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1 PRÁCTICA 7: IINTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN I I L ttegrrll deffd y ll rregll de Brrrrow Itegrte f,d f@d Recuerd que D o el símolo que prece e l plet BscIput clcul u prmtv de l fucó f (), es decr, u fucó cuy dervd es f () Ejercco : Clculs ls sguetes prmtvs: T@D Cos@ D y è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Pero cluso u potete progrm de cálculo smólco y umérco como Mthemtc o es cpz de clculr ls prmtvs de lgus fucoes S@D Ejercco : Pde Mthemtc que clcule u prmtv de l fucó Iformcó ásc Recordemos tmé que ls prmtvs so mporttes pr poder plcr l regl de Brrow (63-677) que estlece que: s F( es u prmtv de f() pr e el tervlo I y y perteece I, etoces f ( ) d = F ( ) F ( ) L orde Itegrte@f@D, 8,, <D o el símolo f@d que prece e l plet BscIput permte oteer el úmero rel que es l tegrl defd de f () e el tervlo de etremos y Co ests órdees Mthemtc oper medte l regl de Brrow, es decr, prmero clcul l prmtv y luego hll l dferec de mágees Por tto, co est orde o se podrá clculr tegrles defds de ls fucoes cuy prmtv o se pued hllr por métodos elemetles Mthemtc tmé clcul tegrles mprops plcdo u etesó de l regl de Brrow y us l msm otcó que e el cálculo de tegrles defds Ejerccos Ejercco 3: Pídele l progrm Mthemtc que clcule u prmtv de l fucó pr clculr (hzlo co ppel y lápz) 3 e d Pídele hor l progrm Mthemtc que clcule 3 e 3 E d Hs otedo el msmo resultdo? y úsl MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ

2 Ejercco 4: Duj l fucó y = + y escre (es medt) u prmtv de + Clcul el vlor de l tegrl mprop d + de est tegrl mprop + y eplc qué sgfc geométrcmete el vlor 3 Ejercco 5: U troco clídrco recto de 8 metros de lrgo y seccó crculr de 3 cm de rdo se cort logtudlmete e cco prtes de gul grosor Clcul el volume del tló cetrl Ejercco 6: Hll el vlor de pr que el recto lmtdo por el eje X y l curv, π, quede dvddo e dos prtes de gul áre por l curv y = s Pr ello: π / ) Clcul el vlor de Cos[]d y el de ArcT[/ ] ( Cos[] * S[] )d ) Utlz l orde NSolve[ ] pr resolver l ecucó que es ecesro plter y= cos, H π,l π Ejercco 7: Cosder ls sguetes fucoes: ) f () =, ) f () =, c) f () = ) Represétls cojutmete e el msmo gráfco pr (,5] ) Ordéls de meor myor pr (,] Clcul el áre etre l gráfc de cd curv y = f() y el eje de scss, desde el eje OY hst l rect = c) Ordéls de meor myor pr [, + ) Clcul el áre etre l gráfc de l curv y = f() y el eje OX, hc l derech prtr de l rect = Iformcó ásc III I Ittegrrcó I umérrc ((prromd)) d Por qué o se us sempre l regl de Brrow? No tods ls tegrles defds f ()d puede clculrse medte l regl de Brrow, pero qué se dee est mposldd? Ls rzoes que mpde plcr e l práctc l regl de Brrow so: ) Tl vez o se dspog de l epresó lítc del tegrdo f, so sólo de u tl de vlores de f Esto ocurre e el sguete ejemplo: Dís psdos se otuvero ls sguetes medds, e metros, de l profuddd del río Ero, frete l Bsílc del Plr, tomdos cd metros MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ

3 sore l chur del río:, 4, 6, 8,,, 8, 5,, dode el prmero y el últmo vlor se refere ls orlls del río Cuál es promdmete el áre de l seccó del cuce del río? ) Auque se coozc l epresó lítc del f y ést se u fucó elemetl, l prmtv de f quzá o se elemetl Esto ocurre por ejemplo e e c) Auque l prmtv de f se elemetl, clculrl puede requerr d o s d o lgu de felz, por ejemplo u cmo de vrle, co el que o semos cpces de dr, o l relzcó tedos de gr ctdd de opercoes o l plccó de téccs umércs más complejs que ls de cudrtur; por ejemplo, e 3 + d ecotrr hlldo tods ls ríces del deomdor, tre que ege usr l promcó umérc y es más dfícl que promr l tegrl l fucó del tegrdo es u fucó rcol cuy prmtv se puede Qué se hce cudo o se puede oteer el vlor ecto de u tegrl defd? Secllmete se tet clculr u vlor promdo Precsmete l tegrcó umérc proporco métodos pr promr el vlor de u tegrl defd f ( ) d medte u sum ft Ests sums, que se suele llmr fórmuls de cudrtur, so comcoes leles de los vlores de f e u cojuto de scss o odos: < < < < E est práctc, descrmos y usmos t sólo u tpo de fórmul de cudrtur: ls sums de Rem (regl de los rectágulos) Apromcó por ls sums de Rem L de ásc rdc e el cocepto de tegrl defd: U tegrl defd es el límte de sums de Rem f ( c ) metrs que el tmño de cd sumdo e ls que el úmero de sumdos tede fto ( ) = f ( c ) [ ] El úmero c puede ser culquer del tervlo medo c = + tede cero (y que ),, uque el más recomedle es el puto L promcó f ( ) d medte u sum de Rem sgfc geométrcmete pr f( ) e [, ] susttur el áre compredd etre el eje OX, l gráfc de f y ls rects = y = por u sum de áres de rectágulos Sum de Rem e el etremo feror Y Se elge que c se el etremo feror del sutervlo [, ] : c = = + ( ) = + ( ), X MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ

4 y l sum de Rem es ( ) Ahor = f Sum de Rem e el etremo superor c es el etremo superor del sutervlo [ ], : c = = + = +, y l sum de Rem es f ( ) = Fórmul del puto medo Ahor c es el puto medo del sutervlo [ ], : c = = + = +, y l sum de Rem es f ( c ) II Ejerccos = Ejercco 8: Vmos clculr l sum de Rem superor, l feror y l del puto medo de l fucó e el tervlo [,3] correspodetes l prtcó co = Pr clculr culquer de ls sums de Rem de d co sguetes órdees de defcó de fucó y de sgcó de vlores: 3 =, comezmos co ls f@_d = ;= ; = 3; = ; h = ; ) Pr clculr l sum feror, escre y ejecut l orde: feror = f@ + H L hd h el símolo BscIput = = ) Pr clculr l sum superor: lo tees e l plet superor = f@ + hd h = Srís hcer u represetcó gráfc del áre clculd co est superor, como ls que se ve e los otros dos prtdos? Itétlo MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ

5 c) Pr clculr l sum e el puto medo: medo = fa + k j y z he h { = Compr esos tres resultdos co el de l tegrl defd de Brrow d clculdo medte l regl Ejercco 9: Hll u sum de Rem pr l fucó cos e el tervlo [ π, π ] π π = 8; h = ; prof = 8, 4, 6, 8,,, 8, 5, <; pr prtcó que lo dvde e 8 sutervlos de gul logtud Hz lo msmo pr 6 sutervlos Clcul el vlor ecto de Cos[ ] d y compr todos los resultdos Ejercco : Dís psdos se otuvero ls sguetes medds, e metros, de l profuddd del río Ero, frete l Bsílc del Plr, tomdos cd metros sore l chur del río:, 4, 6, 8,,, 8, 5,, dode el prmero y el últmo vlor se refere ls orlls del río ) Hz u dujo de los dtos ) Escre l tegrl que deerí usrse pr clculr el áre de l seccó del cuce del río Ero c) Cuál es promdmete el áre de l seccó del cuce del río? Pr respoder puedes segur el sguete esquem de trjo: Prmero defe y sg vlores: Después clcul l sum de Rem: secco = prof@@dd h = Ejercco : Pr hllr el flujo de ms de re, M, que trves u tuo crculr de rdo tero R = 5 cm se utlz u tuo de Ptot coectdo u mómetro y se clcul co l fórmul M = 97* 6 r Hdr, dode H es l dferec de vel de gu del mómetro E u epermeto se h otedo l sguete tl de vlores de H(r) R l r H Clcul u vlor promdo de M MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ

6 Ejercco : Cosder l tegrl d ) Idc el método de cálculo de prmtvs que deerí usrse ) Pídele Mthemtc que clcule su vlor ecto y eplc el resultdo c) Dvde el tervlo [,] e sutervlos de gul logtud y clcul ls sums de Rem que se otee l usr los etremos ferores, los putos medos y los etremos superores de cd sutervlo d) Qué vlor promdo de d os d el progrm Mthemtc? MDolores Lerís Zed Urz Uversdd de Zrgoz, Espñ