7.1. Definición de la Integral de Riemann

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1 Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo [, b] es un subconjunto finito {x 0, x 1,, x n } de [, b] tl que = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, es decir, es un subconjunto finito de [, b] que contiene los puntos y b Escribimos x i = x i x i i, i = 1,, n L fmili de ls prticiones de [, b] l denotremos por P[, b] y llmremos P un miembro genérico de est fmili f(x) M i m i x i 1 Figur 71 x i x Se f : [, b] R cotd y P = {x 0, x 1,, x n } P[, b], definimos (ver figur 71) M i (f) = M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }, m i (f) = m i = inf{f(x) : x i 1 x x i } (71)

2 128 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN pr i = 1,, n y demás ls sums superior S(P, f) e inferior I(P, f) correspondientes l prtición P por S(P, f) = j=1 M i x i, (72) I(P, f) = j=1 m i x i (73) x 1 x 2 x 3 x n 1 b x f(x) I(P, f) x 1 x 2 x 3 x n 1 b x f(x) S(P, f) Figur 72 Es evidente que I(P, f) S(P, f) pr culquier prtición P Como f es cotd existe K R tl que f(x) K pr todo x [, b] y por lo tnto pr i = 1,, n se tiene M i K y m i K, de modo que pr culquier P P[, b] S(P, f) K(b ) I(P, f) K(b ) (74) Esto muestr que los conjuntos {S(P, f) : P P[, b]} y {I(P, f) : P P[, b]} son cotdos y nos permite definir l integrl superior de Riemnn de f sobre [, b] por f(x) dx = inf{s(p, f) : P P[, b]}, (75) y l integrl inferior de Riemnn de f sobre [, b] por f(x) dx = sup{s(p, f) : P P[, b]} (76) Si f(x) dx = f(x) dx decimos que f es integrble (según Riemnn) sobre el intervlo [, b], escribimos f R[, b] y denotmos el vlor de l integrl por f(x) dx ó f dx (77)

3 71 DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 129 Por (74) sbemos que si f R[, b] existe K R tl que f(x) dx K(b ) Definición 72 Si P 1 y P 2 son prticiones de [, b] decimos que P 2 es un refinmiento de P 1 si P 1 P 2 Teorem 71 Se f : [, b] R un función cotd, P 1 y P 2 prticiones de [, b] tles que P 2 es un refinmiento de P 1, entonces S(P 2, f) S(P 1, f); I(P 2, f) I(P 1, f) Demostrción Supongmos que P 1 = {x 0, x 2,, x n } y P 2 contiene un solo punto dicionl que llmremos y Como y [, b], y / P 1, necesrimente se tiene pr lgún i, 1 i n, que x i 1 < y < x i y por lo tnto ls sums S(P 2, f) y S(P 1, f) difieren solo en los términos que corresponden este intervlo: S(P 1, f) S(P 2, f) = M i (x i x i 1 ) M (x i y) M (y x i 1 ) donde M = sup{f(x) : y < x < x i } M i, M = sup{f(x) : x i 1 < x < y} M i, y entonces (ver figur 73) S(P 1, f) S(P 2, f) = (M i M )(x i y) + (M i M )(y x i 1 ) 0 Si P 2 difiere de P 1 en m puntos, se repite el rzonmiento nterior m veces pr obtener l desiguldd desed L otr desiguldd se prueb de mner similr x i 1 y x i x f(x) M = M i M Figur 73

4 130 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN Corolrio 71 Sen f : [, b] R un función cotd y P 1 y P 2 dos prticiones culesquier de [, b] Entonces I(P 1, f) S(P 2, f) Demostrción Dds P 1 y P 2 se P el refinmiento común de mbs prticiones, que definimos como P = P 1 P 2 Entonces I(P 1, f) I(P, f) S(P, f) S(P 2, f) Teorem 72 Se f : [, b] R cotd, entonces f(x) dx f(x) dx Demostrción Se Q un prtición de [, b] Pr culquier P P[, b] se tiene I(P, f) S(Q, f) Por lo tnto S(Q, f) es un cot superior pr el conjunto y entonces {I(P, f) : P P[, b]} S(Q, f) sup{i(p, f) : P P[, b]} = f(x) dx Ahor observmos que f(x) dx es un cot inferior del conjunto y obtenemos finlmente {S(Q, f) : Q P[, b]} f(x) dx inf{s(q, f) : Q P[, b]} = f(x) dx Ejercicios 71 1 Se f : [, b] R definid por f(x) = c pr lgún c R y x [, b] Demuestre prtir de l definición que f R[, b] y fdx = c(b )

5 72 CONDICIONES PARA INTEGRABILIDAD Si f : [0, 1] R está definid por demuestre que de modo que f / R[0, 1] 1 0 f(x) = f dx = 1, { 1 si x Q, 0 si x / Q 1 0 f dx = 1 3 Si f : [0, 1] R está definid por f(x) = x demuestre que f R[0, 1] y 1 f dx = 1/2 0 4 Si S = {x 1,, x n } es un subconjunto finito de [, b] y si l función cotd f : [, b] R vle 0 en todo punto de [, b] que no esté en S entonces f es integrble en [, b] y 1 f dx = Demuestre que todo polinomio P es integrble en el intervlo compcto [, b] 6 Si f R[0, 1] y definimos pr n N, n = 1 n n i=1 f(i/n), entonces l sucesión ( n) converge 1 f dx 0 7 Definición: l función f es integrble sobre [, b] si pr todo ε > 0 existe δ > 0 f(ξi) xi < ε, donde P = {x0,, xn} es un prtición de [, b] y l desiguldd se stisfce pr culquier prtición tl que máx(δx i ) < δ y culquier selección de ξ en [x i 1, x i ] Demuestre que est definición es equivlente l que dimos en l sección 71 y un número l tl que l n i=1 72 Condiciones pr Integrbilidd Teorem 73 (Criterio de Riemnn) Se f : [, b] R cotd f R[, b] si y sólo si ddo ɛ > 0 existe un prtición P P[, b] tl que 0 S(P, f) I(P, f) ɛ (78) Demostrción Supongmos que pr cd ɛ > 0 hy un prtición de [, b] tl que (78) vle Entonces, ddo ɛ > 0 pr lgun P P[, b] y usndo el teorem 72 f(x) dx S(P, f) < I(P, f) + ɛ 0 f(x) dx f(x) dx < ɛ f(x) dx + ɛ Como est desiguldd es ciert pr todo ɛ > 0 se tiene que f(x) dx = f(x) dx

6 132 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN y f R[, b] Supongmos hor que f R[, b] y se ɛ > 0 Existen prticiones P 1 y P 2 en P[, b] tles que 0 S(P 1, f) 0 f(x) dx < ɛ 2 f(x) dx I(P 2, f) < ɛ 2 Tomemos P = P 1 P 2, el refinmiento común de P 1 y P 2 Por el Teorem 71 y usndo el hecho de que obtenemos f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx 0 S(P, f) I(P, f) S(P 1, f) I(P 2, f) = S(P, f) f dx + f dx I(P 2, f) < ɛ Teorem 74 Si f : [, b] R es monóton entonces f R[, b] Demostrción Supongmos que f es creciente L demostrción pr el cso decreciente es similr y l omitiremos Ddo ɛ > 0 escogemos n N tl que (b )(f(b) f()) ɛ Se P = {x 0, x 1,, x n } l prtición que divide l intervlo [, b] en n intervlos igules, entonces < n 0 S(P, f) I(P, f) = y por el Teorem 73, f R[, b] = = = (M i m i )(x i x i 1 ) i=1 (f(x i ) f(x i 1 ))(x i x i 1 ) i=1 (b ) n (f(x i ) f(x i 1 )) i=1 (b )(f(b) f()) n < ɛ

7 72 CONDICIONES PARA INTEGRABILIDAD 133 Teorem 75 Si l función f : [, b] R es continu entonces es integrble, es decir, C[, b] R[, b] Demostrción Como f es continu y [, b] es compcto, f es uniformemente continu en [, b] Así, ddo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si x, y [, b] y x y < δ se tiene ɛ f(x) f(y) < (b ) (79) Escojmos hor n N tl que b δ y se P = {x 0,, x n } l prtición que divide el intervlo [, b] en n prtes igules Pr cd i, 1 i n escogemos puntos u i, v i en [x i 1, x i ] de modo que f(u i ) = M i f(v i ) = m i lo cul es posible porque tenemos un función continu sobre un intervlo compcto Ahor bien, tnto u i como v i estn en [, b] y < n u i v i x i x i 1 = b n y concluimos por (79) que pr i, 1 i n, Se sigue que 0 M i m i = f(u i ) f(v i ) < < δ 0 S(P, f) I(P, f) = (M i m i )(x i x i 1 ) i=1 < ɛ b (x i x i 1 ) = ɛ i=1 ɛ (b ) y por el Teorem 73 f R[, b] Teorem 76 Se f : [, b] R un función cotd con un cntidd finit de discontinuiddes, entonces f es integrble Demostrción Se ɛ > 0 ddo y M = sup f(x) Sen y 1,, y p los puntos en los cules l función es discontinu y consideremos los intervlos (y j η, y j + η) donde η stisfce η < ɛ/8mp El conjunto K = [, b]\ p j=1 (y j η, y j +η) es compcto y f es uniformemente continu en él por el Teorem 514 Por lo tnto existe δ > 0 tl que si s K, t K, s t < δ entonces f(s) f(t) < ɛ 2(b ) Ahor construimos un prtición

8 134 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN P = {x 0, x 1,, x n } de [, b] de l siguiente mner: los puntos y j η, y j +η están en P pr j = 1,, p Ningún punto de los intervlos (y j η, y j +η), j = 1,, p está en P Si x i 1 no es de l form y j η pr lgún j, escogemos x i de modo que 0 < x i x i 1 < δ Por ls condiciones descrits pr l prtición sbemos que estos últimos intervlos están en K y por lo tnto pr ellos se tiene que M i m i ɛ 2(b ) En cmbio, pr un intervlo de l form (x i 1 = y j η, x i = y j +η), j = 1,, p se tiene que M i m i 2M Por lo tnto, 0 S(P, f) I(P, f) (M i m i )(x i x i 1 ) i=1 = (Mi m i )(x i x i 1 ) + (Mi m i )(x i x i 1 ) donde l sum es sobre los índices tles que el intervlo (x i 1, x i ) es de l form (y j η, y j + η) y es l sum sobre el resto Tenemos entonces 0 S(P, f) I(P, f) 2M ɛ (xi (xi x i 1 ) + x) i 1 ) 2(b ) ɛ 2Mp2η + (b ) 2(b ) < ɛ 73 Propieddes de l Integrl Teorem 77 (Linelidd de l Integrl) (i) Si f y g son integrbles en [, b] entonces f + g tmbién y (f + g) dx = f dx + g dx (ii) Si f R[, b] y λ R entonces λf R[, b] y λf dx = λ f dx

9 73 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 135 Demostrción Se P = {x 0, x 1,, x n } un prtición de [, b] y llmemos h = f + g Observmos que inf{h(x) : x i x x i+1 } inf{f(x) : x i x x i+1 } + inf{g(x) : x i x x i+1 }, sup{h(x) : x i x x i+1 } sup{f(x) : x i x x i+1 } Por lo tnto, pr culquier prtición P tenemos + sup{g(x) : x i x x i+1 } I(P, f) + I(P, g) I(P, h) S(P, h) S(P, f) + S(P, g) (710) Como f y g son integrbles, ddo ɛ > 0 existen prticiones P 1 y P 2 tles que S(P 1, f) I(P 1, f) < ɛ 2 ; S(P 2, g) I(P 2, g) < ɛ 2 (711) Se P el refinmiento común de P 1 y P 2, prtir de (79) y (711) obtenemos lo cul muestr que h R[, b] Usndo (79) y (711) obtenemos S(P, h) I(P, h) < ɛ (712) h dx S(P, h) S(P, f) + S(P, g) < I(P, f) + I(P, g) + ɛ y como ɛ > 0 es rbitrrio concluimos que (f + g) dx f dx + f dx + g dx + ɛ g dx De mner similr se demuestr l desiguldd en el otro sentido L demostrción de (ii) qued como ejercicio Teorem 78 Si f R[, b] y f 0 en [, b] entonces f dx 0 Demostrción Es inmedit prtir de l definición Corolrio 72 Si f, g R[, b] con f g en [, b] entonces f dx g dx

10 136 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN Demostrción Como f g 0 obtenemos f dx = (f g) dx + g dx g dx Corolrio 73 Si f R[, b] y k f(x) K pr x [, b] entonces k(b ) f dx K(b ) Demostrción Definimos g : [, b] R por g(x) = k y h : [, b] R por h(x) = K Entonces g f h y el Corolrio nterior implic k(b ) = g dx f dx h dx = K(b ) Teorem 79 Si f R[, b] entonces f R[, b] y f dx f dx Demostrción Definimos ls funciones f + y f de l siguiente mner: f + (x) = máx(f(x), 0) pr x [, b], f (x) = f + (x) f(x) (= máx( f(x), 0)), dd un prtición P de [, b] usndo l definición (71) observmos que y por lo tnto M i (f + ) m i (f + ) M i (f) m i (f) S(P, f + ) I(P, f + ) S(P, f) I(P, f) Un plicción del Teorem 73 muestr que f + R[, b] Y que f = f + f se obtiene que f R[, b] Como f = f + + f concluimos que f R[, b] por el Teorem 77 Finlmente f dx = f + dx f dx = f + dx + f dx f dx

11 73 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 137 Observmos que el enuncido recíproco no es cierto: f R[, b] no implic que f R[, b] Por ejemplo, f : [0, 1] R { 1 si x Q f(x) = 1 si x / Q entonces f (x) = 1 de modo que f R[0, 1] pero f(x) dx = 1 ; f(x) dx = 1, de modo que f / R[, b] Teorem 710 Si f y g R[, b] entonces fg R[, b] Demostrción Se K = sup{ f(x) : x [, b]} y h(x) = f 2 (x) Veremos que h R[, b] Pr x, y [, b], h(x) h(y) = f(x) + f(y) f(x) f(y) 2K f(x) f(y) y por lo tnto pr culquier prtición P P[, b], de donde deducimos M i (h) m i (h) 2K(M i (f) m i (f)), S(P, h) I(P, h) 2K(S(P, f) I(P, f)) Por el teorem 73 concluimos que h R[, b] Como fg = 1 4 ((f +g)2 (f g) 2 ) por lo nterior y l linelidd de l integrl concluimos que fg R[, b] Teorem 711 Se f R[, b] y < c < b, entonces f R[, c], f R[c, b] y f dx = c f dx + c f dx Demostrción Como f R[, b], ddo ɛ > 0 existe un prtición P de [, b] tl que S(P, f) I(P, f) < ɛ Si c / P lo ñdimos obteniendo un refinmiento Q Entonces S(Q, f) I(Q, f) S(P, f) I(P, f) < ɛ Se Q 1 l prtición de [, c] que se obtiene tomndo los puntos de Q que están en el intervlo [, c], entonces S(Q 1, f) I(Q 1, f) S(Q, f) I(Q, f) < ɛ de modo que f R[, c] De mner similr se muestr que f R[c, d]

12 138 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN Tomemos hor P 1 P[, c], P 2 P[c, d] y P = P 1 P 2, entonces P P[, b] y es fácil ver que f dx S(P, f) = S(P 1, f) + S(P 2, f) Tomndo ínfimo sobre tods ls prticiones P 1 P[, c] y P 2 P[c, b] se obtiene f dx c f dx + f dx Un rgumento similr con sums inferiores muestr l desiguldd contrri Teorem 712 Si < c < b, f R[, c] y f R[c, b] entonces f R[, b] y f dx = c f dx + c f dx Demostrción Ejercicio Ejercicios 72 1 Si f : [, b] R es continu y positiv sobre [, b] y si f(c) > 0 pr lgún c [, b] entonces f dx > 0 2 Si f : [, b] R es continu y positiv sobre [, b] y si f dx = 0, entonces f(x) = 0 pr todo x [, b] 3 Si f R[, b] y P n P[, b] divide [, b] en n prtes igules entonces ls sucesiones {S(P n ; f)} y {I(P n ; f)} convergen f dx 4 Si f : [, b] R es continu y f(x) > 0 pr todo x [, b] entonces F : [, b] R definid por F (x) = x f dt es estrictmente creciente en [, b] 5 Se g un función estrictmente creciente en el intervlo [, b] Demuestre que si f es monóton o continu, l función f(g(x)) es integrble en [, b] 6 Ls siguientes funciones vlen 0 pr x = 0, por definición Determine cules de ells pertenecen R(0, 1) () exp(sen x); (b) exp(sen 1/x); (c) exp 1/x; (d) sen(exp 1/x) 7 Sen f y g funciones integrbles en [, b] () Demuestre que fg es integrble en [, b] (Ayud: 4fg = (f +g) 2 (f g) 2 ) (b) Demuestre que máx(f, g) y mín(f, g) son integrbles en [, b] (Ayud: máx(f, g) = 1 (f + g) + 1 f g ) 2 2

13 74 INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN Integrción y Diferencición En est sección estudiremos l relción que existe entre el concepto de integrl tl como lo hemos estudido en este cpítulo y el proceso de integrción considerdo como operción invers l diferencición Teorem 713 Se f R[, b] L función F : [, b] R definid por es uniformemente continu F (x) = x fdt, x [, b] Demostrción Como f R[, b], f es cotd y definimos Si < x < y < b tenemos F (x) F (y) = M = sup{ f(x) : x [, b]} y y x f dt x f dt M(y x) y f dt = f dt Ddo ɛ > 0 escogemos δ > 0 de modo que Mδ < ɛ, entonces si y x < δ se tiene que F (y) F (x) < ɛ y F es uniformemente continu x Teorem 714 Bjo l hipótesis del teorem nterior, si f es continu en c (, b) entonces F es diferencible en c y F (c) = f(c) Demostrción Supongmos que f es continu en c Ddo ɛ > 0 escogemos δ > 0 tl que f(t) f(c) < ɛ si t c < δ y t [, b] Por lo tnto, si c δ < s c t < c + δ y s < t b se tiene F (t) F (s) f(c) t s = 1 t f(u) du f(c) t s = 1 t (f(u) f(c)) du t s 1 t s s t de donde se obtiene que F (c) = f(c) s f(u) f(c) du < ɛ Como consecuenci de este resultdo, si f es continu sobre (, b) entonces el resultdo nterior se cumple pr todo x (, b), es decir d dx x f(t) dt = f(x) s

14 140 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN Teorem 715 Si f R[, b] y existe un función diferencible F sobre [, b] tl que F = f entonces f(x) dx = F (b) F () Demostrción Se ɛ > 0, escogemos un prtición P = {x 0,, x n } de [, b] de modo que S(P, f) I(P, f) < ɛ/2 Por el Teorem del Vlor Medio existe ξ (x i 1, x i ) tl que Sumndo sobre i obtenemos F (x i ) F (x i 1 ) = f(ξ i ) x i i = 1,, n F (b) F () = f(ξ i ) x i i=1 Pero como m i f(ξ i ) M i pr i = 1,, n tenemos que y demás sbemos que de donde deducimos que I(P, f) F (b) F () S(P, f) I(P, f) f dx S(P, f) f dx (F (b) F ()) < ɛ Como esto es cierto pr todo ɛ > 0 obtenemos l conclusión del teorem El teorem nterior nos permite clculr l integrl de funciones que son derivds de otrs Por ejemplo: cos x dx = (sen x) dx = sen b sen, e x dx = e b e L relción entre diferencición e integrción que hemos estblecido en los teorems nteriores se extiende tmbién otrs fórmuls En prticulr, l diferencición de un producto corresponde l fórmul de integrción por prtes y l diferencición de funciones compuests corresponde l fórmul pr cmbio de vribles

15 74 INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN 141 Teorem 716 (Integrción por prtes) Si F y G son funciones diferencibles sobre [, b], F = f R[, b], G = g [, b], entonces F (x)g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() Demostrción Llmemos H(x) = F (x)g(x), entonces Usndo el teorem 715 obtenemos H (x) = f(x)g(x) + F (x)g(x) F (b)g(b) F ()G() = H(b) H() = = f(x)g(x) dx + f(x)g(x) dx H (x) dx F (x)g(x) dx Teorem 717 (Cmbio de Vribles) Se g : I R diferencible con g continu en I donde I es un intervlo bierto Sen, b I con g() < g(b), entonces si f : [g(), g(b)] R es continu se tiene que f R[g(), g(b)], (f g)g R[, b] y g(b) g() f(x) dx = (f g)(y)g (y) dy Demostrción L integrbilidd de ls funciones es consecuenci de l continuidd Definimos F : [g(), g(b)] R por F (y) = y g() f(x) dx y [g(), g(b)] entonces F es diferencible en todo punto de (g(), g(b)) y F (y) = f(y) pr y (g(), g(b)) Definimos hor H : [, b] R por H = F g Est función tiene derivd en todo (, b) y por l regl de l cden Por el Teorem 713 H (x) = F (g(x))g (x) = (f g)(x)g (x) pr x (, b) H(b) H() = (f g)(x)g (x) dx Como H() = 0 y H(b) = g(b) f dx el resultdo qued demostrdo g()

16 142 CAPÍTULO 7 INTEGRAL DE RIEMANN 75 El Teorem de Tylor Se f : [, b] R tl que f (n) (x) existe pr x b y es integrble en este intervlo Pr 0 t 1 tenemos ( n 1 ) d (b ) r (1 t) r f (r) ( + t(b )) dt r! r=1 n 1 (b ) r = (r 1)! (1 t)r 1 f (r) ( + t(b )) = r=1 n 1 + r=1 (b ) r+1 (1 t) r f (r+1) ( + t(b )) r! (b )n (n 1)! (1 t)n 1 f (n) ( + t(b )) (b )f ( + t(b )) El segundo miembro de est expresión es integrble según Riemnn respecto t sobre [0, 1] y por lo tnto tmbién lo es el primer miembro Integrndo sobre [0, 1] y usndo el Teorem 716 obtenemos n 1 r=1 (b ) r f (r) () = r! y de quí obtenemos n 1 f(b) = f() + r=1 1 0 (b ) r f (r) () + r! (b ) n (n 1)! (1 t)n 1 f (n) ( + t(b ))dt f(b) + f() (b )n (n 1)! 1 Est es l fórmul de Tylor con form integrl pr el resto 0 (1 t) n 1 f (n) ( + t(b )) dt Ejercicios 73 1 x 1 Clcule lím x 0 x 0 et2 dt 2 Se f un función continu en R Definimos F (x) = x+1 x 1 f(t) dt pr x R Demuestre que F es diferencible en R y clcule F 3 Sen f y g funciones definids en [, b], f es monóton y tl que f R(, b) y g R(, b) Demuestre que existe c [, b] tl que f(x)g(x) dx = f() c g(x) dx + f(b) c g(x) dx 4 Se f un función decreciente y positiv supong y f, g R(, b) Demuestre que existe c [, b] tl que f(x)g(x) dx = f() c g(x) dx

17 75 EL TEOREMA DE TAYLOR 143 Ejercicios Complementrios 1 Se f : [, b] R unn función continu y se g R(, b) un función positiv Demuestre que existe < c < b tl que f(x)g(x) dx = f(c) g(x) dx 2 Se f : [, b] R unn función continu Demuestre que existe c [, b] tl que f(x) dx = f(c)(b ) 3 Pr f, g en C[, b], f g C[, b] y podemos definir d(f, g) = f g dx ) Muestre que d es un métric en C[, b] pero este espcio no es completo b) Demuestre que l función d no es un métric en el espcio R[, b] 4 Sen f y g funciones positivs con derivds positivs y continus pr x 0 Si f(0) = 0 demuestre que f()g(b) g(x)f (x) dx f(x)g (x) dx (0 < b)

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