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1 Este documento es de distribución grtuit y lleg grcis Cienci Mtemátic El myor portl de recursos eductivos tu servicio!

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3 MATEMÁTICAS II Universidd Simón Bolívr Deprtmento de Mtemátics Purs y Aplicds Enero de 998 Este libro es l continución del texto Mtemátics I y h contdo con l colborción de muchos profesores en ls distints etps del mismo. Est es un reedición de l Guí de MA- 2 (997). Se hicieron lguns correcciones y se gregron ejercicios. Se gregó el cpítulo de Integrles Impropis el cul estuvo crgo del profesor Alberto Mendoz. Los redctores de otros cpítulos desde l primer edición son: Mrí R. Brito, Julio Cno, Luis Mt, Reinldo Giudici, Enrique Plnchrt y Lázro Recht. Los ejercicios gregdos se tomron de otrs guís publicds en el Deprtmento. Los preprdores Yolnd Perdomo y Sebstin Grcí colborron en el montje de los ejercicios. El rte finl estuvo crgo de los profesores Alberto Mendoz y Luis Mt.

4 Índice Generl 5 Primitivs Definición, primitivs de un función Ejercicios Respuests los ejercicios El cálculo de primitivs Propieddes de ls primitivs Linelidd de ls primitivs Cmbio de vribles Primitivs por prtes Algunos ejercicios Integrción L Definición de Drboux de l Integrl de Riemmn Preliminres cerc de prticiones Sums superiores e inferiores de Drboux Propieddes básics de ls sums de Drboux L integrl superior y l integrl inferior de Drboux Propieddes de l integrl Monotoní Subditividd y ditividd Homogeneidd Propiedd ditiv de intervlo L integrl como función del extremo superior (del intervlo de integrción) Apéndice L Definición de Riemnn de l Integrl Ejercicios dicionles L Función Logritmo 3 7. Definición Propieddes de l función Logritmo Nturl L gráfic del f (x) = ln(x) El número e Derivción logrítmic Ejercicios Ejercicios dicionles

5 ii ÍNDICE GENERAL 8 L Función Exponencil L Función Exponencil Nturl Propieddes de l función Exponencil Nturl L gráfic de e x : Otr definición del número e: Funciones exponenciles generles Funciones logrítmics generles Ejercicios Ejercicios dicionles L Funciones Hiperbólics El Seno Hiperbólico y el Coseno Hiperbólico Otrs funciones hiperbólics Idéntiddes hiperbólics Derivds e integrles de ls funciones hiperbólics Ls funciones hiperbólics inverss Ejercicios Ejercicios dicionles Métodos de Integrción Integrción por prtes Integrción por sustitución Sustituciones Trigonométrics Integrción de funciones rcionles Integrles Trigonométrics Ejercicios dicionles Aplicciones de l Integrl Ares Volúmenes Trbjo Ejercicios dicionles Integrles Impropis Integrles sobre intervlos infinitos Criterio de convergenci sobre intervlos infinitos Integrles de funciones no cotds Criterio de convergenci pr funciones no cotds L función Gm de Euler Ejercicios Respuests

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7 Cpítulo 5 Primitivs Los importntes conceptos que hor comenzmos estudir formn un muy poderos herrmient en el cálculo. Qued todos usrlo pr el provecho de l humnidd. El primero, l primitiv, es lo «opuesto» de l derivd y se dice que: Dd un función f, tod función g tl que g 0 = f se llm un primitiv de f. Sólo con es presentción usted puede, mner de ejercicio, encontrr un primitiv (tmbién llmd ntiderivd) pr cd un de ls siguientes funciones: (verificr si sus resultdos son o no correctos es muy fácil pues bst derivr lo obtenido y comprrlo con l función de prtid). f (x) =4x 3 +2x 2. f (x) = 2 cos x 3. x(t) =t 3 +5t 2 4. f (x) =x 2=3 5. x(t) = cos 3t 6. f (x) =2xcos(x 2 ) 7. f (x) = cos xsen 3 x 8. f (x) = sen 2 cos 2x x = 2 9. f (x) = cos 3 x 5. Definición, primitivs de un función Ahor, más formlmente, comenzmos recordndo que un función f es derivble si tiene derivd en cd punto de su dominio y que, pr hblr de l derivd de un función en un punto, requerimos que l función esté definid en un intervlo bierto lrededor del punto. Por ello, doptremos l siguiente convención: Mientrs no se especifique lo contrrio, tods ls funciones considerds en este cpítulo tienen por dominio un intervlo bierto o un unión de intervlos biertos. Por supuesto, R =( ; +); (; +) y ( ; ) se considern intervlos biertos. Definición: Dd un función f, se llm primitiv de f tod función derivble g tl que g 0 = f, es decir, tl que g 0 (x) = f (x) pr todo x del dominio de f y g.

8 254 Primitivs Ejemplos. L función x! 2x 3 +3xes un primitiv de l función x! 6x L función t! sent es un primitiv de t! cos t. 3. L función t! (sent) +7, es tmbién un primitiv de t! cos t. 4. Un primitiv de l función x 7! p x 2 j x j< es l función x 7! rcsenx; tmbién lo son tods ls funciones x 7! rcsenx + C,conC constnte. Como hbrá notdo en los ejemplos, un función puede tener más de un primitiv. En relidd, si un función tiene un primitiv, tiene un infinidd de ells. En efecto, si g 0 = f, entonces, pr tod constnte c, se tiene: (g + c) 0 = f: Por tnto, si uno conoce un primitiv de f, puede clculr un infinidd de ells, sumándole constntes. Lo interesnte es que de es mner se obtienen tods. Si g es un primitiv de f y el dominio de f es un intervlo, tods ls primitivs de f sondelformg + c, conc constnte. Este hecho es consecuenci del teorem siguiente: Teorem Se f un función derivble cuyo dominio es un intervlo. Si l derivd de f se nul en todo punto del intervlo, l función es constnte. Prueb: Es un consecuenci inmedit del teorem de Lgrnge. Tómelo como ejercicio. Puede ver los detlles en l guí de Mtemátics I. 2 Observción: Es importnte l hipótesis de que el dominio de f se un intervlo como lo muestr el ejemplo 3 que se d más delnte. Corolrio 2 Si f y g son dos funciones derivbles y f 0 (x) =g 0 (x)pr todo x de un intervlo I, entonces f y g difieren en I por un constnte, es decir, existe c 2 R tl que f (x) =g(x)+cpr todo x 2 I. Prueb: En efecto, (f g) 0 = f 0 g 0 =0en el intervlo I; eso, por el teorem, signific que f g = c con c 2 R. Por tnto f = g + c en I. 2 Como consecuenci inmedit tenemos hor nuestr firmción de ntes: Corolrio 3 Si el dominio de f es un intervlo y F es un primitiv de f, tod primitiv de f es l form F + c, conc 2 R. De nuevo se pide que el dominio de un función se un intervlo; ve el ejemplo 4.

9 5. Definición, primitivs de un función 255 Ejemplo:. Supongmos que l velocidd de un prtícul está dd por l función v(t) =4t 2 5y que en el instnte t =3l prtícul se encuentr en el punto de bscis 6. Entonces, l función x(t) que d l posición de l prtícul en cd instnte t, debe stisfcer x 0 (t) =4t 2 5y x(3)=6: Desde el punto de vist físico, ess dos condiciones deben determinr completmente el movimiento de l prtícul. Vemos que ocurre lo mismo mtemáticmente. Como x(t) debe ser un primitiv de t! 4t 2 5 y l función t! 4 3 t3 5t es un primitiv (verifíquelo) x(t) tiene que ser de l form: x(t) = 4 3 t3 5t+C con C 2 R (por el Corolrio 3). Sbemos demás que x(3) = 6, es decir: :3 +C =6 De llí result que C = 5. Y, por lo tnto, l función que describe el movimiento de es prtícul tiene que ser x(t) = 4 3 t3 5t 5: Ejemplo: 2. Supongmos hor que tenemos un prtícul que se mueve en líne rect de mner que su celerción en cd instnte t es (t) =6t+4 y trtremos de determinr su movimiento. De x 00 (t) =(t)=6t+4,se deduce que x 0 (t) = 3t 2 +4t+C con C un constnte. De l últim iguldd se obtiene x(t) =t 3 +2t 2 +C t+c 2 con C 2 constnte. Culesquier que sen ls constntes C y C 2, l función x(t) sí obtenid stisfce x 00 (t) =6t+4, y por tnto, sirve pr describir el movimiento de un prtícul cuy celerción se t! 6t +4. Desde el punto de vist físico, conocid l celerción en cd instnte junto con l posición y velocidd en un instnte determindo, el movimiento de l prtícul debe estr determindo. Supongmos por ejemplo, que se sbe que l prtícul se encuentr en el punto de bscis 0 en el instnte t =yque su velocidd en ese instnte es 2. Entonces 2=x 0 ()=3: 2 +4:+C 0=x() = 3 +2: 2 +C :+C 2 es decir, 2=7+C 0=3+C +C 2

10 256 Primitivs De llí result C = 5 y C 2 =2; quedndo unívocmente determind l función que describe el movimiento de l prtícul. Ell es: x(t) =t 3 +2t 2 5t+2 En ls secciones siguientes diremos lgo sobre cómo clculr primitivs. Antes quisiérmos presentrle lgunos ejemplos más, que yudn clrr los resultdos de est sección. Ejemplo: 3. Se f l función definid por Entonces: Sin embrgo, f (x) = rctn x + rctn x : f 0 (x) = +x 2 + =x 2 +=x 2 = +x 2 + +x 2 =0 pr todo x 6= 0 f () = rctn() + rctn() = 2 f ( ) = rctn( ) + rctn( ) = 2 sí que f no es constnte. Justifique usted. Por qué este ejemplo no contrdice el teorem? Ejemplo: 4. L función H definid por si x 0 H(x) = si x<0 no tiene primitiv. Ver l gráfic en l figur 5.. gráfic de l función H(x) Figur 5. Esto es un consecuenci inmedit del teorem de Drboux, l propiedd del vlor intermedio de l derivd (Mtemátics I) y que H(x)

11 5.2 Ejercicios 257 present un discontinuidd de slto. Tmbién podemos contestr por reducción l bsurdo, suponiendo que H tiene un primitiv. Supongmos pues, que existe un función g : R! R tl que g 0 (x) = H. Entonces, g 0 (x) =en el intervlo (0; +), lo cul implic que g(x) = x+cpr todo x>0. De l mism mner, g 0 (x) = en ( ; 0) lo que implic que g(x) = x+kpr todo x<0. Pero, si g es derivble en R, tiene que ser continu; en prticulr tiene que ser continu en 0. Como lim g(x) =C y lim x!0 + x!0 g(x) =K, pr que g se continu en 0, es necesrio que C = K = g(0). Por tnto x+c si x 0 g(x) = x + C si x<0 Es decir, g(x) =jxj+cpr todo x 2 R. Pero y sbemos que x!j x j +C no es derivble en 0. Como hemos llegdo lgo flso, concluimos que nuestr suposición de que H tiene un primitiv tiene que ser fls. Por tnto H no tiene primitiv. Más generlmente, en virtud del teorem de Drboux referido ntes, no tienen primitiv quells que presentn un slto en su dominio, es decir, quells funciones pr ls cules existn los dos límites lterles en un punto de su dominio, sin que sen igules. El hecho notble es es propiedd del vlor intermedio pr ls funciones derivds (Mtemátics I). Sin embrgo, eso no quiere decir que tods ls funciones con primitiv tengn que ser continus; hy funciones discontinus que tienen primitiv (sus discontinuiddes no pueden ser «sltos»). 5.2 Ejercicios. Hlle un primitiv de ls funciones definids por ls expresiones siguientes: () x 2 (b) 2x (c) senx (d) cos 3x (e) 4x 3 (f) 4x cos x 2. Determine tods ls funciones cuy derivd segund se: x! 3x 2 + 4sen2x 3. Determine tods ls funciones cuy derivd tercer se x! 2x

12 258 Primitivs 4. Determine l función que describe el movimiento rectilíneo de un prtícul si se sbe que: () Su velocidd en cd instnte t es t 4 +2ty x(0) = 5. (b) Su velocidd en cd instnte t es sent + cos t y x() = 0. (c) Su celerción en cd instnte t es t 2 +2ty x() = y v() = x 0 () = 3. (d) Su celerción en cd instnte t es sen2t y x(0) = y v(0)=2. (e) Su ms es 3 y sobre ell ctú un fuerz igul 3t 3 +2 en cd instnte t; demás x(0)=4y v(0)=5. 5. De un función f se sbe que () f (2) = 3. (b) En cd punto (x; f (x)) de su gráfico, l rect tngente existe y tiene pendiente 3x +2. Determine f. 6. Pruebe que rctn x + rctn x = 8 < : (Sugerenci: use el teorem ). 7. Sen g y f ls funciones definids por x 2 sen g(x) = x si x 6= 0 0 si x =0 2 si x>0 2 si x<0 f(x)= 2xsen x cos x si x 6= 0 0 si x =0 () Pruebe que g es un primitiv de f. (b) Pruebe que f no es continu. 8. Se F un primitiv de f y supongmos que f tiene invers, que denotmos por f. Pruebe que l función G definid por: G(x) =x:f (x) F (f (x)) es un primitiv de f. (Supong que f y f son derivbles). 9. Se f l función definid por 2x+3 si x 0 f (x) = 5x 2 si x<0 Pruebe que f no tiene primitiv. (Sugerenci: Teorem de Drboux, o lterntivmente nlice como tendrí que ser l primitiv en los intervlos ( ; 0) y (0; +)) Respuests los ejercicios.

13 5.2 Ejercicios 259 () x3 3 (b) x 2 (c) cos x (d) 3 sen3x (e) x 4 (f) x 4 + 2senx 2. Si f 00 (x) =3x 2 + 4sen2x, entonces f 0 (x) =x 3 2 cos 2x + C y, por tnto, f (x) = x4 4 sen2x + Cx + D con C y D constntes rbitrris. 3. Si f 00 0 (x) =2x, entonces f 00 (x) =x 2 +C:f 0 (x) = x3 +Cx + D, y, por tnto, 3 f (x) = 2 x4 + C 2 x2 + Dx + E; con C; D; E constntes rbitrris. 4. () x(t) = t5 5 +t2 +C (b) Si x 0 (t) = sent + cos t, entonces, x(t) = ( cos t) + sent + C como x()=0, se tiene ( +0)+C =0 (c) Por tnto, C= x(t) = ( cos t + sent ) x(t) = t4 2 + t t 3 2 (d) x(t) = 4 sen2t t +: (e) Como F (t) = m:(t) = 3t 3 +2, se tiene x 00 (t) = t Eso, junto con x(0)=4y v(0) = 5, implic x(t) = t t2 +5t+4: 5. L pendiente de l tngente l gráfico de f en el punto (x; f (x)) es f 0 (x). Porl hipótesis se sbe que es pendiente vle 3x +2, es decir f 0 (x) =3x+2 pr todo x De llí result, f (x) = 3 2 x2 +2x+C:

14 260 Primitivs Como f (2) = 3, se obtiene finlmente, f (x) = 3 2 x2 +2x 7 6. Se f (x) = rctn x + rctn x ; entonces, f 0 (x) = +x 2 + =x 2 +=x 2 = +x 2 +x 2 =0 pr todo x 6= 0. Por el teorem, f tiene que ser constnte en ( f 0 (x) =0en ese intervlo. Como f ( ) =, se tiene 2 ; 0) pues f (x) = 2 pr todo x<0. Análogmente, f tiene que ser constnte en (0; +) y f () = =2. Por tnto f (x) ==2 pr todo x>0. 7. () Si x 6= 0, se tiene En x =0, se tiene g 0 (x) =2xsen x + x2 cos x x 2 =2xsen x cos x = f (x): Como g(h) g(0) h = h2 sen(=h) h = hsen h lim hsen h!0 h =0 (por ser j sen j< ) h se tiene g 0 (0) = 0. Por tnto, g 0 (x) = f (x) pr todo x 2 R y g es un primitiv de f. (b) lim f (x) = lim (2xsen x!0 x!0 x cos x ) no existe y, por tnto, f no es continu en Recordndo l fórmul pr l derivd de f en términos de l derivd de f, se tiene, G 0 (x) =f (x)+x f 0 (f (x)) f (f (x)) f 0 (f (x)) = f x (x) + f 0 (f (x)) x f 0 (f (x)) = f (x) pr todo x.

15 5.3 El cálculo de primitivs Supongmos que f tuvier un primitiv, digmos g. Como f (x) =2x +3en (0; +), g tiene que stisfcer Análogmente, g(x) =x 2 +3x+C pr todo x 2 (0; +) g(x) = 5 2 x2 2x+K pr todo x 2 ( ; 0) En relidd, C = K = g(0) pues g es continu en 0 (por ser derivble). Por tnto, g(x) = 8 >< >: x 2 +3x+C si x x2 2x + c si x 0 Ls derivds l derech y l izquierd de es función en el punto 0 vlen, respectivmente, 3 y 2 y, por tnto ell no es derivble en 0; eso contrdice nuestr suposición de que g 0 (x) =f(x)pr todo x. Por tnto f no tiene primitiv. 5.3 El cálculo de primitivs L ides que quí se presentn serán de utilidd, tnto pr este curso, como pr cursos de Físic y cómo no pr tod ls ciencis!. Se f un función que sbemos tiene primitivs y preguntémonos cómo obtener un de ells. Puede ocurrir que l función f prezc en l prte derech de un tbl de derivds «inmedits» en ese cso y está: l función que prece l izquierd de f en l tbl es un de sus primitivs, ls otrs se obtienen de és gregndo constntes rbitrris en cd intervlo máximo del dominio de f. Vése por ejemplo l tbl 5. Ejemplos. Un primitiv de x 7! cos x es l función x 7! senx; tod otr primitiv de cos es de l form x 7! senx + C, conc constnte. 2. Un primitiv de x 7! p (jxj < ) es l función x 7! rcsenx; tods sus x 2 primitivs son de l form x 7! rcsenx + C. 3. Consideremos l función x 7! x 5. Est no prece en l column de l derech de l tbl, sin embrgo, prece l expresión 6x 5 como derivd de x 7! x 6 (cso = 6 de l derivd de x 7! x 6 ). De d dx (x6 )=6x 5

16 262 Primitivs f (x) f 0 (x) constnte 0 x p p x =(2 x) (x >0) x x senx cos x cos x senx tn x + tn 2 x ==cos 2 x rcsenx = p x 2 (jxj < ) rccos x = p x 2 (jxj < ) rctn x =( + x 2 ) Tbl 5. Un tbl de derivds deducimos fácilmente que d dx ( 6 x6 )=x 5 : Por tnto, ls primitivs de x 7! x 5 son ls funciones de l form x 7! 6 x6 + C: De l mism form se pueden obtener ls primitivs de culquier función de l form x 7! x con rel (x >0si no es entero). escríbls Ud. Ls primitivs de x 7! x son ls funciones de l form x 7! +C. (Complete usted el espcio en blnco). Ahor pregúntese si tiene sentido es fórmul en el cso en que = y qué ocurre en ese cso. Esto lo veremos más delnte en el cpítulo 6. Definición: Si f es un función que dmite primitivs, denotremos por: f (x) dx culquier de ells e inclusive tods ells simultánemente. Este símbolo se lee «integrl de efe de equis de equis». 4. Con es notción, los ejemplos vistos hst hor se escriben: () cos xdx = senx y cos xdx = senx + C

17 5.4 Propieddes de ls primitivs 263 (b) (c) p x 2 dx = dx p x 2 = rcsenx + C (jxj < ) x 5 dx = 6 x6 + C Y, lo que usted debe hber completdo, como x dx = x+ +C si 6= + Dicho esto, sigmos verigundo cómo se clculn primitivs. (d) Busquemos hor un primitiv de l función x 7! =( + 4x 2 ). En l tbl de derivds encontrmos que d (rctn x) = dx +x 2 fórmul que implic que, d dx (rctn 2x) = 2 +(2x) 2 De est últim se deduce que d dx ( 2 rctn(2x)) = +4x 2 Por tnto, dx +4x 2 = rctn(2x) +C: Propieddes de ls primitivs Aquí queremos resumir importntes propieddes de ls primitivs que nos yudrán en l solución de problems y que tmbién simplificrán su cálculo Linelidd de ls primitivs L linelidd de l operción tomr derivd tre como consecuenci l linelidd de l operción buscr primitiv. Lo resumimos en el siguiente teorem: Teorem 4 Sen f y g funciones con primitivs f (x) dx y g(x) dx respectivmente. Se un contnte rbitrri. Entonces

18 264 Primitivs. 2. f(x)dx = (f (x) g(x)) dx = f (x) dx f (x) dx g(x) dx Prueb: Qued como ejercicio pr el lector Cmbio de vribles L regl de l cden pr derivds tiene consecuencis inmedits pr ls primitivs: Teorem 5 Sen f y g funciones derivbles tl que existe l composición f g en lgún intervlo bierto (; b). Se F un primitiv de f, entonces l función F (g(x)) = (F g)(x) es un primitiv de f (g(x)):g 0 (x). Lo cul tmbién escribimos como F (g(x)) = f (g(x)):g 0 (x) dx Prueb: Inmedito recordndo l Regl de l Cden y clculndo l derivd df(g(x)) dx = F 0 (g(x)):g 0 (x) =f(g(x)):g 0 (x) 2 El cso de ls potencis A mner de observción, podemos pensr en el teorem nterior pr el cso donde f (x) = x n con n 2 N. En ese cso un primitiv de f (x) es xn+. Así pr tod n + función derivble g(x) podemos escribir l fórmul: (g(x)) n :g 0 (x) dx = (g(x))n+ n + Est fórmul se puede extender pr otros csos del exponente n 6= Primitivs por prtes Por último mencionremos que l regl de Leibniz pr l derivd de un producto tmbién nos yud en el cálculo de ls primitivs: Teorem 6 Sen f y g funciones derivbles en un intervlo bierto (; b). Entonces: f (x):g 0 (x) dx = f (x):g(x) f 0 (x):g(x) dx: Es decir, sumiendo que existen primitivs pr f (x):g 0 (x) y f 0 (x):g(x) respectivmente, entonces un (y tod) primitiv de f (x):g 0 (x) se obtiene como f (x):g(x) «menos» un primitiv de f 0 (x):g(x).

19 5.5 Algunos ejercicios 265 Prueb: Estmos sumiendo que existen ls primitivs referids. L regl de Leibniz nos firm que: d (f (x):g(x)) = dx f(x):g 0 (x) +f 0 (x):g(x) por lo tnto d (f (x):g(x))dx = f (x):g(x) dx es un primitiv de f (x):g 0 (x) +f 0 (x):g(x) pero por linelidd tenemos, [f (x):g 0 (x) +f 0 (x):g(x)] dx = f (x):g 0 (x) dx + f 0 (x):g(x) dx sí llegmos inmeditmente l expresión buscd Algunos ejercicios. Clcule un primitiv de ls funciones definids por ls siguientes fórmuls 5p () x 2 (x 6= 0) es un cso especil de x (b) senx; sen3x; 4senx; bsen(x) (c) cos( 2. Complete () (b) (c) (d) 2x); 5 cos(3x). ( + tn 2 x) dx =? ( 3x 5 dx =? 2 p xdx=? (x>0) dx p =? (j x j< ) x 2 (; b 2 R): 2 <x< 2 ) 3. Hlle un primitiv de ls funciones definids por ls expresiones siguientes: () (b) (c) p (j 3x j< ) (3x) 2 +5x 2 p +3x 2 (d) cos(x +)

20 266 Primitivs (e) 2sen(2x +3) 4. Obteng un función que cumpl con lo requerido: (fijrse en ls constntes) () f 0 (x) = pr todo x>3; (x 3) 2 f(4) = 5 (b) f 00 (x) =x 2 pr todo x; f 0 ()=, f() = 2 (c) f 00 0 (x) =3 pr todo x; f 00 (2)=0, f 0 (2) = 0, f (2) = 5. (d) f 00 (t) = t 3 pr todo t 6= 0; f 0 ( ) = 0 f ( ) = 0.

21 Cpítulo 6 Integrción Pr el mejor provechmiento de este cpítulo, se recomiend un repso de ls nociones de supremo e ínfimo. 6. L Definición de Drboux de l Integrl de Riemmn 6.. Preliminres cerc de prticiones Se [; b] =Iun intervlo cerrdo de números reles. Un prtición P de I consiste de un sucesión de números x 0 ;x ;:::;x n ;donde = x 0 x :::x n =b Muchs veces pondremos P : = x 0 x :::x n =b Observe que entre los números x 0 ;x ;:::;x n ; puede hber repeticiones. Podemos hcer un dibujo de un prtición de I, como en l figur 6.. en donde n = 6, y Figur 6. un dibujo de un prtición de I donde se repiten x y x 2 y x 5 y x 6 : Podemos decir que un prtición P de I consiste en «un distribución ordend de puntos entre y b». Si P : = x 0 x :::x n =b es un prtición de [; b], llmremos los puntos de P y escribiremos puntos (P ) l conjunto (finito): puntos(p )=fx k jk=0;;:::;ng

22 268 Integrción Observe que puntos(p ) es un conjunto de números reles, mientrs que l prtición P mism, es un numerción creciente de estos puntos con posibles repeticiones. Conviene cuidrse pr no confundir mbos conceptos. Por ejemplo, en l prtición P esquemtizd en l figur 6., unque n =6, tenemos que el conjunto puntos(p ) tiene exctmente cinco elementos. Cundo se necesrio, indicremos con P(I) o P simplemente, l conjunto de tods ls posible prticiones de I: Ahor introducimos en el conjunto P de tods ls posible prticiones de I, un relción de orden, que será fundmentl pr el desrrollo del concepto de integrl. Definición: Dds ls prticiones P y P 0 de I, diremos que P es menos fin que P 0 o que P 0 es más fin que P y escribiremos P P 0 obienp 0 P si el conjunto de los puntos de P está contenido en el conjunto de los puntos de P 0 : puntos(p ) puntos(p 0 ) Pr clrr el significdo de est definición pongmos los siguientes nombres: Si P : = x 0 x :::x n =bes un prtición de I, pongmos I =[x 0 ;x ]; I 2 =[x ;x ];. I n =[x n ;x n ] y llmremos cd uno de estos intervlos cerrdos un intervlo de l prtición P: Podrímos decir que un prtición como P subdivide I en los intervlos I ;I 2 ;:::;I n : En l figur 6. están mrcdos los intervlos I ;I 2 ;:::;I 6 :Observe que lgunos de estos intervlos «degenern» un solo punto. Volviendo nuestr definición, podemos decir que si P es menos fin que P 0, entonces P 0 subdivide cd intervlo de P en subintervlos, slvo por los posibles intervlos reducidos un solo punto de P: (Anlice est firmción). Observe que tmbién uno podrí tener P P 0 con P : = x 0 x :::x n =b P 0 : =x 0 0 x0 :::x0 n 0 =b pero podrí ser n>n 0 (porque podrín hber repeticiones). Podrí poner un ejemplo? Ahor psmos describir lguns propieddes fundmentles de l relción P P 0 : Ls numermos:. P P pr cd P 2P:(Propiedd reflexiv). Esto es obvio 2. Si P P 0 y P 0 P 00, entonces P P 00 : Est es l propiedd trnsitiv y es evidente. 3. Si P P 0 y P 0 P ; no podemos concluir que P y P 0 sen igules, pero un conclusión correct es que puntos(p )=puntos(p 0 ); lo cul es clro prtir de l definición.

23 6. L Definición de Drboux de l Integrl de Riemmn 269 Así entonces, dos prticiones «igulmente fins» (cd un es menos fin que l otr), pueden no ser igules ( hg un ejemplo!), pero son «esencilmente igules» : tienen los mismos puntos. L únic diferenci sólo puede estr en l numerción de estos puntos. Observción: L relción de orden en P de prticiones de I = [; b] tiene vris diferencis importntes con, por ejemplo, el orden de los números reles. Un de ells es que el orden de P no es linel: Existen prticiones P y P 0 tles que ni P P 0 ni P 0 P (decimos: P y P 0 no son comprbles). Por ejemplo ve l figur 6.2. P y P 0 no son comprbles Figur L siguiente propiedd del orden en P, tiene que ver con l linelidd, unque es más débil y dice sí: Si P y P 0 son prticiones de I, entonces existe P 00 2Ptl que P P 00 y P 0 P 00 : Es decir, dds dos prticiones P y P 0, pueden no ser comprbles, pero hy lgun que «sigue» mbs (es más fin que mbs). En cunto l demostrción es clro que si considermos el conjunto A = puntos(p ) [ puntos(p 0 ) de los puntos de mbs prticiones P y P 0 y ls numermos en form creciente, obtenemos l prtición P 00 buscd. Con est list de propieddes del orden en P, concluimos l sección y psmos l construcción de l integrl. Ejemplos. f 2; ; 0; ; ; 3g es un prtición de [ 2; 3] en donde 2 y es clro que x 0 = 2; x = ;x 2 =0;x 3 = 2 ;x 4=;x 5 =3 2 < < 0 < 2 < < 3 x 0 <x <x 3 < x 3 <x 4 <x 5

24 270 Integrción Obsérvese que l prtición quí presentd const de 6 puntos, los cules subdividen l intervlo ddo [ 2; 3] en 5 subintervlos, sber: [ 2; ]; [ ; 0]; [0; 2 ]; [ ; ]; [; 3] 2 L longitud del intervlo ddo es 3 ( 2) = 5 y ls longitudes de los subintervlos correspondientes l prtición son respectivmente: ( 2)=; 0 ( ) = ; 2 0= 2 ; ( 2 )= 2 ; 3 ( ) = {z } {z } {z} {z} {z } {z } 5 Ejercicios. Se D = 2 ; ; 3 2 ; 2; 4 un prtición de [ ; 4]. Explique ls rzones por ls 2 cules podemos hcer tl firmción. Indique cuántos puntos tiene l prtición y cuáles son los subintervlos en que qued subdividido [ ; 4]. Clcúlense 2 demás ls longitudes del intervlo ddo y l de los subintervlos. 2. () Demostrr que si un conjunto A tiene máximo, entonces máx(a) =Sup(A). (b) Demostrr que si pr un conjunto A no vcío cotdo superiormente, Sup(A) 2 A, entonces Sup(A) =máx(a). (c) Demostrr ls propieddes nálogs ls de () y (b) pr mína eínfa. (d) Demuestre que si A es un conjunto cotdo y B es un subconjunto no vcío de A, entonces B es cotdo y se cumple que: ínf(a) ínf(b) ysup(b) Sup(A). 3. SenP ; P 2 prticiones del intervlo [0; ], con P = 0; 0; 7 ; 3 ; ; P 2 = () Construy P = P [ P 2 7 ; 4 ; 3 4 ; (b) Es P un refinmiento de P ódep 2? Justifique su respuest. (c) Clculr l norm de P ; P 2 y P respectivmente. (Norm P =máx(x i x i ); i =; 2;:::;n)

25 6.2 Sums superiores e inferiores de Drboux Sums superiores e inferiores de Drboux En est sección fijmos un intervlo I =[; b] y en él fijmos un prtición con sus intervlos P : = x 0 x :::x n =b I =[x 0 ;x ]; I 2 =[x ;x ];. I n =[x n ;x n ] Además fijmos un función f (x) definid en I, de l que suponemos que es cotd. Esto signific que existen números m y M tles que m f (x) M pr todo x 2 I: Estos dtos se observn en l figur 6.3. Con estos dtos, introducimos los números Figur 6.3 un dibujo de un prtición de I m k = infff (x) j x 2 I k g M k = supff (x) j x 2 I k g que se ilustrn en l figur 6.3. Definimos hor dos números básicos socidos con los dtos: Ponemos S(f;P) =m ji j ++m n ji n j =m (x x 0 )++m n (x n x n ) S(f;P) =M ji j ++M n ji n j =M (x x 0 ) ++M n (x n x n ) Estos números se llmn sí: El primero es l sum inferior de Drboux de l función f pr l prtición P y el segundo es l sum superior de Drboux de l función f pr l prtición P: Hemos usdo l notción ji k j pr l longitud del intervlo I k =[x k ;x k ], que es x k x k y que veces tmbién se escribe x k x k =x k : Podrímos hber escrito entonces, S(f;P) = nx k= m k x k

26 272 Integrción S(f;P) = nx k= M k x k L siguiente observción, tiene demostrción muy sencill ( crgo del lector) y es importnte. Observción: P 0 P, entonces Si P y P 0 son igulmente fins, es decir, si P P 0 y S(f; P) =S(f; P 0 ) y S(f; P) =S(f; P 0 ) «Ls sums inferiores y superiores de Drboux no cmbin, si se sustituye un prtición por otr igulmente fin». Como yud pr probrlo observe que los únicos términos que pueden precer por ejemplo en S(f;P) ynoens(f; P 0 ) tienen x k = 0, y vicevers. ( Por qué?). Análogmente pr ls sums superiores. Observe que cd uno de los términos de ls sums nteriores, se pueden considerr como el producto de un longitud en el eje x por un número, que si lo medimos, con su signo, sobre el eje y, produce como resultdo el áre con signo, de un rectángulo. Esto se ilustr en ls figurs 6.4 y 6.5. En el cso de l figur 6.4, S(f; P) S(f;P) rest ls áres sobre el eje x menos ls áres bjo el eje Figur 6.4 consiste de l sum de ls áres de los rectángulos que están sobre el eje x menos l sum de ls áres de los que están por debjo. Tmbién en el cso de l figur 6.5, S(f;P) consiste de l sum de ls áres de los rectángulos que están sobre el eje x menos l sum de ls áres de los que están por debjo. El lector diligente, observrá que si f (x) es 0, y R = f(x; y)jx 2 [; b]; 0 y f (x)g = «región bjo l gráfic de» f entonces S(f;P) «clcul el áre de R por exceso» y que S(f;P) «clcul el áre de R por defecto» en el sentido que los rectángulos que sirven pr clculr S(f; P) «cubren R» mientrs que quellos que sirven pr clculr S(f;P) «cubren un región contenid en R», como ilustrn ls figurs 6.6 y 6.7. Clro que l firmción nterior es vcí porque no sbemos ún qué cos es el áre de R:

27 6.2 Sums superiores e inferiores de Drboux 273 Figur 6.5 S(f; P) rest ls áres sobre el eje x menos ls áres bjo el eje S(f;P) "<clcul el áre de R por exceso"> Figur 6.6 Figur 6.7 S(f; P) "<clcul el áre de R por defecto">

28 274 Integrción Ejemplos. Podemos usr l noción de límite pr clculr un áre. Como un primer problem clculmos un áre A ryd de l figur 6.8, es decir, el áre bjo l prábol de l ecución y = x 2, cotd por el eje x y l rect de l ecución x = b. Podemos usr l noción de límite pr clculr un áre Figur 6.8 A tl efecto se divide el segmento [0;b] en n prtes igules y se consider el áre A n obtenid l sumr ls áres de los rectángulos «inscritos», construidos sobre los subintervlos b n ; 2 b n (ver figur 6.9). ; 2 b n ; 3 b n ;:::; (n ) b n ;bb n Finlmente se lleg : A n = b3 n :::+(n ) 2 pr todo n 2 N y se concluyó que lim n! A n = b3 3 Por tnto, el áre buscd se «proxim bstnte» b Continuemos explotndo l ide de clculr un áre, consideremos de nuevo l figur 6.8, repitmos l subdivisión de [0;b] en n prtes igules pero construymos hor los rectángulos «circunscritos», como sugiere l figur 6.0.

29 6.2 Sums superiores e inferiores de Drboux 275 ls áres de los rectángulos "<inscritos"> Figur 6.9 ls áres de los rectángulos "<circunscritos"> Figur 6.0 De modo que B n = b n b2 n 2 + b b2 22 n n 2 + :::+n2b n b2 n 2 = b3 = b3 n 3 n 3( :::+n 2 ) nx k= k 2 pr todo n 2 N Al crecer n, ls áres B n se proximn l áre buscd, por tnto, A lim n! B b 3 n = lim n! n 3 nx k= k 2 = n(n + )(2n +) lim = b3 n! 6 3 luego el áre A b3 3 Ejercicios. Representr gráficmente l función rel de vlores reles, f, cuy ley de correspondenci es: f (x) = 8 >< >: 3 x si x 2 [ ; 0) +x 2 si x 2 [0; ) 3 si x 2 [; 2]

30 276 Integrción ; 2]. Demues- 3 Se P = ; 4 ; 0; 2 ; ; 3 2 ; 2 un prtición del intervlo [ tre que f es cotd en [ ; 2] yclcules(f; P) y S(f; P). 2. Se f un función rel de vlores reles, cotd en [; b], estoes,existen números rele m y M tles que m f (x) M pr todo x 2 [; b]. Demuestre l desiguldd siguiente: m(b ) s(f; P) S(f; P) M(b ) pr culquier prtición P de [; b]. 3. Si P y P 2 son prticiones de [; b] y P P 2 se dice que P 2 es un refinmiento de P. Bjo ls hipótesis del ejercicio nterior demuestre que: s(f;p ) s(f; P 2 ) S(f;P ) S(f; P 2 ) Ests desigulddes se costumbr leerls en l form siguiente: «L sum inferior pr un prtición P es siempre menor o igul que l sum inferior pr un refinmiento P 2» y «l sum superior pr P es siempre myor o igul que l sum superior pr el refinmiento P 2», o tmbién: «A medid que refinmos ls prticiones, ls sum inferiores umentn y ls sums superiores diminuyen». 4. Se f tl que f (x) = 8 >< >: x+2 si x 2 [ ; 0] x si x 2 (0; ) + p x si x 2 [; 4] Pr [ ; 4], sep = f ; 0; ; 3; 4g2P([ ; 4]). () Demuestre que f es cotd en [; 4]. (b) Clcúlese m (f; P); m 2 (f; P); m 3 (f; P); m 4 (f; P); y M (f; P); M 2 (f; P); M 3 (f; P); M 4 (f; P) (c) Se cumple que 0 m i (f; P) M i (f; P) 3; 8 i =;2;3;4? 5. Se f dd por f (x) = y P = f ; 8 >< >: 3 x si x 2 [ ; 0) +x 2 si x 2 [0; ) 3 si x 2 [; 2] 2 ; 0; 2 ; 3 ; 2g. Hlle s(f; P) y S(f; P) Propieddes básics de ls sums de Drboux Ls siguientes son lguns de ls propieddes más importntes que tienen ls sums de Drboux y que nos serán indispensbles en l construcción de l integrl.

31 6.2 Sums superiores e inferiores de Drboux 277. Si f es cotd en I =[; b] y P es un prtición de I, entonces S(f;P) S(f;P): Est firmción es evidente y su prueb qued crgo del lector. 2. Si f es cotd en I ysip,p 0 son prticiones de I tles que P P 0, entonces (6.) (6.2) S(f;P) S(f;P 0 ) S(f;P) S(f;P 0 ) Es decir, «cundo finmos l prtición, ls sums superiores bjn mientrs que ls sums inferiores suben». Prueb: Pr demostrr esto bst verlo en el cso en que P 0 tiene un solo punto de prtición más que P, porque el cso generl consiste en un sucesión de plicciones de este cso (el lector debe convencerse de esto). Consideremos entonces este cso. L figur 6., ilustr l situción: Consideremos el Figur 6. el cso en que P 0 tiene un solo punto de prtición más que P cso de l desiguldd 6.. En ls dos sums S(f; P) y S(f;P 0 ) precen los mismos términos no nulos. L únic diferenci es l siguiente: En S(f;P) prece el término m k (x k x k ) donde m k = infff (x)jx 2 [x k ;x k ]g En S(f;P 0 ) prece en cmbio l sum de dos términos: donde j (t j t j )+ j+ (t j+ t j ) j = infff (x)jx 2 [t j ;t j ]g j+ = infff (x)jx 2 [t j ;t j+ ]g El lector podrá mostrr sin dificultd que el número m k es l vez, menor o igul que mbos j y j+ (y que «el ínfimo de un conjunto de números sólo puede decrecer si l ddo conjunto se gregn más números» ). Pero entonces lo que prueb que m k (x k x k )=m k (t j t j )+m k (t j+ t j ) j (t j t j )+ j+ (t j+ t j ) S(f;P) S(f;P 0 )

32 278 Integrción porque, como dijimos, los demás términos son igules en mbs sums. L prueb de l desiguldd 6.2 es nálog y qued crgo del lector Si f es cotd en I =[; b] y P, P 0 son prticiones de I, entonces S(f;P) S(f; P 0 ): Observe que lo que quí decimos super en mucho lo que se firm en. En efecto, quí decimos que tod sum inferior de f es inferior tod sum superior independientemente de ls prticiones que se usen en cd cso. Prueb: L prueb es sí: Elegimos un prtición P 00, más fin que mbs P y P 0 (recordndo ls propieddes del orden de ls prticiones en l págin 268). Entonces S(f; P) S(f; P 00 ) prop. 2 P P 00 S(f; P 00 ) S(f; P 00 ) prop. S(f; P 00 ) S(f; P 0 ) prop. 2 P P 0 y de ls tres desigulddes nteriores, sigue lo dicho L integrl superior y l integrl inferior de Drboux Dd l función cotd f en I =[; b], queremos considerr que ls sums superiores S(f;P) producen «estimciones por exceso» y que ls sums inferiores S(f; P) producen «estimciones por defecto» de un número que, en cso de existir, será l integrl de f en I: Y hemos visto que pr cd P 2P(P=conjunto de tods ls prticiones de I) y cd P 0 2P; S(f;P) S(f; P 0 ): Como demás, medid que finmos l prtición P, ls sums inferiores de f suben mientrs que ls sums superiores bjn, prece nturl introducir los siguientes dos números: b f (x) dx = sup fs(f; P) j P 2Pg y b f(x)dx = inf S(f; P) j P 2P Definición: El número b f (x) dx se llm l integrl inferior de Drboux de f sobre el intervlo I, mientrs que el número l integrl superior de Drboux sobre I: b f (x) dx se llm

33 6.3 L integrl superior y l integrl inferior de Drboux 279 Observemos que b f (x) dx y b f (x) dx son lgo sí como «l mejor (igul l myor) sum inferior» de f y «l mejor (igul l menor) sum superior» de f (l que corresponde «l prtición más fin de I»). Lmentblemente no existe «l prtición más fin de I» ni por consiguiente l mejor sum inferior, ni l mejor sum superior. Observemos que fs(f;p) j P 2Pg y S(f; P) j P 2P son conjuntos de números, de los cules el primero está superiormente cotdo (por culquier S(f;P) con P 2P) y el segundo está inferiormente cotdo (por culquier S(f; P) con P 2P). Es por esto que los números b f (x) dx y b f (x) dx; existen. Además l desiguldd b f (x) dx b f (x) dx deberí ser evidente. A pesr de ello, dmos continución un prueb. Prueb: Se >0:Existe entonces un prtición P de I tl que. S(f;P)+ b 2 > f(x)dx 2. S(f;P) b 2 < f(x) dx Por qué? ( Es importnte que el lector se convenz de que lo nterior es consecuenci de l definición de ínfimo y supremo!). Entonces b f (x) dx < S(f;P)+ 2 S(f;P)+ 2 < b f(x)dx +( ): Entonces, pr culquier número positivo los números f (x) dx cumplen con: b f (x) dx < b f (x) dx + : b f (x) dx y b

34 280 Integrción Qued como ejercicio importnte pr el lector, que entonces necesrimente b f (x) dx b f (x) dx; como se querí. 2 Ahor dmos finlmente l definición más importnte del cpítulo. Definición: Diremos que l función f, cotd en el intervlo I = [; b], es integrble en I si b f (x) dx = b f (x) dx En este cso, diremos que el número b f (x) dx o b f (x) dx es l integrl de f en el intervlo I y pondremos simplemente este número. En símbolos, cundo f es integrble en I, b b f (x) dx = f (x) dx = b y b f (x) dx = f (x) dx b f (x) dx: b f (x) dx pr indicr Vemos primero, un crcterizción útil de l noción de función integrble: Proposición 7 Se f (x) un función cotd en I =[; b]: Entonces f es integrble en I si y sólo si se verific l siguiente condición: «Pr cd >0, existe un prtición P tl que S(f; P) S(f;P) <:" Demostrción: Est prueb tiene, como siempre, dos prtes. Supongmos primero que f es integrble. Se >0:Entonces, existe un prtición P 0 tl que b f (x) dx + 2 > S(f; P0 ) ( Por qué? Se trt de l definición mism de ínfimo. Recuerde que R es un ínfimo de S(f;P 0 )). Tmbién existe P 00 tl que b f (x) dx 2 <S(f; P00 ) R ( Por qué? Nuevmente se trt de l definición de supremo. Recuerde que es un supremo de S(f;P 0 )).

35 6.3 L integrl superior y l integrl inferior de Drboux 28 Ahor elegimos P P 0 y P P 00, sí tenemos que R b f (x) dx + 2 > S(f; P0 ) > S(f; P); y R b f(x) dx + 2 > S(f; P00 ) > S(f; P) Sumndo, S(f;P) S(f;P) <;como querímos. Ahor, recíprocmente, supongmos que se cumple l condición del enuncido de l proposición y probemos que f es integrble. Se > 0yseP un prtición de I tl que S(f;P) S(f;P) < :Entonces b f (x) dx b f (x) dx S(f; P) S(f; P) <: (En efecto, se sustituyó R por S que es más pequeñ). Luego, l diferenci b f (x) dx b f (x) dx es un número myor o igul cero, que es menor que culquier número positivo : Entonces, necesrimente b f (x) dx = b f (x) dx como querímos. 2 Ejemplos. Se f :[; b]! R tl que f (x) =C=constnte. Demostrremos que f es integrble en [; b] y que b b f = Cdx=C b dx = C(b ) En efecto, se P = fx i ji =0;;:::;ng2P([; b]), es evidente que m j = M j = C; j =;2;:::;n; luego: y s(f;p) = S(f;P) = nx C(x j x j )=C nx j= j= nx C(x j x j )=C nx j= j= (x j x j )=C(b ) (x j x j )=C(b )

36 282 Integrción f (x) =C=constnte, es integrble en [; b] Figur 6.2 Entonces, inffs(f; P)jP 2 P([; b])g = supfs(f; P)jP 2 P([; b])g = C(b de donde b b b f = f = C = C(b ) ), Ejercicios ( 0 si x es rcionl. Se f :[0;]! R tl que f (x) = si x es irrcionl Demuestre que f no es integrble en [0; ]. 2. Es ciert l siguiente firmción? Tod función cotd en [; b] es integrble en [; b]. Rzone su respuest. ( x si x es rcionl 3. Se f :[0;]! R tl que f (x) = x si x es irrcionl Es integrble f en [0; ]? Rzone su respuest. 6.4 Propieddes de l integrl Ahor psmos nlizr ls propieddes generles básics de l integrl inferior y superior de Drboux, sí como quélls de l integrl Monotoní Ls siguientes firmciones son sencills y sus demostrciones quedn crgo del lector. Sen f y g cotds en I: Supongmos que f (x) g(x) pr todo x 2 I: Entonces

37 6.4 Propieddes de l integrl b b f (x) dx f (x) dx b g(x) dx b g(x) dx 3. Si f y g son integrbles, entonces b f (x) dx b g(x) dx: Subditividd y ditividd Aquí probmos l siguiente Proposición 8 Sen f (x) y g(x), cotds en I =[; b]: Entonces (i) (ii) b b (f (x) +g(x)) dx (f (x) +g(x)) dx b b f (x) + b b f (x) + g(x)dx g(x)dx (iii) Si mbs f y g son integrbles en I, entonces f + g tmbién es integrble en I y se tiene b b b (f (x) +g(x)) dx = f (x) + g(x) Demostrción: Probremos solmente (i) y (iii). L prueb de (ii) es semejnte l de (i). «muttis mutndis». Se P un prtición de [; b]: Afirmo que S(f + g; P ) S(f;P)+S(g; P ): En efecto, est desiguldd es consecuenci de que M k (f + g) M k (f )+M k (g) «El supremo de l sum f + g en I k es menor o igul que el supremo de f en I k más el supremo de g en I k ". Esto es clro puesto que supff (x)jx 2 I k gf(x) y supfg(x)jx 2 I k gg(x) pr culquier x 2 I k, sí que M k (f )+M k (g)f(x)+g(x) pr todo x 2 I k ysí Pero entonces, M k (f )+M k (g)m k (f+g): (6.3) b (f + g) dx = inffs(f + g; P )jp 2Pg S(f+g; P ) S(f;P)+S(g; P )

38 284 Integrción culquier que se l prtición P de P: Ahor, se >0yseP 2Ptl que b f (x) dx + b 2 > S(f; P) y g(x) dx + 2 > S(g; P ) ( Por qué hy un tl prtición P?). Entonces usndo l ecución 6.3, tenemos que pr cd >0, b (f(x)+g(x)) dx S(f;P)+S(g; P ) < b b f(x) dx + g(x) dx + En consecuenci, tenemos (i) (El lector debe demostrr que si ddos los números y, se tiene pr todo >0, que +, entonces necesrimente, ). En cunto l demostrción de (iii) tenemos el elegnte rgumento que dmos continución: R b (f + g) dx R b (6.4) R b (f + g) dx R b R f (x) dx + b g(x) dx R f (x) dx + b g(x) dx Pero los dos miembros de ests dos desigulddes son igules si suponemos que f y g son integrbles. Entonces result que b (f + g) dx b (f + g) dx; con lo que deben ser igules y esto prueb l integrbilidd de f + g: Pero entonces en l ecución 6.4 l integrl b b b 9 >= >; (f + g) dx debe ser l vez, myor o igul, y menor o igul que fdx+ gdx, sí que debe coincidir con est sum y sí concluye l prueb de (iii) y de l proposición Homogeneidd Aquí probmos l siguiente Proposición 9 Se f (x) cotdo en I =[; b]: Entoces: i) Si 0; b b ii) Si < 0, b (f(x)) dx = (f(x)) dx = (f(x)) dx = b b b f (x) dx f (x) dx f (x) dx

39 6.4 Propieddes de l integrl 285 b (f(x)) dx = b f (x) dx iii) Si f es integrble en I y 2 R, entonces f tmbién es integrble en I yse tiene b f(x)dx = b f (x) dx: Demostrción: L prueb de est proposición se bs en ls siguientes propieddes sencills del supremo e ínfimos cuy demostrción dejmos crgo del lector. Si A es un conjunto cotdo de números (y no vcío) y si 2 R, entonces supa = sup(a) inf A = inf(a) supa = inf(a) inf A = sup(a) si 0 si < 0 donde hemos denotdo Apr el conjunto A =fj2ag: Entonces, por ejemplo pr l prueb de (i) rzonmos sí: Supongmos 0, pr cd prtición P de I, M k (f) = supff(x)jx2i k =[x k ;x k ]g = supa; donde A = ff (x)jx 2 I k g: Luego M k (f) = supa =supa = M k (f): Entonces, S(f;P)= = = nx k= M k (f)x k nx M k (f )x k k= = S(f;P) pr cd prtición P de I: Entonces, tomndo el ínfimo sobre ls prticiones P : inffs(f;p)jp 2Pg b = f(x)dx = inff S(f;P)jP 2Pg =inffs(f;p)jp 2Pg = b f(x)dx: L segund prte de (i) es nálog.

40 286 Integrción L prueb de (ii) se hce de mner precid: supongmos < 0: Se P un prtición de [; b]: Tenemos Entonces, M k (f) = supff(x)jx2i k g =infff (x)jx 2 I k g = m k (f): S(f;P)= = nx k= nx k= = S(f; P): Luego, tomndo ínfimos b M k (f)x k m k (f )x k f(x)dx = inffs(f;p)jp 2Pg = inffs(f; P)jP 2Pg =inffs(f; P)jP 2Pg = b f(x)dx: L segund de (ii) es nálog. Finlmente (iii) sigue de (i) y (ii). En efecto, se 0, por ejemplo y si f es integrble, tenemos b b f(x)dx = f (x) dx b b = f (x) dx = f(x)dx: R R b Esto muestr que f(x)es integrble (pues f(x)dx = b f(x)dx) y que b f(x)dx = b f (x) dx; como querímos. El cso < 0 se trt nálogmente y esto concluye l prueb de est lrg, unque no difícil, proposición Propiedd ditiv de intervlo Aquí considermos un función f (x), cotd en I =[; b] y un punto c tlque < c<b:l propiedd que nos interes es l siguiente: Proposición 0 En l notción precedente, tenemos. 2. b b f (x) dx = f (x) dx = c c f (x) dx + f (x) dx + b c b c f (x) dx y f (x) dx

41 6.4 Propieddes de l integrl 287 Figur 6.3 Propiedd ditiv de intervlo Además, f (x) es integrble en I si, y sólo si, lo es simultánemente en J =[; c] y k =[c; b] yenestecso 3. b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx: Demostrción: El dibujo pertinente es l figur 6.3. Vemos primero l propiedd indicd de l integrl superior. Si P 0 y P 00 son prticiones de [; c] y [c; b] respectivmente y si reunimos en P los puntos de P 0 y P 00, pr crer un prtición de [; b], es clro que b f (x) dx S(f;P) =S(f; P 0 )+S(f; P 00 ) Reunidos en P los puntos de P 0 y P 00 Figur 6.4 ( Por qué?). El dibujo correspondiente es l figur 6.4. Entonces, pr cd P 0 2 P(J) y P 00 2P(k); y luego, b f(x)dx S(f;P 0 )+S(f; P 00 ) (6.5) b f (x) dx c f (x) dx + b c f (x) dx ( Por qué?). Sugerimos proximr, ddo >0 S(f;P 0 ) < c f(x) dx + 2 ; S(f; P00 ) < b c f (x) dx + 2 :

42 288 Integrción y luego plicr un rgumento y usdo ntes cerc de que es rbitrrio). Ahor, pr probr l desiguldd opuest l ecución 6.5 y terminr de demostrr l primer prte de l proposición, se >0yseP un prtición de I tl que b f (x) dx + >S(f; P) Suponemos que c es uno de los puntos de P: Si no lo es, lo gregmos y S(f;P) es ún menor en este cso. Entonces es clro que P d origen prticiones P 0 de J y P 00 de K tles que l reunión de mbs tiene los puntos de l prtición P: Entonces b f (x) dx + > S(f;P 0 )+S(f; P 00 ) c f (x) dx + b c f (x) dx y como es rbitrrio... (y vimos visto vris veces ntes), qued b f (x) dx c f (x) dx + b c f (x) dx y esto complement l prueb de primer proposición. L prueb de l segund, es entermente nálog. Psemos hor l últim prte de l proposición. Si f es integrble en I, entonces f es integrble en J y K: Pues si, por ejemplo se tuviese c se tendrí que b f (x) dx > f (x) dx = c c serí myor que y no igul c f (x) dx + que por otr prte es b f (x) dx = b c b f (x) dx; f (x) dx + f (x) dx f (x) dx; b c f (x) dx lo cul es un contrdicción. Recíprocmente, si f (x) es integrble en J y K tenemos b b f (x) dx = f (x) dx = c f (x) dx + {z } b c k k z c } { b f (x) dx + f (x) dx {z } k k z } { c f (x) dx

43 6.4 Propieddes de l integrl 289 y como tenemos que ls dos «igulddes verticles» indicds, sigue l integrbilidd de f en I: Con esto termin l prueb de est lrg, pero sencill proposición. 2 Observción: Ddo los números y b, en donde no suponemos que < b, es conveniente definir, un en este cso, los números b f (x) dx; b f (x) dx y b f (x) dx como sigue: Si b, ponemos b f (x) dx = b f (x) dx y b f (x) dx = b f (x) dx pr un función f (x) cotd en [; b]: L figur 6.5 pretende ilustrr l situción 6 uf (x 0 )+vf(x ) X XXz f(ux 0 + vx ) - x 0 ux 0 + vx x Figur 6.5 Notr que R R b f (x) dx = b f (x) dx que describimos. Tmbién, si f (x) es integrble en [b; ], ponemos b f (x) dx = b f (x) dx: Entonces, qued como un ejercicio de plicción de l proposición nterior y de l plicción de cmbios de signo, probr ls siguientes firmciones: Ddos los números ; b; c en culquier posición reltiv (no necesrimente b c), se tiene: b b f (x) dx = f (x) dx = c c f (x) dx + f (x) dx + b c b c f (x) dx f (x) dx

44 290 Integrción y, cundo f es integrble, b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx: 6.5 L integrl como función del extremo superior (del intervlo de integrción) Aquí considermos un función cotd f (x) definid en I =[; b] y, pr cd x 2 I, definimos los números F (x) y F (x), como: F (x) = x f(t)dt y F (x) = x f(t)dt Observe que, como x indic un número fijo en I, lvribledef, que se mueve en [; x] se indicó, dentro de l integrl con otr letr. L letr t: Además, si f es integrble en I, entonces lo es cd [; x] y tmbién ponemos F (x) = x f(t)dt: El primer resultdo quí, es Proposición. Ls funciones F (x) y F (x) son continus en [; b]: 2. Supongmos que f (t) es integrble en cd intervlo de l form [; x] pr cd x tl que x<b:entonces f es integrble en todo [; b] y F (x) que está entonces definid en [; b], es continu. Antes de psr l prueb de l proposición enuncimos y probmos el siguiente útil. Lem 2 Si h(t) está definid en el intervlo [c; d] y verific llí entonces m h(t) M; t 2 [c; d] m(d m(d d c) h(t) dt M (d c) c d c) h(t) dt M (d c) c Además, si h es integrble en [c; d], entonces m(d d c) h(t) dt M (d c) c

45 6.5 L integrl como función del extremo superior (del intervlo de integrción) 29 Prueb: El lector probrá sin dificultd, que un función constnte k es integrble en [c; d] y que su integrl vle k(d c): Entonces, ls propieddes de monotoní de R, R y R (ver 2.) pruebn este lem y que ls desigulddes m h(t) M;t 2 [c; d] se plicn l funciones m y M (constntes) y h(t), y dn, por ejemplo: d d m(d c) = mdt h(t)dt c c d Mdt=M(d c) c Análogmente se procede con ls otrs dos. 2 Ahor psmos l prueb de l proposición: Prueb: (De l proposición).. Se x 0 2 [; b] y mostremos, por ejemplo, que F (x) es continu en x 0 : Por l propiedd ditiv de intervlo de F (x), tenemos pr cd x 2 [; b], F (x) F (x 0 )= x x 0 f(t)dt (Observe que est iguldd es ciert independientemente de que x se encuentre l derech o l izquierd de x 0 ). Ahor, como f es cotd en [; b], elijmos constntes m<mtles que m f (x) M pr x 2 [; b] R x Entonces, plicndo el lem y l definición de x 0 cundo x<x 0, tenemos ls desigulddes m(x x 0 ) F (x) F (x 0 ) M (x x 0 ) obien M (x x 0 ) F (x) F (x 0 ) m(x x 0 ) según que x x 0 o x<x 0 :Luego, en todos los csos j F (x) F (x 0 ) j (M m) j x x 0 j (El lector debe dr un rgumento pr justificr est conclusión). Entonces, ddo que >0, si ponemos = 2(M, sigue que si j m) x x 0 j<, entonces j F (x) F (x 0 ) j<, lo que prueb l continuidd de F: Pr ver l de F,se procede de mner nálog, «muttis mutndis".