La Integral de Riemann

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1 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil 1 Sums de Riemnn L Integrl de Riemnn 2 Funciones integrbles Riemnn 3 Cálculo de l integrl 4 Teorems de integrbilidd 5 L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Ddo un intervlo [, b] R con < b, se llm prtición de [, b] culquier subconjunto finito P = {x 0, x 1,..., x n } [, b] de form que = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. M 4 m 4 Los puntos de l prtición P de [, b] dividen dicho intervlo en n subintervlos de l form [x i 1, x i ]. Escribiremos P P si P es un prtición de [, b]. Si f : [, b] R es un función cotd y P = {x 0, x 1,..., x n } P definimos m i = ínf{f (x) : x [x i 1, x i ]} M i = sup{f (x) : x [x i 1, x i ]} x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Figur 7.1: Cálculo de M 4 y m 4 pr todo i = 1, 2,..., n.

2 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Se f : [, b] R un función cotd y P = {x 0, x 1,..., x n } P. Se define l sum inferior de Riemnn de f correspondiente l prtición P como el vlor L(f, P) = n m i (x i x i 1 ). i=1 Se define l sum superior de Riemnn de f correspondiente l prtición P como el vlor U(f, P) = n M i (x i x i 1 ). i=1 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Figur 7.2: Sum inferior x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Figur 7.3: Sum superior Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Propieddes de ls sums de Riemnn Se f : [, b] R un función cotd. 1 Si P y Q son dos prticiones de [, b] entonces L(f, P) U(f, Q). 2 Si P y Q son dos prticiones de [, b] de modo que P Q entonces L(f, P) L(f, Q) U(f, Q) U(f, P). 1 Sums de Riemnn 2 Funciones integrbles Riemnn 3 Cálculo de l integrl 4 Teorems de integrbilidd 5 L función potencil

3 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Integrl de Riemnn Se f : [, b] R un función cotd. Se define l integrl inferior de Drboux de f en [, b] como el vlor f = sup{l(f, P) : P P}, es decir, es el supremo de tods ls sums inferiores. Se define l integrl superior de Drboux de f en [, b] como el vlor f = ínf{u(f, P) : P P}, es decir, es el ínfimo de tods ls sums superiores. Se dice que f es integrble Riemnn en [, b] si f = En este cso, este vlor se denot por f o f (x)dx, y se denomin integrl definid de f en [, b]. Si f es integrble Riemnn en [, b] se define b f. f (x)dx = f (x)dx f (x)dx = 0. Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Teorem de Riemnn L función f : [, b] R es integrble ε > 0 P : U (f, P) L (f, P) < ε Teorem Se f un función cotd en el intervlo [, b]. 1 Si f es continu en [, b] entonces f es integrble Riemnn en [, b]. 2 Si f es monóton en [, b] entonces es integrble Riemnn en [, b], 3 Si f es continu (o monóton) en [, b] excepto en un número finito de puntos entonces f es integrble Riemnn en [, b]. Ejemplo L siguiente función, que se conoce como función de Dirichlet, es cotd pero no es un función integrble en [0, 1]: { 1 si x es un numero rcionl del intervlo [0,1] f (x) = 0 si x es un numero irrcionl del intervlo [0,1]. Es sencillo comprobr que L(f, P) = 0 y que U(f, P) = 1 pr todo P P, por lo que f no es integrble.

4 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Propieddes 1 Si f, g son funciones integrbles en [, b] y α, β R entonces (αf + βg) tmbién es integrble y se verific que (αf + βg) = α f + β 2 Se c ], b[. Entonces f es integrble en [, b] si, y solo si, f es integrble en [, c] y f es integrble en [c, b]. Además, se verific que f = c f + c f. 3 Si f, g son integrbles en [, b] entonces fg tmbién lo es. 4 Si f es integrble en [, b] y g es integrble en [c, d] con f ([, b]) [c, d] entonces g f es integrble en [, b] 5 Si f es integrble en [, b] entonces f tmbién lo es. g. Desigulddes reltivs l integrl Sen f, g dos funciones integrbles Riemnn en [, b]. 1 Si f (x) 0 pr todo x [, b] entonces f (x)dx 0. 2 Si f (x) g(x) pr todo x [, b] entonces f (x)dx g(x)dx. 3 f (x)dx f (x) dx. Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Primitiv 1 Sums de Riemnn 2 Funciones integrbles Riemnn 3 Cálculo de l integrl 4 Teorems de integrbilidd 5 L función potencil Se f un función definid en [, b], decimos que F es un primitiv de f si F = f Proposición i) Si f es integrble en [, b] entonces: F (x) = x f (t) dt es un función continu. (ii) Si demás f es continu en [, b] entonces F (x) = x f (t) dt es un función primitiv de f.

5 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Csuístic Csuístic Tod función continu en [, b] dmite un primitiv F (x) = x f, sin embrgo: ) Existen funciones no integrbles con primitiv: { 2x sin 1 2 f (x) = x 2 x cos 1 x [ 1, 1] \ {0} x 2 es un función que no es integrble (y que ni siquier está cotd en su intervlo de definición) sin embrgo, l función F (x) = es su primitiv en [ 1, 1] { x 2 sin 1 x 2 x [ 1, 1] \ {0} b) Hy funciones integrbles no continus con primitiv: { 2x sin 1 f (x) = x cos 1 x x 0 no es continu en cero pero sí es integrble y su primitiv es: { x F (x) = 2 sin 1 x x 0 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Csuístic 1 Sums de Riemnn c) Hy funciones integrbles que no tienen primitiv. L función f (x) = E(x) pr todo x [0, 2] es un función monóton por lo que es integrble Riemnn. Sin embrgo no dmite primitiv. 2 Funciones integrbles Riemnn 3 Cálculo de l integrl 4 Teorems de integrbilidd 5 L función potencil

6 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Teorem (primero de l medi) Sen f, g : I R funciones continus y se g 0 en I z [, b] tl que fg = f (z) g Si considermos g como l función constnte unidd tenemos que, plicndo el teorem nterior: Teorem (fundmentl del cálculo) Se F un primitiv de un función integrble f : I R. Entonces: f = F (b) F () con lo que f (x) dx = f (z) dx = f (z) (b ) f (z) = 1 f (x) dx b (Demostrr) Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Proposición (integrción por prtes) Sen f, g : I R funciones continus y supongmos: ) F primitiv de f b) g diferencible y g continu en I Entonces: fg = {F (b) g (b) F () g ()} Fg NOTACIÓN: Si h es un función derivble denotmos Tomndo dh = h (x)dx. u = g l fórmul nterior se escribe: v = F udv = [uv] b vdu. Proposición (integrción por sustitución) Sen f : [c, d] R, g : [, b] R funciones continus con g ([, b]) [c, d], si F primitiv de f y g diferencible con g continu. Entonces: Proposición g(b) g() f = (f g) g Si f : [, b] R continu y f 0 entonces, si f = 0 f 0

7 Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Problem: 1 Sums de Riemnn 2 Funciones integrbles Riemnn 3 Cálculo de l integrl 4 Teorems de integrbilidd 5 L función potencil Sen p, q : X R cmpos esclres X R 2 cumpliendo que sus derivds prciles son continus y que D 2 p = D 1 q (1) Problem: Encontrr un cmpo esclr H : X R con derivds prciles continus hst segundo orden, de form que D 1 H = p y D 2 H = q Observción: (1) es un condición necesri pr que exist H y que, plicndo el teorem de Schwrtz: D 2 p = D 2 D 1 H = D 1 D 2 H = D 1 q Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Solución Si considermos X como un rectángulo X = [, b] [c, d]. Fijmos (x 0, y 0 ) X = [, b] [c, d]. L siguiente función cumple los requerimientos: En efecto: H (x, y) = x x 0 p (t, y 0 ) dt + y y 0 q (x, s) dx y y D 1 H (x, y) = p (x, y 0 ) + D 1 q (x, s) dx = p (x, y 0 ) + D 2 p (x, s) dx y 0 y 0 = p (x, y 0 ) + p (x, y) p (x, y 0 ) = p (x, y) de form nálog se obtiene H se llm función potencil Ejercicio: Clcul l función potencil (si existe) pr D 2 H (x, y) = q (x, y) p (x, y) = x 3 + xy 2, q (x, y) = x 2 y + y 3

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