 L (1) W 3 m 1 4 while m < n 1 5 do L (2m) EXTEND-SHORTEST-PATHS(L (m), L (m) ) 6 m 2m 7 return L (m)

25 Page 25 of Cálculo del coeficiente de agrupamiento En esta sección se considera el problema de encontrar el coeficiente de agrupamiento de un grafo dirigido y con pesos G = (N, E), con una función peso w : E R que asigna a cada enlace un peso de valor real, dada por 0 si i = j, w ij = 1 si i j y (i, j) E, si i j y (i, j) / E. El cálculo del coeficiente de agrupamiento se hace a partir de su definición. El coeficiente de agrupamiento se calcula solo para grafos con 100 nodos. El siguiente procedimiento realiza el cálculo, recibiendo como parámetro la matriz W con los pesos de los enlaces y retornando el coeficiente de agrupamiento ci.

26 Page 26 of 36 CLUSTERING-COEFFICIENT(W ) 1 n rows[w ] 2 ci 0 3 for i 1 to n 4 do neighbor i 0 5 for i 1 to n 6 do k 0 7 for j 1 to n 8 do if w ij = 1 9 then neighbor k j 10 k k realedges 0 13 for p 0 to k 2 14 do for q p + 1 to k 1 15 do if w neighborp neighbor q = 1 16 then realedges realedges totaledges k(k 1)/2 20 ci ci + realedges/totaledges 21 ci ci/ return ci

27 Page 27 of Cálculo de la distribución del número de correlación Ahora se considera el problema de encontrar la distribución del número de correlación de un grafo dirigido y con pesos G = (N, E), con una función peso w : E R que asigna a cada enlace un peso de valor real, dada por 0 si i = j, w ij = 1 si i j y (i, j) E, si i j y (i, j) / E. El cálculo de la distribución del número de correlación se hace a partir de su definición. La distribución del número de correlación se calcula solo para grafos con 100 nodos. El siguiente procedimiento realiza el cálculo, recibiendo como parámetro la matriz W con los pesos de los enlaces, y retornando el arreglo DIST con el total de nodos por cada posible número de enlaces.

28 Page 28 of 36 DEGREE-DISTRIBUTION(W ) 1 n rows[w ] 2 for i 1 to n 3 do dist i 0 4 for i 1 to n 5 do numedges 0 6 for j 1 to n 7 do if w ij = 1 and i j 8 then numedges numedges dist numedges dist numedges for i 1 to n 12 do dist i dist i / return DIST

29 Page 29 of Para nuestras investigaciones numéricas utilizamos redes unidimensionales que inicialmente tenían condiciones de frontera periódicas (un anillo de nodos), en las cuales cada nodo estaba conectado a los K = 2 nodos más cercanos a él. Posteriormente se adicionaron enlaces entre parejas de nodos escogidas aleatoriamente, sin remover enlaces de la red inicial, de conformidad con el modelo de Newman-Watts. El tamaño de las redes osciló entre un mínimo de N = 5 nodos y un máximo de N = 100 nodos.

30 7.1. Longitud de camino promedio Introducción p=0.001 p=0.003 p=0.005 p=0.007 p=0.01 p=1 lprom Page 30 of N

31 La gráfica de N en función de la probabilidad p sugirió una ley de potencia del tipo N (p) = Cp τ, (5) que comprobamos al realizar una gráfica log-log y obtener la recta. Un ajuste lineal de mínimos cuadrados nos permitió establecer los valores de C y τ, dando como resultado C = 0.13(4), τ = 0.95(6) (F = , r = ), que al ser reeemplazados en la ec. (5), conducen a Page 31 of 36 N (p) = 0.13(4)p 0.95(6). (6) Por lo tanto, obtuvimos τ 1/d = 1/1 = 1, tal como se esperaba.

32 10 3 R esultados de la simulac ión N*(p) = 0.13(4) p exp( 0.95(6) 10 2 N*(p) 10 1 Page 32 of p

33 7.2. Coeficiente de agrupamiento Introducción F órmula teórica R esultados de la simulación C (p) = 0.998(8) p (4) C (p) Page 33 of p

34 Page 34 of 36 Un ajuste lineal de mínimos cuadrados permite establecer que esta curva obedece la ecuación C(p) = 0.998(8)p (4) (7) (F = , r = ). Un análisis de los casos extremos triviales p 0 y p = 1, a la luz de la definición del coeficiente de agrupamiento, comprueba la validez de los resultados generados por el software.

35 7.3. Distribución del número de correlación Introducción p=0.1 p=0.2 p=0.4 p=0.6 p=0.9 p=1 P (k) Page 35 of k

36 Page 36 of 36 References [1] Réka, A. y Barabási, A., Statistical Mechanics of Complex Networks, cond-mat/ [2] Argollo de Menezes, M., Moukarzel, C.F. y Penna, T.J.P., First Order Transition is Small-World Networks, condmath/ [3] Barrat, A. y Weigt, M., Euro. Phys. Journ. B 13, 547, [4] Stauffer, D. y Aharony, A., Introduction to Percolation Theory, Taylor & Francis, [5] Cormen, T., Leiserson, C., Rivest, R. y Stein, C., Introduction to Algorithms, The MIT Press, [6] Yates, R. y Goodman, D., Probability and Stochastic Processes: a Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, John Wiley and Sons, 1998.

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