Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Transcripción

1 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se supondrán conocidos los siguientes conceptos y resultdos: Sums de Riemnn. Definición de integrl definid. Concepto de función integrble. Primitivs. Regl de Brrow. Hremos tmbién un introducción los métodos de integrción numéric. Sin más que usr l función, b ClssPd convierte en un cuestión trivil el cálculo excto de integrles definids f(x) dx (supuesto que f se integrble en [, b]) y el cálculo de primitivs f(x) dx (supuesto que f dmit primitiv), pr un mpli clse de funciones: (función, vrible de integrción) permite obtener, cundo ello es posible, un primitiv de l función dd. (función, vrible de integrción,extremo inferior, extremo superior) nos proporcionrá, supuesto f integrble en [, b] l integrl definid de f entre y b. L función se encuentr disponible en el menú Cálculo en l opción Acción del menú principl.

2 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo Ejercicio 1 Clculr con yud de l clculdor: ) 1 3x (ln(x)) dx b) dx c) x x 5 x dx d) x 3 e x dx e) π (sen(x) + cos(x))dx f) 1 x rcsen(x) dx g) x + 1 dx h) xe x / dx Pntlls de ClssPd: Solución: ) 1 3x dx = 1 ln 3x + C 3 b) (ln(x)) x dx = (ln(x))3 3 + C c) x 5 x dx = d) x 3 e x dx =

3 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 3 Pntlls de ClssPd: Solución: e) π (sen(x) + cos(x))dx = f) 1 x rcsen(x) dx = π 8 g) 3 1 x + 1 dx = h) 15 xe x / dx = Ejercicio Clcul ls sums de Riemnn pr f(x) = x + 1 en el intervlo [1, 3] pr un prtición regulr de n = 5 subintervlos, usndo los extremos izquierdos (prtdo )), los extremos derechos (prtdo b)) y los puntos medios (prtdo c)) de cd subintervlo como puntos muestr. Solución: Recordemos en primer lugr que si f : [, b] R es un función cotd definid en un intervlo cerrdo [, b], P ={ = x, x 1,..., x n = b} un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos y x i [x i 1, x i ] pr i = 1,,..., n, denotndo x i = x i x i 1 l longitud del subintervlo i-ésimo, S n = f(x 1) x 1 + f(x ) x f(x n) x n = f(x i ) x i (1) es l sum de Riemnn socid f, l prtición P y los puntos muestr x 1, x,...,x n.

4 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 4 Observmos que si P ={ = x, x 1,..., x n = b} es un prtición regulr del intervlo [, b] en n subintervlos, entonces x i = x i x i 1 = b n = h pr i = 1,,..., n y x i = + i b n pr i =, 1,,..., n ) Si los puntos muestr x i son los extremos izquierdos de los subintervlos, entonces: con lo que l expresión (1) se escribe como: x i = x i 1 = + (i 1)h i = 1,,..., n, S izq n = f (x i 1 ) h = f ( + (i 1)h) h () En consecuenci pr que ClssPd clcule l sum de Riemn socid l función f(x) = x + 1 en [1, 3], l prtición regulr en 5 subintervlos tomndo los extremos izquierdos como puntos muestr, tendremos que ejecutr los siguientes comndos, obteniendo ls slids que se muestr continución: En consecuenci l sum de Riemn evlundo en los extremos izquierdos es

5 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 5 b) Si los puntos muestr son los extremos derechos, entonces: con lo que l expresión (1) se escribe como: x i = x i = + ih i = 1,,..., n, S der n = f (x i ) h = f ( + ih) h (3) Pr clculr con ClssPd l sum de Riemn socid l función f(x) = x + 1 en [1, 3], l prtición regulr en 5 subintervlos tomndo los extremos derechos como puntos muestr, tendremos que ejecutr los siguientes comndos, obteniendo ls slid que se muestrn continución: En consecuenci l sum de Riemn evlundo en los extremos derechos es c) Si los puntos muestr son los puntos medios, entonces: x i = x i 1 + x i = + ( i 1 ) h con lo que l expresión (1) se escribe como:

6 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 6 S med n = f ( ( + i 1 ) ) h h (4) En consecuenci pr relizr los cálculos con ClssPd, tendremos que ejecutr ls siguientes órdenes, obteniendo ls slids que se muestrn continución: En consecuenci l sum de Riemn evlundo en los puntos medios es Ejercicio 3 Clcul ls sums de Riemnn pr f(x) = x + 1 en el intervlo [1, 3], pr prticiones regulres de n = 1, 5 y 1 puntos, usndo los extremos izquierdos, los extremos derechos y los puntos medios de cd subintervlo como puntos muestr. Complet l siguiente tbl: n Extremos izquierdos Extremos derechos Puntos medios

7 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 7 ) A prtir de ls columns de l tbl nterior qué observs? b) Clcul 3 1 x + 1 dx. Qué observs? Por qué ocurre eso? Alguns funciones elementles no tienen primitivs elementles (entendemos por primitiv elementl l que se puede expresr en términos de ls funciones elementles conocids: lgebrics, trigonométrics, exponenciles, y logrítmics). Sin ir más lejos, no dmiten primitivs elementles. cos(x), o sen(x ) x Si se h de clculr un integrl definid cuyo integrndo no dmite primitiv elementl, l regl de Brrow no es útil y lo mejor que podemos hcer es lo siguiente: proximr su vlor numéricmente. Los métodos que permiten hcer esto se llmn métodos de integrción numéric 1. El lumno y tiene su disposición vrios métodos pr proximr integrles definids. Como un integrl definid es el límite de un sucesión de sums de Riemnn, culquier de tles sums sirve como proximción de l integrl, es decir b f(x) dx f(x i ) x i donde x i es culquier punto escogido en el subintervlo [x i 1, x i ]. L rzón por l cul firmmos que ls sums de Riemnn proporcionn numerosos esquems de proximción, se debe 1 Otr rzón importnte pr empler métodos numéricos pr proximr integrles definids se present cundo no se conoce l función que se trt de integrr. Con frecuenci, en ls Ciencis Físics, y Biológics o en Ingenierí, solmente se conocen lgunos vlores de un función en un ciert colección de puntos, pero no se dispone de un representción lgebric de l función.

8 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 8 l libertd con l que se pueden elegir los puntos muestr x i. Ls elecciones más comunes son ls que hemos hecho en los ejercicios y 3: Si P ={ = x, x 1,..., x n = b} es un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos de igul longitud h = b, entonces tenemos: n si x i son los extremos izquierdos de cd subintervlo, entonces b f(x) dx f (x i 1 ) h = f ( + (i 1)h) h (5) y este método de proximción se llm método de proximción con los extremos izquierdos. Si x i son los extremos derechos de cd subintervlo, entonces b f(x) dx f (x i ) h = f ( + i h) h (6) y este método de proximción se llm método de proximción con los extremos derechos. Si x i son los puntos medios de cd subintervlo, entonces b f(x) dx f ( ( + i 1 ) ) h y este método de proximción se llm regl del punto medio. h (7) Observ que si f es continu y f(x), entonces l integrl b f(x) dx represent un áre y (5) represent un proximción de est áre por medio de los rectángulos que se muestrn en l figur ), (6) represent un proximción de est áre por medio de los rectángulos que se muestrn en l figur b) y (7) represent un proximción de est áre por medio de los rectángulos que se muestrn en l figur c). Figur ) Figur b) Figur c)

9 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 9 (6): Podemos obtener otr proximción l promedir ls proximciones dds por (5) y b [ f(x) dx 1 f (x i 1 ) h + = h ] f (x i ) h = f (x i 1 ) + f (x i ) = = h (f(x ) + f(x 1 ) f(x n 1 ) + f(x 1 ) + f(x ) f(x n )) = = h (f() + f(x 1) + f(x ) f(x n 1 ) + f(b)) (8) = h (f() + f(b)) + h (f( + h) + f( + h) f( + (n 1)h)) (9) Este método de proximción se conoce como Regl del trpecio. L rzón del nombre se puede ver en l siguiente figur, l cul ilustr el cso en que f es continu y f(x) : El áre del trpecio que se encuentr sobre el i-ésimo subintervlo es ( ) f(xi 1 ) + f(x i ) h = h (f(x i 1) + f(x i )) y si summos ls áres de todos estos trpecios, obtenemos el segundo miembro de l regl del trpecio. Ejercicio 4 siguiente: Escribe ls órdenes necesris pr proximr 4 + 3x dx completndo l tbl

10 Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo 1 n Regl de los trpecios Ejercicio 5 Utilizndo ls órdenes de los ejercicios nteriores, proxim ls siguientes integrles definids y complet ls tbls: ) 3 x 3 x dx n E. izquierdos E. derechos Punto medio R. Trpecios b) 3 5 x + 1 dx n E. izquierdos E. derechos Punto medio R. Trpecios