Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE RADIACIONES

Transcripción

1 Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE RADIACIONES Para realizar este cálculo es necesario contar con la hoja de registro que contiene las distancias y los azimuts de la poligonal datos recabados durante el trabajo de campo en los levantamientos planimétricos con tránsito y longímetro. Debido a que contamos con las distancias y los azimut de cada radiación, los cálculos matemáticos de este ejemplo partirán del cálculo de las coordenadas rectangulares de los vértices de la poligonal irregular, hasta obtener su área, para que se grafique el terreno de manera rápida y precisa. Antes de comenzar, asegúrate de contar con la hoja de registro para que puedas ir cotejando los datos con los cálculos que a continuación te mostraremos.

2 Paso 1. Cálculo para determinar las proyecciones rectangulares Primero se calculan las proyecciones rectangulares al eje de las X y las proyecciones rectangulares al eje de las Y utilizando los azimuts de las radiaciones y las distancias obtenidas en el trabajo de campo. Estos datos se encuentran en la hoja de registro, como podrás observar a continuación: Las fórmulas que emplearemos son las siguientes:!"#$%&&'ó!!"!"!! =!"#$%&'"%!"!"!"#$"%$ó!!"#$!"#!"!"#$!"#$%&&'ó!!"!"!! = (!"#$%&'"%!"!"!"#$"%$ó!) (!"#$%"!"#!"#$%&)

3 Cálculo de las proyecciones rectangulares de la radiación A-1 Ahora calcularemos las proyecciones rectangulares X y Y de la radiación A-1 de la poligonal. Los datos que utilizaremos son la distancia A-1 (76.89 m) y la azimut A1(74 00 ). Identifica los datos en tu hoja de registro de la siguiente manera: Utilizando la fórmula que mencionamos anteriormente, sustituye los valores, como se muestra a continuación:!"#$%&&'ó!!"!"!! = 76.89!!"#$ 74 00!"#$%&&'ó!!"!"!! = (76.89!) (!"#$%" ) Ahora obtén el seno y el coseno del azimut y sustitúyelos:!"#$%&&'ó!!"!"!! = 76.89! !"#$%&&'ó!!"!"!! = (76.89!) ( )

4 Una vez obtenido el seno y coseno del azimut, realiza la multiplicación correspondiente. Obtendrás el siguiente resultado:!"#$%&&'ó!!"!"!! = 76.89! = 73.91!!"#$%&&'ó!!"!"!! = 76.89! = 21.19! B) Cálculo de las proyecciones rectangulares de las radiaciones restantes Como recordarás, el cálculo es muy sencillo, por esta razón te presentamos sólo los resultados de las radiaciones restantes. Te recomendamos tener cuidado al sustituir los valores correctos en la fórmula.!"#$"%$ó!! 2:!"#$%&&'ó!!"#!"!! = 94.15!!"# = 25.95!!"#$%&&'ó!!"#!!"! = 94.15!!"# = 90.50!!"#$"%$ó!! 3:!"#$%&&'ó!!"#!"!! = 88.57!!"# = 84.55!!"#$%&&'ó!!"#!"!! = 88.57!!"# = 26.39!

5 !"#$"%$ó!! 4:!"#$%&&'ó!!"#!"!! = 80.84!!"# = 51.15!!"#$%&&'ó!!"#!"!! = 80.84!!"# = 62.60!!"#$"%$ó!! 5:!"#$%&&'ó!!"#!"!! = !!"# = 80.74!!"#$%&&'ó!!"#!"!! = !!"# = 82.17! Ahora que ya se obtuvieron los resultados de las proyecciones rectangulares de cada radiación del polígono, serán anotados en la hoja de registro, como se muestra a continuación:

6 Paso 2. Cálculo para determinar las coordenadas rectangulares Ahora que ya se determinaron las proyecciones rectangulares, determinaremos las coordenadas rectangulares siguiendo el procedimiento que a continuación se describe: A) Asignación de una coordenada arbitraria para el vértice A Las coordenadas rectangulares se calculan asignando una coordenada arbitraria al vértice auxiliar, para este ejemplo proponemos que dicho vértice sea el A. Esta primera coordenada deberá ser mayor a las proyecciones calculadas anteriormente, de manera que todas las coordenadas de nuestros vértices resulten positivas, así provocamos que nuestra poligonal llegue a ubicarse en el primer cuadrante al momento del trazo. En nuestro caso, las coordenadas del vértice auxiliar serán ( m) para X, cantidad que es mayor a las proyecciones calculadas en X, y ( m) para Y, cantidad que es mayor a las proyecciones calculadas en Y. Recuerda que la nomenclatura general para las coordenadas es:! (!,!) Por lo tanto, las coordenadas del vértice auxiliar serán:! (100.00,100.00)

7 Y representan nuestra coordenada de partida, la cual se colocará en la hoja de registro, como podrás observar a continuación: Una vez asignada la coordenada arbitraria, esta se sumará o se restará a cada una de las proyecciones calculadas en el paso 1, respetando el signo que resultó en el mismo. B) Cálculo para obtener las coordenadas rectangulares de cada vértice A continuación describiremos este cálculo tomando en cuenta los valores de las proyecciones rectangulares y las coordenadas del vértice auxiliar A. Los datos que utilizarás los podrás observar a continuación:

8 La fórmula que utilizaremos para realizar este cálculo es la siguiente:!""#$%&'$'!"! =!""#$%&'$'!!"#!é!"#$%!"#$%$!&! ±!"#$%&&'ó!!!""#$%&'$'!"! =!""#$%&'$'!!"#!é!"#$%!"#$%$!&! ±!"#$%&&'ó!! Por ejemplo, para calcular la coordenada X del vértice 1 se sumará la coordenada X del vértice auxiliar A que corresponde a m más la proyección en X de dicho vértice que corresponde a m. Recuerda, en este caso se sumarán los resultados debido a que el resultado de la proyección es positivo, como podrás confirmar en la hoja de registro. Al sustituir estos valores en la fórmula y hacer la operación correspondiente obtenemos:!""#$%&'$'!"! = ! ! = !

9 Para calcular la coordenada Y del mismo vértice se realiza el mismo procedimiento, pero ahora ocupando el valor en Y de la proyección del vértice 1 y la coordenada Y del vértice auxiliar A. Los datos que utilizaremos son: Al sustituir estos valores en la fórmula y realizar la operación correspondiente obtenemos:!""#$%&'$'!"! = ! ! = !

10 Estos datos se irán integrando en la hoja de registro, como se muestra a continuación: Como puedes ver, el cálculo es muy sencillo, por ello te presentamos los resultados de las coordenadas rectangulares restantes. Aquí te sugerimos tener cuidado al sustituir los valores en la fórmula; respeta los signos positivos y negativos de los valores de las proyecciones con la finalidad de saber qué operación harás.!""#$%&'$'!"!"!é!"#$% 2:!""#$%&'$'!"! = ! ! = !!""#$%&'$'!"! = ! ! = !!""#$%&'$'!"!"!é!"#$% 3:!""#$%&'$'!"! = ! 84.55! = 15.45!!""#$%&'$'!"! = ! ! = !

11 !""#$%&'$'!"!"!é!"#$% 4:!""#$%&'$'!"! = ! 51.15! = 48.85!!""#$%&'$'!"! = ! 62.60! = 37.40!!""#$%&'$'!"!"!é!"#$% 5:!""#$%&'$'!"! = ! ! = !!""#$%&'$'!"! = ! 82.17! = 17.26! Ahora que ya se obtuvieron los valores de las coordenadas rectangulares de cada vértice del polígono, se tendrán que anotar en el registro de gabinete, como se muestra a continuación:

12 Paso 3. Cálculo para determinar el área de la poligonal Se calculará el área del polígono por el método de dobles productos cruzados, donde utilizaremos las coordenadas rectangulares, previamente calculadas, de cada uno de los vértices del polígono. Para ello seguirás el procedimiento que te mostramos a continuación: A) Obtención de los productos cruzados de las coordenadas Como te lo explicamos anteriormente, los datos que utilizarás son las coordenadas en X y Y que acabamos de calcular. En la tabla omite la columna con la coordenada del vértice auxiliar esos datos no se ocuparán y coloca al final los valores del vértice 1 nuevamente, como observarás a continuación:

13 Una vez que ubicaste los datos que emplearás, empezamos a multiplicar de forma cruzada el primer valor de X por el segundo valor de Y, y así sucesivamente; esto se hará con los demás valores de forma ordenada, es decir, de arriba hacia abajo:

14 A estas primeras multiplicaciones se les conocerá como productos hacia abajo y sus resultados se anotarán en la hoja de registro, en la que agregarás una columna con el título Productos y un subtítulo con una flecha hacia abajo, como se muestra en la siguiente tabla:

15 A continuación se efectuará un procedimiento similar, pero ahora multiplicarás de forma cruzada el segundo valor de X por el primer valor de Y, así sucesivamente; esto se hará con los demás valores de forma ordenada, es decir, de arriba hacia abajo como te mostramos en la siguiente ilustración:

16 A estas segundas multiplicaciones se les conocerá como productos hacía arriba y se anotarán en la hoja de registro en la columna con una flecha hacia arriba, como se muestra en la siguiente tabla:

17 Una vez realizado el cálculo, se suma cada columna por separado anotando el resultado: B) Cálculo del área Pare elaborar este cálculo, utilizaremos la siguiente fórmula:! = Sumatoria mayor Sumatoria menor 2 Es decir:! = Σ > Σ < 2

18 Enseguida sustituiremos los resultados de la sumatoria de las dos columnas que anteriormente obtuvimos, como se muestra a continuación: 72, !! 34, !!!= 2 Al realizar las operaciones requeridas, obtenemos el siguiente resultado (no olvides redondear tu resultado): 72, !! 34, !!!= = 19, !! 2 Ahora que calculamos todos los elementos del método de radiaciones, ya contamos con los datos suficientes para hacer la representación gráfica.