np {N q = n N q > 0} = (1 ρ) n=1 = (1 ρ) nρ n 1 = 1 (3.34) P {T q t T q > 0} = P {T q t T q > 0} P {T q

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1 52 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ESPERA Luego: P {N q = n N q > 0} = P n+1 2 = (1 ) n 1, n = 1, 2, (3.33) Nótesequelaprobabilidadqueexistan N probabilidadgeométricaconparámetro n 1,locualesigualaladistribuciónprobabilidad q entidasenespera,sigueunadistribución N,eliminandolaentidadqueestásiendoatendida.Enefecto: P {N q = n N q > 0}=P n 1, n = 1, 2,. El valor esperado entidas en espera es igual a: E {N q N q > 0} = np {N q = n N q > 0} = (1 ) n n 1 = (1 ) n n 1 = 1 (3.34) 1 n=0 cola, Se dado requiere que terminar la entidad està la distribuciòn efectivamente en la cola. Esto l tiempo se nomina permanencia distribuciòn en la probabilidad l tiempo espera y se termina usando el Teorema Bayes: P {T q t T q > 0} = P {T q t T q > 0} P {T q (3.35) > 0} Como P {T q > 0} =, ver 3.188, y: P {T q t T q > 0} = P {0 < T q t} = P {T q t} P {T q 0} (3.36) Luego, usando la ecuación 3.26: 1 exp ( [µ λ] t) (1 ) P {T q t T q > 0} = = 1 exp ( [µ λ] t) (3.37) Lo que signica que el tiempo espera sigue una distribución exponencial parámetro w = µ λ,don w El valor esperado l senominalatasaespera(tambiénelpermanencia)enelsistema. tiempo espera es: E {T q T q > 0} = 1 µ λ = 1 w Nótese que el valor esperado l tiempo permanencia (3.38), µ > en λ 3.29 es: la cola, ya mostrado en E {T q } = E {T q T q = 0} P {T q = 0} + E {T q T q > 0} P {T q > 0} = 0 P {T q = 0} + E {T q T q > 0} P {T q > 0} = µ λ (3.39) Ejemplo 3.1 Un sistema cómputo procesa trabajos en serie. El tiempo proceso (spacho) cada trabajo está distribuído exponencialmente con un valor esperado 3 minutos. Los trabajos llegan a una tasa 1 trabajo cada 4 minutos. Halle los siguientes parámetros:

2 3.2. EL SISTEMA M/M/1 53 La probabilidad que un trabajo que llegue requiera más 15 minutos para ser procesado. La longitud promedio la cola para los trabajos que ben esperar, es cir, el valor esperado los trabajos que ben esperar en la cola. Se tiene: λ = 1/4 = 0.25 trabajos/minuto. µ = 1/3 = trabajos/minuto. = λ/µ = 0.75 Erlang. La probabilidad que un trabajo que llegue requiera más 15 minutos para ser procesado se calcula con 3.18 P {T > 15} = 1 P {T 15} = exp ( [µ λ] 15) = exp ( 0, ) = 0,287 El valor esperado los trabajos que ben esperar en la cola se calcula con 3.34 E {N q N q > 0} = 1 1 = 4trabajos. Ejemplo 3.2 Un sistema cmputo procesa trabajos en serie. El tiempo proceso (spacho) cada trabajo está distribuído exponencialmente con un valor esperado 3 minutos. El valor esperado l tiempo en que los trabajos permanecen en el sistema es 30 minutos. Halle los siguientes parámetros: La probabilidad que un trabajo que llegue requiera más 15 minutos para ser procesado. La longitud promedio la cola para los trabajos que ben esperar, es cir, el valor esperado los trabajos que ben esperar en la cola. Se tiene: w = µ λ = 1/30 = trabajos/minuto. µ = 1/3 = trabajos/minuto. λ = µ w = 0.3 trabajos/minuto = λ/µ = 0.9 Erlang. La probabilidad que un trabajo que llegue requiera más 15 minutos para ser procesado se calcula con 3.18 P {T > 15} = 1 P {T 15} = exp ( [µ λ] 15) = exp ( 0, ) = 0,606 El valor esperado los trabajos que ben esperar en la cola se calcula con 3.34 E {N q N q > 0} = 1 1 = 10trabajos. Al comparar estos resultados con los l ejemplo anterior, se nota que al aumentar la tasa llegada trabajos λ 0.25 a 0.3 trabajos/minuto, el valor esperado permanencia los trabajos en el sistema 1/w aumenta 12 a 30 minutos.

3 54 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ESPERA Ejemplo 3.3 El cajero atención un banco atien, en horas ocina (8 horas diarias), 8 usuarios por hora en promedio, y llegan en promedio 56 usuarios por día. Halle los siguientes parámetros: La probabilidad que el cajero esté socupado. La probabilidad que en el banco exista un máximo K usuarios, entre los que hacen la y los que son atendidos La probabilidad que NO existan más dos usuarios en el banco La probabilidad que no exista cola cuando un usuario llegue La probabilidad que en el banco existan más K usuarios, entre los que hacen la y los que son atendidos La probabilidad que existan más dos usuarios en el banco El valor esperado l número usuarios en el banco El valor esperado l número usuarios en la cola El valor esperado l tiempo permanencia un usuario en el banco El valor esperado l tiempo permanencia en la cola (espera). Se tiene: µ = 8 usuarios / hora. λ = 56 usuarios / 8 horas = 7 usuarios / hora. = λ/µ = Erlang. La probabilidad que el cajero esté socupado se calcula con 3.5: p(0) = 0 (1 ) = 0,125 La probabilidad que en el banco exista un máximo K usuarios, entre los que hacen la y los que son atendidos, se calcula con 3.5: P {N K} = p(0) + P P K = (1 ) K n = 1 K+1 La probabilidad que NO existan más K = 2 usuarios en el banco, se calcula con: P {N 2} = 1 3 = 0,33 La probabilidad que no exista cola cuando un usuario llegue, se calcula con: P {N 1} = 1 2 = 0,23 La probabilidad que en el banco existan más K usuarios, entre los que hacen la y los que son atendidos, se calcula con 3.184:

4 3.2. EL SISTEMA M/M/1 55 P {N > K} = P {N K + 1} = K+1 La probabilidad que existan más dos usuarios en el banco, se calcula con: P {N > 2} = 3 = 0,67 El valor esperado l número usuarios en el banco, se calcula con 3.11: E {N} = 1 = 7usuarios El valor esperado l número usuarios en la cola, se calcula con 3.12: E {N q } = 2 1 = 6,125usuarios El valor esperado l tiempo permanencia un usuario en el banco, se calcula con 3.21: E {T } = λ (1 ) = 1hora. El valor esperado l tiempo permanencia en la cola (espera), se calcula con 3.29: E {T q } = = 0,875horas = 52,5minutos (µ λ) Ejemplo 3.4 El cajero atención un banco atien, en horas ocina (8 horas diarias), 8 usuarios por hora en promedio, y llegan en promedio 56 usuarios por día. Al haber realizado una medición la actividad permanencia usuarios en el banco, se terminó que el usuario que espera más media hora se impacienta y siste efectuar sus operaciones en el banco. Halle la probabilidad que el usuario se impaciente, y calcule la tasa spacho, tal que se quiera impacientar hasta el 10 por ciento los usuarios. Se tiene: µ = 8 usuarios / hora. λ = 56 usuarios / 8 horas = 7 usuarios / hora. = λ/µ = Erlang. La probabilidad que el usuario se impaciente, es la probabilidad que el usuario espere más media hora, lo cual se calcula con 3.26: P {T q > 0,5} = 1 P {T q 0,5} = exp ( [µ λ] 0,5) = 0,53 Si se quiere impacientar hasta el 10 por ciento los usuarios: P {T q > 0,5} = exp ( [µ λ] 0,5) 0,1 Luego, con λ = 7 usuarios / hora. 7 exp ( [µ 7] 0,5) 0,1 µ

5 56 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ESPERA Resolviendo con métodos numéricos, como se ve en la Figura 3.4, la tasa spacho requerida es µ usuarios / hora. Al comparar estos resultados, se nota que al aumentar la tasa spacho µ 8 a trabajos/hora, la probabilidad impaciencia los usuarios P {T q > 0,5} disminuye l 53 al 10 por ciento. Figura 3.4: Probabilidad impaciencia vs tasa spacho en el sistema M/M/1 l ejemplo 3.3. El sistema M/M/c Descripción scrito Se scribe por el proceso a continuación nacimiento la aplicación y muerte la ecuación la gura, 2.38 don y el tiempo Se tiene entre el llegadas sistema sigue una distribución una distribución exponencial, exponencial, el sistema el tiempo tiene spacho también sigue c atención es FCFS (Primero en llegar, primero en ser atendido). servidores, Por lo tanto, y la la disciplina notacin Kendalles al sistema, M M c.deacuerdoconlagura, y λeslatasapromediollegadaentidas µ Como cada entidad es la llega tasa alsistema promedio conla spacho mismatasa cada llegada,las uno los servidores tasas transición l sistema. unestadoalotrosescriben,tomandolagura2.7. λ 1 = λ 2 = λ 3 =... = λ n = tasa spacho pen l estado l sistema, a medida que llegan entidas λ.comola al sistema,

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