Solución analítica de problemas de contorno. Ecuación de ondas

Transcripción

1 Práctica 2 Soución anaítica de probemas de contorno. Ecuación de ondas 2.1. Ecuación de ondas 1D: Vibraciones forzadas de una cuerda finita con extremos móvies La ecuación de ondas para una cuerda finita sometida a una fuerza exterior y condiciones de contorno no homogéneas (extremos móvies viene dada por t = 2 u 2 a2 + f(x, t, x2 <x<, t>, con as condiciones de contorno y as condiciones iniciaes u(,t=ψ 1 (t, u(, t =ψ 2 (t, u u(x, = ϕ (x, t (x, = ϕ 1(x. Para resover este probema se ha visto en teoría que a soución u(x, t se descompone en dos funciones u(x, t =U(x, t+u 3 (x, t donde u 3 (x, t =ψ 1 (t+ x (ψ 2(t ψ 1 (t 11

2 y U(x, t es soución de siguiente probema con (distintas fuentes pero condiciones de frontera nuas 2 U t 2 = 2 U a2 + g(x, t, <x<, t>, x2 (g(x, t =f(x, t 2 u 3 con as condiciones de contorno t 2 y as condiciones iniciaes U(,t=, U(, t =, U u U(x, = u(x, u 3 (x,, (x, = t t (x, u 3 (x,. t Para resover este segundo probema se ha visto en teoría que a soución U(x, t se descompone en dos funciones U(x, t =u 1 (x, t+u 2 (x, t donde u 1,u 2 tienen condiciones de frontera nuas. u 1 (x, t es soución de a ecuación homogénea (sin fuentes y condiciones iniciaes no nuas dada por 1 = a 2 2 u 1 t 2 x, 2 con as condiciones de contorno y as condiciones iniciaes u 1 (,t=, u 1 (, t =, u 1 (x, = U(x,, u 1(x, = U (x,. ( u 1 u 1 t. De o estudiado en teoría, sabemos que ( ( ( nπat nπat u 1 (x, t = A n cos + B n sen sen, e imponiendo as condiciones iniciaes obtenemos os coeficientes A n = 2 u 1 (x, sen dx 2 B n = u nπa 1(x, sen dx. 12

3 u 2 (x, t es soución de a ecuación no homogénea (con fuentes y condiciones iniciaes nuas dada por 2 = a 2 2 u 2 + g(x, t, t 2 x2 con as condiciones de contorno e iniciaes nuas u 2 (,t=, u 2 (, t = u 2 (x, =, u 2(x, =. De a teoría sabemos que u 2 (x, t = ( nπa t ( nπa(t τ g n (τ sen dτ sen, donde as funciones g n (t se obtienen de a descomposición de a función fuente g(x, t g(x, t = g n (t sen, esto es g n (t = 2 g(x, t sen dx. Con todo esto, a soución de probema viene dado por u(x, t =u 1 (x, t+u 2 (x, t+u 3 (x, t. Resumen: agoritmo de cácuo: Dado e probema t 2 = a 2 2 u + f(x, t, x2 <x<, u(,t = ψ 1 (t, u(, t =ψ 2 (t u(x, = ϕ (x, u(x, = ϕ 1 (x, 13

4 introducimos as constantes, a, y definimos as funciones: f(x, t,ψ 1 (t,ψ 2 (t,ϕ (x,ϕ 1 (x. A continuación, procedemos con e siguiente orden de cácuos u 3 (x, t = ψ 1 (t+ x (ψ 2(t ψ 1 (t g(x, t = f(x, t 2 u 3 t 2 u 1 (x, = u(x, u 3 (x, u 1(x, = u (x, u 3(x, A n = 2 u 1 (x, sen dx 2 B n = u nπa 1(x, sen dx ( ( ( nπat nπat u 1 (x, t = A n cos + B n sen g n (t = 2 g(x, t sen dx ( t ( nπa(t τ u 2 (x, t = g n (τ sen nπa u(x, t = u 1 (x, t+u 2 (x, t+u 3 (x, t sen dτ sen 2.2. Funciones de Besse Las funciones de Besse de índice entero, J n (z, son souciones de a ecuación diferencia y + 1 z y + (1 m2 y =. (2.1 Estas funciones están impementadas en e Mathematica y se denominan BesseJ[m,z]. Estas funciones son osciantes y se anuan en muchos puntos (os ceros de as funciones. Los vaores para os que se anuan as funciones de Besse serán imporantes para resover os probems que nos aparecerán. Como ya vimos en a práctica anterior, para obtener e vaor de estos ceros Mathematica dispone de una instrucción para su obtención automática. Recordamos que hace fata cargar un paquete 14 z 2

5 In[]:=<< NumericaMath BesseZeros La instrucción BesseJZeros[n,m] nos da os m primeros zeros de J n (x. Si queremos obtener os resutados con más dígitos, podemos utiizar e comando SetPrecision. Por ejempo, os 7 primeros zeros de J (x os podemos obtener con 1 dígitos de precisión de a siguiente forma (os ponemos en un vector queamamos mu In[]:=mu=SetPrecision[BesseJZeros[, 7], 1] Out[]:={ , , , , , , } De este modo podemos ir obteniendo una taba con os ceros de as funciones de Besse como a que se muestra en a taba 2.1. Cuadro 2.1: Ceros de as funciones de Besse. Cero J (x J 1 (x J 2 (x J 3 (x J 4 (x J 5 (x Usando estos ceros podemos comprobar a propiedad de ortogonaidad de estas funciones, que se expresa como r ( ( µi,ν µj,ν r 2 rj ν r J ν r dr = δ i,j 2 J ν+1(µ 2 i,ν, (2.2 Por otro ado, cuaquier función, f(x, definida para x [, 1] y que se anue en x =1,f(1 =, se puede descomponer en una serie de funciones de Besse f(x = C n J ν (µ n,ν x (2.3 n= siendo µ n os ceros de J ν. Los coeficientes C n se pueden cacuar teniendo en cuenta as propiedades de ortogonaidad de as funciones de Besse, C n = 2 J 2 ν+1(µ n,ν 1 15 f(xj ν (µ n,ν x x dx. (2.4

6 2.3. Ecuación de ondas en 2D: Vibración de una membrana circuar Hemos visto que a ecuación que describe a vibración de una membrana circuar de radio viene dada, en coordenadas poares, por ( 2 t = u 2 a2 r + 1 u 2 r r + 1. r 2 θ 2 Si e probema tiene simetría radia, entonces u no depende de θ. La ecuación se simpifica ( 2 t = u 2 a2 r + 1 u, 2 r r y a soución se puede escribir (por separación de variabes y superposición de souciones u(r, t = T n (tr n (r donde T n y R n son souciones de as ecuaciones T n + a 2 λ n T n =, R n + 1 r R n + λ n R n =. (2.5 La ecuqación (2.5 para R n (r se corresponde con a ecuación (2.1 para m =yy(r =R( λr (donde y = λr y y = λr. Como se ha visto en teoría, as souciones para os distintos vaores de n serán: R n (r = J ( λ n r. Como estas funciones se tienen que anuar en r =, esto es J ( λ n =J (µ n, =, donde µ n, son os ceros de a función de Besse ( J (x, entonces, λ n = µn, 2. Teniendo en cuenta as souciones de estas ecuaciones, vemos que a soución de probema se puede escribir en a forma u(r, t = ( ( ( ( aµn, aµn, µn, E n cos t + G n sen t J r. Los coeficientes E n y G n se obtienen a partir de as condiciones iniciaes teniendo en cuenta que u(r, = ( µn, E n J r, u t (r, = 16 ( aµ n, µn, G n J r,

7 y haciendo uso de as propiedades de ortogonaidad de as funciones de Besse. Para eo, mutipicamos ambas partes de as iguadades por rj ( µ n, r, integramos y utiizamos a propiedad de ortogonaidad (2.2. Con esto obtenemos os coeficientes buscados: E n = G n = r 2 u(r, J rj ( µ n, r rdr. (µ n, r 2 r u aµ n, J1 2 t (r, J ( µ n, r rdr. (µ n, Utiizando e Mathematica podemos visuaizar de manera dinámica a evoución. En a práctica anterior vimos como representar una sección transversa de a onda. También es posibe reaizar una simuación en tres dimensiones utiizando a instrucción: In[]:=Manipuate[RevoutionPot3D[u[r, t], {r,, r}, PotRange -> {{-r, r}, {-r, r}, {-1, 1}}], {t,, 1}] 17

8 2.4. Ejercicios 1. Obtén a soución de probema t 2 = 4 2 u x + α 1 x( x, 2 <x<5, u(,t = α 2 sin(3t, u(, t = u(x, = α 3 (Unit(x 2 Unit(x 3, u (x, =, t con U nit(x a función escaón (UnitStep[]. Considerar os siguientes casos para os parámetros (α 1,α 2,α 3 : a(1,,, b(, 1,, c(,, 1. Simuar a soución con e Manipuate para t [, 1] para os tres casos, utiizando 2 y 7 autovaores. Indicar cuánto vae u(2, 5 en cada uno de os casos. 2. Supongamos que se tiene una cierta membrana homogénea circuar de radio de ta forma que se mueve verticametne con veocidad, v Si se para de repente, a membrana empieza a vibrar, siendo a ecuación que describe su movimiento t 2 = 2 u r + 1 u 2 r r, con as condiciones iniciaes y de frontera u(,t=, u(r, =, u t (r, = v. Para =1,v = 1. obten as souciones aproximadas a considerar 2 ceros y 7 ceros de a función de Besse en e desarroo y a Dibuja con e Manipuate as soución obtenida, u(r, t en dos y en tres dimensiones en e intervao t [, 1]. b Si en r =,8 a ampitud ega a,25 a membrana se rompe. Dibuja a soución u(,8,t y encuentra con e FindRoot e instante en e que ocurre, utiizando 2 y 7 ceros. 18