Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

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1 Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales

2

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4

5

6 - ) = [ = = = = = = =

7 . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0

8 = [ = p= ( [ -] = ( ( ) = = = - = = = lim = = e p p = lim ( 4 + ) = lim (4 + ) = - - (4 + ) ( + ) / + / lim = lim = ---- = lim = / lim = e p = e 4 -

9 + + lim = = e p p = lim ( + ) = lim ( + ) = ( + ) ( + ) / + / 4 = lim = lim = ---- = lim = / / 4 6 = --- = lim = e p = e = - + lim = = e p + + p = lim = lim = lim ---- = --- = lim = ---- = / 0. + lim = e =

10 Calcular los siguientes límites: a) = = = = = 0 0 = = Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de es decir por. b) lim 4 8 = = 0 0 = lim 4 ; Descomponemos en factores el radicando y el denominador y luego simplificamos términos ; ; ; 4 lim 4 8 = lim 4 = lim 4 = = = 0 = c) = = = = = = = = = = 6 = 0 =

11 d) 8 4 = = = = 8 8 = = 8 Calcular los siguientes límites: lim( 4 ) lim ( 4 ).( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 4 4 lim lim lim lim lim 4 4 lim( 4 ) lim ( 4 ).( 4 ) 4 ( 4 ) ( ) 4 9 lim lim 4 4 lim lim

12 lim(4 6 ) lim (4 6 ).(4 6 ) (4 6 ) lim (4 ) ( 6 ) 6 6 lim lim lim 0 ( )( 4 5) lim ( 4 5)( 4 5) ( )( 4 5) ( )( 4 5) lim lim 4 5 ( )( 4 5) lim ( 5 5) 5 ( - ) ( - ) ( - ) 4 lim = ---- = ---- = lim = lim = / - / = lim = = = 0 + /

13 +6-0 ( +6 -) ( +6 +) lim = --- = lim = - 0 (-) ( +6 + ) ( +6) = lim = lim = (-) ( +6 + ) (-) ( +6 + ) ( - ) = lim = lim = = (-) ( +6 + ) ( +6 + ) /7-7 /9 + 5 / - 0 lim = = / /7 + /9-7 / + 0 Factorización = / - 6 ± =0; = = = (-) (-/) = 0-7 / - - ± = 0; = = = (-) (+) (-/) (-) (-/) ( - ) / - -/ - lim = lim = = = --- / (-) (+) (-/) / ( + ) / + 7/ 7

14 d) lim ( ) = - = [ - ] = ( + - -) ( + + -) ( +) - ( -) = lim = lim = (-) = lim = lim = = = Calcular los siguientes limites ) = [ - ] = = = = [ ] = = = ] ) = [ - ] = = = = = [ ] = = = = - ] ) ( ) = = = = = [ ] = = = ]

15 4) ( - ) = = = = = = [ ] = = = 0]

16 Contesta a las siguientes cuestiones: a) Si una función es continua en un punto, es derivable en dicho punto? Razona la respuesta. b) Estudia la continuidad y derivabilidad de f () en = f ()= si -² + si > PAU. a) Si f () es continua en no implica que sea derivable en dicho punto ya que para que sea derivable es necesario que f () sea continua en b) Continua en =? f ()= = lim (-² + ) = - + = + l = l Ǝ lim f () = = f () lim (-4 + 5) = = continua en = - Derivable en =? f ()= -4 si -4 si > f ()= -4 lim (-4) = -4 + l = l Ǝ lim f () = -4 = f () lim (-4) = -4 f () continua en = - f () es derivable en =

17 Contesta a las siguientes cuestiones:.- En qué punto de la curva de ecuación tiene una tangente horizontal?..- Es posible que dicha curva tenga una tangente paralela a la recta en algún punto de la abscisa negativa?..-?. = =.- tg horizontal

18 Dada a) es continua en toda la recta real? b) dibujar la grafica (-, -) Dominio: = - X= - Discontinua no evitable de ª especie (-, ) Dominio: X Y ½ - - ± X Y 0 6-0

19 es continua en toda la recta real? (-, -) Dominio: = - X = -. Discontinua no evitable de ª especie (-,0) Dominio: = 0 X=-0 Discontinua no evitable de ª especie (0, ) Dominio: ya que en X = =. Discontinua no evitable de ª especie

20 0 si - Dada la función f() = a + b si - < < Se pide: 6 si a) Hallar a y b para que la función sea continua en todo real. b) Analizar su derivabilidad. c) Representar la gráfica. a) En (-, -] y = 0 es f. constante => continua en R En (-, ) y = a + b es f. polinómica a, b => continua en R En (, ) y = 6 es una recta continua en R lim (a + b) = -a b - + = - lim 0 = 0 => l = l => - a b = lim ( 6) = 6 = 6 + = lim (a + b) = 8a + b => l = l => 8a + b = 6 => 4a + b = - - a b = 0 4a + b = => a = ; a = y b = -a => b = - Para a = y b = - la f() es continua en R b) 0 si - 0 si - f() = si - < < => f () = si - < < 6 si si Las tres funciones f () en cada intervalo son continuas ya que dos son funciones continuas y la otra un polinomio de º grado. lim = = - + l = l lim f () => f () no es continua => En = - lim 0 = 0 - f() no es derivable - -

21 lim = + l = l => lim f () = f () = En = lim ( ) = = - f () es continua => f() es derivable c) y = y = ; y = 0 ; - = 0 = = ma y min y y y =

22 - 0 Dada la función f() = - a + b 0 < 5 > a) Determinar a y b para que f() sea continua b) Para dichos valores estudiar su derivabilidad Como las f() son a, b perteneciente a todo R, funciones polinomicas de grado o 0 podemos decir que f() es continua en (-, 0), ( 0, ) y (, ) f(0) = 0 = - = 0 lim (- a + b) = b b = - eiste lim f()= f(0) f() es continua en = lim ( - ) = f() = - a + b lim (5) = 5 5 = - a + b ; 5 = - a - ; a = - 8 eiste lim f() = f() = + lim (-a+ b)= -a+ b f() es continua en = si f()= 8-0 < f ()= 8 0 < 5 > 0 > f (0)= Lim 8 = 8 L L f () no es continua f() no es derivable en = 0 = Lim = no eiste lim f () 0-0 f () = 8 lim 0 = 0 L L f () no es continua f() no es derivable en = = + lim 8 = 8 no eiste lim f () -

23 Derivar las siguientes funciones y calcular la ecuación de la recta tangente e ellas en el punto de abcisa = 0 ) f() = e => y = e ; y 0 = e 0 = y (0) = e 0 = y = ( 0) ) f() = ln ( + ) => y = ; y 0 = ln y (0) = ½ + y Ln = ½ ( 0) 7-7 ) f() = => y = ; y 0 = - y (0) = - / 7 7 ( 7) y + = ( 0) 7 4) f() = e ( + ) => y = e ( + ) + e = e ( + ) y 0 = e 0 (0+) = y (0) = e 0 (0+) = y = ( 0) - - 5) f() = => y = = ( ) ( ) y 0 = 0 y (0) = - y 0 = - ( - 0) + 4 ( + 4) 4 6) f() = => y = = y 0 = 4 / 0 No eiste.

24 Estudia la continuidad de las funciones : ³ 5-5 a) y = b) ( + )² ² - Para que sea continua, basta con que este definida. a) El cociente esta definido en R ecepto las que anulan el denominador, que en este caso es = - La función ser continua en D = Ұ (-,-) U ( -, ) En = - la f () es discontinua de segunda especie por ser sus limites laterales + b) Aquí el dominio es R ecepto las que hagan ² - = 0, es decir, = La y = será continua en D : Ұ (-,-) U (-, ) U (, ) ² En = - lim = = - discontinua de segunda especie - ² - 0 pues no eiste lim ƒ() ( - ) 5 5 En = lim = ---- = lim = lim = ---- ² - 0 (+) (-) + 0 Discontinua evitable pues eiste lim ƒ() pero ƒ() = --- no esta definida 0 Estudia razonadamente la continuidad de la función: ² + si < f () = si < 4 5 si 4 f() = () - = = = = 5 f (4) = 5 = 4 = 5 = 7 L L ; NO EXISTE f() no es continua en = L L ; NO EXISTE f() no es continua en = 4 En ε (- ω, ) y = ² + es continua por ser una parábola. En ε (, 4) y = es continua por ser una recta. En ε (4, ω) y = 5 es continua por ser una función constante.

25 Estudia la derivabilidad de la función sen > 0 f () = en = 0 0 < 0 lim f() = lim sen = 0 lim f() = 0 = f(0) lim f() = lim 0 = 0 continua en = f () = cos > 0 0 < 0 y (0 + ) = lim cos = cos 0 = No coinciden las derivadas laterales 0 + y (0 - ) = lim 0 = 0 en = 0 luego la f() no es derivable en = Aunque si sea continua en = 0

26 Estudia la derivabilidad de la función - Si = 0 (-) f( ) = Si 0 < < - 9 / Si = Para que una función sea derivable es necesario que primero sea continua. La función para todo distinto de 0 y de es continua por ser cociente de dos polinomios que solo se anulan en estos dos valores 0 y. Estudiemos la continuidad en = calculando los limites laterales y f(). f() = -- ( - ) 0 lim = --- = lim --- = --- = f() -> ( - ) 0 -> La función es continua en =. Para ver si es derivable deberemos calcular su derivada y ver si es continua en = 0 si = 0 (4-6) ( - 9) - ( - 6). (6-9) f () = = 0 si 0 < < ( -9) 0 si = f () = 0 ; lim f () = 0 = f () Como la f () si es continua en = esto nos -> dice que la f () si es derivable en = Estudiemos la continuidad de f () en = 0, f (0) = - ( - ) 0 lim = --- = lim --- = --- f (0) -> 0 ( - ) 0 -> 0 La f() no es continua en = 0, por lo que tampoco será derivable para = 0.

27 Estudiar la continuidad de en toda la recta real: (-, -) Dominio: = - = - (-, ) Dominio:

28 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: +5 si - f() = si - < -+ si > (-,-) f. polinómica de grado f() continua en R (-,) f. constante f() continua en R (, ) f. polinómica de grado f() continua en R En =- lim = -> - + L =L eiste lim f() = f(-) f() es lim (+5) = = -> - -> - - continua en = - En = lim ( -+) = -+ = - -> + L L No eiste lim f() f() no es lim = -> - continua en = si - f () = 0 si - < - si > En los intervalos la f () es continua en R por ser f. continuas y una f. polinómica de grado f() es derivable. En = - lim 0 = 0 -> - + L L No eiste lim f () lim = -> - -> - - f () no es continua f() no es derivable En = f() no es derivable por no ser continua

29 Estudiar las discontinuidades si eisten de la f() + > 0 F() = ½ - < < 0 = - / < - Los puntos conflictivos son: = -, = 0 y = lim f() = lim ½ = - / = lim f() = lim / = (-) - / = -/ l = l Los limites laterales coinciden luego como f(-) = - la discontinuidad es evitable con solo definir el valor -/ para = - = 0 lim f() = lim = lim f() = lim ½ = /0 = Falta um limite lateral al no eitir luego hay una discontinuidad de º espécie com salto infinito único pues f(0)= 0 coincide com el otro limite lateral. = Lim f() = lim + = + = + + Lim f() = lim = - - Los limites laterales coinciden y además coinciden con f() = luego f() es continua en =

30 Halla a y b para que la función f() sea continua y derivable para todo real. f() = si + a + b si > (-, ) y = es continua en R por ser una función polinómica de grado continua en (-, ) C R. (, ) y = + a + b a, b R, f() es continua en R por ser una función polinómica de grado continua en (, ) C R. f() = = = lim ( + a + b) = - + a + b -> a + b = lim ( ) = a + b = -> - f () = si - + a si > (-, ) f '() = es continua en R por ser una función polinómica de grado continua en (-, ) C R f () derivable en (-, ) (, ) f '() = - + a a R, f '() es continua en R por ser una función polinómica de grado continua en (, ) C R f'() derivable en (, ) f'() = = = lim (- + a) = - + a -> a = ; a = 4 lim () = -> - a + b = ; 4 + b = ; b = -

31 Hallar los valores de a y b para que la función sea continua: + si < 0 f () = a + b si 0 - si < (-, 0) y = + es continua en R por ser un polinomio de grado f() es continua en (-, 0) (0,) y = a + b es continua en R a,b ε R por ser un polinomio de grado o de grado 0 f() es continua en (0,) (, ) y = - es continua en R por ser un polinomio de grado f() es continua en (, ) f(0) = a 0 + b = b lim (a + b) = b 0 + = 0 l = l b= lim f() = = f(0) es continua en 0 = 0 lim + = 0 - f ( )= a + b lim ( - ) = 7 l = l 7 = a + ; 4 = a : a = + = lim f() = 7 = f() es continua en = lim ( a + b)= a + b -

32 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = Ln, en los puntos a) = ; b) = e La recta tangente es y - yo = m t ( - o ) a) o = y o = Ln = 0 ; m t = y (0) = ---- = 0 tag : y - 0 = ---- ( - ) ; - = 0 ; = 0 b) o = e ; y o = Ln e = ; m t = y (e) = ---- ; e tag : y - = ( - e ) ; y = ; y = --- e e e - 9 La f() = - Hallar el valor de a para que f() sea continua en =. a = 9 0 ( + ) ( - ) lim = = lim = Si obligo a que f() = 6 la f() será continua, luego para a = 6 mi f() será continua R

33 La función definida por ƒ() = continua en R. Hallar el valor de a ³ - a² - si < + 4 si > es Si queremos que ƒ() sea continua en R es necesario que : En (-,) y= ³ - a² - es continua Ұ a por ser función polinómica En (, ) y = + 4 es continua Ұ a por ser función polinómica En = lim + 4 = 7 + Lim (³ - a² - ) = 7-9a² - Para que sea continua l₁ = l₂ 7 = 7-9a² - ; 9a² = 8 ; a² = ; a = ± Solo para a= ± podemos asegurar que ƒ() es continua en R, para los demás valores de a, los limites laterales de ƒ() en = seran distintos y eistiran discontinuidades de primera especie Probar que la ecuación: ³ + ² = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (,) Si llamamos f() = ³ + ² - 4, lo que nos esta pidiendo es que aseguremos que eiste al menos un o (,) tal que f(o) = 0 es decir que f() corte al eje OX en al menos un punto del intervalo. Esto es la tesis del Teorema de Bolzano y para que se verifique, se deben cumplir las dos hipótesis del Teorema. a) Que f() sea continua en [,]. Por ser f() una función continua en R ya que es una f.polinómica de grado, se puede asegurar que es continua en [,] C R. b) Que signo f(b) signo f(a) f() = ³ +.² - 4 = - < 0 f() = ³ +.² - 4 = 0 > 0 signo f() signo f() Al verificar las hipótesis, Bolzano asegura que f(o) = 0 para al menos un o (,) ³ + ² - 4 = 0 tiene al menos una raíz real en (,).

34 Sea la f() = m. si si si Hallar m y n para que f() sea continua En ( - ) y = sin es continua por ser sinusoidal. En (, ) y = m sin + n por ser suma de una sinusoidal y una constante, será continua. En ( y = cos es continua por ser función sinusoidal. f( ) = sin ) = - En = = = m.sin( ) + n = - m + n ) = - Para que sea continua L = L = f( ) => - m + n = - En = f ( ) = =.0 = 0 Para que sea continua L = L = f( ) => 0 = m + n - m + n = - n = - ; n = m + n = 0 m - = 0; m = La función f() = ES CONTINUA

35 Sea la función: f() = - ² + si 0 si < a) Es continua? En que puntos? Dibuja la grafica. b) Comprueba que eiste un punto c ε [0, ] tal que f(c) = 0. Contradice esto el teorema de Bolzano? De [0, ] y = - ² + es continua por ser una parábola. De (, ] y = es continua por ser una recta. f() = -² + = - En = = - = = - continua en = y = - ² + y y = - y L L ; NO EXISTE ; f() no es EXISTE = ε [0, ] / f() = 0, pero no se verifica Bolzano porque f() no es continua en [0, ] pues falla en = no se puede asegurar que EXISTA 0 ε (a, b) / f( 0 ) = 0 pero no lo puede negar.

36 Sea la función f() = - + si Estudiar si es derivable en =. En qué puntos es derivable? - 4 si > Hallar f (). = - 9 > 9 - L L La no es continua en = no es derivable en = Si será derivable para (-,) donde = si es continua por ser constante. También será derivable para (, ) donde = si es continua por ser una función polinómica.

37 Se sabe que la función f() = b + a si 0 c + si Es derivable en (0,5) y además verifica que f(0) = f(5). Cuánto valen a, b y c? Para que sea derivable, antes debe ser continua: Continua en = F() = si 0 = c + si < 5 = c + = 4b + a => c + = 4b + a Derivable en = F () = b + a si 0 = si 5 = L = L => 4b + a = = 4b + a Además f(0) = f(5) => f(0) = b. + a. 0 = 0 f(5) = c + = c + c + = 0 c = - - = 4b + a = a = 4b +a b = -

38 Una función f () viene definida de la siguiente manera : si < f () = / si = Es continua en R? - ( - ) + si < (-, ) y = es continua en R por ser un polinomio de grado f ( ) es continua en (-, ) (, ) y = - + es continua en R p por ser un polinomio de grado f ( ) es continua en (, ) f ( ) = / lim [- ( - ) + = l l no eiste lim f( ) = + lim ( ) = 0 - Discontinua de ª especie con doble salto finito

39 . a) (-, 0) ; y (0, ) ; y = y (, ) ; y = L y b) f() discontinua no evitable de ª especie f() discontinua no evitable de ª especie c) Como en = 0 y en =, la f)) no es continua, podemos asegurar que tampoco es derivable en = 0 ni en =

40 a) Hay tres tangentes b)

41 Es continua para = 0 f'() Cos 0 a >0 f'(0)= =0 L=L З a= Es continua en =0 y f() derivable en =0 F()= = a² + < ² + b + Determina a y b para que sea derivable en f()= +b+= b+4 = L=L З f() es continua a+= b+4 en = (-, ) f()= a² + D: (-, ); (-, ) C D f() es continua en (-,) (, ) f()= ²+b+ D: (-, ); (, ) C D f() es continua en (, ) f'()= a < +b (-, ) f()= a D: (-, ) ; (-, ) C D f'() Esta definida y es continua en (-, ) (, ) f()= +b D: (-, ); (, ) C D f'() Esta definida y es continua en (, ) f'()= + b X= L=L f'() es continua y f() es

42 ª= +b З derivable en = a+= b+4 a-b= a-b= -b= ; -b=; b= - ª= +b ª-b= -a+b= - -a= ; a= Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 4² - 9y² -6= 0 en el punto de abscisa 4 y ordenada positiva. 4² - 9y² -6= 0; 9y²= 4² - 6; y²= ; y= y₀ = = = y'= = m= y'(4)= = = 0,94 y-,88= 0,94 (-4)

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