Capítulo 4: Derivada de una función

Transcripción

1 Capítulo 4: Derivada de una función Geovany Sanabria Contenido Razones de cambio 57 Definición de derivada 59 3 Cálculo de derivadas Propiedadesdederivadas Ejercicios Derivadasdefuncionestrigonométricas Regladelacadena Derivaciónimplícita Derivadas de funciones exponenciales y logarítmica Derivadasdefuncionestrigonométricasinversas Derivación logarítmica Más ejemplos 83 5 Ejercicios 87 56

2 Razones de cambio Definición Sea y f (x), si x cambia de x a x se dice que: El cambio en x es: 4x x x El cambio en y es: 4y f (x ) f (x ) La razón promedio de cambio de y con respecto axes: 4y 4x f (x ) f (x ) x x. Ejemplo El costo en dólares de producir x refrigeradoras es C (x) x + x. Encuentre la 0 razón de cambio promedio de C con respecto a x cuando se cambia el nivel de producción de x 00 a x 05 e interprételo. Note que C C (05) C (00) x Esto significa que en promedio por cada incremento en la producción de 4 unidades se produce un incremento en el costo de 73 dólares. Ejemplo La recta secante a f en x x y x x es la recta que pasa por los puntos (x,f(x )) y (x,f(x )). Note que la pendiente de esta recta es: f (x ) f (x ) x x que es la razón promedio de cambio de y con respecto ax. 4y 4x, Ejemplo 3 Sea d (t) la función posición de una partícula en el tiempo t, entonces si el tiempo pasa de t a t la velocidad promedio o media se define como la razón promedio de cambio de d con respecto ax: V m 4d 4t. Ejemplo 4 Sea d (t) t 5t la función posición en metros de una partícula en el tiempo t en segundos, si t pasa de t a t 4entonces la velocidad promedio es V m 4d 4t d (4) d () 8, lo que significa que por cada incremento del tiempo en un segundo, hay un decremento de la distancia en 8 metros. Ejemplo 5 Sea f (x) x, entonces la recta secante a f en los puntos (x, f (x)) y B (3,f(3)) tiene pendiente: m x 4y f (x) f (3) x 9 4x x 3 x 3 x +3 57

3 Así si x, la pendiente de la recta secante es m, ysix entonces m 4: función f secante con x secante con x Si x se acerca, entonces la secante se acercará a ser una tangente. Definición Sea y f (x), se define la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, en x b como f (x) f (b) lim x b x b Realizando el cambio de variable h x b, note que si x b entonces h 0, por la tanto la razón instantánea de cambio de y con respecto a x en x b se puede expresar como f (b + h) f (b) lim Ejemplo 6 Sea d (t) t 5t la función posición en metros de una partícula en el tiempo t en segundos, la velocidad instantánea de cambio en t es la razón instantánea de cambio de d con respecto a x, esta es: V () d ( + h) d () (+h) 5(+h) 6 lim lim 8h 5h lim lim ( 8 5h) 8. h 0 Así, cuando el tiempo es de segundos la velocidad de la partícula es 8m/s. Ejemplo 7 Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y x +5x en x.. Punto de tangencia. Si x entonces y 5, por lo tanto el punto de tangencia es (, 5). 58

4 . Pendiente m T. La pendiente de la recta tangente es la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, en x : m T y ( + h) y () ( + h) +5(+h) 5 lim lim 7h + h lim lim(7 + h) 7. h 0 3. Intersección con el eje y : b T Dado que la pendiente de la recta tangente es m T 7y esta recta debe pasar por (, 5) entonces b T y m T x 5 7. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es y 7x. 4. La ecuación de la recta normal. Larectanormaleslaperpendicularalarectatangenteporelpuntodetangencia.Porlotanto su pendiente es y la intersección con el eje y es m N m T 7, b N y m N x Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es y x Definición de derivada Definición 3 (Derivada en un punto) Sedefine la derivada de f en x b como la razón instantáneadecambiodey con respecto a x en x b, y se denota por f 0 (b). Es decir: f 0 f (x) f (b) f (b + h) f (b) (b) lim lim x b x b NOTA: Así f 0 (b) corresponde a la pendiente de la tangente a la curva y f (x) en x b. Además, si f es la función posición de un objeto, entonces f 0 (b) es la velocidad instantánea en x b. Ejemplo 8 Sea f (x) ax + bx + c Determine f 0 (3) f 0 (3) f (3 + h) f (3) a (3 + h) + b (3 + h)+c (9a +3b + c) lim lim 6ah + bh + ah lim lim (6a + b + ah) 6a + b. h 0 59

5 Si calculamos f (3) utilizando el otro límite, se obtiene el mismo resultado: f 0 f (x) f (3) ax + bx + c (9a +3b + c) (3) lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 a x 9 + b (x 3) a (x 3) (x +3)+b (x 3) lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 (x 3) [a (x +3)+b] lim lim [a (x +3)+b] 6a + b. x 3 x 3 x 3 Note que f es continua en 3 ( Por qué?) y su derivada existe en 3. Será que toda función continua en x b es derivable en x b? El siguiente ejemplo da la respuesta. Ejemplo 9 Sea f (x) x. Determine si existe f 0 (). f 0 f ( + h) f () +h h () lim lim lim. Realizando los límites laterales, se tiene que h lim h 0 h lim h h y lim h 0 h h 0 + h lim h h 0 + h. Por lo tanto, f 0 () lim h 0 h h NO EXISTE. Observe la gráfica de f : 4 Note que pese a que f es continua en 0, no es derivable en este valor. Note que cuando x se acerca por la izquierda a, lapendientedelarectatangenteafen x es, en cambio por la izquierda es. Esto se debe a que en x la gráfica tiene un pico. Lo anterior indica que CONTINUIDAD NO IMPLICA DERIVABILIDAD. Sin embargo, si se cumple que DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD. Ejemplo 0 Determine la ecuación de la recta tangente a y x + a en x, con a una constante positiva.. Punto de tangencia. Cuando x, se tiene que: y +a, por lo tanto el punto de tangencia es, +a. 60

6 . La pendiente m T m T f 0 f (x) f () x + a +a () lim lim x x x x x + a +a x + a + +a lim x x x + a + +a x + a ( + a) lim x (x ) x + a + +a x lim x (x ) x + a + +a lim x x + a + +a +a 3. La intersección con el eje Y : b T Dado que m T +a y la recta tangente pasa por, +a, se tiene que b T y m T x +a +a +a +a +a. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y +a +a +a x +a + +a +a. Definición 4 (Función derivada) Dada la función f se define la función derivada de f con respecto a x como: f 0 f (y) f (b) f (x + h) f (x) (x) lim lim. y x y b Esta también se puede denotar por (f (x)) 0 y Ejemplo Sea f (x) x df (x) dx.. Encontrar la derivada de la función utilizando la definición. x + h x x + h x x + h + x f 0 (x) lim lim x + h + x lim h 0 h h x + h + x lim h 0 x + h + x x. 6

7 . Determine f 0 (9) y f 0 (4). Deacuerdoalovistoanteriormentese deberían calcuilar los límites: 9+h 9 4+h 4 f 0 (9) lim y f 0 (4) lim, sin embargo, como ya se averiguo la función derivada: f 0 (x), el ejercicio se reduce a x evaluar en esta función. Así: f 0 (9) 9 6 Note, por ejemplo, que f 0 (0) NO EXISTE. y f 0 (4) 4 4 Definición 5 (Derivadas de orden superior) Dada la función f se define:. La primera derivada de f como la función f 0 (x).. La segunda derivada de f : como la derivada de f 0 (x). 3. La tercera derivada de f : como la derivada de f 00 (x). 4. En general, la n.ésima derivada de f : como la derivada de f (n ) (x). f 00 (x) f 000 (x) f (n) (x) Ejemplo Encontrar la segunda derivada de la función f (x) x utilizando la definición. En el ejemplo anterior, se determinó la primera derivada de f : f 0 (x), por lo tanto: x f 00 f 0 (x + h) f 0 (x) x + h x x + h x x x + h (x) lim lim lim lim h 0 lim h 0 x x + h h x x + h lim h 0 o o o d f dx d 3 f dx 3 d n f dx n x x + h h x x + h h h x x + h x + x + h lim h 0 x x ( x + x) 4x x. x + x + h x + x + h x x + h x + x + h 6

8 Ejemplo 3 Determine el punto de intersección de las rectas tangentes y x en x 3 yen x + x 3respectivamente.. Puntos de tangencia. Si x 3 y 4 Note que Si x 3 y 4 ylasegunda(t ) por µ 3,. Porlotanto,laprimertangente(T ) pasa por ( 3, ). Las pendientes m T y m T f 0 f (x + h) f (x) (x) lim lim h 0 lim h 0 x + h x + h + x x + h (x + h ) (x +) (x ) (x + h +) (x + h +)(x +) h lim h 0 (x + h ) (x +) (x ) (x + h +) h (x + h +)(x +) Realizando las operaciones en el numerador se obtiene que: f 0 (x) lim h 0 h h (x + h +)(x +) lim h 0 Por lo tanto: m T f 0 ( 3) 4 3. LasinterseccionesconelejeY : b T y b T. Recta T Pasa por ( 3, ) (x + h +)(x +) (x +). y m T f 0 (3) 6 8. Recta µ T Pasa por 3, b T m T y m T x b T m T 8 y m T x Ecuaciones de las tangentes: y x + 7 y x (T ) (T ) 63

9 5. Puntos de intersección de las tangentes: y x Se debe resolver el sistema: + 7 y x () () Sustituyendo el valor de y dado por () en () : x + 7 x 8 + x 9. 8 Sustituyendo x 9 en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que y, Porlotantoel punto de intersección de las tangentes es ( 9, ). (-3,) 4 ( 3, ) (-9,-) - 3 Cálculo de derivadas 3. Propiedades de derivadas Ejemplo 4 Sea f (x) c una función constante entonces Ejemplo 5 Dado que f 0 f (x + h) f (x) c c (x) lim lim 0 a n b n (a b) a n + a n b + a n 3 b ab n + b n, si f (x) x n entonces f 0 (x + h) n x n h ³(x n + h) n +(x + h) n x (x + h) x n + x (x) lim lim ³ n lim (x + h) n +(x + h) n x (x + h) x n + x x n + x n x n h 0 {z } Teorema Se tiene que n sumados nx n (c) 0 0, (x) 0 (x n ) 0 nx n y x 0 x. 64

10 Ejemplo 6 Sea f (x) g (x)+k(x), note que f 0 f (x + h) f (x) g (x + h)+k (x + h) (g (x)+k(x)) (x) lim lim g (x + h) g (x) +k (x + h) k (x) lim g 0 (x)+k 0 (x). h Teorema (Propiedades de las derivadas) Seac una constante. Si f y g son funciones derivables, entonces:. (f (x) ± g (x)) 0 f 0 (x) ± g 0 (x).. (c f (x)) 0 c f 0 (x) 3. (f (x) g (x)) 0 f 0 (x) g (x)+f (x) g 0 (x). 4. µ 0 f (x) f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) g (x) [g (x)]. Ejemplo 7 Sea f (x) x 3 +3x entonces: f 0 (x) x x 0 (por la regla #) x x 0 (por la regla #) 3x +3 x 6x +6x Ejemplo 8 Determine la ecuación de la rectas tangentes a y x 3x en el punto µ 3, 4.. Punto de tangencia. µ µ 3 3 El hecho de que la tangente pase por, 4, no significa que, 4 sea el punto de tangencia, además f 6 4. Así, como este punto se desconoce supongamos que es (a, b). µ 3. La pendiente m T f 0 (x) x 3x 0 x 3, por lo tanto m T f 0 (a) a La intersección con el eje Y : b T Dado que la recta tangente pasa por (a, b), se tiene que b T y m T x b (a 3) a. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y (a 3) x + b (a 3) a. 65

11 4. Hallar los valores de a y b Hay dos informaciones que no hemos utilizado: (a) (a, b) es punto de tangencia, por lo tanto f (a) b, es decir: (b) Por a 3a b () µ 3, 4 pasa la tangente, entonces debe satisfacer su ecuación: 4 (a 3) 3 + b (a 3) a b a 6a + () Sustituyendo b,dado por (), en () : a 3a a 6a + a 3 ± 7 Utilizando (), para ambos valores de a se obtienen que b. Por lo tanto hay dos puntos de tangencia: Ã 3+! 7 i. Punto de tangencia (a, b),. La ecuación de la recta tangente es: ii. Punto de tangencia (a, b) Ã y x ! 7,. La ecuación de la recta tangente es: y x

12 En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función y las dos tangentes: ( ),-4 Ejemplo 9 Determine la tercer derivada de f (x) x 9. f 0 (x) 9x 8 f 00 (x) 9x x x 7 f 000 (x) 9 8x x x 6 504x 6 Ejemplo 0 Sea g (x) ( x) x 3 4x +,noteque g 0 (x) ( x) 0 x 3 4x + +( x) x 3 4x + 0 () 0 (x) 0 x 3 4x + h x 3 +( x) 0 4x i 0 +() 0 (0 ) x 3 4x + +( x) 3x 4 x +0 x 3 4x + +( x) 3x 4 x Ejemplo Sea f (x) x +4x g (x). Se sabe que g (0) 3. Determine f 0 (0). Note que f 0 (x) x +4x 0 g (x)+ x +4x g 0 (x) (x +4)g (x)+ x +4x g 0 (x), por lo tanto: f 0 (0) 4g (0) + 0 g 0 (0) 4g (0)

13 Ejemplo Sea h (x) x +3, se tiene que x + x h (x +) x +3 (x +) 0 x (x +) x +3 (x) (x +) (x +) Aunque la notación () 0 es muy práctica, no siempre es recomendable su uso. En general se utilizará esta notación cuando se tenga certeza con respecto a la variable con la que se deriva. Ejemplo 3 Sea f (y) xy +3y +x con x constante entonces: d dy f (y) d xy + d dy dy (3y)+ d dy (x) x d y +3 d dy dy (y)+x d dy () x y +3 +x 0xy Ejercicios. Pruebe que: [f (x) g (x) h (x)] 0 f 0 (x) g (x) h (x)+f (x) g 0 (x) h (x)+f (x) g (x) h 0 (x).. Determine en que puntos de la curva y x 3 +3x +5, la recta tangente es paralela a la recta y 9x Determine la ecuación de las rectas tangentes a la curva y x + x, y pasan por punto (, 3). 3. Derivadas de funciones trigonométricas Ejemplo 4 Sea f (x) senx, entonces: f 0 (x) sen (x + h) sen (x) lim sen (x)cos(h)+sen(h)cos(x) sen (x) lim sen (x)(cos(h) ) + sen (h)cos(x) lim sen (x) + cos (x) lim h 0 cos (h) h sen (h) h cos (h) sen (h) sen(x) lim +cos(x) lim sen(x) 0+cos(x) cos(x) Teorema 3 (Derivadas de funciones trigonométricas) (sen x) 0 cosx (cos x) 0 sen x (tan x) 0 sec x (cot x) 0 csc x (sec x) 0 secxtan x (csc x) 0 csc x cot x 68

14 Ejemplo 5 Compruebeladerivadadelasecante. Se tiene que µ 0 (sec x) 0 ()0 cos x (cos x) 0 (cos x)0 cos x cos x cos x sen x cos x cos x sen x secxtan x cos x Ejemplo 6 Sea f (x) sen x +tanx, entonces 3.3 Regla de la cadena f 0 (x) (sen x)0 ( + tan x) (sen x)(+tanx) 0 ( + tan x) cos x ( + tan x) (sen x)sec x ( + tan x). Teorema 4 (Regladelacadena)Sif y g son funciones derivables entonces f g es derivable y además: (f g (x)) 0 f 0 (g (x)) g 0 (x) Note que si y f g (x) y u g (x), laregladelacadenaestadadapor: En palabras se tiene que: (f g (x)) 0 {z } Derivada de f g (x) (con respecto a x) dy dx dy du du dx f 0 (g (x)) {z } Derivada de f (u) (con respecto a u) evaluada en u g (x) g 0 (x) {z } Derivada de g (x) (con respecto a x) Ejemplo 7 Sea f (m) m +5m +3, note que m no es una constante por lo tanto: df df m +5, dm dx df dm dm (m +5)dm dx dx. Ejemplo 8 Determine la derivada de f (x) sen x + x +3 Sea u x + x +, así f (x) senu, entonces f 0 (x) df dx df du du dx cosu (x +) cos x + x +3 (x +). 69

15 Ejemplo 9 Determine la derivada de f (x) cos x Sea u cosx, entonces f (x) u, por lo tanto f 0 (x) df du du dx u sen x sen x. cos x Ejemplo 30 Determine la derivada de f (x) ( + sen (5x)) 5 Sea u +sen(5x), entonces f (x) u 5, por lo tanto f 0 (x) df du du dx 5u 4 ( + sen (5x)) 0 5u 4 (sen (5x)) 0. Para derivar sen (5x) se utiliza nuevamente la regla de la cadena, sea w 5x, así (sen (5x)) 0 d (sen (5x)) d dw (sen w) cosw 5cos(5x) 5. dx dw dx Por lo tanto f 0 (x) 5u 4 (sen (5x)) 0 5 ( + sen (5x)) 4 cos (5x) 5 En el ejemplo siguiente se muestran algunas derivadas calculadas por regla de la cadena de un forma más automatizada. Ejemplo 3 Note que h x 3 +4x i x 3 +4x 5 x 3 +4x 0 6 x 3 +4x 5 3x +4 Ãr x 4 + x! 0 ³ p x3 +3x 0 3 tan x +4x 0 r x 4 + x q 3 3 (x 3 +3x) µ x 4 + x 0 sec x +4x x +4x 0 r µ 4x 3 + x x 4 + x x 3 +3x 0 q 3x (x 3 +3x) tan x +4x sec x +4x (x +4) Ejemplo 3 Para calcular las siguientes derivadas no se conoce f (x), por lo tanto: ³p f (x) 0 p f (x) f 0 (x) [(f (x)) n ] 0 n (f (x)) n f 0 (x) [sen (f (x))] 0 cos(f (x)) f 0 (x) 70

16 Ejemplo 33 Determine la derivada de x. Dado que x x entonces utilizando la regla de la cadena se tiene que: ³ ( x ) 0 0 x x x 0 x x x x. En los ejemplos no solo se uso la regla de la cadena, sino también otras reglas de derivación. Cuáles? Veamos más explícitamente la combinación de estas reglas. Ejemplo 34 Determine la derivada de f (x) 5 x 3 sen x f 0 (x) q x 3 sen x 0 (regla de la cadena) 5 5 (x 3 sen x) 4 h x 3 q 0 sen x + x 3 (sen x) 0i (regla del producto) 5 5 (x 3 sen x) 4 q 3x sen x + x 3 cos x 5 5 (x 3 sen x) 4 Ejemplo 35 Determine la derivada de g (x) cos µ x +3 x 3 µ x g 0 µ +3 x 0 +3 (x) sen (regla de la cadena) x 3 x 3 µ x " +3 x +3 0 (x 3) + x +3 # (x 3) 0 sen x 3 (x 3) (regla del cociente) µ x " +3 x (x 3) + x +3 # sen x 3 (x 3) Ejemplo 36 Determine la derivada de h (x) µ 4 x sec x x + µ 3 µ 0 x sec x x sec x h 0 (x) 4 x + x (regla de la cadena) + µ " 3 0 x sec x (x sec x) x + +(xsec x) x + # 0 4 x + (x +) (regla del cociente) µ 3 " x sec x (x) 0 sec x + x (sec x) 0 x + # +(xsec x) x 4 x + (x +) (regla del producto) µ " 3 x sec x ( secx + x sec x tan x ) x + # +x sec x 4 x + (x +) 7

17 En los ejemplos anteriores note que la regla de cadena es la primera que se aplica. Veamos algunos ejemplos donde esto no sucede. Ejemplo 37 Determine la derivada de f (x) x +sec x 3 f 0 (x) x 0 + sec x 3 0 (regla de la suma) x +sec x 3 tan x 3 x 3 0 (regla de la cadena) x +sec x 3 tan x 3 3x Ejemplo 38 Determine la derivada de g (x) cosx sen (tan x) g 0 (x) (cosx) 0 sen (tan x)+cosx [sen (tan x)] 0 (regla del producto) sen x sen (tan x)+cosxcos (tan x) (tan x) 0 (regla de la cadena) sen x sen (tan x)+cosxcos (tan x)sec x Ejemplo 39 Determine la derivada de h (x) cos x + sen x 3 + x h 0 (x) cos x + 0 sen x 3 + x 0 (regla de la resta) sen x + x + 0 cos x 3 + x x 3 + x 0 (regla de la cadena) sen x + x cos x 3 + x 3x + Ejemplo 40 Determine la derivada de j (x) cot x j 0 (x) (x 9) 6 cot x h x 9 i 6 0 cot x 0 x 9 6 (x 9) (regla del cociente) cot x 6 x 9 5 x 9 0 csc x x 0 x 9 6 cot x 6 x 9 5 x +csc x x x 9 6 (x 9) En los siguientes ejemplos se aplica varias veces la regla de la cadena. (x 9) (regla de la cadena) Ejemplo 4 Determine la derivada de f (x) sen( 3 x cos x) f 0 (x) cos 3 x cos x 3 x cos x 0 (regla de la cadena) cos 3 x cos x q (x cos x) 0 (regla de la cadena) 3 3 (x cos x) cos 3 x cos x q (x) 0 cos x + x (cos x) 0 (regla del producto) 3 3 (x cos x) cos 3 x cos x 3 3 q (x cos x) (cos x + x sen x) 7

18 Ejemplo 4 Determine la derivada de g (x) sen x x +cos( x) /3 g 0 (x) 3 3p sen x x +cos( x) 0 (regla de la cadena) sen (x x)+cos( x) h sen 3 3p x x i 0 +[cos( x)] 0 (regla de la suma) sen (x x)+cos( x) hcos x x x x i 0 + sen ( x) ( x) 0 3 3p (regla de la cadena) sen (x x)+cos( x) cos x x x + sen ( x) 3 3p sen (x x)+cos( x) 3.4 Derivación implícita Recordemos la regla de la cadena: [ f (g (x)) ] 0 f 0 (g (x)) g 0 (x), si se denota y g (x) se obtiene que [ f (y) ] 0 f 0 (y) y 0 o más explícitamente d dx f (y) d dy f (y) dy dx. Ejemplo 43 Sea y una variable, las siguientes derivadas son con respecto a x : y 3 0 3y y 0 x + y 0 x +yy 0 sen y +y + 0 cos y +y + y +y + 0 x 3 cos y 0 cos y +y + (y +)y 0 x 3 0 cos y + x 3 cos y 0 3x cos y + x 3 sen y y 0 3x cos y + x 3 sen y yy 0 La derivación implícita nos permite hallar y 0 si necesidad de que y este despejado. Ejemplo 44 Calcule y 0 sabiendo que y seny + x Derivando a ambos lados con respecto a x se obtiene que: y 0 [seny + x] 0 Por lo tanto y 0 cos y y 0 cosy y 0 + y 0 cos y y 0 y 0 ( cos y) 73

19 Ejemplo 45 Calcule y 0 sabiendo que y tan x + y 3 Derivando a ambos lados con respecto a x se obtiene que: y 0 tan x + y 3 0 y 0 sec x + y 3 x + y 3 0 y 0 sec x + y 3 +3y y 0 y 0 sec x + y 3 +3y y 0 sec x + y 3 y 0 3y y 0 sec x + y 3 sec x + y 3 y 0 3y sec x + y 3 sec x + y 3 Por lo tanto y 0 sec x + y 3 3y sec (x + y 3 ) La derivación implícita permite hallar la ecuación de la recta tangente a una curva cuya ecuación no es dada por una función. Ejemplo 46 Sea x [f (x)] 6 + xf (x) 6, si f (6), determine f 0 (6). Derivando a ambos lados la ecuación : ³ x [f (x)] xf (x) (6) 0 ³ x [f (x)] 6 0 +( xf (x)) 0 0 ³ (x) 0 [f (x)] 6 + x [f (x)] 6 0 +( x) 0 f (x)+xf 0 (x) 0 Evaluando en x 6: [f (x)] 6 + x 6[f (x)] 50 f 0 (x)+f (x)+xf 0 (x) 0 [f (6)] [f (6)] 50 f 0 (6) + f (6) + 6 f 0 (6) f 0 (6) f 0 (6) 0 4 f 0 (6) f 0 (6). Ejemplo 47 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva x 6 + y 9 (o punto de tangencia): (4, 3). en el punto de contacto. La pendiente m T 74

20 Derivando a ambos lados la ecuación de la curva: µ x y () 0 9 x 6 + yy0 0 9 yy0 9 x 6 y 0 9x 6y Así la pendiente de la recta tangente en el punto (4, 3) es y 0 evaluada en x 4,y 3 : m T Intersección con el eje y : b T b T y m T x Por lo tanto la ecuación de la recta tangente: Y 3 4 x 6. Ejemplo 48 Determine los puntos de contacto donde la recta tangente a la curva es horizontal y vertical.. Determinemos y 0 Ã (y 5) 4 +! 0 (x +3) () 0 9 (y 5) y0 (x +3) (y 5) y0 (x +3) 4 9 y 0 4(x +3) 9(y 5). Tangentes horizontales. Estas tangentes son paralelas al eje X, por lo tanto tienen pendiente m T 0, así y 0 4(x +3) 0 (x +3)0 x 3 9(y 5) (y 5) (x +3)

21 (y 5) Sustituyendo x 3 en la ecuación de la curva: + ( 3+3) (y 5) y 5 ± 4 y 5±. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es horizontal son ( 3, 7) y ( 3, 3) 3. Tangentes verticales. Estas tangentes son paralelas al eje Y, por lo tanto no tienen pendiente. Note que y 0 no existe cuando su denominador es cero, es decir, si: 9(y 5) 0 y 5 (5 5) (x +3) Sustituyendo y 5en la ecuación de la curva: + (x +3) x +3± 9±3 y 3 ± 3. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es vertical son (0, 5) y ( 6, 5) Gráfica de la curva las tangentes en los puntos encontrados: (-3,7) 8 (-6,5) 6 4 ( 0,5) (-3,3) -5 Ejemplo 49 Determine y 00 sabiendo que x + y xy. Derivando implícitamente se obtiene x +y y 0 y + xy 0. Despejando y 0 y 0 y x y x 76

22 yderivando y 00 (y0 ) (y x) (y 0 ) (y x) (y x) 3x y x 3xy0 3y (y x) y x 3y (y x) 3x (y x) 3y (y x) y x 6 xy + x + y y x Como x + y xy, entonces y Derivadas de funciones exponenciales y logarítmica Definición 6 e es un número que cumple que: e h lim. Ejemplo 50 Sea f (x) e x, se tiene que f 0 e x+h e x e x e h e x (x) lim lim e x e h lim e x. Ejemplo 5 Sea y lnx, entonces x e y, derivando a ambos lados utilizando derivación implícita: Por lo tanto: Teorema 5 Se tiene que (x) 0 (e y ) 0 e y y 0 (ln x) 0 y 0 e y x (e x ) 0 e x (ln x) 0 x Ejemplo 5 Determine la derivada de la función exponencial f (x) a x. Note que f (x) a x e x ln a, por lo tanto: f 0 (x) e x ln a 0 e x ln a (x ln a) 0 (porregladelacadenayelteoremaanterior) e x ln a ln a (pues ln a es constante ) a x ln a. 77

23 Ejemplo 53 Determine la derivada de la función logaríitmica g (x) log a x. Utilizando el teorema del cambio de base, se tiene que g (x) log a x ln x, por lo tanto: ln a g 0 (x) µ 0 ln x ln a (ln x)0 (pues es constante) ln a ln a ln a x (por el teorema anterior) x ln a Teorema 6 (Derivada de la función exponencial y logarítmica). La derivada de la función exponencial y logarítmica es: (a x ) 0 a x ln a (log a x) 0 x ln a. Ejemplo 54 Determine la derivada de f (x) e x +sen x log 3 x +. f 0 (x) ³ e x +sen x 0 log3 x + 0 (regla de la resta) e x +sen x x +senx 0 (x +)ln3 x + 0 e x +sen x x (x +cosx) (x +)ln3 (regla de la cadena) Ejemplo 55 Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y 3 3 x x ln x + y en el punto de contacto (0,a) Derivando a ambos lados la ecuación de la curva: ³ 0 y 3 3 x x ln x + y 0 y x x + y ³3 3 x x x x + y + y 0 3y y 0 3 x x + y 3 3 x x ln 3 x x 0 x +yy 0 x + y y y 0 3 x x+ + y 3 3 x x ln 3 (x ) x x + y + yy0 x + y y y 0 3 x x+ y y 3 x x+ yy 0 x + y y x + y x x + y y 3 3 x x ln 3 (x ) x x + y y 3 3 x x ln 3 (x ) 78

24 Evaluando en (0,a): m T a 3 a 0 + a a 3 ln 3 ( 0 ) m T 3a a 3 ln 3 a m T a3 ln 3 3a a Ejemplo 56 Sea f (x) e x. Determine la n-ésima derivada de f, es decir f (n) (x). Note que: f 0 (x) e x 0 e x (x) 0 e x f 00 (x) e x 0 e x 0 e x e x f 00 (x) e x 0 e x 0 e x 3 e x. f (n) (x) n e x 3.6 Derivadas de funciones trigonométricas inversas Ejemplo 57 Determine la derivada de y f (x). Note que y f (x) si solo si f (y) x, derivando a ambos lados utilizando derivación implícita se tiene que: [f (y)] 0 (x) 0 [f (y)] 0 f 0 (y) y 0 (regla de la cadena) y 0 f 0 (y) y 0 f 0 (f (se sustituye el valor de y) (x)) Teorema 7 (Derivada de la función inversa) Se tiene que: f (x) 0 f 0 ( f (x) ). Ejemplo 58 Verifique el teorema anterior con f (x) ln(x). Si f (x) ln(x) entonces f (x) e x y f 0 (x) e x, entonces f (x) 0 f 0 ( f (x) ) f 0 ( lnx ) e ln x x, Note que el resultado coincide con la derivada del logaritmo natural, estudiado antes. 79

25 Ejemplo 59 Determine la derivada del arc sen (x). ½ Dado que el arcoseno es la función inversa del seno entonces si f (x) senx entonces (arc sen x) 0 f (x) 0 f 0 ( f (x) ) f 0 ( arc sen x ) cos ( arc sen x ) π Sea y arc sen x,como arc sen : [, ], π, entonces π y, π cos y 0. f 0 (x) cosx f (x) arc sen x, Así, de la identidad sen x +cos x se tiene que cos y p sen y (se descarta cos y p sen y ). Además como y arc sen x entonces sen y x : cos ( arc sen x )cosy p sen y p x. Por lo tanto (arc sen x) 0 x. Teorema 8 (Derivadas de funciones trigonométricas inversas) Se tiene que: (arc sen x) 0 sen x 0 x (arc cos x) 0 cos x 0 x (arc cot) 0 cot x 0 +x (arc sec) 0 sec x 0 x x (arc tan x) 0 tan x 0 +x (arc csc) 0 csc x 0 Ejemplo 60 Determine la derivada de f (x) arc tan ³ e x +. x x f 0 (x) + e x + ³e + 0 x + e x + ex + x + 0 xe x + + e x + 80

26 Ejemplo 6 Determine la derivada de g (x) ln x 5 csc x 3. g 0 (x) 3.7 Derivación logarítmica h ³p 0 ln x5 i csc x 3 csc +ln³p x5 x 3 0 ³p x5 x5 0 csc x 3 +ln³p x5 x x x 6 x5 x 5 0 csc x 3 + ln x 5 x 5 x 3 3x x 6 5x 4 (x 5 ) csc x 3 + 3ln x5 x. x 6 Hemos visto como la derivación de una suma o resta es mucho más simple que la derivación de un producto o cociente. Hay una forma de convertir un producto o cociente a una suma o resta? La pregunta anterior es respondida por la función logarítmica, en particular el logaritmo natural, pues: ln (xy) ln x + lny (convierte un producto en una suma) ln x y lnx ln y (convierte un cociente en una resta) ln (x n ) n ln x (convierte una potencia en un producto de una función por una constante) Entonces si quiere hallar la derivada de f (x) y y esta función es producto o división de varias expresiones, es mejor:.simplificar ln y.aplicar derivación implicita a la ecuación ln y... (recuerde que (ln y) 0 y0 y ) Lo anterior nos permite, además, hallar la derivada de expresiones de la forma: f (x) g(x). Ejemplo 6 Determine la derivada de g (x) x + x+ Primero, simplifiquemos ln g (x) ln y : ln y x + ln x + 8

27 Derivando a ambos lados: (ln y) 0 ( x +)ln x + 0 y0 y ( x +) 0 ln x + +( x +) ln x + 0 y 0 y y 0 y Sustituyendo y, se obtiene que: y 0 x + x+ Ejemplo 63 Determine la derivada de f (x) x ln x + +( x +) x ln x + +( x +) x + 0 x + x x + x ln x + + x + x x + e x 5 x + (x +) 5 ( + x) x Primero, simplifiquemos ln f (x) lny : ³ ln y ln e p x 5 x + ln h(x +) 5 ( + x) xi ³ p lne x 5 +ln x + hln (x +) 5 +ln(+x) xi x + ln x + 5ln(x +) xln ( + x) 5 Derivando a ambos lados de la igualdad: Ãx + ln x + (ln y) 0 5ln(x +) xln ( + x) 5 y0 x y (x +) 5 x + (x +)0 (x) 0 ln ( + x)+x [ln ( + x)] 0 y 0 y + x 5(x +) 5 x + ln ( + x)+x ( + x)0 +x y 0 x y + 5(x +) 5 ln ( + x) x x + +x Sustituyendo y f (x), se obtiene que y 0 e x 5 x + (x +) 5 ( + x) x + x 5(x +) 5 ln ( + x) x x + Ejemplo 64 Determine la derivada de f (x) (3 x)x 6 x 3 e x x 6 8! 0 +x

28 Primero, simplifiquemos ln f (x) lny : ³ ln y ln (3 x) x 6p x 3 ln e x x 6 ³ p ln(3 x) x 6 +ln x3 ln e x +lnx 6 x ln (3 x)+ ln x 3 x 6lnx 6 Derivando a ambos lados de la igualdad: y0 y (ln y) 0 Ãx ln (3 x)+ ln x 3 6 6(x 3 ) ln(3 x)+x 3 x (3 x)0 + y 0 ln(3 x) x y 3 x + 3x y 0 y Sustituyendo y f (x), se obtiene que 4 Más ejemplos y 0 (3 x)x 6 x 3 e x x 6 ln (3 x) x 6lnx! 0 x x 6(x 3 ) 6 x x 3 x + 3x 6(x 3 ) 6 x ln (3 x) x 3 x + 3x 6(x 3 ) 6 x Ejemplo 65 Sea f (x) x 3 4x g (x). Sesabequelaecuacióndelarectanormalalacurva y g (x) en el punto de tangencia (, 5) es y x Determine f 0 ( ). Se tiene que: f 0 (x) x 3 4x 0 g (x)+ x 3 4x g 0 (x) 3x 8x g (x)+ x 3 4x g 0 (x) Note que: f 0 ( ) 4g ( ) + 4g 0 ( ) Como (, 5) es punto de tangencia, entonces g ( ) 5. Además como y x +5 es la recta normal, 4 entonces la pendiente de la recta tangente es g 0 ( ) 4. Por lo tanto: f 0 ( ) 4g ( ) + 4g 0 ( ) Ejemplo 66 Determine la derivada de la función g (x) x sen x 83

29 Note que ( x sen x ) 0 µq (x sen x) 0 ³(x sen x) q(x 0 sen x) q x sen x (x sen x) 0 (x sen x) x sen x (sen x + x cos x) x sen x Ejemplo 67 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y x 3 x + que pasan por el punto (, ). Note que (, ) es un punto de la curva. Así hay dos posibilidades: que (, ) sea el punto de tangenciaoqueno. Caso I. Si (, ) es el punto de tangencia a. La pendiente m T f 0 (x) x 3 x + 0 3x, por lo tanto m T f 0 ( ) 0. b. La intersección con el eje Y : b T Dado que la recta tangente pasa por (, ), se tiene que b T y m T x 0 8. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y 0x +8. Caso II. Si (, ) no es el punto de tangencia. Sea (a, b) el punto de tangencia: a. La pendiente m T f 0 (a) 3a. b. La intersección con el eje Y : b T Dado que la recta tangente pasa por (a, b), se tiene que b T y m T x b 3a a. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y 3a x + b 3a a. c. Determinar (a, b) Hay dos informaciones que no hemos utilizado: 84

30 i. (a, b) es punto de tangencia, por lo tanto f (a) b, es decir: b a 3 a + () ii. la tangente pasa por (, ), entonces debe satisfacer su ecuación: 3a + b 3a a b 6a a +3a 3 6 () Igualando y : a 3 a +6a a +3a 3 6 a 3 +6a 80 (a ) (a +) 0 a o a Si a se obtiene la recta tangente del caso. Si a b, entonces el punto de tangencia sería (, ) y la tangente sería: y 3a x + b 3a a y x Así, las ecuaciones de las tangentes que pasan por el punto (, ) son: y 0x +8, y x y0x+8 3 fx () yx - - (-,-) - Ejemplo 68 Sea f (x) x 3 4x g (x). Sesabequelaecuacióndelarectanormalalacurva y g (x) en el punto de tangencia (, 5) es y x Determine f 0 ( )

31 Se tiene que: f 0 (x) x 3 4x 0 g (x)+ x 3 4x g 0 (x) 3x 8x g (x)+ x 3 4x g 0 (x) Note que: f 0 ( ) 4g ( ) + 4g 0 ( ) Como (, 5) es punto de tangencia, entonces g ( ) 5. Además como y x +5 es la recta normal, 4 entonces la pendiente de la recta tangente es g 0 ( ) 4. Por lo tanto: f 0 ( ) 4g ( ) + 4g 0 ( ) (x +4) (y 7) Ejemplo 69 Considere la curva +. Determine, si existen, los puntos sobre la 4 5 gráfica de la curva en los cuales la recta normal es paralela al eje Y. Determinemos y 0 Ã! (x +4) 0 (y 7) + () (x +4) (y 7) y (y 7) y0 (x +4) 5 4 y 0 5 (x +4) 4(y 7) Si la recta normal es paralela al eje Y entonces la tangente es paralela al eje X, por lo tanto tiene pendiente m T 0, así y 0 5 (x +4) 0 (x +4)0 x 4 4(y 7) (x +4) (y 7) Sustituyendo x 4 en la ecuación de la curva: + (y 7) y 7± 5 y 7± 5. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es horizontal son ( 4, ) y ( 4, ) Ejemplo 70 Sea y f (x) g (x) pruebe que y0 f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) [g (x)], utilizando derivación logaritmica. 86

32 Se tiene que: ln (y) ln(f (x)) ln (g (x)), derivando a ambos lados de la igualdad: Sustituyendo y f (x) g (x) 5 Ejercicios (ln y) 0 (ln(f (x)) ln (g (x))) 0 y 0 y f 0 (x) f (x) g0 (x) g (x) y0 y f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) f (x) g (x) f y 0 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) y f (x) g (x) se obtiene que y 0 f (x) g (x) f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x) f (x) g (x) [g (x)] Realice los ejercicios de la práctica #. 87