Cálculo integral de funciones de una variable

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1 Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del intervlo [, b] es un sucesión finit creciente de puntos del intervlo tl que: = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b Se define t i = t i t i 1 pr i = 1,..., n. El conjunto de tods ls prticiones de [, b] se denot P[, b]. Definición 2.- Si se denotn, pr i = 1,..., n: M i = sup{f(x) : x [t i 1, t i ]} m i = inf{f(x) : x [t i 1, t i ]} se define l sum superior de f reltiv l prtición P : U(f, P ) = n M i t i i=1 y l sum inferior de f reltiv l prtición P : L(f, P ) = n m i t i i=1 1

2 Definición 3.- Se define l integrl superior de Riemnn de f en [, b]: f = inf{u(f, P ) : P P[, b]} y l integrl inferior de Riemnn de f en [, b]: f = sup{l(f, P ) : P P[, b]} Teorem 1.- f f Definición 4.- Se dice que f es Riemnn integrble en [, b] (y se denot f R([, b])) si y solo si se d l iguldd: f = A este vlor se le denomin l integrl de Riemnn de f en [, b], y se denot: f f. f(x) dx Teorem 2.- f R([, b]) si y solo si se stisfce l condición de Cuchy-Riemnn en [, b], esto es, ε > 0, P P[, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε 2

3 2 Propieddes Principles propieddes de l integrl de Riemnn: 1. f R([, b]), c (, b) f R([, c]) y f R([c, b]). Además, f = c f + c f 2. f, g R([, b]) f + g R([, b]). Además, (f + g) = f + g 3. f R([, b]), λ R λf R([, b]). Además, (λf) = λ f 4. f, g R([, b]), f(x) g(x), x [, b] f g 5. f R([, b]) f R([, b]). Además, f f 6. f, g R([, b]) fg R([, b]). 7. f, g R([, b]), g(x) c > 0, x [, b] f g R([, b]). 3

4 3 Funciones Riemnn integrbles Teorem 3.- Tod función f : [, b] R R monóton y cotd en [, b] es Riemnn integrble en [, b]. Teorem 4.- Tod función f : [, b] R R continu en [, b] (slvo, lo sumo, en un conjunto de contenido cero, por ejemplo, un conjunto finito de puntos o un sucesión convergente) y cotd es Riemnn integrble en [, b]. Corolrio 1.- Sen dos funciones f, g : [, b] R R tles que el conjunto de puntos donde mbs son distints A = {x [, b] : f(x) g(x)} tiene contenido cero. Entonces, f es Riemnn integrble en [, b] si y sólo si g tmbién lo es. Además, en este cso, f = g. 4 Teorems fundmentles del Cálculo Integrl Teorem 5 (Primer Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl).- Se f cotd y Riemnn integrble en [, b]. Entonces: () L función F : [, b] R R definid por: es continu en [, b]. F (x) = x 4 f(t) dt

5 (b) Si demás f es continu en x 0 [, b], se tiene que F es derivble en x 0, y verific: F (x 0 ) = f(x 0 ) Definición 5.- Dd f : [, b] R R, se dice que un función F : [, b] R R derivble en [, b] es un primitiv de f en [, b] si y solo si F (x) = f(x), x [, b] Si F es un primitiv de f en [, b], y le summos un constnte c R, l función resultnte F + c tmbién es un primitiv de f en [, b]. Se denomin integrl indefinid de f l conjunto de tods sus primitivs, y se suele denotr f(x) dx. Corolrio 2.- Sen f R([, b]), g, h : [, b] [, b] derivbles en [, b]. Entonces: () L función F : [, b] R R definid por: F (x) = h(x) g(x) f(t) dt es continu en [, b]. (b) Si demás f es continu en x 0 [, b], se tiene que F es derivble en x 0, y verific: F (x 0 ) = f(h(x 0 )) h (x 0 ) f(g(x 0 )) g (x 0 ) Teorem 6 (Teorem del Vlor Medio del Cálculo Integrl).- Se f R([, b]) y cotd, donde: m = inf{f(x) : x [, b]} 5

6 Entonces c [m, M] tl que M = sup{f(x) : x [, b]} f = c(b ). Si demás f es continu en [, b], se tiene que x 0 [, b] tl que f = f(x 0 )(b ). Teorem 7 (Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. Regl de Brrow).- Se f R([, b]) y se F un primitiv de f en [, b]. Entonces: f(x) dx = F (b) F () Teorem 8 (Integrción por prtes).- Sen f, g C 1 ([, b]). Entonces: f(x) g (x) dx = [f(x) g(x)] b f (x) g(x) dx Observción 1.- Pr en cso de integrles indefinids se tiene: f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx o, en un escritur equivlente más hbitul, u dv = u v v du 6

7 Teorem 9 (Integrción por cmbio de vrible).- Sen f R([, b]), g : [c, d] R R tl que g C 1 ([c, d]) y g([c, d]) [, b]. Entonces, si f C(g([c, d])) o bien g (x) 0, x [c, d], se tiene que: d c f(g(x)) g (x) dx = g(d) g(c) f(t) dt (Se dice que se h relizdo el cmbio de vrible t = g(x).) 5 Integrles impropis Definición 6.- Se denomin integrl impropi de primer especie l integrl de un función f cotd en un intervlo I R no cotdo, esto es, f, f, f. Definición 7.- Se f : [, ) R R, f cotd, f R([, t]), t >. Se define l integrl impropi de primer especie de f en [, ) como: t f(x) dx = lim f(x) dx t () Si este límite existe y es finito, l integrl impropi se dice convergente. (b) Si existe, pero no es finito, se dice divergente. (c) Si el límite no existe, se dice oscilnte. Definición 8.- Se denomin integrl impropi de segund especie l integrl de un función f no cotd en un intervlo cotdo I = [, b]. 7

8 Definición 9.- Se f : [, b) R R tl que lim f(x) = x b ±, f R([, t]), t (, b). Se define l integrl impropi de segund especie de f en [, b] como: f(x) dx = lim t b t f(x) dx () Si este límite existe y es finito, l integrl impropi se dice convergente. (b) Si existe, pero no es finito, se dice divergente. (c) Si el límite no existe, se dice oscilnte. 8

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