4. Integral de Riemann

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1 Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 7: INTEGRAL DE RIEMANN 4. Integrl de Riemnn 4.1. Introducción L teorí de l integrl de Riemnn tiene un objetivo simple, que es: ormlizr l noción de áre medinte un deinición que se comptible con ls ides comunes e intuitivs cerc de este concepto. Surge entonces l pregunt de Cules son ests ides básics?. Por ejemplo, un de ells es que el áre de un supericie cudrd de ldo se 2. Si esto es verddero, se debe concluir que l supericie de un rectángulo de ldos y b es b Condiciones básics pr un deinición de áre Se E un conjunto de puntos en el plno OXY. El áre del conjunto E será un número rel A(E) que cumple ls siguientes condiciones. áre (A1) A(E) 0 (A2) E F = A(E) A(F) (A3) Si E F = = A(E F) = A(E) + A(F) (A4) El áre de un región rectngulr E de ldos y b es A(E) = b Ests 4 condiciones son necesris y suicientes pr tener un buen deinición de áre. Se verá ms delnte, en el trnscurso del curso, que l integrl de Riemnn ls stisce decudmente. Observción: Ls cutro propieddes elementles nteriores no son independientes entre sí, y que por ejemplo (A2) es un consecuenci de (A1) y (A3) Medinte l integrl de Riemnn se deinirá el áre de un región E prticulr: Dd un unción : [,b] + consideremos l región R limitd por el eje OX, l curv de ecución y = (x) y ls rects verticles x = y x = b. El áre de est región se llmrá áre bjo l curv y = (x) entre y b y=(x) R b 66

2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Medinte un ejemplo se mostrrá un método pr determinr el áre bjo un curv, que nos indicrá el procedimiento seguir en l deinición de l integrl de Riemnn. Ejemplo Dd l unción (x) = x 2, se dese clculr el áre encerrd entre x = 0 y x = b > 0 bjo l curv y = (x) y=x b Etp 1. Dividiremos el intervlo [0,b] en n prtes igules donde cd un de ests prtes tiene longitud h = b n. Si llmmos x i los puntos de l división, se tiene que: x i = i(b/n). De este modo se h dividido el intervlo [0,b] en n sub-intervlos I i = [x i 1,x i ] de longitud h cd uno. Etp 2. En cd intervlo I i se levnt el rectángulo inscrito l sector prbólico de myor ltur posible. Este i-ésimo rectángulo inscrito posee ls siguientes propieddes: bse = h ltur = (x i 1 ) áre = h (x i 1 ) = b n ( (i 1) b n) 2 = ( ) 3 b (i 1) 2 n y=x 2 x x i-1 i b 67

3 Etp 3. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile De igul orm en cd intervlo I i se levnt el rectángulo circunscrito l sector prbólico de menor ltur posible. Este i-ésimo rectángulo circunscrito posee ls siguientes propieddes: Etp 4. y=x 2 i-1 xi x b bse = h ltur = (x i ) áre = h (x i ) = b n Con est construcción, se ve ácilmente que el áre A que se dese clculr está cotd del modo siguiente ( b n )3 (i 1) 2 A ( b n )3 i 2. Ls sumtoris nteriores se clculn ácilmente recordndo que De este modo, i 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 n 1 n 1 (i 1) 2 = i 2 = i 2 = i=0 Así ls cots pr el áre A buscd son b 3 6 (n 1)n(2n 1). 6 (n + 1)(2n 1) n 2 A b3 (n + 1)(2n + 1) 6 n 2 ( i b n) 2 = L desiguldd nterior es válid n, luego, olvidndo el signiicdo geométrico de los números que llá intervienen, se puede pensr en un desiguldd de sucesiones reles. Por lo tnto, si tommos el límite cundo n qued: b 3 3 A b3 3, ( ) 3 b i 2 n de donde se deduce que el áre buscd es A = b3 3. Ejercicio 68

4 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Ejercicio 4.1: Del mismo modo como se h resuelto este ejercicio, se propone l lector clculr ls áres encerrds bjo ls unciones (x) = 1, (x) = x y (x) = x 3. Por cierto en los dos primeros csos los resultdos son bien conocidos, no sí en el tercero. Nótese que l resolver estos ejercicios se observ lo siguiente: unción Are entre 0 y b donde (x) = x 0 b h h = 1 (x) = x 1 b h 2 h = b (x) = x 2 b h 3 h = b 2 (x) = x 3 b h 4 h = b 3 Se dej tmbién l lector l tre de ormulr un generlizción estos resultdos potencis superiores. 69

5 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Ejercicio Ejercicio 4.2: Como último ejercicio propuesto se plnte clculr el áre encerrd bjo l unción sen(x) entre 0 y π/2. Después de estos ejercicios de motivción podemos comenzr deinir el concepto de integrl de Riemnn de un unción Deiniciones Deinición 4.1 (Prtición de un intervlo). Prtición El conjunto P = {x 0,x 1,...,x n } es un prtición del intervlo [,b] si = x 0 < P = {x 0, x 1,..., x n} x 1 < x 2 < < x n = b. Si P es un prtición de [,b], se llm norm de P y se denot por P l rel: P = máx{(x i x i 1 ) : i = 1,...,n} Deinición 4.2 (Sums Superiores e Ineriores). Se un unción deinid y cotd en [,b] 1. Se P = {x 0,x 1,...,x n } un prtición de [,b]. Como es cotd en [,b], tmbién lo es en cd intervlo I i = [x i 1,x i ] i = 1,...,n, luego podemos deinir: sums superiores e ineriores m i () = ín{(x) : x [x i 1,x i ]} M i () = sup{(x) : x [x i 1,x i ]} (L existenci de m i () y M i () está grntizd por ser cotd en [x i 1,x i ]). Con esto se deinen ls sums siguientes: 1) S(,P) = n M i ()(x i x i 1 ) se llm sum superior de correspondiente l prtición P 2) s(,p) = n l prtición P. Interpretción Geométric m i ()(x i x i 1 ) se llm sum inerior de correspondiente Si (x) 0 x [,b], entonces ls sums superior e inerior de tienen un interpretción geométric sencill. s(, P) corresponde l áre de los rectángulos inscritos. S(,P) es el áre de los rectángulos circunscritos. 1 Que se un unción deinid y cotd en [, b] signiic que [, b] Dom(), es decir (x) existe x [, b] y demás existen ls constntes m y M tles que: m = ín{(x) : x [, b]} M = sup{(x) : x [, b]} 70

6 Propiedd Importnte. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Se un unción cotd y deinid en [,b]. Se P = {x 0,...,x n } un prtición de [,b], culquier. Sen m = ín{(x) : x [,b]} M = sup{(x) : x [,b]} m i () = ín{(x) : x [x i 1,x i ]} M i () = sup{(x) : x [x i 1,x i ]} es clro que i = 1,...,n se tiene que: m, M, m i (), M i () m m i () M i () M. Luego: i {1,...,n} m(x i x i 1 ) m i ()(x i x i 1 ) M i ()(x i x i 1 ) M(x i x i 1 ). Sumndo desde i = 1 hst i = n se obtiene que: m(b ) s(,p) S(,P) M(b ). (4.1) Como P es un prtición culquier, se concluye que el conjunto de ls sums ineriores de es cotdo, sí como el conjunto de ls sums superiores de. Est propiedd d lugr ls dos deiniciones siguientes: Deinición 4.3 (Integrles Superiores e Ineriores). Se P [,b] el conjunto de tods ls prticiones de [,b]. Se un unción deinid y cotd sobre [,b]. Los números reles integrles superiores e ineriores = sup { s(,p) : P P [,b] }, y = ín { S(,P) : P P [,b] }, se llmn integrl inerior de en [,b] e integrl superior de en [,b], respectivmente., Observción: Por l propiedd demostrd nteriormente, se sbe que el conjunto de ls sums ineriores er cotdo, lo mismo que el conjunto de ls sums superiores, luego en virtud del Axiom del supremo, están grntizds ls existencis de y de. Pr que todo esto se válido es necesrio y suiciente, que este deinid en [,b] y se cotd en dicho intervlo. Deinición 4.4 (Reinmiento de un prtición o prtición más in). Sen P y Q dos prticiones de [,b], si P Q, diremos que Q es un reinmiento P o un prtición más in que P. reinmiento 71

7 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Ejemplo 4.1. Si P 1 y P 2 son 2 prticiones culesquier de [,b], entonces P = P 1 P 2 es un reinmiento de P 1 y de P 2. Proposición 4.1. Si P Q entonces s(,p) s(,q), y S(,P) S(,Q) Demostrción. Si P = Q, l proposición es trivilmente ciert. Por lo tnto en el resto de l demostrción trtremos el cso en que P Q. Pr ijr ides digmos que P = {x 0,...,x n }, se x el primer punto que prece en Q y no en P, entonces hy un k {1,...,n} tl que x k 1 < x < x k. Se P 1 = {x 0,...,x k 1, x,x k,...,x n } y sen m () = ín{(x) : x [x k 1, x]} y m () = ín{(x) : x [ x,x k ]}. Clrmente: m k () m () y m k () m (). Con esto clculemos ls sums ineriores de pr ls prticiones P y P 1 : s(,p) = m i ()( x i ) k 1 m i ()( x i ) + m ()( x x k 1 ) + m ()(x k x) + i=k+1 = s(,p 1 ). m i () x i Por lo tnto s(,p) s(,p 1 ). Repitiendo este procedimiento un número inito de veces obtenemos que: s(, P) s(,q). L desiguldd con sums superiores se demuestr en orm nálog y se dej propuest como un ejercicio. Observción: Como demás s(,q) S(,Q), se concluye que P,Q P [,b]. P Q = s(,p) s(,q) S(,Q) S(,P). Entonces, si P 1 y P 2 son prticiones de [,b], tomndo l prtición P = P 1 P 2 que es un reinmiento de P 1 y P 2, se tiene que s(,p 1 ) s(,p) S(,P) S(,P 2 ), 72

8 es decir, s(,p 1 ) S(,P 2 ) P 1,P 2 P [,b]. Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile O se culquier sum inerior es cot inerior del conjunto de sums superiores y recíprocmente. Proposición 4.2. Si está deinid y cotd en [,b], y m (x) M x [, b], entonces m(b ) M(b ) Demostrción. Primermente, como m(b ) es un cot inerior de { s(,p) : P P [,b] }, (Ecución 4.1 en págin 71) y como = sup{ s(,p) : P P [,b] }, result que m(b ) Análogmente: M(b ). Pr probr l desiguldd centrl, consideremos dos prticiones P 1 y P 2 culesquier de [,b]. Como s(,p 1 ) S(,P 2 ) entonces, ijndo P 1, se tiene que s(,p 1 ) es un cot inerior del conjunto { } S(,P) : P P [,b] y por lo tnto: s(,p 1 ) ín { } S(,P) : P P [,b] =. L desiguldd nterior se cumple P 1 P [,b] luego el numero es un cot superior del conjunto { } s(,p) : P P [,b] y por lo tnto:. sup { s(,p) : P P [,b] } = Est ultim expresión prueb l proposición. Deinición 4.5. Diremos que un unción deinid y cotd en [,b] es integrble según Riemnn si se cumple que =. En tl cso, el vlor común de ests dos integrles se llm simplemente l integrl de en [,b] y se denot por. Riemnn integrble Teorem 4.1 (Condición de Riemnn). Un unción deinid y cotd en un intervlo [,b] es Riemnn-integrble en [,b] ssi: ( ǫ > 0)( P P [,b] ) S(,P) s(,p) < ǫ 73

9 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Demostrción. Probemos primermente que l condición de Riemnn es suiciente, es decir, si l condición de Riemnn se cumple entonces l unción es integrble. Se ǫ > 0. Sbemos que Pero entonces, 0 ( P P [,b] ) S(,P) s(,p) < ǫ. S(,P) s(,p) S(,P) s(,p) < ǫ. Como est ultim desiguldd es válid ǫ > 0 se concluye que = y por lo tnto es integrble en [,b]. Probemos hor que l condición de Riemnn es necesri, es decir, que si es integrble entonces l condición de Riemnn debe cumplirse. Sbemos que = in { S(,P) : P P [,b] } = sup { s(,p) : P P [,b] } entonces, ddo ǫ > 0, en virtud de l crcterizción ǫ del supremo y del ínimo de un conjunto podemos grntizr l existenci de prticiones P 1,P 2 de [,b] tles que s(,p 1 ) > S(,P 2 ) < ǫ 2 + ǫ 2 Si demás considermos l prtición P = P 1 P 2, (reinmiento de P 1 y de P 2 ) y recordndo que ls sums ineriores crecen y ls superiores decrecen l tomr reinmientos, se deduce que s(,p) > S(,P) < ǫ 2 + ǫ 2 74

10 y por lo tnto Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile es decir S(,P) ǫ 2 < s(,p) + ǫ 2 S(,P) s(,p) < ǫ. Con esto, ddo ǫ > 0 rbitrrio, hemos encontrdo un prtición que veriic l condición de Riemnn. Ejemplo 4.2. Probr que (x) = 1 x es integrble en [1,2]. Si P = {x 0,...,x n } es un prtición de [1,2] entonces en cd intervlo I i se tiene que: m i () = 1 x i y M i () = 1 x i 1. Por lo tnto, S(,P) = ( x i x i 1 ) y x i 1 s(,p) = ( x i x i 1 ). x i Notemos que est sums no son áciles de clculr pr un prtición rbitrri. Sin embrgo lo único que se dese quí, es probr que l unción es integrble y no clculr l integrl. Con este objetivo en mente, nos bst con veriicr l condición de Riemnn. Clculemos entonces l dierenci entre ls dos sums: 1 S(,P) s(,p) = ( 1 )(x i x i 1 ) x i 1 x i Como ls vribles x i [1,2] entonces = (x i x i 1 ) 2 x i x i < 1 < 1, x i y por lo tnto podemos cotr l dierenci como S(,P) s(,p) (x i x i 1 ) 2. Pr terminr recordmos que x i x i 1 < P, donde P es l norm de l prtición P. Entonces S(,P) s(,p) < P (2 1) = P. En consecuenci pr stiscer l condición de Riemnn, ddo ǫ > 0 bst considerr un prtición P P [1,2] con norm P ǫ. Es decir Por lo tnto, (x) = 1 x P ǫ = S(,P) s(,p) < ǫ. es integrble en [1,2]. 75

11 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Ejemplo 4.3. { 1 si x Probr que (x) = no es integrble en [0,1]. 0 si x I Se P = {x 0,...,x n } un prtición de [0,1], clrmente en cd intervlo I i = [x i 1,x i ] se tiene que m i () = 0, y M i () = 1. Por lo tnto ls sums de Riemnn son S(,P) = = s(,p) = Clrmente se cumple que M i ()(x i x i 1 ) x i x i 1 = b = 1, y m i ()(x i x i 1 ) = 0. S(,P) s(,p) = 1 P P [0,1] y luego l condición de Riemnn no se cumple. Por lo tnto no es integrble en [0,1]. Observción: Este último ejemplo muestr que un unción puede estr deinid y ser cotd en un intervlo y sin embrgo no ser Riemnn integrble. Es decir ser Riemnn integrble es un propiedd ms uerte o exigente que sólo ser deinid y cotd. En este ejemplo tmbién se puede observr que 1 0 (x) = 0, y (x) = Estudio de Funciones Integrbles En est sección nos preocupmos de sber bjo que requisitos se puede grntizr que un unción deinid y cotd en un intervlo es Riemnn integrble. Los resultdos más importntes en este sentido son el teorem (4.2) que grntiz que ls unciones continus son integrbles y l proposición 4.3 que hce lo propio con ls unciones monótons. Además se verá que en este tipo de unciones (ls continus o monótons) l condición de Riemnn se cumple en l medid que l norm de l prtición se suicientemente pequeñ. Esto último permite entender l integrl como el 76

12 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile límite de ls sums ineriores o superiores cundo l norm de l prtición tiende cero. Proposición 4.3. Si es un unción deinid, cotd y monóton en [, b], entonces es integrble en [,b]. Demostrción. Supongmos que se trt de un unción creciente (l demostrción en el cso de unción decreciente se propone como ejercicio). Si P = {x 0,...,x n } es un prtición de [,b] entonces y entonces S(,P) = s(,p) = (x i ) x i (x i 1 ) x i S(,P) s(,p) = [(x i ) (x i 1 )] x i [(x i ) (x i 1 )] P = P [(b) ()]. Por lo tnto, ddo ǫ > 0 rbitrrio, es ácil encontrr prticiones con norm P 2 con lo cul l condición de Riemnn se cumple stisctorimente. 1 (b) ()+1 Teorem 4.2. Si es un unción continu en [,b] entonces es integrble en [,b] Demostrción. Es bien sbido que ls unciones continus en un intervlo cerrdo y cotdo [,b] son uniormemente continus, es decir stiscen l propiedd ǫ > 0, δ > 0, x 1,x 2 [,b], [ x 1 x 2 δ = (x 1 ) (x 2 ) ǫ ]. Con est proposición no es diícil probr l condición de Riemnn. En eecto, ddo ǫ > 0 rbitrrio, l proposición nterior grntiz l existenci de δ > 0 tl que si x 1 x 2 δ entonces (x 1 ) (x 2 ) ǫ b. (4.2) 2 El 1 en el denomindor (b) () + 1 se introduce solo pr evitr dividir por cero (en el cso de un unción constnte). 77

13 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Consideremos un prtición P P [,b] con norm P δ. Como es continu en [,b], tmbién lo será en cd uno de los intervlos I i = [x i 1,x i ] deinidos por l prtición y por lo tnto el supremo M i y el ínimo m i en dicho intervlo serán lcnzdos como imágenes de lgún punto. Es decir, Luego x i [x i 1,x i ], (x i) = ín {(x) : x [x i 1,x i ]} x i [x i 1,x i ], (x i ) = sup {(x) : x [x i 1,x i ]}. S(,P) s(,p) = [(x i ) (x i)] x i. Pero como x i x i x i P δ entonces se cumple (4.2), es decir que (x i ) (x i ). En consecuenci ǫ b S(,P) s(,p) ǫ b = ǫ. x i. Notemos que en l demostrción nterior solo se requiere que P δ. Esto permite concluir el siguiente corolrio. Corolrio 4.1. Si es continu en [,b] Entonces: { ( ǫ > 0)( δ > 0)( P P [,b] ) P δ ( x i )(x i x i 1 ) } ǫ, donde los vlores x i son números rbitrrios en el correspondiente i ésimo intervlo [x i 1,x i ] deinido por l prtición P. (por ejemplo x i = xi 1+xi 2 ) Demostrción. El teorem nterior dice que ( ǫ > 0)( δ > 0)( P P [,b] ) { P δ S(,P) s(,p) ǫ}. Además, si P = {x 0,...,x n } es un de ls prticiones nteriores y x i [x i 1,x i ] entonces m i () ( x i ) M i (). multiplicndo por x i y sumndo de i = 1 hst i = n se obtiene s(,p) ( x i )(x i x i 1 ) S(,P). (4.3) Por otro ldo como l unción es integrble se sbe que s(,p) S(,P). (4.4) Ls desigulddes (4.3) y (4.4) se interpretn como que los números n ( x i)(x i x i 1 ) y pertenecen un mismo intervlo de lrgo no myor que ǫ. Por lo tnto, ( x i )(x i x i 1 ) ǫ 78

14 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Observción: El corolrio nterior se puede interpretr como un noción de límite cundo P 0, es decir, podemos escribir que cundo un unción es continu su integrl es = lím P 0 ( x i ) x i. L expresión nterior motiv l siguiente notción, denomind notción de Leibnitz pr integrles = (x)dx. Observción: Si es continu en [,b] tmbién se cumple que [ ] b ( ǫ > 0)( δ > 0)( P P [,b] ) P < δ S(,P) < ǫ y que [ ( ǫ > 0)( δ > 0)( P P [,b] ) P < δ s(,p) ] < ǫ. (x)dx Observción: El corolrio y l observción (4.4) tmbién se cumple si monóton. Luego: si es continu en [,b] o bien monóton en [,b] entonces se puede decir que: = lím s(,p) = lím S(,P) = lím P 0 P Propieddes de l Integrl P 0 ( x i ) x i. Y hemos visto cul es l deinición de l integrl de un unción. Sbemos que se trt de un número rel socido l unción. Sbemos que este rel existe pr un conjunto de unciones llmds ls unciones Riemnn integrbles, entre ls cules se encuentrn ls unciones continus y ls unciones monótons. En cunto l cálculo de integrles sólo conocemos l deinición y sbemos que en l medid que ls norms de ls prticiones sen pequeñs, ls integrles se proximn por sumtoris llmds ls sums de Riemnn. En est sección nos interes estudir lguns propieddes del operdor integrl. Los resultdos más trctivos se resumen en el Teorem 4.3 que dice que este operdor es linel y monótono. Tmbién veremos cómo se puede extender l noción de integrl los csos = b y > b Lems Previos (Propieddes Básics) Comenzmos por enuncir lgunos lems previos reltivos ls integrles ineriores y superiores. Lem 1. Si es un unción integrble en [,b], < b, y [r,s] [,b], con r < s, entonces es integrble en [r,s]. 79

15 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Lem 2. Si está deinid y es cotd en [,b], < b, y c (,b) entonces + + c c (4.5) (4.6) Lem 3. Si y g son dos unciones deinids y cotds en [,b], < b, entonces: + g ( + g) ( + g) (4.7) + g (4.8) Demostrción. (del lem 1) Como es integrble en [,b] se cumple l condición de Riemnn en [,b], es decir: ( ǫ > 0)( P P [,b] ) S(,P) s(,p) ǫ. Se Q = P {r,s}, es clro que como r y s [,b], entonces Q es un reinmiento de P, luego S(,Q) s(,q) ǫ. Pr ijr ides, digmos que Q = {x 0,x 1,...,x n } y que r = x k,s = x l con 0 k < l n. Se entonces Q = {x k,x k+1,,x l } = Q [r,s]. Es clro que Q result ser un prtición de [r,s] tl que: S(,Q ) s(,q ) = l i=k+1 (M i m i ) x i (M i m i ) x i = s(,q) s(,q) < ǫ. Luego l prtición Q muestr que veriic l condición de Riemnn y por lo tnto es un unción integrble en [r,s]. Demostrción. (del Lem 2) Pr demostrr (4.5) sen P 1 P [,c] y P 2 P [c,b] dos prticiones rbitrris de [,c] y [c,b] respectivmente. Formemos l prtición P de [,b] como P = P 1 P 2. Clrmente s(,p 1 ) + s(,p 2 ) = s(,p) Est desiguldd se puede escribir sí s(,p 1 ). s(,p 2 ) P 1 P [,c]. En consecuenci el rel de l derech es cot superior del conjunto de sums ineriores de en [,c] y por lo tnto s(,p 2 ). 80

16 Est expresión se puede tmbién escribir sí Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile s(,p 2 ) P 2 P [c,b], es decir el número de l izquierd es un cot superior del conjunto de sums ineriores de en [c,b]. Entonces este número es myor o igul l supremo, es decir L demostrción de (4.6) es nálog y se dej como ejercicio. Demostrción. (del lem 3) Como en el cso nterior, sólo demostrremos l órmul (4.7), y dejremos (4.8) como ejercicio. Pr probr est órmul sen P 1 y P 2 prticiones culesquier de [,b] y se P = P 1 P 2. Clrmente c. s(,p 1 ) + s(g,p 2 ) s(,p) + s(g,p). (4.9) Pr ijr ides digmos que P = {x 0,...,x n } entonces s(,p) = s(g,p) = s( + g,p) = m i () x i m i (g) x i m i ( + g) x i. Recordemos que x I i,m i () (x) m i (g) g(x) luego m i () + m i (g) m i ( + g) y entonces s(,p) + s(g,p) s( + g,p) ( + g). (4.10) En l últim desiguldd hemos recorddo que l integrl inerior es un cot superior del conjunto de sums ineriores de un unción (quí l + g). Combinndo ls ecuciones (4.9) y (4.10) se tiene que s(,p 1 ) + s(g,p 2 ) ( + g). Como est desiguldd es válid P 1,P 2 P [,b] entonces de se deduce que s(,p 1 ) ( + g) s(g.p 2 ) ( + g) s(g.p 2 ), 81

17 y luego de se deduce que es decir s(g,p 2 ) g ( + g) ( + g) + g, ( + g). Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Teorem con ls propieddes de l integrl Usndo los lems probdos en l subsección precedente se puede demostrr el siguiente teorem que resume ls propieddes más importntes de l integrl. Teorem 4.3 (Propieddes de l Integrl). 1. Si c, entonces c = c(b ) 2. Si es integrble en [,b] y c (,b), entonces es integrble en [,c] y [c,b], y demás = 3. Si es integrble en [,c], y en [c,b], entonces es integrble en [,b] y = 4. Si y g son unciones integrbles en [,b] entonces ( + g) es integrble en [,b] y ( + g) = 5. Si es un unción integrble en [,b] y α entonces (α) es integrble en [,b] y + + (α) = α c c + 6. Si y g son integrbles en [,b] y (x) g(x) x [,b] entonces 7. Si es integrble en [,b], entonces es integrble en [,b] y g g 82

18 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Demostrción. 1. Se (x) = c x [,b], se P = {x 0,...,x n } un prtición culquier de [,b] entonces en cd intervlo [x i 1,x i ] se cumple que m i () = M i () = c por lo tnto ls sums inerior y superior son Clrmente entonces Luego, s(,p) = S(,P) = c x i = c(b ). = = c(b ) c = c(b ). c = c(b ) 2. Por lem 1, si es integrble en [,b] y c [,b], entonces es integrble en [,c] y [c,b] (mbos [,b]) demás por lem 2: de donde clrmente = + 3. Si es integrble en [,c] y [c,b], entonces está deinid y cotd en [,b]. Por lem 2: + c + c c Pero como l desiguldd contrri siempre es ciert, se deduce que es integrble en [,b] y su integrl vle = + 4. Como y g son integrbles en [,b] entonces el lem 3 se escribe sí: ( + g) + Luego ( + g) es integrble en [,b] y ( + g) + c g g... ( + g). ( + g). 83

19 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile 5. Se P = {x 0,...,x n } un prtición culquier de [,b]. Anlicemos primermente el cso α 0. En este cso se tiene que Por lo tnto Con lo cul es decir m i (α) = αm i (), y M i (α) = αm i (). S(α,P) = αs(,p), y s(α,p) = αs(,p). sup{s(α,p)} = sup{αs(,p)} = α sup{s(,p)}, y ín{s(α,p)} = ín{αs(,p)} = α ín{s(,p)}, α = por lo tnto α es integrble en [,b] y α = α α = α En ls línes nteriores se h usdo el resultdo bien conocido que dice que si α 0 y A es un conjunto cotdo entonces sup(αa) = α sup(a), y ín(αa) = α ín(a). En el cso en que α < 0 l propiedd nterior se cmbi por por lo tnto hor tendremos que sup(αa) = α ín(a), y ín(αa) = α sup(a), m i (α) = αm i (), y M i (α) = αm i (). de donde con lo cul S(α,P) = αs(,p), y s(α,p) = αs(,p) sup{s(α,p)} = sup{αs(,p)} = α ín{s(,p)}, y ín{s(α,p)} = ín{αs(,p)} = α sup{s(,p)}, es decir α = α = α. Por lo tnto α es integrble en [,b] y 84 α = α.

20 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile 6. Se h = g. Como (x) g(x) x [,b] entonces h(x) 0 x [,b]. Además h = g +( 1) es integrble en [,b] y h = g. Como h(x) 0 x [,b], entonces pr culquier prtición de [,b] se tendrá que m i (h) 0 luego s(h,p) 0. Entonces de donde 7. Sen y 0 s(h,p) + (x) = { (x) = h = h = g. g { (x) si (x) 0 0 si (x) < 0 0 si (x) 0 (x) si (x) < 0. Entonces = + y = + +. Pr probr que es integrble probremos previmente que + lo es. Si P = {x 0,...,x n } es un prtición culquier de [,b] entonces como (x) + (x), x [,b] entonces m i () m i ( + ), o se, m i ( + ) m i (). (4.11) Además, si M i () 0 entonces M i ( + ) = M i () y entonces sumndo con (4.11) se obtiene que M i ( + ) m i ( + ) M i () m i (). Si por el contrrio M i () < 0 entonces será negtiv en el intervlo y luego + = 0. Por lo tnto M i ( + ) = m i ( + ) = 0 de donde clrmente M i ( + ) m i ( + ) = 0 M i () m i (). En deinitiv, en culquier intervlo de l prtición se cumple que, M i ( + ) m i ( + ) M i () m i () i = 1,...,n y por lo tnto sumndo S( +,P) s( +,P) S(,P) s(,p). Grcis est últim desiguldd, deducimos que y que es integrble en [,b], entonces ( ǫ > 0)( P P [,b] ) tl que S(,P ) s(,p ) ǫ 85

21 y por lo tnto luego + es integrble en [,b]. S( +,P ) s( +,P ) ǫ, Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Como = + entonces = + y en consecuenci tmbién es integrble. Por último como = + + es l sum de unciones integrbles, entonces tmbién es integrble en [,b]. Pr demostrr l desiguldd bst con recordr que (x) (x) (x) x [,b] y en consecuenci es decir,, Integrl de b con b Deinición 4.6. Se un unción integrble en un intervlo [p,q]. Si,b [p,q] son tles que b entonces se deine l integrl de b del modo siguiente: = b = 0 si = b. si > b, o con est deinición, ls propieddes de l integrl se pueden enuncir sí: Proposición 4.4. Sen y g integrles en [p, q] y, b [p, q] entonces: 1) 2) 3) 4) b b b α = α(b ), = α = α ( + g) = + c α, c [p,q], α + 5) 0 (x) g(x), x [p,q] b b g 6) b b g Demostrción. L demostrciones son sencills y se dejn propuests como ejercicios. Ejercicio 86