Matemática 3 Colegio N 11 B. Juárez

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1 Unidad 4: RAZONES Y PROPORCIONES Definición de RAZÓN: Se denomina razón entre dos números racionales a y b, al cociente (división) entre ambos, siendo b distinto de 0. a se denomina antecedente Ejemplo a b = a = r r se denomina razón b b se denomina consecuente 5 2 = 5 = 2,5 2 Definición de PROPORCIÓN: Cuatro números racionales a, b, c, y d, (con b y d distinto de cero) forman una proporción si la razón entre loa dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos a = c = r b d Ejemplo 5 = 10 2,5 2 4 Teorema de THALES Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segementos determinados en cada una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados en la otra. ab = bc = cd ef fg gh E F e A//B//C//D a A f E y F transversales b B g C c h D d Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 1 de 10

2 Corolario del teorema de Thales b R // ac Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte R m n ab = bc a los otros dos lados o sus prolongaciones, determina bm bn sobre éstos, segmentos proporcionales. a c Teoría: RESOLUCIÓN DE TRÍAGULOS RECTANGULOS Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de sus lados y el valor de los dos ángulos agudos. Para ello utilizamos el Teorema de Pitágoras, las propiedades de los ángulos agudos y las razones trigonométricas. a hipotenusa Propiedades de los ángulos agudos: a +c = 90 b c 90 Teorema de Pitágoras; lado ac = hipotenusa lados ab y bc catetos que pueden ser opuesto o adyacente. ac² = ab² + bc Razones Trigonométricas: seno a = cateto opuesto = bc seno c = cateto opuesto = ab hipotenusa ac hipotenusa ac coseno a = cateto adyacente = ab coseno c = cateto adyacente = bc hipotenusa ac hipotenusa ac tangente a = cateto opuesto = bc tangente c =cateto opuesto = ab cateto adyacente ab cateto adyacente bc Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 2 de 10

3 PRACTICO N Calcule la medida del segmento ab E c A B b C a f e F d DATOS: A//B//C E y F tranversales segmento cb = 15 cm. segmento de = 30 cm. segmento ef = 8 cm. 2 - Calcule la medida del segmento np A E G F a b d E//G//F A y B tranversales B m segmento ab = 12 cm. n p a segmento bc = 16 cm. segmento mn = 3 cm. 3 - Hallar el valor del segmento ab y bc en cada una de la siguiente figura: M N A//B//C d a M y N tranversales A e b segmento ab = 4X 1 cm B f C c segmento bc = 6X + 1 cm. segmento de = 2 cm. segmento ef = 4 cm. 4 - Hallar los segmentos desconocidos en cada una de la siguiente figura: n R u v m o R // mo segmento nu = X segmento um = X + 4 cm. segmento no =32 cm. segmento nv =15 cm. Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 3 de 10

4 Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 4 de 10

5 Un pino tiene una altura de 12 m. A qué distancia de la base del pino se encuentra una vaca que lo observa con un ángulo de elevación de m 38 Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 5 de 10

6 SISTEMAS DE ECUACIONES PROBLEMAS 1) El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 9. Cuáles son estos números? 2) Halla dos números cuya suma es 1 y su diferencia es 6. 3) He comprado 5 latas de refresco y 4 botellas de agua por 6 psos. Posteriormente, con los mismos precios he comprado 4 latas de refresco y 6 botellas de agua y me han costado 6,20 psos. Halla los precios de ambas cosas. 4) Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo: Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú. El otro le respondió: Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú. Cuántos peces tenía cada uno? 5) Un jurado está compuesto por hombres y mujeres. El número de mujeres es igual al doble de hombres menos 4. Con dos mujeres menos el jurado tendría el mismo número de hombres que de mujeres. Cuántos hombres y mujeres habría en el jurado?. 6) La edad de una persona es el doble de la de la otra. Hace 7 años la suma de las edades era igual a la edad actual de la primera. Halla las edades de las personas. 7) Halla 2 números cuya suma es 14, y la de sus cuadrados, ) Hace 5 años la edad de una persona era el triple de la de otra, y dentro de 5 años será el doble. Halla las edades de cada una de las personas. 9) En una fiesta juvenil hay chicas y chicos. Quince chicas abandonan la fiesta, quedando dos chicos por cada chica. Entonces 45 chicos se van y quedan 5 chicas por cada chico. Cuántas chicas había inicialmente en el grupo? Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 6 de 10

7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método mas conveniente. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 7 de 10

8 Volumen Completar los cuadros Cilindro Radio Altura Área lateral Área total Volumen 2 cm 10 cm 5 cm 6 cm 3 cm 4 cm 5 cm 20 cm 4 cm 6 cm 8 cm 7 cm 8 cm 15 cm Cono Radio Generatriz Altura Área lateral Área total Volumen 2 cm 10 cm 5 cm 5 cm 6 cm 4 cm 3 cm 4 cm 1 cm 5 cm 20 cm 2 cm 4 cm 6 cm 2 cm 8 cm 7 cm 3 cm 8 cm 15 cm 10 cm Cilindro Radio Altura Área Lateral Área Total Volumen 8 cm cm 100,53 6 cm cm 263,89 5 cm cm 345,58 3 cm cm 28,27 cm 2 cm 12,57 cm 3 cm 150,80 cm 5 cm 392,70 Cono Radio Generatriz Altura Área Lateral Área Total Volumen cm 3 cm 9 cm 37,70 cm 6 cm 1 cm 113,10 cm 4 cm 3 cm 62,83 8 cm cm 7 cm 25,13 4 cm cm cm 62,83 100,53 Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 8 de 10

9 3 cm 6 cm cm 37,70 1 cm cm cm 15,71 2,09 Ejercicios 1) Calcula el volumen de un cono cuya base tiene un perímetro de 80cm y la altura de 2dm. 2) Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada siendo el perímetro de este 20cm y la altura del prisma 2dm. 3) Calcula el volumen de un cilindro cuya base tiene por diámetro 20cm y la altura 150mm. 4) Calcular el volumen de una pirámide, la base es un triangulo rectángulo de catetos 5cm y 7cm respectivamente y la altura de la pirámide 2dm. 5) El volumen de un prisma triangular es de 1440, la base es un triangulo rectángulo de catetos 12cm y 10cm. Halla la altura del prisma. 6) El volumen de un cilindro es de 3815,1. Halla el radio de la base si el cilindro tiene 15mts de altura. 7) Una pirámide triangular tiene 180 de volumen y 12 cm de altura. Encuentra la longitud de un lado de la base triangular si la altura del triangulo que corresponde a ese lado es de 6cm. 8) Una esfera y un cono tienen 8cm de diámetro, la altura del cono es de 12cm. Cuál tiene mayor volumen? 9) Una esfera tiene 972 π de volumen. Cuál es el radio? 10) Una pirámide de 3456 de volumen tiene por base un trapecio. La altura de la pirámide es de 36cm y las longitudes de las bases del trapecio son 18cm y 30cm. Cuál es la altura de la base de la pirámide? 11) El volumen de un cilindro es de 760 y la altura es de 8cm. Encuentra el radio de la base. 12) En un cono el diámetro de base es de 15cm y la generatriz es de 20cm. Cuanto mide la altura de ese cono? Cual es el volumen? 13) En una pirámide cuadrangular el lado de la base es de 15cm y la arista de los triángulos es de 20cm. Calcula la superficie de la pirámide y la altura de la misma. Cuál es el volumen? Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 9 de 10

10 14) Un disco compacto de 12cm de diámetro tiene en su centro un agujero circular de 47,1mm de perímetro. Calcular la superficie de una cara del disco. 15) Calcular el área total y volumen del cono, sabiendo que el perímetro de la base es de 25,12cm y la altura del cono es de 0,06mts. 16) Calcular la distancia recorrida por un automóvil cuya rueda delantera tiene 0,50mts de radio y ha dado 200 vueltas. Prof. 3ro 2 Matematicas TP Trim 2.docx2 10 de 10

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