; f(x) = 3 x 5 2) Halla los límites laterales de las siguientes funciones en los valores de x que se indican: -5x + 4); f(x) = 2 ; f(x) =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "; f(x) = 3 x 5 2) Halla los límites laterales de las siguientes funciones en los valores de x que se indican: -5x + 4); f(x) = 2 ; f(x) ="

Transcripción

1 º BT Mat II CNS PROBLEMAS ANALISIS 1) Halla los dominios de las siguientes funciones: f() = 9 ; f () = Ln ( -5 + ); f() = ; f() = Problemas Análisis Pág ; f() = 5 ) Halla los límites laterales de las siguientes funciones en los valores de que se indican: + si 0 1 f() = en = 0, 1, g()= en = -1,0, si > ) Halla y clasifica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: + > 1 si 1 f() = + g()= = 5 si = 1 < ) Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas R a. e si < 0. e si < 0 f()= be si 0 1 g()= + a + b si 0 < si > 1 / si 5) Halla, caso de que eistan, los siguientes límites: a) lim d) lim g) lim j) lim b) + 5 lim + e) lim 9 h) lim ( + ) k) lim ( + 1) 6) Halla las funciones derivadas de las siguientes funciones: 8 c) + 1 lim + 5 f) lim i) lim l) lim + 5 a)f()=ln + 1 b) f()= (sen( 1 1+ cos )) c)f()= ln 1 cos e)f()=arc sen (cos( +1) f)f()=5 arctg 1 g) f()= 5 cos( 1). Ln( ) 7) Representa gráficamente las siguientes funciones: d)f()=e sen(-) a) f()= - b)f()=ln( -+) c) f()= 9 d) f()= +/ e) f()=(+ )/ f)f()= + 1 g)f()= h) f()= ln i)f()= 8) Halla los puntos en los que las tangentes a la curva f()= son paralelas al eje OX 9) Halla la parábola f()= +b+c que es tangente a la recta y = en el punto (1,1). 10) Estudia si eiste algún punto de la curva f()= en el que la correspondiente tangente forma con el eje OX un ángulo de 5. 11) Halla las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva f()= 1 en el punto de abscisa =0. 1) Demuestra que cualquiera que sea el valor de m la ecuación 5 ++m=0 no puede tener más de una raíz real. 1) Halla el punto de la curva f()= más próimo al punto (,0). 1) Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 8 euros/m y la de los otros a 6 euros/m. Halla las dimensiones del campo de mayor superficie que puede vallarse con 1688 euros.

2 º BT Mat II CNS 15) De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de 1 m de radio, halla las dimensiones del que tiene área máima. 16) La suma de todas las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 8 cm. Halla las dimensiones que deber tener ese prisma para que su volumen sea máimo. 17) Un triángulo isósceles ABC (b = c) de perímetro 0 cm. gira alrededor de la altura correspondiente al lado a, engendrando un cono. Halla a para que el volumen de dicho cono sea máimo. 18) A un espejo rectangular de 15 dm. de largo y 10 dm. de ancho se le ha roto en una esquina un pedazo de forma triangular del modo indicado en la figura adjunta (corte horizontal 5 y vertical ). Halla las dimensiones del mayor espejo rectangular que puede construirse con la parte que ha quedado. 19) Halla el punto del eje OX tal que la suma de sus distancias a los puntos (,) y (6,8) sea mínima. 0) Demuestra que la función f() = e posee mínimo absoluto para = 0. Eiste máimo absoluto? 1) a) Halla el dominio de la función f() = + +.b) Es continua la función f? c) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los etremos relativos de f. ) Dada la función f()=, determina: a)asíntotas. b)crecimiento y decrecimiento. Máimos 1+ y mínimos relativos. c) Concavidad, conveidad y puntos de infleión. d) Gráfica de f. ) Dada la función f()= arc tg + arc tg (1/), comprueba que para todo 0 se verifica que f '()=0. Calcula f(1) y f(-1) y dibuja la gráfica de f. ) Es creciente la función f()=/(1+ ) en = 0? y la función g() = 5 en = 0? Justifica las respuestas. 5) Halla los puntos de la curva y = cuya distancia al punto (,0) es mínima. 6) Sea la función 1 si < f()= Halla a y b para que f sea derivable en todo R. Representa la + a + b si gráfica de la función que obtengas. 1 cos 7) Consideramos la función: f() = Ln a) Halla su dominio. b) Halla sus puntos de corte 1 + cos con los ejes. c) Demuestra que es una función periódica. d) Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa =π/. 8) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente 1 si < 0 f()= Realiza la gráfica de la función. + 1 si 0 9) Sea la curva f()= /(+1). Determina los puntos de dicha curva en los que la tangente sea paralela a alguna de las bisectrices de los cuadrantes. 0) Halla a para que el determinante siguiente a ) Sea la función f() = Ln(1 + sen ). Se pide: i) Hallar el dominio de definición. ii) Ecuación de la recta tangente en el origen. iii) Probar que f tiene periodo π. iv) Localizar en el intervalo [0,π] las abscisas de los etremos e infleiones. ) Se quiere construir un canal en forma de trapecio. La base y los lados del canal deben ser de metros de anchura y los lados deben estar igualmente inclinados respecto a la base. Demostrar que la capacidad máima se obtiene cuando hay cuatro metros de abertura superior. a tome el máimo valor posible. Problemas Análisis Pág

3 º BT Mat II CNS ) Sea la función f()= + 1. Demuestra que f tiene un único cero en (-,0). ) Demuestra que f()= + 1 tiene una única raiz entre 0 y 1. 5) Sea la función f() = 1+.Estudiar su continuidad y derivabilidad. Halla los etremos de la función. Halla las asíntotas. Prueba que f es impar (f( -)=-f()). 6) Poner un ejemplo para mostrar que f ' (a)=0 no es condición suficiente para que f tenga un etremo relativo en a. Poner un ejemplo de función no derivable en un punto a y que tiene un máimo relativo en ese punto. Razona las respuestas. 7) Sea la función f()= e ( + 7-6). i) Calcula lim f ( ) y halla las asíntotas de la función. ii) Estudia el crecimiento y donde se localizan los etremos de f. 8) Probar que la función: [ 0, 1) f()= es derivable en = 1. Probar que la derivada lateral derecha en =0 es ( 1 + ) / [ 1, ] infinito. Representar la función f(). 9) Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, con forma de prisma recto de base cuadrada de 500 metros cúbicos de capacidad, que tenga un revestimiento de coste mínimo (área mínima). 0) Determina los puntos en los que la función f()=sen ( -1) con [ -,] tiene nula su derivada. Demuestra que f es una función par. 1) Representar la función f()= -.Hallar las derivadas laterales de la función f en =. Es esta función derivable en este punto? ) Sea f la función definida del modo siguiente: f()= Halla los valores de a y b para que la función f sea derivable en R. Con los + a + b > 0 valores obtenidos, halla los puntos de la curva y = f() en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A(-,f(-)) y B(,f()). ) Un ciclista está situado en el campo, en el punto A, a 5 km. de B y a Km. de la carretera que va hacia B (ver figura). El ciclista va a 10 Km/h campo a través y a 0 Km/h en carretera. A qué punto P de la carretera debe dirigirse para tardar el menor tiempo posible en llegar hasta B? ) Sea la función f()= +. a a) Calcular a para que f ' () = 0.b) Para el valor calculado de a: i) Obtener lim f ( ) y Problemas Análisis Pág 0 + lim f ( ) ii) Con el cálculo de las asíntotas y del valor f(0), dibujar la gráfica de la curva ) Halla el área del triángulo formado por el eje OX y por las rectas tangente y normal a la curva y=9- en el punto de abscisa =. 6) Determinar los coeficientes a y b de modo que la curva y=a +b +a+b sea tangente a la recta +y=8 en el punto de ordenada y=0 7) Hallar a y b para que la derivada de la función f()= a + b < 1 sea continua para todo R 5 b + a + 1 8) Bosqueja la gráfica de la función f()= -1 - y calcula su derivada. 9) Dibuja la gráfica de las funciones f()=.ln, f()=/ln, determinando dominio o campo de eistencia, cortes con los ejes, máimos y mínimos, asíntotas y puntos de infleión. 50) La distancia de un punto P a una recta r es la mínima distancia entre P y los puntos de r. Obtén, como un problema de máimos y mínimos, la distancia entre P(1,-1,0) y la recta r que pasa por el punto A(l,-1,) y tiene vector direccional v (1,0,-). (Halla el mínimo de d =dist (P,X), X r)

4 º BT Mat II CNS 51) Estudia si la función f() = posee alguna discontinuidad evitable. + < 1 5) Sea la función: f()= + [ 1, 1) + 1 a) Halla f ' ().b) Eisten f ' (-1) y f ' (1)? Eisten lim f ( ) y lim f ( )? 1 1 c) Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). Tiene f() algún etremo relativo? Justifica las respuestas. 5) Se desea construir una caja rectangular cerrada, con base cuadrada, de modo que el volumen sea 7 dm y su altura no supere los dm. Obtener las dimensiones para que la superficie de la caja sea mínima. 5) Determinar el polinomio p(), de grado menor o igual que, tal que la curva y=p() sea tangente a las rectas y=-, +y=0 en los puntos de abscisas = 0 y = 1, respectivamente. 55) Hallar los valores de p y q para que la función f() = +p + q tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) en el punto (-,0). Averigua, a continuación, si tiene algún otro máimo o mínimo. 56) De la función f() = a + b sabemos que tiene una gráfica que pasa por (1,1) y que en ese punto tiene tangente paralela a +y = 0. a) Hallar a y b. b) Hallar sus etremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Problemas Análisis Pág

5 º BT Mat II CNS Todos los ejercicios enunciados a partir de ahora han sido propuestos en eámenes de Selectividad L.O.G.S.E. desde el curso 9/95 57) La suma de todas las aristas (incluidas las de la tapa) de una pirámide recta con base cuadrada es 1 m. Calcula sus dimensiones para que el área lateral sea máima. 58) Halla dos números naturales que sumen 1 y tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. 59) Halla los máimos y mínimos de la función f() = Cómo se eplica que el mínimo sea 8 mayor que el máimo? 60) La función f() = + p - q tiene un valor mínimo relativo para =1. Halla p y q. 61) La suma de todas las aristas (incluídas las de la tapa y base) de un prisma recto, con base un triángulo equilátero, es 16 m. Calcular sus dimensiones para que el área lateral sea máima. 6) Hallar el dominio de definición, máimos y mínimos e intervalos de crecimiento y 1 decrecimiento de la función f() =. Encontrar las asíntotas y posibles simetrías de la curva que la representa. 6) Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material pero para la base debemos emplear otro material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. 6) Dada la función f() = +a + 5, halla el valor de a para que tenga un etremo relativo cuando =. Encuentra, en este caso, todos los etremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de infleión. 65) Halla el punto P de la curva c de ecuación y = / más próimo al punto Q(1,). Qué ángulo forma la recta PQ con la tangente a c en P? 1 66) Halla a para que la función f definida por f() = a sea continua para todo valor de > Una vez hallado este valor de a, halla la ecuación de la tangente a la curva que la representa en el punto de abscisa. Eiste derivada de esta función cuando vale 1? Razona la respuesta. 67) Disponemos de m. de material para hacer una valla con la que queremos delimitar un jardín de forma rectangular y con la mayor superficie posible. En uno de los lados del rectángulo tenemos que poner doble vallado. Halla las dimensiones de este jardín, indicando la del lado doblemente vallado. 68) Dada la función f() = - -1/ se pide: a) Asíntotas y simetrías de la curva y=f(). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 69) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por: + + < 1 f()= 1 1 < 1 Razona las respuestas. > 1 70) Halla las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 6 cm. y la altura correspondiente mide 1 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo. 71) Dada la función f() = - + /, se pide: a) Asíntotas de la curva y=f(). b) Etremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 7) La derivada segunda de una función f es f () = 6(-1). Halla la función si su gráfica pasa por el punto (,1) y en ese punto es tangente a la recta -y-5=0. Problemas Análisis Pág 5

6 º BT Mat II CNS 1 7) Halla a y b para que la función f dada por f()= sea continua y derivable + a + b > 1 para todo real. Halla los puntos en los que la recta tangente a y = f() es paralela al eje OX 7) Un cono circular recto tiene una altura de 1 cm. y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Halla las dimensiones del cono de volumen máimo que puede inscribirse así ) Dada la función f definida por: f()= a + b 1 < < Se pide: a) Hallar a y b para que la función sea continua en todo real. b) Analizar su derivabilidad. c) Representación gráfica. 76) Un campo de atletismo de 00 m. de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Halla las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. 77) Un jardinero dispone de 10 m. de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener el terreno para que su área sea la mayor posible? 78) Comprueba que todas las funciones f() = a + b tienen un único punto de infleión. Halla a y b para que la tangente a la gráfica de dicha función en el punto de infleión sea la recta y = +. 79) Dada la función f() =, se pide: a) Asíntotas de la curva y = f(). b) Etremos relativos e ( 1) intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Dibujar la gráfica. 80) Halla los puntos de la curva y = 1 más próimos al punto (,0). Cómo se llama dicha curva? ln 1 > 1 81) Se define la función f del modo siguiente: f() = + a + b 1 Encontrar los valores de a y de b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. Estudiar su derivabilidad y hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje OX. (Zarag. Jun 99) e 8) Dada la función f() =, se pide: a)hallar su dominio de definición. b)hallar el punto o puntos en los que la gráfica de la curva y =f() tiene tangente horizontal. c)dibujar esta curva en un pequeño entorno de cada uno de estos puntos. (Zarag. Sept. 99) 8) Dada la función f() =, se pide: i) Hallar su dominio de definición. ii) Hallar, si los tiene, sus etremos relativos. iii) Hallar, si las tiene, las asíntotas horizontales de la curva y = f(). (Zarag. Sept. 99) 8) Hallar el punto P de la curva y = más próimo al punto Q = (19/, 0). Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente a la curva en el punto P? (Zarag. Sept. 99) 85) De la función y = + nos piden: i) Dominio de definición y asíntotas. ii) ( 1) Máimos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. iii) Representación gráfica. (Zarag. Jun 99) 86) El barco A abandona un puerto a las 0 horas y navega directamente hacia el norte a la velocidad constante de seis nudos. El barco B se encuentra a las 0 horas a 0 millas marinas al este del puerto y navega en dirección a dicho puerto a la velocidad constante de 8 nudos. Cuándo se hallarán estos barcos lo más próimos el uno del otro? (Dar el resultado en horas y minutos). NOTA: nudo = milla marina por hora. (Zarag. Jun 99). Problemas Análisis Pág 6

7 º BT Mat II CNS 87) Halla los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones f() = + a + b y g() = + c pasen por el punto (1, ) y en este punto tengan la misma tangente. (Zarag. Jun 00). 88) Un triángulo isósceles mide 10 cm de base (que es el lado desigual) y 0 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo, uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible.(zarag. Jun 00) 89) Se considera la función: f() = 1 a)estudiar su continuidad y derivabilidad cuando = 1. b ) Alcanza para dicho valor de un máimo o mínimo relativo? Razonar la respuesta. c)si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, se pregunta si el etremo en cuestión es absoluto.(zarag. Jun 00) 90)De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 0 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen máimo. (Zarag. Sept 00) 91)Hallar a, b y c para que la función f definida en todo número real y dada por 1 si < f() = a + b + c si sea continua y derivable en todo real y además alcance un etremo relativo para =. Representar gráficamente la función f ', analizando su continuidad y derivabilidad. (Zarag Sept 00) 9)Hallar los valores de los coeficientes b,c y d para que la gráfica de la función y = +b + c + d corte al eje OY en el punto (0,-1), pase por el punto (,) y en este punto tenga tangente paralela al eje OX. Una vez hallados esos valores hallar los máimos y mínimos relativos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la citada función. (Zarag Jun 01) 9)Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0,0), (a,0), (0,b) y (a,b) de modo que el punto (a,b) tiene coordenadas positivas y esta situado en la curva de ecuación y = 1 +.De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. (Zarag Jun 01) 9)Hallar el punto de la curva de ecuación y = en el que la tangente a la misma tiene pendiente mínima. Escribir la ecuación de dicha tangente(zarag Jun 01) 95) Sea f la función definida para todo número real de modo que para los valores de pertenecientes al intervalo cerrado [-1,1] se tiene f() = (+1 )(-1) y para los valores de no pertenecientes a dicho intervalo se tiene f() = 0.Se pide: a)estudiar su continuidad y derivabilidad. b)hallar razonadamente su valor máimo, indicando el valor ó valores de en donde se alcanza. (Zarag Sept 01) 96) Un pequeño islote dista 1 Km de una costa rectilínea.queremos instalar en dicho islote una señal luminosa que se ha de alimentar con un tendido eléctrico La fuente de energía esta situada en la costa en un punto distante 1 Km. del punto de la costa más próimo al islote. El coste del tendido submarino por unidad de longitud es 5/ del tendido de tierra. A que distancia de la fuente de energía debe empezar el tendido submarino para conseguir un coste mínimo? (Zarag Sept 01) 97) Se sabe que la función f()= +a+b corta a la función derivada en =1 y que además en dicho punto f tiene un etremo. a)determina los valores de a y b. b)determina la naturaleza del etremo que f tiene en =1 c) Tiene f algún otro etremo? ( Zarag Jun 0) 98)Sean las funciones f ( ) = log b, g( ) = a + b (Nota : el logaritmo es neperiano) a)determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre sí al pasar por =1. b)determina en que puntos se anula cada una de estas funciones. c)determina cual es el dominio de la función producto h()=f().g(). (Zarag Jun 0) Problemas Análisis Pág 7

8 º BT Mat II CNS 99) Sea f()= -1. a)halla los etremos y puntos de infleión de la funcion f. b)calcula el límite de f en + y en -. ( Zarag Jun 0) 100) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se puede obtener en este concurso. ). (Zarag Sept 0) 101)Sea la función definida para todo número real en la forma si < 0 f()= senβ + cos β si 0 Se pide: a)determinar el valor de β para que f sea derivable en =0. b)calcular la integral de f sobre el intervalo (0,π/) Nota : Se entiende que la función f cuya integral se pide en la parte b) es la determinada previamente en la parte a) :No obstante, si alguien no ha sabido calcular el valor de β, debe integrar f dejando β como parámetro.) ( Zarag Sept 0) 1 10) Sea la función f()= a) Determinar su dominio, es decir el conjunto de puntos donde esta definida. b) Estudiar sus máimos y mínimos ( si los tiene) en el intervalo (-1,1), precisando si son absolutos o relativos respecto al intervalo indicado. ( Zarag ssept 0) 10)Sea la función f()= cos a)tiene límite en +?Justifica tu respuesta. b)calcula la integral de f entre = 0 y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: Llamados ceros de una función a aquellos puntos donde se anula. ( Zarag Sept 0) 10) Determinar el dominio, ceros y etremos de la función f ( ) =. Ln (Zarag, Sept 0) 105) Sea la parábola y = +. a)determinar los puntos de corte con los ejes b)calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de abscisas. c)calcular el área encerrada entre la parábola y el eje de ordenadas. (Zaragoza, Septiembre 0) 106) Sea f ( ) =. sen y sea T la recta tangente a su gráfica en =π. Determinar a)ecuación de T. b)el área encerrada entre T y los ejes coordenados. 107) Sea la función f ( ) = a)dominio b)su límite en el infinito c)etremos d)area + 1 encerrada por la gráfica de f() entre las abscisas =0 y =1. 108) Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de distintos materiales. Los dos materiales tienen precio respectivamente de y euros por cm. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total se mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de 1 metro? (Junio-0) 109) Sea f ( ) = e. sen.determinar a)el máimo de la función en el intervalo (0,π). b)ecuación de las tangentes a la gráfica en los etremos del intervalo anterior. (junio 0) 110) Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma (Sept-0) 111) Sea el polinomio p ( ) = + a + b + c a) Determinar los coeficientes a, b y c sabiendo que tiene etremos en =-1 y =1, y que pasa por el origen de coordenadas. b) Estudiar la naturaleza de ambos etremos. (Sept-0 Problemas Análisis Pág 8

9 º BT Mat II CNS 11) Sea la parábola f ( ) = a)probar que es tangente a uno de los ejes coordenados, indicando a cual. b)calcular el área encerrada entre la gráfica y los ejes coordenados. (Sept 0) + sen 11) Sea la función f()= sen Determinar el dominio de f, e indicar se f tiene límite finito en algún punto que no sea del dominio. (junio 05) 11) Calcular los etremos y puntos de infleión de la función f() = e.sen en el intervalo [0,π] ( junio 05) 115) Sea la función f() = e.sen.determinar sus etremos y sus puntos de infleión en el intervalo [-π, π] ( sep 05) ( n ) 116) Calcular razonadamente el limite de la sucesión: ( sep 05) ( n + 1) ( n 1) Problemas Análisis Pág 9

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.

tiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo. Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4

x 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4 CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas

MATEMÁTICAS 1º BAC Aplicaciones de las derivadas . Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen 56 litros. Halla las dimenones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo.. Entre todos los rectángulos de área 6 halla el

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren

Más detalles

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3

1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3 [4] [EXT-A] a) La derivada de la función f() es: (-) (-) Determine la función f() sabiendo que f() = b) Determine el límite: lim + ++ ++ + [4] [EXT-B] a) Dadas las funciones f() = y g() = - +, determine

Más detalles

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2

3. y = (2x+1)2 2x+3. x, x < 2 x+1, x 2 Derivadas. Dada la siguiente función, calcular, por la definición, la derivada que se indica:. f() = - ; f (-). f() = ; f (0). f() = ln ; f () 4. f() = - ; f (0) 5. f() = +, < 0, 0 ; f (0) 6. f() = sen,

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA.

RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. RELACIÓN 3a DE EJERCICIOS. MATEMÁTICAS 1. INGENIERÍA QUÍMICA. 1. Sea f : IR IR definida por f() = 2 + 1, IR. Probar, utilizando la definición, que f es derivable en cualquier punto de IR. Encontrar los

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]

DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3] 1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE ANÁLISIS Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - De una función continua f: R R se sabe que F: R R es una primitiva suya, entonces también lo es la

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f

Más detalles

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2 Colección A.. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 5-4 -4. y = +ln. y = -e 4. y = e 5. y =. y = + 7. y = ln 8. y = e + 9. y = (+) 0. y =. y = e -. y = (-)e - e. y = - 4. y = ln 5. y =

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Problemas de selectividad. Análisis

Problemas de selectividad. Análisis Departamento de Matemáticas Página 1 Problemas de selectividad. Anális 14.01.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimenones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1- Considere la función: 3 2 a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x). b) Determine los intervalos de

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto

Más detalles

Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Derivadas Parciales. Aplicaciones. RELACIÓN DE PROBLEMAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Curso 2004/2005 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola Departamento de Matemática Aplicada I Tema 3. Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Más detalles

03 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de funciones. Ejercicios propuestos en 2009

03 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de funciones. Ejercicios propuestos en 2009 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones Ejercicios propuestos en 009 1- [009-1-A-] a) [1 5] Halle las unciones derivadas de las unciones deinidas por las siguientes ln epresiones:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.

a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. Selectividad CCNN 0. [ANDA] [JUN-A] Sea la función f: definida por f(x) = e x (x - ). a) Calcula la asíntotas de f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

Más detalles

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) 90

Más detalles

APELLIDOS Y NOMBRE:...

APELLIDOS Y NOMBRE:... 1º BACHILLERATO Fecha: 6-09-011 PRUEBA INICIAL APELLIDOS Y NOMBRE:... NORMAS El eamen se realizará con tinta de un solo color: azul ó negro No se puede usar corrector Se valorará potivamente: ortografía,

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

DERIVADA DE FUNCIONES REALES

DERIVADA DE FUNCIONES REALES . Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante

Más detalles

GEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2

GEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2 GEOMETRIA )Dados el punto A(l,-,) el vector v(,,-), escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta cua determinación lineal es (A,v). )Escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS. Dada la función f (), (, ), definir f () y f () de forma que f sea continua sen(π ) en todo el intervalo cerrado [, ]. : f () f () π 5 si. Estudiar la continuidad

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO. Prof. Jesús Macho Martínez

DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO. Prof. Jesús Macho Martínez DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS DE APOYO Esta obra de Jesús Macho Martínez está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported 1º.- Deducir razonadamente el valor del ángulo α marcado

Más detalles

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero Optimización de funciones P a s o s p a r a l a r e s o l u c i ó n d e p ro b l e m a : 1. S e p l a n t e a l a f u n c i ón que hay que maximizar o minimizar. 2. S e p l a n t e a u n a e c u a c i

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES.

APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES. APLICACIÓN DE DERIVADAS: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN CON 2 VARIABLES. 001 Hallar 2 números cuya suma es 20, sabiendo que su producto es 002 003 004 005 Halla dos números cuya suma sea 25, tales que el doble

Más detalles

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b)

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b) MATEMÁTICAS - SEPTIEMBRE TAREA DE VERANO 4º E.S.O.-B 1. a) Qué significa una potencia de eponente negativo?..... b) Simplificar: b 1) : b 4 ) b ) 9 1 b 4) 1 4. Simplificar potencias: a) 4 ( ) d) 9000 0'000000006

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

=lim h 0. )=lim h 0 h. (2+h 2)2 2+h 4 ( 4)

=lim h 0. )=lim h 0 h. (2+h 2)2 2+h 4 ( 4) Tema 4 Derivación Ejercicios resueltos Derivación Ejercicio Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: ½ f () = si ( ) en el punto =. 4 si > Estudiemos primero los límites laterales en =: f

Más detalles

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. 2. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE 2007 DE MATEMÁTICAS B PARA LOS CURSOS 4º ESO A Y 4º ESO B

EJERCICIOS DE REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE 2007 DE MATEMÁTICAS B PARA LOS CURSOS 4º ESO A Y 4º ESO B EJERCICIOS DE REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE 007 DE MATEMÁTICAS B PARA LOS CURSOS 4º ESO A Y 4º ESO B ) Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales e irracionales,

Más detalles

Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre derivadas

Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre derivadas página 1/6 Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre derivadas Hoja 1 2 1. a) Deriva y simplifica f (x)= 7 cos 7 (2 x+1) b) Deriva y simplifica f (x)= x2 +cos(x) e x 3 + sen( x) 3 c) Estudia intervalos

Más detalles

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh Módulo 1 DERIVADAS 1.1 Reglas de diferenciación Reconocimiento de saberes Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes epresiones: (considere > 0 ) ln ( e ) ln ln ( e ) ln e ln + ln

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

95 EJERCICIOS de RECTAS

95 EJERCICIOS de RECTAS 9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

Matemáticas 2 Agosto 2015

Matemáticas 2 Agosto 2015 Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente

Más detalles

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 6. Optimización

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 6. Optimización Apuntes Tema 6 Optimización 6.1 Problemas de optimización El cálculo de máximos y mínimos no solo se usa en Matemáticas, sino en muchas otras disciplinas. Precisamente este tipo de problemas fue el que

Más detalles

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

EJERCICIOS UNIDADES 5, 6 y 7: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES.

EJERCICIOS UNIDADES 5, 6 y 7: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES. IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES 5, 6 y 7: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES 1 (001-M1;Sept-A-) Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la 50 100 función

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

b) B es el punto Medio de MN siendo M(8,-2) y N(4,12) c) El baricentro del Triangulo es (3,7) R. A(1,2) B(6,5) C(2,14) CÁLCULO I COMPLEMENTO GUIA # 1

b) B es el punto Medio de MN siendo M(8,-2) y N(4,12) c) El baricentro del Triangulo es (3,7) R. A(1,2) B(6,5) C(2,14) CÁLCULO I COMPLEMENTO GUIA # 1 CÁLCULO I COMPLEMENTO GUIA # 1 Ejercicios sugeridos para la semana 2. Cubre el siguiente material: Sistemas de coordenadas rectangulares, Ecuación de la recta, Rectas paralelas y perpendiculares, Distancia

Más detalles

EXAMEN A: Ejercicio nº 1.- Página 1 de 25 Indica el valor de los ángulos señalados en cada figura: Ejercicio nº 2.- La siguiente figura es una esfera de centro C y radio 3 unidades. Cómo definirías dicha

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es:

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es: PROBLEMAS DE REPASO 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado

Más detalles

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.

Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe. CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2013 2014) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6

1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6 ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media

Más detalles

TALLER # 5 de GEOMETRÍA EUCLIDIANA ÁREAS Y VOLÚMENES. Universidad de Antioquia. Departamento de Matemáticas. Septiembre 2008

TALLER # 5 de GEOMETRÍA EUCLIDIANA ÁREAS Y VOLÚMENES. Universidad de Antioquia. Departamento de Matemáticas. Septiembre 2008 TALLER # 5 de GEOMETRÍA EUCLIDIANA ÁREAS Y VOLÚMENES Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas Septiembre 2008 1. Sea ABCD un rectángulo, E punto medio de, a) Calcular el área del rectángulo

Más detalles

Aplicaciones de la derivada 7

Aplicaciones de la derivada 7 Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano

Más detalles

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento

Más detalles