Geometría del espacio

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1 Áreas y volumenes de cuerpos geométricos Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los elementos de un poliedro son: Caras del poliedro: son los polígonos que lo limitan. Aristas: son los lados de las caras. Vértices: son los vértices de las caras. Caras vértices aristas Los poliedros se pueden clasificar en: Poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice. Se clasifican en prismas y pirámides. Poliedros irregulares: son aquellos cuyas caras son polígonos diferentes. Se clasifican en prismas y pirámides. Además los poliedros se clasifican en: a) Rectos y oblicuos. Un poliedro es recto cuando las caras laterales son polígonos perpendiculares a las bases, en caso contrario se dice que el poliedro es oblicuo. b) Regulares e irregulares. Un poliedro es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, en caso contrario se dice que el poliedro es irregular. c) Por el número de lados de sus bases: Triangulares (si sus bases son triángulos), cuadrangulares (si sus bases son cuadriláteros), pentagonales, etc. Ana Isabel Hernández González 1

2 Prismas Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus otras caras laterales son paralelogramos. Tendrá tantas caras laterales como lados tenga la base. Nota 1 : no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por tanto no es necesario decirlo. Nota : La mejor forma de nombrarlos es : prisma recto de base pentagonal irregular, prisma oblicuo de base cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base rectangular. Una diagonal une dos vértices no consecutivos del poliedro. Para calcular las diagonales de la cara de un ortoedro y un cubo, así como las diagonales de dichos primas se utiliza el teorema de Pitágoras. Las fórmulas para cualquier prisma son: =Perímetro altura=nº lados debase lado base altura + Volumen= altura prisma Existe el caso especial del ortoedro: = perímetro base altura= (a+b) c =base altura=a b + = (a+b) c+ a b Volumen= altura prisma =a b c En elortoedro se puede calcular la diagonal del prisma y para ello seaplica el teorema de Pitágorasdos veces: D= a +b +c Ejercicio nº 1: Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal sabiendo que su altura mide 9 cm.; el lado de la base son cm y la apotema de la base 1,5 cm. =Perímetro altura=nº lados debase lado base altura=5 9=90cm nº lados base lado apotema = = 5 1,5 =7,5 cm + =90+ 7,5=90+15=105cm Volumen= altura prisma =7,5 9=67,5cm Ana Isabel Hernández González

3 Pirámides Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. Las fórmulas para cualquier prisma son: = Perímetro apotema cara + Volumen= altura pirámide = nº lados debase lado base apotema cara Para calcular las apotemas de la cara de una pirámide y las apotemas de la pirámide se utiliza el teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que dentro de la figura se forman varios triángulos rectángulos. Ejercicio nº : Calcular el área lateral, total y volumen de una pirámide pentagonal sabiendo que cada lado del pentágono mide 6 cm, que la altura es 10 cm y la apotema de la base mide 5 cm. Volumen= altura prisma Para calcular el área lateral, tenemos que calcular el área de un triángulo y multiplicarlo por cinco. Desconocemos el valor de a, que es la apotema en los triángulos. Lo podemos calcular, pues a es la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 10 cm respectivamente. a =b +c a =10 +5 a =100+5 a =15 a= 15 a=11,18cm = Perímetro apotema cara nº lados debase lado base apotema cara ,18 =5,4 cm nº lados base lado apotema = = =75cm + =5,4+75=410,4 cm = =50 cm Ana Isabel Hernández González

4 Cuerpos redondos o de revolución Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa. Cilindro El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. = perímetro base generatriz= π r g =π r + = π r g+ π r Volumen= generatriz=π r g Ejercicio nº : Calcula el área lateral, área total y volumen de un cilindro de,5 cm de radio y 9,6 cm de altura. = perímetro base generatriz= π r g = π,5 9,6=11,1cm =π r =π,5 =8,465cm + = π r g+ π r =11,1+8,465=88,08 cm Volumen= generatriz=π r g =π,5 9,6=69,45 cm Cono El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. = perímetro base generatriz π r g =π r g =π r + =π r g+π r Volumen= altura π r h = Para calcular la generatriz del cono se dibuja el triángulo rectángulo, en el cual se utiliza el teorema de Pitágoras. Ana Isabel Hernández González 4

5 Ejercicio nº 4: Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono de 8 dm. de radio de la base y de 10 dm de altura. Necesitamos conocer el valor de la generatriz g, para su cálculo hacemos uso del teorema de Pitágoras: g =r +h g =8 +10 g = g =164 g= 164 g=1,81dm = perímetro base generatriz = π r g =π r g=π 8 1,81=1,79dm =π r =π 8 =00,96 dm + =π r g+π r =1,79+00,96=5,75dm Área Volumen= base altura π r h = = π 8 10 =669,87dm ESFERA La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. La esfera es un cuerpo redondo que no tiene caras, ya que está formado por una única superficie curva. Tampoco tiene desarrollo como el cilindro y el cono. =4 π r Volumen= 4 π r Ejercicio nº 5: volumen. Sabiendo que la superficie de una esfera es de 600 cm, calcula su radio y su =4 π r 600=4 π r r= π r=16,9cm Volumen= 4 π r = 4 π r = 4 π 16,9 =016,05 cm NOTA: Si la figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo válidas siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales. Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más importantes, para poder calcular la base de la figura geométrica. Ana Isabel Hernández González 5

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