Existencia. donde R(a) = {b B / (a, b) R} y R 1 denota la relación inversa de R. ({a} R(a)) y esta unión es disjunta entonces se tiene

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1 Existecia. El pricipio de los casilleros. Si queremos colocar 3 bolillas e cajas, es evidete que e algua caja deberemos colocar al meos dos bolillas. Lo mismo ocurre si e lugar de 3 bolillas tuviésemos 7. Y tambié si tuviésemos 5. Más aú, si tuviésemos 5 bolillas etoces podemos asegurar que e algua caja deberemos colocar al meos 3. Este es u caso particular del siguiete teorema, coocido como el pricipio de los casilleros. Teorema: Pricipio de los casilleros) Sea A y B dos cojutos fiitos o vacíos y sea R ua relació de A e B. Etoces se verifica: i) a A tal que Ra) R A ii) a A tal que Ra) R A iii) b B tal que R b) R B iv) b B tal que R b) R B dode Ra) = {b B / a, b) R} y R deota la relació iversa de R. Demostració: Como R = {a} Ra)) y esta uió es disjuta etoces se tiee que R = a A Ra). a A i) Si fuese Ra) < R A para todo a A etoces se tedría que lo cual es u absurdo. R = a A ii) Idem i) cambiado < por > Ra) < a A R A = A. R A = R iii) Aplicar i) a la relació R y observar que R = R iv) Aplicar ii) a la relació R Ejemplo: Sea S u cojuto co 00 elemetos y sea A,..., A 50 subcojutos distitos de S co 40 elemetos cada uo. Etoces existe x S tal que x perteece a por lo meos 0 de los cojutos A i.

2 Combiatoria Existecia E efecto, si defiimos ua relació R de {A,..., A 50 } e S e la forma A i, s) R si y sólo si s A i resulta que, por el pricipio de los casilleros, existe x S tal que Luego, existe x S tal que R x) R S = = 0 {A i / x A i } = {A i / A i, x) R} = {A i / x, A i ) R } = R x) 0 Veamos ahora qué sucede co el pricipio de los casilleros e el caso particular e que la relació es ua fució de A e B. Si f : A B es ua fució de A e B etoces f = fa) = A pues fa) = para todo a A. Luego, i) dice que existe a A a A tal que A A y ii) dice que existe a A tal que. Esto sigifica que i) y ii) o A A aporta igua iformació. Pero iii) y iv) se traduce e: iii) b B tal que f b) A B iv) b B tal que f b) A B dode f b) = {a A / fa) = b} Ejemplo: Sea A, B y C tres cojutos disjutos. Etoces cualquier subcojuto de 5 elemetos de A B C cotiee tres elemetos del mismo cojuto A o B o C) o u elemeto de cada uo. E efecto, supogamos que U = {x, x, x 3, x 4, x 5 } es u subcojuto de 5 elemetos de A B C. Si U o cotiee igú elemeto de A etoces podemos defiir ua fució f : U {B, C} e la forma: { B si xi B fx i ) = C si x i C Luego, f B) 5 > o f C) 5 >, de dode f B) 3 o f C) 3. Luego hay al meos tres elemetos de U que perteece al mismo cojuto. Lo mismo ocurre si U o cotiee igú elemeto de B o igú elemeto de C. Observació: Si f : A B es ua fució y A > B etoces b B tal que f b), es decir, a, a A, a a, tales que fa ) = fa ). El caso particular

3 Combiatoria Existecia e que A = B + puede iterpretarse de la siguiete maera: si k + objetos so colocados e k casilleros etoces algú casillero debe coteer al meos dos objetos. Ejemplo: Llamaremos lattice poits a los putos del plao que tiee ambas coordeadas eteras. Veremos que dados 5 lattice poits p,..., p 5 e el plao, hay al meos) dos de ellos tales que el puto medio del segmeto que los ue es tambié u lattice poit. Para ello, defiimos la fució f : {p,..., p 5 } {0, 0), 0, ),, 0),, )} e la forma: si p i = a i, b i ) etoces fp i ) = r a i ), r b i )) dode r a) deota el resto de la divisió de a por. Luego, por la observació, i j tales que fp i ) = fp j ). Por lo tato r a i ) = r a j ) y r b i ) = r b j ), de dode a i + a j y b i + b j so pares. ) ai +a Luego, el puto medio del segmeto que ue p i co p j, que es j, b i+b j, tiee ambas coordeadas eteras. Notar que para 4 putos el resultado aterior es falso: si cosideramos los lattice poits p = 0, 0), p = 0, ), p 3 =, 0) y p 4 =, ) etoces el puto medio de segmeto que ue dos cualesquiera de estos putos uca es u lattice poit. Teorema: Dados α IR y IN existe p, q ZZ tales que q y α p q <.q Demostració: Sea {[ f : {,,...,, + } 0, ) [,, ) [ )},...,, la fució defiida por [ k fj) =, k + ) si y sólo si jα [j.α] [ k, k + ) 0 k ) dode [j.α] deota la parte etera de j.α Notar que f está bie defiida pues j.α [j.α] perteece al itervalo [0, ) que es la uió disjuta de los itervalos [ k, ) k+ 0 k ). Por la observació, j > i, j, i + ) tales que fj) = fi). Sea k, 0 k, tal que fj) = [ k, ) [ k+ = fi). Etoces j.α [j.α] k, ) [ k+ e i.α [i.α] k, ) k+ de dode j.α [j.α]) i.α [i.α]) < Tomado p = [j.α] [i.α] y q = j i resulta que p, q ZZ, q y q. α p q = q.α p = j.α i.α [j.α] + [i.α] = j.α [j.α]) i.α [i.α]) < es decir, α p q <.q Este teorema garatiza la existecia de u úmero racioal p q dado úmero irracioal α. que aproxima bie a u 3

4 Combiatoria Existecia Defiició: U grafo es u par V, E) dode V es u cojuto fiito y E es u cojuto de pares de elemetos distitos de V. Llamaremos vértices o odos a los elemetos de V y ramas o arcos a los elemetos de E. Cuado os importe el orde e las ramas es decir, cuado las ramas sea pares ordeados de elemetos distitos de V ) diremos que el grafo es dirigido. E caso cotrario, es decir, cuado las ramas sea pares o ordeados) diremos que el grafo es o dirigido pero, por abuso de otació, seguiremos escribiedo v, w) para deotar ua rama e lugar de {v, w}, etediedo que e ese caso v, w) = w, v). Diremos que dos vértices v y w de u grafo G dirigido o o dirigido) so adyacetes si v, w) E o w, v) E. Ejemplo : Cosideremos el grafo o dirigido G = V, E) dode V = {,, 3, 4, 5} y E = {, 3),, 3), 3, 5),, 4), 4, 5) }. E este caso los vértices y 4 so adyacetes pero los vértices y 4 o lo so. U grafo o dirigido G puede represetarse gráficamete e el plao poiedo u puto por cada vértice de G y ua curva simple uiedo v y w para cada rama v, w) de G. De esta maera, el grafo del ejemplo puede represetarse gráficamete e la forma Ejemplo : Cosideremos el grafo dirigido G = V, E) dode V = {,, 3, 4, 5, 6} y E = {, 3), 3, ), 4, 3), 3, 5),, 4), 4, 5), 5, 6), 6, ) }. E este caso los vértices 3 y 4 so adyacetes pero los vértices y 4 o lo so. U grafo dirigido G puede represetarse gráficamete e el plao poiedo u puto por cada vértice de G y ua curva simple dirigida de v y w para cada rama v, w) de G. De esta maera, el grafo del ejemplo puede represetarse gráficamete e la forma Defiició: Dados u grafo G = V, E) y dados v, v V diremos que ua sucesió 4

5 Combiatoria Existecia C = e,..., e ) de elemetos de E es u camio de v a v si e i e i para todo i y existe v,... v V tales que e i = v i, v i+ ) para todo i. E tal caso diremos que v,..., v so los vértices del camio C. Si v i v j para todo i j diremos que el camio es simple. Si 3, v = v y v,..., v so todos distitos diremos que el camio es u ciclo o tambié que es u circuito. E el grafo del ejemplo, la sucesió, 3), 3, 5), 5, 4), 4, ) es u camio simple de a y la sucesió, 3), 3, 5), 5, 4), 4, ) es u ciclo. E el grafo del ejemplo, la sucesió 5, 6), 6, ),, 4), 4, 3), 3, ),, 3) es u camio de 5 a 3. Este camio o es simple. La sucesió 5, 6), 6, ),, 4), 4, 5) es u ciclo. Tambié lo es la sucesió, 3), 3, ). Defiició: Sea G = V, E) u grafo y sea u V. Defiimos iu) = {v V / v, u) E} ou) = {v V / u, v) E} idegree de u outdegree de u y defiimos el grado de u como { iu) + ou) si G es dirigido δu) = iu) si G es o dirigido Tato e el caso dirigido como o dirigido resulta que δu) es la catidad de ramas que icide e u. Observemos que si G es o dirigido etoces los cojutos que defie iu) y ou) so iguales y por eso o los cotamos dos veces). E el grafo del ejemplo los vértices, 4 y 5 tiee grado, el vértice tiee grado y el vértice 3 tiee grado 3. E el grafo del ejemplo los vértices, y 6 tiee idegree, outdegree y grado, el vértice 3 tiee idegree, outdegree y grado 4, el vértice 4 tiee idegree, outdegree y grado 3 y el vértice 5 tiee idegree, outdegree y grado 3. Teorema: Sea G = V, E) u grafo o dirigido co V. Etoces existe al meos) dos vértices de G que tiee el mismo grado. Demostració: Sea m = V. Etoces, para cada v V se tiee que δv) puede ser 0,,,... o m. Primer caso: si δv) para todo v V. E este caso defiimos ua fució f : V {,,..., m } de u cojuto de m elemetos e u cojuto co m elemetos e la forma fv) = δv). Luego, existe v, w V, v w, tales que δv) = δw). Segudo caso: si δu) = 0 para algú u V. E este caso δv) < m para todo v V pues si v u etoces el cojuto de vértices que so adyacetes a v o puede coteer a u. Ahora tambié defiimos ua fució 5

6 Combiatoria Existecia f : V {0,,,..., m } de u cojuto de m elemetos e u cojuto co m elemetos e la forma fv) = δv). Luego, v, w V, v w, tales que δv) = δw). Defiició: Sea G = V, E) u grafo. U subcojuto S de V se dice idepediete si igú par de elemetos de S so adyacetes. E el grafo del ejemplo, {,, 5} es u cojuto idepediete. Tambié lo es {, 4}. E el grafo del ejemplo, {,, 5}, {, 4, 6}, y {3, 6} so cojutos idepedietes. Diremos que S V es u máximo cojuto idepediete e G si S es idepediete y S T para todo subcojuto idepediete T de V. Deotaremos por αg) al cardial de u máximo cojuto idepediete e G. Defiició: Sea G = V, E) u grafo o dirigido. Defiimos el úmero cromático de G, χg), como el míimo úmero de colores que se ecesita para colorear los vértices de G de forma tal que dos vértices adyacetes uca tega el mismo color. Por ejemplo, si K 4 es el grafo completo o dirigido de 4 vértices se tiee que χk 4 ) = 4, pero si cosideramos el grafo G que resulta de quitarle a K 4 ua rama y igú vértice) etoces χg) = 3. Teorema: Sea G = V, E) u grafo o dirigido co m vértices. Etoces αg).χg) m. Demostració: Sea =χg) y sea f : V {a,..., a } ua coloració de G co colores. Etoces, por el pricipio de los casilleros, f a i ) V = χ m G) para algú i etre y. Pero αg) f a j ) j =,,..., pues S = f a j ) es u cojuto idepediete si v, w f a j ) etoces v y w está pitados del mismo color y por lo tato o puede ser adyacetes). Luego, αg) m χ G) Nota: U grafo o dirigido se dice plaar si puede dibujarse e el plao de maera que sus ramas o se corte. Por ejemplo, K 4 es u grafo plaar pues puede dibujarse e el plao e la forma 6

7 Combiatoria Existecia Se sabe que si G es u grafo plaar etoces χg) 4. Luego, αg) V 4. A cada mapa le podemos asociar u grafo plaar o dirigido) G = V, E) dode V es el cojuto de regioes del mapa y E = { v, w) / v y w tiee ua frotera comú} mapa 4 5 grafo asociado La desigualdad αg) V 4 sigifica que u mapa co m territorios ecesariamete tiee al meos m 4 territorios que o tiee froteras comues dos a dos y χg) 4 sigifica que alcaza 4 colores para colorear cualquier mapa de maera que dos regioes co ua frotera comú esté pitadas de distito color. Supogamos ahora que teemos u grafo o dirigido co vértices que o cotiee igú triágulo es decir, que o cotiee igú subcojuto de tres vértices que sea adyacetes dos a dos). Cuál es el máximo úmero de ramas que puede teer G? Por ejemplo, cosideremos el grafo bipartito o dirigido y completo K,, cuyo cojuto de vértices es la uió disjuta de dos cojutos de elemetos A y B y dode v, w) es ua rama si y sólo si v A y w B. Por ejemplo, para = 4 el grafo bipartito o dirigido y completo K 4,4 es 7

8 Combiatoria Existecia El grafo bipartito completo K, tiee vértices y o cotiee igú triágulo. Este grafo tiee ramas. Veremos que este es el máximo úmero de ramas posible. Teorema: Matel, 907) Si G es u grafo o dirigido co vértices y al meos + ramas etoces G cotiee u triágulo. Demostració: Por iducció e. Si = etoces G o puede teer + ramas o más. Luego, la afirmació es cierta para =. Supogamos ahora que vale para y sea G u grafo co + ) vértices y + ) + ramas. Sea u y v dos vértices adyacetes de G siempre existe pues G tiee al meos ua rama, etoces los extremos de esa rama so adyacetes). Sea H el grafo que resulta de quitarle a G los vértices u y v y todas las ramas que icide e ellos. Si H tiee al meos + ramas etoces cotiee u triágulo por hipótesis iductiva y por lo tato G cotiee u triágulo. Supogamos etoces que H tiee a lo sumo ramas y defiamos la relació R de A = {u, v} e B = {vértices de H} e la forma: x, z) R si y sólo si x y z so adyacetes e G Deotemos por EH) al cojuto de ramas de H y por EG) al cojuto de ramas de G. Como R + + EH) = EG) etoces R + ) + = + Etoces, por el pricipio de los casilleros, existe z B tal que R z) R B + Luego, existe z B tal que R z). Esto sigifica que existe u vértice z de G, z u, v, tal que u, z) R y v, z) R. Luego, z es adyacete a u y a v e G y, como u y v era vértices adyacetes de G etoces los vértices z, u y v forma u triágulo e G. Veamos ahora ua aplicació del pricipio de los casilleros que tiee que ver co coloracioes de los lattice poits e el plao. Teorema: Cosideremos el cojuto de lattice poits e el plao {,,..., 7} {,, 3} y supogamos que hemos coloreado cada uo de esos putos de verde o de rojo. Etoces existe cuatro de esos putos, todos del mismo color, que so los vértices de u rectágulo cuyos lados so paralelos a los ejes. Demostració: Llamaremos columa a cualquier subcojuto de {,,..., 7} {,, 3} formado por los tres putos que tega la misma primera coordeada. Diremos que u puto es el primer puto de ua columa si es el que tiee seguda coordeada, que es el segudo puto si es el que tiee seguda coordeada y el tercer puto si es el que tiee seguda coordeada 3. > 8

9 Combiatoria Existecia columa tercer puto segudo puto primer puto Cada columa de 3 putos cotiee 3 putos verdes o verdes y rojo o verde y rojos o 3 rojos. Luego, cada columa de 3 putos cotiee más putos verdes que rojos o cotiee más rojos que verdes. Llamemos V-columas a las columas que tiee más verdes que rojos y R-columas a las otras. Por el pricipio de los casilleros, hay al meos 4 V-columas o al meos 4 R-columas. E efecto, cosideremos la fució f : A = {columas} B = {V, R} defiida por { V si C es ua V-columa fc) = R si C es ua R-columa Etoces se tiee que existe b B tal que f b) A B = 7 > 3. Luego, existe b B tal que f b) 4. Si b = V esto dice que hay por lo meos 4 V-columas y si b = R que hay al meos 4 R-columas. Si pérdida de geeralidad supogamos que hay por lo meos 4 V-columas. Veremos que esto implica que hay 4 putos verdes que so los vértices de u rectágulo de lados paralelos a los ejes. Sea g : {V-columas} {V, V ), V, R), R, V )} la fució defiida por gc) =color del primer puto de la columa C, color del segudo puto de la columa C) Etoces, por el pricipio de los casilleros, existe u elemeto b {V, V ), V, R), R, V )} tal que g b) 4 3 >, es decir, g b). Si b = V, V ) etoces existe al meos dos V-columas co los primeros dos putos verdes. Esos 4 putos so todos verdes y so los vértices de u rectágulo de lados paralelos a los ejes. Si b = V, R) etoces existe al meos dos V-columas co el primer puto verde y el segudo rojo. Luego, el tercer puto de esas dos columas debe ser verde. Tomado los primeros y terceros putos de esas dos V-columas se obtiee 4 putos verdes que so los vértices de u rectágulo de lados paralelos a los ejes. Fialmete, si b = R, V ) etoces existe al meos dos V-columas co el primer puto rojo y el segudo verde. Luego, el tercer puto de esas dos columas debe ser verde. Tomado los segudos y terceros putos de esas dos V-columas se obtiee 4 putos verdes que so los vértices de u rectágulo de lados paralelos a los ejes. 9

10 Combiatoria Existecia. Sucesioes y órdees parciales. Defiició: Diremos que ua sucesió fiita de úmeros reales a, a,..., a es moótoa creciete respectivamete decreciete) sii a i a j para todo i < j respectivamete, a i a j para todo i < j). Teorema: Erdös Szekeres, 935) Sea m, IN. Etoces cualquier sucesió de úmeros reales co m.+ térmios a, a,..., a m.+ cotiee ua subsucesió moótoa creciete de m + térmios o cotiee ua subsucesió moótoa decreciete de + térmios o ambas). Demostració: Supogamos que a, a,..., a m.+ o cotiee igua subsucesió moótoa creciete de m + térmios i tampoco cotiee igua subsucesió moótoa decreciete de + térmios. Sea f : {,,..., m. + } {,,..., m} {,,..., } la fució defiida por ft) = x t, y t ), dode x t es la catidad de térmios que tiee la más larga de las subsucesioes moótoas crecietes de a, a,..., a m.+ que comieza co a t y dode y t es la catidad de térmios que tiee la más larga de las subsucesioes moótoas decrecietes de a, a,..., a m.+ que comieza co a t. Por el pricipio de los casilleros, existe j, k {,,..., m. + }, j < k, tales que fj) = fk). Luego, x j = x k e y j = y k. Veamos que esto o puede ocurrir. Primer caso: a j a k E este caso, la subsucesió cuyo primer térmio es a j y los restates térmios so los de la subsucesió moótoa creciete más larga que comieza co a k es ua subsucesió moótoa creciete de + x k térmios que comieza co a j. Luego, x j + x k > x k. Segudo caso: a j a k E este caso, la subsucesió cuyo primer térmio es a j y los restates térmios so los de la subsucesió moótoa decreciete más larga que comieza co a k es ua subsucesió moótoa decreciete de + y k térmios que comieza co a j. Luego, y j + y k > y k. Observació: Existe ua sucesió de m. térmios que o cotiee igua subsucesió moótoa creciete de m + térmios i ua subsucesió moótoa decreciete de + térmios:,,...,,,,,... +, 3, 3,..., +,..., m., m.,..., m )+ Sea X u cojuto y sea u orde parcial es decir, ua relació reflexiva, atisimétrica y trasitiva) e X. Defiició: U subcojuto C de X se llama ua cadea de X) si todo par de elemetos de C es comparable, es decir, si a, b C se verifica que a b o b a. Si C es ua cadea co C = k, diremos que C es ua cadea de logitud k. 0

11 Combiatoria Existecia Defiició: U subcojuto A de X se llama ua aticadea de X) si igú par de elemetos de A es comparable, es decir, si a, b A, a b, se verifica que a b y b a. Si A es ua aticadea co A = k, diremos que A es ua aticadea de tamaño k. La logitud y el acho de u orde parcial se defie e la forma: λ ) = max{ C / C es ua cadea } ω ) = max{ A / A es ua aticadea } logitud acho Ejemplo: Sea X = {,, 3,..., 8} y sea el orde parcial e X {3, ), 4, ), 4, 3), 3, ), 4, ), 4, 5), 6, 5), 7, 5), 7, 6),, ),, ),..., 8, 8)} Etoces {, 3} y {5, 6, 7} so cadeas y {7,, 8} y {,, 5, 8} so aticadeas. E este caso λ ) = 3 y ω ) = 4. Lema de Dilworth: Sea u orde parcial e u cojuto fiito X de al meos m. + elemetos. Etoces existe e X ua cadea de logitud m + o existe ua aticadea de tamaño +. Demostració: Supogamos que o existe e X igua cadea de logitud m +. Etoces podemos defiir ua fució f : X {,,..., m} e la forma: fx) = max{ C / C es ua cadea, x C y z x z C} Por el pricipio de los casilleros, existe j {,,..., m} tal que f j) m.+ m >, por lo tato f j) +. Veamos ahora que A = f j) es ua aticadea, lo que demuestra el lema ya que etoces cualquier subcojuto de + elemetos de A será ua aticadea de tamaño +. Sea a, b f j), a b. Luego, fa) = j = fb). Queremos ver que a b y b a. Supogamos que a b. Sea C ua cadea tal que a C, z a z C y C = fa) = j. Etoces, C {b} es ua cadea ya que si y y z so dos elemetos de C {b} y iguo de ellos es igual a b etoces so comparables por ser C ua cadea, y si y C y z = b etoces so comparables pues y a y a b, de dode y b = z. Además, como a b y a b etoces b / C pues z a z C. Luego, C {b} = C + = fa) + = j + = fb) + Pero etoces C {b} es ua cadea, b C {b} y z b z C {b} pues para todo z C vale z a y estamos supoiedo a b, de dode z b). Luego, fb) C {b} = fb)+, lo que es u absurdo. Hemos probado etoces que a b. Aálogamete se tiee que b a.

12 Combiatoria Existecia Observació: La similitud etre el teorema de Erdös Szekeres y el lema de Dilworth o es coicidecia. E realidad, puede probarse que el teorema resulta como corolario del lema ver práctica ). El siguiete teorema es equivalete al lema de Dilworth. Teorema: Sea X u cojuto de elemetos y sea u orde parcial e X de logitud λ y acho ω. Etoces λ.ω Demostració: Si fuese λ.ω + etoces, por el lema de Dilworth, existiría e X ua cadea de logitud λ + o ua aticadea de tamaño ω +, lo que es ua cotradicció. Observació: Hemos probado que el teorema se deduce del lema de Dilworth, pero e realidad so equivaletes ver práctica ). Teorema de Dilworth: Sea X u cojuto fiito y sea u orde parcial e X de logitud λ y acho ω. Etoces X es la uió disjuta de λ aticadeas y tambié X es la uió disjuta de ω cadeas. Dejamos como ejercicio la demostració de que X es la uió disjuta de λ aticadeas. La demostració de que X es la uió disjuta de ω cadeas puede cosultarse e [Bo]. Corolario: Sea u orde parcial e u cojuto fiito X y sea m el míimo úmero de cadeas disjutas que cubre X. Etoces m = ω ). Demostració: Sea C, C,..., C m cadeas disjutas tales que X = C C... C m. Sea ω = ω ) y sea A = {x,..., x ω } ua aticadea de tamaño ω. Luego, si x i x j etoces x i y x j o so comparables. Cosideremos la fució f : A {,,..., m} defiida por fx i ) = k si y sólo si x i C k Etoces f está bie defiida pues C, C,..., C m so disjutos y además es iyectiva. E efecto, si fx i ) = k = fx j ), etoces x i, x j C k. Luego x i y x j so comparables pues C k es ua cadea, de dode debe ser x i = x j. Esto muestra que ω m. Pero tambié vale que m ω ya que, por el teorema de Dilworth, X es la uió disjuta de ω cadeas. Ejemplo: Sea X = {,, 3,..., 7} y sea el orde parcial e X {3, ), 4, ), 4, 3), 3, ), 4, ), 4, 5), 6, 5), 7, 5), 7, 6),, ),, ),..., 7, 7)} y sea G = V, E) el grafo dirigido dode V = X y E = {x, y) V V / x y y x y}, es decir, el grafo [Bo] Bollobás, B., Graph Theory, Cambridge Uiv. Press, N.Y.

13 Combiatoria Existecia Recordemos que u subcojuto S de V se dice idepediete si igú par de elemetos de S so adyacetes y que αg) deota el cardial de u máximo cojuto idepediete e G. E primer lugar, otemos que como E = {x, y) V V / x y y x y} etoces u subcojuto S de V = X es idepediete si y sólo si igú par de elemetos de S so comparables, ya que dados dos elemetos distitos x e y, so adyacetes si y sólo si x y o y x. Luego, S es u subcojuto idepediete de V si y sólo si es ua aticadea de X. Esto muestra que αg) = ω ). Además, u subcojuto C de X es ua cadea si y sólo si los elemetos de C so los vértices de u camio e G. E efecto, si C es ua cadea etoces todo par de elemetos de C es comparable y, por lo tato, podemos ordear los elemetos de C de meor a mayor. Luego, C = {y, y,..., y k } dode y i y i+. Luego, y y y k es u camio e G pues y i, y i+ ) E i k ) y C es el cojuto de vértices de ese camio. Recíprocamete, si y y y k es u camio e G etoces y i, y i+ ) E de dode y i y i+ i k ). Luego, por la trasitividad, y i y j para todo i < j, de dode resulta que el cojuto de vértices de ese camio es ua cadea e X. Diremos que u cojuto de camios e G es disjuto por vértices si dos camios de este cojuto uca tiee u vértice e comú. Diremos que u cojuto de camios de G cubre V si todo v V es u vértice de alguo de esos camios. Luego, si es u orde parcial e u cojuto X y G = V, E) es el grafo dode V = X y E = {x, y) V V / x y y x y}, etoces el míimo úmero de camios disjutos por vértices de G que cubre V es igual al míimo úmero de cadeas disjutas que cubre X. Además, vimos que tambié vale ω ) = αg). Luego, el corolario dice que, para este grafo G, el míimo úmero de camios disjutos por vértices que cubre a V es igual al cardial de u máximo cojuto idepediete e G. Cosideremos ahora el cojuto T = {,, 3,..., } dode es u úmero atural dado, y sea X el cojuto cuyos elemetos so los subcojutos de T, parcialmete ordeado por iclusió. Nos pregutamos cuál es la logitud λ y el acho ω de este orde parcial e X. Calculemos primero su logitud. El subcojuto {, {}, {, }, {,, 3},..., {,,..., }} 3

14 Combiatoria Existecia es ua cadea e X de logitud +. Esto muestra que λ +. Veamos que vale la igualdad. Supogamos que C X es ua cadea de logitud k. Etoces como todo par de elemetos de C es comparable, podemos ordear los elemetos de C de meor a mayor. Luego, C = {S, S,..., S k } co S i S i+, S i S i+. Etoces S < S <... < S k, de dode S S +, S 3 S +,..., S k S k +. Luego, S k S + k k y como S k pues S k T, etoces k, es decir, k + y por lo tato λ +. Hemos probado etoces que λ = +. Veamos ahora que ω = [ ). ] Lema: Sea X el cojuto de partes del cojuto T = {,,..., }, parcialmete ordeado por iclusió. Si S X es u subcojuto de T de cardial k etoces hay exactamete k! k)! cadeas de logitud + e X que cotiee a S. Demostració: Sea C ua cadea de logitud +. Ordeado sus elemetos de meor a mayor, C = {S, S,..., S + } dode S i S i+, S i S i+. Como S + pues S + T etoces debe valer que S i = i para todo i. E efecto, como S i+ S i + i ) ) etoces S S +, S 3 S +,..., S + S +, de dode S + S +. Si fuese S > 0 etoces se tedría que S + S + > y si e ) valiera > para algú i etoces se tedría que S + > S + de dode S + >. Luego S = 0 y S i+ = S i + i ) de dode resulta que S i = i para todo i. Si además C cotiee a S etoces S i = S para algú i, pero como S i = i y S = k etoces S = S k+. Luego, S,..., S k+ S y S S k+,..., S +. Además, como S i S i+ y S i = i para todo i, etoces S =, S = {a }, S 3 = {a, a },..., S k+ = {a,..., a k }, S k+ = {a,..., a k+ },..., S + = {a,..., a k, a k+... a } y como S = S k+ y T = S + pues S + T y S + = ) etoces, deotado por S al complemeto de S respecto de T, se tiee que {a,..., a k } = S y {a k+... a } = S. Recíprocamete, si {a,..., a k } = S y {a k+... a } = S, tomado S =, S = {a }, S 3 = {a, a },..., S k+ = {a,..., a k }, S k+ = {a,..., a k+ },..., S + = {a,..., a k, a k+... a } se tiee que {S,..., S + } es ua cadea de logitud + que cotiee a S. Luego, las cadeas de logitud + que cotiee a S so de la forma {S,..., S + } co S =, S = {a }, S 3 = {a, a },..., S k+ = {a,..., a k }, S k+ = {a,..., a k+ },..., S + = {a,..., a k, a k+... a } 4

15 Combiatoria Existecia dode {a,..., a k } = S y {a k+... a } = S. Por lo tato hay exactamete k! k)! cadeas de logitud + que cotiee a S. Teorema: Sperer, 98) Sea X el cojuto de partes del cojuto {,,..., }, parcialmete ordeado por iclusió. Si A es ua aticadea de tamaño m etoces m [ ). ] Más aú, ω ) = [ ). ] Demostració: Sea A = {A, A,..., A m } ua aticadea de tamaño m y sea k i = A i. Etoces, por el lema, hay exactamete k i! k i )! cadeas de logitud + que cotiee a A i. Notemos que si i j las cadeas que cotiee a A i so distitas de las cadeas que cotiee a A j pues, si i j, ua cadea que cotiee a A i o puede coteer a A j ya que A i y A j o so comparables. Además, como vimos e la demostració del lema, toda cadea de logitud + ecesariamete cotiee a. Por lo tato, hay exactamete! cadeas de logitud + pues la catidad de cadeas de logitud + es igual a la catidad de cadeas de logitud + que cotiee a que, por el lema, es 0! 0)! =!. Luego, de dode m k i! k i )!! i= m i= Como k i ) [ ] ) para i etoces m [ ] ) = m i= k i ) [ ] ) m i= k i ) lo que prueba que m [ ). ] Además, como dos cojutos distitos de igual cardial o so comparables etoces los [ ] ) que ω ) = subcojutos de {,,..., } de cardial [ ] forma ua aticadea lo que prueba [ ). ] Nota: Si bie Sperer probó este teorema e 98, la demostració que dimos, que es más secilla, se debe a D. Lubell. Veamos ahora cómo so las aticadeas de X que tiee tamaño [ ). ] Es claro que si es par etoces el cojuto ) de ) todos los subcojutos de T de cardial es ua aticadea de tamaño = [ ] ya que dos cojutos distitos del mismo cardial uca so comparables. 5

16 Combiatoria Existecia Aálogamete, si es impar etoces tato el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial como el cojuto ) de todos ) los subcojutos ) de T de cardial + so aticadeas de tamaño [ ] ya que = = [ ). ] + Observació: Como vimos e la demostració del teorema, si A = {A,..., A m } es ua aticadea de tamaño m y k i = A i etoces m [ ] ) = m i= [ ] ) m i= k i ) Luego, m = [ ] ) Más aú, si m = [ ] ) = sii ) [ ] etoces ) k i para todo i, pues para todo i vale que m k i! k i )! =! pues i= [ ] ) k i ). m i= k i! k i )!! = m i= k i ) = m i= [ ] ) = m [ ] ) = ) Por lo tato, si m = [ ] etoces toda cadea de logitud + cotiee exactamete u elemeto de A. E efecto, sabemos que hay! cadeas de logitud +. Por otra parte, la catidad de m cadeas de logitud + que cotiee algú elemeto de A es k i! k i )! =!. Luego, toda cadea de logitud + debe coteer al meos u elemeto de A y, como ua cadea o puede coteer más de u elemeto de A etoces toda cadea de logitud + cotiee exactamete u elemeto de A como habíamos afirmado. Teorema: Sea X el cojuto de partes de T = {,,..., }, ordeado parcialmete por iclusió, y sea A ua aticadea de X de tamaño [ ). ] Etoces se verifica: i) Si es par etoces A es el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial. ii) Si es impar etoces o bie A es el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial o bie A es el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial +. Demostració: Lovász) i) Supogamos ) que ) es par. Etoces [ ] = de dode, por la observació, resulta que = A i para cada A i A. Luego A i = para cada A i A y, por lo tato, cada elemeto ) de A es u subcojuto de T de cardial ). Pero como T tiee exactamete subcojutos de cardial y A tiee tamaño etoces A es igual al cojuto de todos los subcojutos de T de cardial. i= 6

17 Combiatoria Existecia ii) Supogamos ) que ) es impar. Etoces [ ] = de dode, por la observació, resulta que = A i para cada A i A. Luego, si A i A, se tiee que A i = o ) ) A i = + ya que =. + Sea k tal que = k +. Etoces k = = [ ] y k + = +. Luego, para cada A i A se tiee que A i = k o A i = k +. Como, por la observació, toda cadea de logitud + cotiee exactamete u elemeto de A etoces vale: Si U y V so dos subcojutos de T tales que U V, U = k y V = k + etoces U A y V / A o U / A y V A. E efecto, si U = {a,..., a k }, V = {a,..., a k, a k+ } y T V = {a k+,..., a } etoces, por la observació, la cadea de logitud + {, {a }, {a, a },..., {a,..., a k }, {a,..., a k+ }, {a,..., a k+ },..., {a,..., a }} debe coteer exactamete u elemeto de A y, como los elemetos de A tiee cardial k o k +, etoces ese elemeto es {a,..., a k } = U o es {a,..., a k+ } = V. Luego, U A y V / A o U / A y V A. Veamos ahora que si A cotiee algú elemeto de cardial k etoces cotiee todos los subcojutos de T de cardial k. Supogamos etoces que existe U A tal que U = k y sea U u subcojuto cualquiera de T de cardial k. Etoces existe ua sucesió de subcojutos U, V, U, V,..., U m, V m, U m tales que U = U, U m = U, U j = k j =,,..., m, V j = k + j =,,..., m y U i, U i+ V i i =,,..., m. E efecto, si U = {a,..., a r, a r+,..., a k } y si U = {a,..., a r, b r+,..., b k }, dode {a,..., a r } = U U, etoces basta tomar m = k r +, U = U, V = U {b r+ }, U = V {a r+ }, V = U {b r+ }, U 3 = V {a r+ },..., V m = U m {b k }, U m = V m {a k } = U. Como U V, U = k y V = k + y U = U A etoces V / A, como U V, U = k y V = k + y V / A etoces U A, como U V, U = k y V = k + y U A etoces V / A... Luego, V i / A para todo i =,... m y U i A para todo i =,,..., m. E particular, U = U m A. Por lo tato, si A cotiee algú elemeto de cardial k etoces cotiee todos los subcojutos de T de cardial k y, por lo tato, ) A es el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial k = pues A tiee [ ] = k) elemetos. Fialmete, si A o cotiee igú elemeto de cardial k etoces todos los elemetos de A tiee cardial k + y, por lo tato, A es) el cojuto de todos los subcojutos de T de cardial k + = + ya que A tiee [ ] = ) = ) + = k+) elemetos. 7

18 Combiatoria Existecia Teoría de Ramsey. Cosideremos el grafo completo o dirigido de 6 vértices, al que deotaremos por K 6, y supogamos que coloreamos sus ramas de rojo o de verde. Etoces, e el grafo coloreado hay u triágulo verde o u triágulo rojo. E efecto, elijamos u vértice cualquiera v de K 6. Por el pricipio de los casilleros, hay por lo meos 3 de las 5 ramas que icide e v que tiee el mismo color. Supogamos etoces que las ramas v, x), v, y) y v, z) so rojas. Si algua de las ramas x, y), y, z) o x, z) es roja, etoces hay u triágulo rojo y, si todas so verdes etoces hay u triágulo verde. Dejamos como ejercicio mostrar que o ocurre lo mismo si e lugar de K 6 cosideramos el grafo completo o dirigido K 5 de 5 vértices, es decir, mostrar que existe ua maera de colorear las ramas de K 5 de rojo o verde si que e el grafo coloreado haya u triágulo moocromático es decir, u triágulo cuyas ramas sea todas del mismo color). Si deotamos por K r al grafo completo o dirigido de r vértices, esto muestra que el míimo r tal que toda coloració rojo-verde de las ramas de K r cotiee u grafo completo verde de 3 vértices o u grafo completo rojo de 3 vértices es r = 6. Teorema: Ramsey, 930) Dados, m, existe u míimo etero R, m) tal que toda coloració rojo-verde de las ramas del grafo completo o dirigido de R, m) vértices cotiee u grafo completo verde de vértices o u grafo completo rojo de m vértices. Más aú, R, m) R, m) + R, m ) para todo, m 3. Demostració: Por iducció e y m. Probaremos primero que R, ) = y R, m) = m. Si coloreamos las ramas de K de rojo o verde etoces o bie todas las ramas so verdes o bie al meos ua rama es roja. E el primer caso hay u K verde y e el segudo hay u K rojo. Esto muestra que R, ). Veamos ahora que vale la igualdad: si r < la coloració rojo-verde de K r que cosiste e pitar todas las ramas de verde o cotiee igú K verde i igú K rojo. Aálogamete se ve que R, m) = m. Supogamos ahora que existe R, m) y R, m ) y veamos que etoces existe R, m) y satisface R, m) R, m) + R, m ). Supogamos que teemos ua coloració rojo-verde de las ramas del grafo completo de R, m)+r, m ) vértices, al que deotaremos por G y sea v u vértice cualquiera. Etoces, de las R, m) + R, m ) ramas de G que icide e v hay al meos R, m) que so verdes o al meos R, m ) que so rojas. Si hay al meos R, m) ramas verdes de G que icide e v, elijamos R, m) vértices e el cojuto {w / v, w) está pitada de verde } y cosideremos el subgrafo completo de G que tiee esos R, m) vértices, co la coloració iducida. Etoces, por hipótesis iductiva, este subgrafo cotiee u K 8

19 Combiatoria Existecia verde o u K m rojo. Si cotiee u K m rojo etoces claramete G cotiee u K m rojo y si cotiee u K verde, agregado a ese K verde el vértice v y todas las ramas de v a cada uo de los vértices de ese K, que sabemos que so verdes, se obtiee u K verde. De maera aáloga se ve que si e v icide al meos R, m ) ramas rojas etoces hay u K verde o u K m rojo. Luego, R, m) existe y satisface R, m) R, m) + R, m ). Los úmeros R, m) se llama los úmeros de Ramsey. Sólo pocos de ellos ha sido calculados. Vimos ates que el míimo r tal que toda coloració rojo-verde de las ramas de K r cotiee u grafo completo verde de 3 vértices o u grafo completo rojo de 3 vértices es r = 6, es decir, que R3, 3) = 6. Tambié sabemos que R, ) = y R, m) = m. Además, observemos que R, m) = Rm, ). Calculemos ahora R3, 4). Por el teorema, sabemos que R3, 4) R, 4) + R3, 3) = = 0 Veremos que R3, 4) = 9. Para ello probaremos que toda coloració rojo-verde de K 9 cotiee u K 3 verde o u K 4 rojo y dejaremos como ejercicio verificar que esto o vale para K 8. Supogamos que existe ua coloració rojo-verde de K 9 que o cotiee igú K 3 verde i igú K 4 rojo. Etoces, e cada vértice icide a lo sumo 3 ramas verdes. E efecto, si e algú vértice u icidiera 4 ramas verdes, u, v ), u, v ), u, v 3 ), u, v 4 ), etoces, como o hay igú K 3 verde, igua de las ramas v i, v j ) puede ser verde. Luego, todas sería rojas y por lo tato habría u K 4 rojo el subgrafo completo co vértices v,..., v 4 ). Además, e cada vértice icide a lo sumo 5 ramas rojas. E efecto, si e algú vértice u icidiera 6 ramas rojas, u, v ), u, v ),..., u, v 6 ) etoces, como R3, 3) = 6, el subgrafo completo co vértices v,..., v 6 cotedría u triágulo moocromático, que debe ser ecesariamete rojo pues estamos supoiedo que o hay igú K 3 verde. Si v i, v j y v k so los vértices de ese triágulo rojo etoces el subgrafo completo co vértices u, v i, v j, v k sería u K 4 rojo. Por lo tato, e cada vértice icide exactamete 3 ramas verdes y 5 ramas rojas. Luego, si cosideramos el subgrafo G de K 9 formado por los 9 vértices y todas las ramas verdes, etoces se tiee que cada vértice de G tiee grado 3. Esto implica que la suma de los grados de los vértices de G es 3.9=7, lo que cotradice el hecho de que e cualquier grafo la suma de los grados de los vértices es par ver ej. 3 de la práctica 6). Como vimos, R, m) R, m) + R, m ), lo que os da ua cota superior para R, m) cuado coocemos R, m) y R, m ). Si embargo, tal como dijéramos, hay pocos úmeros de Ramsey que se cooce, por lo cual sería deseable teer ua cota que sólo depediera de y m. El siguiete teorema proporcioa esta cota: 9

20 Combiatoria Existecia Teorema: Si, m etoces R, m) ) +m. Demostració: Por iducció e y m. Si = etoces ) ) m + m R, m) = R, m) = m = = y si m = etoces R, m) = R, ) = = ) = ) + m Supogamos ahora que la cota vale para R, m) y para R, m ). Etoces ) ) + m + m R, m) = R, m) + R, m ) + = ) ) ) + m 3 + m 3 + m = + = E el caso particular e que = m se tiee la siguiete cota superior para los úmeros de Ramsey R, ), llamados diagoales ) ) ) R, ) = 4 Para obteer ua buea cota iferior de los úmeros de Ramsey diagoales recurriremos a u método probabilístico. La idea es ver a las coloracioes rojo-verde como evetos e u espacio de probabilidades y demostrar que ua coloració que o cotiee u subgrafo completo moocromático de u determiado tamaño ocurre co probabilidad mayor que cero. Teorema: método probabilístico) Si r ) < ) etoces R, ) > r. Demostració: Supogamos que coloreamos al azar las ramas de K r de rojo o verde para cada rama lazamos ua moeda, si sale cara pitamos la rama de rojo y si sale ceca de verde). Para cada subgrafo completo J de vértices sea A J el eveto J es moocromático. Etoces P A J ) = P J es verde) + P J es rojo) = pues J tiee ) ramas. Luego, ) P A J J J ) ) + P A J ) = ) r. ) ) = ) ) ) = ) 0

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