4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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1 Escuela Colombiana e Ingeniería 4.. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Derivaa e y La erivaa e y se puee obtener como: y + Lim 0 Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente estuiaos: Cos( Lim Lim Sen ( + Cos( + Cos( Por lo tanto esarrollano el límite se tiene: y y y y + Lim 0 Cos( + Cos( Lim 0 y ( Cos( + Cos( Lim 0 Cos( Lim + LimCos( 0 0 Cos( Lim + Cos( Lim 0 0 y 0 + Cos( Cos( Definición e erivaa Aplicano suma e arcos Factorizano el numeraor Suma e Limites Sacano las constantes fuera el límite Por los límites conocios De one: Sen ( Cos ( 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

2 Escuela Colombiana e Ingeniería Si u es una función iferenciable e, es posible aplicar la regla e la caena así: y y u u en one y Sen u para obtener como resultao: ( Sen u Cos u u Ejemplos: Sen Cos Cos. ( Sen ( Sen ( + ( Cos ( + (.. 4. Sen Cos Sen ( Sen ( Sen ( ( ( Sen Sen Sen ( ( ( ( Sen Cos Sen 4 Cos ( Sen ( 4 Sen ( Cos ( Sen ( Sen Cos Sen 4 ( Derivaa e y Cos ( u Para obtener esta erivaa ay que tener presente las siguientes ientiaes: 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

3 Escuela Colombiana e Ingeniería π π Cos u sen u Sen u Cos u Luego: π π π Cos u sen u cos u u u u Sen u Sen u De one se puee concluir: Ejemplos:. ( Cos u Sen u u Cos Sen Sen 4 4 ( + Cos ( + Cos ( 8 Sen.. ( Cos ( Cos ( + Cos ( ( + Cos ( 4. Sen Cos ( Cos ( ( Sen ( ( Sen ( ( Cos ( Cos ( ( Cos ( ( Cos ( ( ( ( Cos ( Cos ( Cos ( Sen ( ( Cos ( ( Cos ( ( Cos ( ( ( Cos ( ( Cos ( ( Cos ( ( Cos ( Derivaa e y Tan ( 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

4 Escuela Colombiana e Ingeniería Sen Tan Cos Cos ( Sen Sen ( Cos ( Tan Cos Cos Cos Sen Sen ( Tan Cos Cos Sen ( Tan Sec Cos Cos Definición función tangente Derivaa e un cociente Resolvieno la erivaa Agrupano términos De manera que si u es una función iferenciable e, aplicano la regla e la caena a la función y tan u se puee concluir: Ejemplos : Tan u Sec. Tan ( 5 Sec ( 5 5 5Sec ( 5. u u ( Tan ( Tan ( + Tan( ( Sec ( + Tan( ( ( Sec ( + Tan (. ( + Tan( ( + ( Tan( + Sec ( ( Tan ( Tan( Tan ( ( + ( ( Sec + Tan ( ( ( Sec ( ( Tan ( + Sec ( + ( Tan( Derivaas Funciones Trigonométricas

5 Escuela Colombiana e Ingeniería Sec π + π π Sec π + 5. ( Tan( π Sec ( π ( π Derivaa e y Cot ( u Cos Cot Sen Sen ( Cos Cos ( Sen Cot Sen Sen Sen Cos Cos Cot Sen Sen Cos ( Cot Csc Sen Sen Definición e Cotangente Derivaa e un cociente Resolvieno la erivaa Factorizano y Simplifano De manera que si u es una función iferenciable e, aplicano la regla e la caena a la función y Cot u se puee concluir: Ejemplos : Cot u Csc u u ( Cot ( Cot ( ( Cot ( ( Cot ( ( Csc (.. Cot Csc ( ( ( ( ( Cot 5 Cot 5 Cot 5 Cot 5 Csc ( 5 5 ( Cot ( 5 ( Csc ( 5 ( 5 0 Cot ( 5 Csc ( 5. Ctg Ctg ( ( ( 0 ( Ctg ( Ctg ( ( 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

6 Escuela Colombiana e Ingeniería ( ( ( Csc Csc 6 6 Csc Ctg Ctg Ctg + Ctg + Ctg + Csc Csc 4. ( ( 5. ( Ctg ( Ctg ( Ctg ( ( + ( Csc Ctg ( ( Csc ( ( + Ctg ( Csc + Ctg + Derivaa e y Sec ( u ( ( Sec ( Cos ( Cos ( ( ( ( Cos ( ( Sec ( Cos Definición e Secante Derivaa e un cociente ( Sen ( ( Sec ( Cos Cos Cos Cos Resolvieno la erivaa Sen Sen Sec Tan Sec Simplificano y factorizao De manera que si u es una función iferenciable e, aplicano la regla e la caena a la función y Sec u se puee concluir: Ejemplos : Sec u Tan ( u Sec ( u u 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

7 Escuela Colombiana e Ingeniería ( Sec ( Sec ( ( Sec ( ( Sec ( ( Sec ( Tan(.. Sec Tan ( Sec ( 5 ( Sec ( 5 Tan( 5 5 Sec 5 Sec 5 Tan 5 5 ( Sec 5 ( Sec( 5 ( Sec ( 5 ( ( Sec ( ( Tan Sec Sec( ( 0 ( Sec ( ( Sec ( 4. ( Sec ( Tan( ( ( Sec ( ( Sec ( Tan( ( ( Sec ( ( ( Sec ( Tan( ( Sec ( ( Tan ( Sec ( ( + Sec ( + ( Sec( + ( Sec ( Tan ( ( Sec ( Sec( + Sec( ( Derivaas Funciones Trigonométricas

8 Escuela Colombiana e Ingeniería ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( ( ( + Sec Tan Sec + Sec Tan Sec Sec Tan Sec Derivaa e y Csc( u Csc ( Sen ( Sen ( ( ( Sen ( Csc ( Sen Csc ( Cos ( Csc ( Sen Cos Cos Sen Sen Sen Csc Definición e la Cosecante Derivaa e un Cociente Resolvieno la erivaa. Cot ( Csc ( Simplificano y factorizano De manera que si u es una función iferenciable e, aplicano la regla e la caena a y Csc u se puee concluir: la función Ejemplos :. Csc u Cot ( u Csc ( u ( Csc ( Csc( ( Csc( ( Csc( ( Csc( Ctg ( ( Csc( ( Csc( Ctg ( ( Csc ( ( Ctg (. u ( Csc ( Csc( ( Csc( 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

9 Escuela Colombiana e Ingeniería ( Csc( Csc( Ctg ( ( Csc( ( Csc( Ctg ( ( ( Csc Ctg Sen Sen Cos ( Sen Cos. Csc Csc( ( 0 ( Csc( ( Csc( Ctg ( ( Csc( ( Ctg ( Cos ( ( Csc( ( ( Csc( Csc Ctg ( ( ( Csc( Sen ( Cos 4. ( + Csc( ( + ( Csc( + ( Csc( Ctg ( ( Csc ( Csc( + Csc( ( ( Csc( Ctg ( ( + Csc( ( Csc Ctg + Csc 5. ( ( Csc Ctg ( Csc( + Ejercicios Propuestos : Encontrar la erivaa e las siguientes epresiones:. y. y Cos ( Tan (. y t Cos ( t 4. y 4Sec( t + Tan( t 4.- Derivaas Funciones Trigonométricas

10 Escuela Colombiana e Ingeniería Tan y 6. y 8. Sen + Cos ( sen y + Cos Tan y Sec Sen Sen y 0. y y Cos Sen y Sen. ( (.. y Sen ( + Cos ( 4. y 5. y sen 4 ( + 6. y Sen ( 7. y Sen ( Cos ( t 8. y Cos ( 9. y Sen 5 ( 0. y Sec ( Sen ( Derivaas Funciones Trigonométricas

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