La integral de Henstock-Kurzweil y el Teorema Fundamental del Cálculo. Adriana Ocejo Monge

Transcripción

1 L integrl de Henstock-Kurzweil y el Teorem Fundmentl del Cálculo Adrin Ocejo Monge 27 de Febrero del 2008

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3 Índice generl ntroducción 6 1. L integrl de Henstock-Kurzweil L integrl de Riemnn Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn Relciones de cobertur y motivción Cubierts de Cousin Lem de Cousin Aplicciones del Lem de Cousin Definición de l HK-integrl Criterio de Cuchy Un definición equivlente Algunos ejemplos Propieddes L integrl como un función de intervlos Clses de funciones HK-integrbles Apiñr un función Funciones regulds Funciones nuls Teorem Fundmentl del Cálculo pr l HK-integrl ntegrción por prtes

4 2. El Lem de Henstock e ntegrbilidd bsolut El Lem de Henstock ntegrles impropis Generlizción del Lem de Henstock ntegrbilidd bsolut Funciones de vrición cotd Crcterizción de integrbilidd bsolut Propieddes de funciones en L() Continuidd bsolut Teorems de convergenci El Teorem de Convergenci Uniforme El Teorem de Convergenci Monóton El Lem de Ftou El Teorem de Convergenci Domind Prueb lterntiv del Teorem de Convergenci Monóton usndo el Lem de Henstock El Teorem Fundmentl del Cálculo ntegrción de derivds Derivds de integrles Crcterizción de l HK-integrl Crcterizción de l integrl de Lebesgue Continuidd bsolut generlizd Comentrios finles 131

5 5 Agrdecimientos A Dios, quien es mi migo incondicionl y el sentido por el cul vivo. A mis pdres, Adrin Monge Vlenci y Humberto Ocejo Montño, quienes me hn enseñdo que el mor, l dedicción y l sencillez son los vlores clves pr vnzr. A mis hermnos Beto y Gby, y mi prim Minerv, quienes hn guntdo con criño mis jornds de estudio. A mi fmili en generl, quienes me hn cosejdo y cuiddo, es un orgullo pertenecer ell. A mis migos, quienes con su entusismo y comprensión me impulsn dí dí pr no flquer, que me quieren como soy. Se que se dn por ludidos. A todos mis mestros, quienes con responsbilidd hn sumido su ppel y trnsmitido con ánimo su conocimiento. A mi sesor de tesis Dr. Agustín Bru por mostrrme su ejemplo, pcienci y clidd profesionl; mi tutor Dr. Gudlupe Avil por su poyo incondicionl e invlubles consejos; Dr. Oscr Veg y Dr. Adolfo Minjres por motivrme siempre y poyrme. A todos, grcis tmbién por sus certdos comentrios y correcciones relizdos este trbjo. Al Cuerpo Acdémico Modeldo, Estimción y Control de Sistems Estocásticos por el poyo brinddo pr l relizción en el mrco del proyecto Seminrio de Fundmentos y Aplicciones de Probbilidd y Procesos Estocásticos.

6 6 ntroducción ntroducción En este trbjo se present l teorí de integrción recientemente desrrolld por Henstock y Kurzweil lrededor de L integrl de Hentock- Kurzweil (por brevedd HK-integrl, tmbién conocid como integrl generlizd de Riemnn) posee un crcterístic deseble en culquier teorí de integrción: es un integrl potente como l de Lebesgue que preserv l sencillez de l definición de Riemnn. El objetivo de l tesis es l exposición de los principles resultdos de l HK-integrl pr funciones reles definids sobre intervlos cerrdos. A medidos del siglo XV, Newton concibe un concepto de integrl cuyo significdo es simplemente el proceso inverso de l derivd. L definición descriptiv de l integrl de Newton es muy nturl: un función es Newton integrble si tiene un ntiderivd. Tiempo después, Cuchy define un integrl de mner constructiv restringiéndose l clse de ls funciones continus. Est integrl coincide con l integrl de Newton, sin embrgo, debido l existenci de derivds no cotds l de Newton permnece más generl. Poco tiempo después, Riemnn redefine l integrl de Cuchy permitiendo l integrción de lguns funciones discontinus. L integrl de Riemnn se crcteriz por su fcilidd de mnejo y por l sencillez l probr teorems básicos, sin embrgo, es conocido que posee muchs limitciones. L restricción más inmedit es que un función Riemnn integrble debe ser cotd. Por otro ldo, l formulción incomplet que tiene el Teorem Fundmentl del Cálculo (TFC) con l integrl de Riemnn, como proceso inverso l proceso de derivción, es otr de ls desventjs importntes de est integrl. Por su prte, Lebesgue d un revolucionrio enfoque l teorí de integrción existente l presentr su tesis doctorl en 1902, superndo ls limitciones de l integrl de Riemnn en cunto los teorems de convergenci.

7 ntroducción 7 Actulmente, l integrl de Lebesgue es l más populr y ceptd por l comunidd científic por l eficienci de sus teorems de convergenci y l grn generlidd de l clse de funciones Lebesgue integrbles. Aún sí, un limitción centrl prevlece y que tmbién existen funciones F derivbles en todo punto (necesrimente no cotds), cuy derivd F no es Lebesgue integrble. Ofreciendo un respuest más stisfctori en cunto l TFC, Denjoy y Perron definen un integrl que permite recuperr un función prtir de su derivd. El problem con su integrl es que l definición es muy complicd. Años más trde, Rlph Henstock y Jroslv Kurzweil formuln l HK-integrl que result ser equivlente l integrl de Denjoy y Perron. L motivción principl de l definición de l HK-integrl es dr un form más generl l Teorem Fundmentl del Cálculo, es decir, obtener un integrl que retome l ide originl de Newton. A trvés de l exposición del tem dremos respuest ls siguientes pregunts: Podemos provechr l simplicidd del esquem de Riemnn pr obtener un integrl más potente? Es posible formulr un integrl tipo Riemnn que permit recuperr un función f prtir de su derivd sin imponer condición lgun sobre f? L respuest ests dos interrogntes es sí. De hecho, se logr todo esto modificndo l definición dd por Riemnn en un specto muy sencillo pero de un significtivo impcto: permitiendo que l δ > 0 que cot l longitud de ls prticiones del intervlo [,b] no se un constnte, sino un función δ : [,b] (0, ). Dich función positiv es conocid como guge. Es clro que obtenemos un clse más mpli de funciones integrbles, pero lo interesnte es que est clse generliz ún l clse de ls Lebesgue integrbles. En este trbjo bordmos un definición equivlente que us relciones de

8 8 ntroducción cobertur y que, como lo ilustr Thomson ([12]), est herrmient es útil tmbién pr resolver otros problems del nálisis. En el Cpítulo 1 empezmos con un breve introducción de l integrl de Riemnn, proporcionndo un pnorm generl de los principles resultdos y lgunos ejemplos que usremos frecuentemente. Enseguid presentmos un procedimiento en el cul provechmos l propiedd de diferencibilidd de un función pr proximr su vrición en subintervlos con sums de Riemnn. Dicho procedimiento motiv l definición de l HK-integrl. Pr formlizr el método descrito definimos cubierts de Cousin y pr justificr su vlidez usremos el Lem de Cousin, el cul segur l existenci de prticiones que cumplen ciert propiedd sobre el intervlo de integrción. Posteriormente, revismos cómo est nuev definición permite integrr un myor número de funciones trvés de un sección dedicd ejemplos. En prticulr, en est sección probmos que si g = f excepto en un conjunto numerble entonces f es HK-integrble si y sólo si g lo es. En cpítulos posteriores vemos que incluso dos funciones pueden diferir en un conjunto de medid cero y sus integrles siguen siendo igules siempre que lgun de ells se HK-integrble. Este hecho será de much utilidd en l prueb de los teorems relciondos l TFC en su versión generl. Los principles resultdos que se exponen en el Cpítulo 1 son ls propieddes básics de l integrl tles como linelidd, positividd, monotoní, ditividd con respecto l intervlo de integrción, entre otrs. Veremos que l HK-integrl, diferenci de l integrl de Lebesgue, no es un integrl bsolut, es decir, si f es HK integrble no necesrimente se sigue que f lo es. Concluimos el primer cpítulo dndo un primer versión del Teorem Fundmentl del Cálculo, que se puede resumir como sigue:

9 ntroducción 9 Si F es un ntiderivd de f entonces f es HK-integrble y b f = F(b) F(). Si f es HK-integrble y F es un integrl indefinid de f, entonces F = f en los puntos donde f es continu. El Cpítulo 2 tiene por objeto el estudio del Lem de Henstock y un subclse de funciones HK-integrbles que llmremos bsolutmente integrbles. nicimos estbleciendo el Lem de Henstock y lguns plicciones sencills como l prueb de que un integrl indefinid es continu. Este lem tmbién nos permitirá probr muchos de los resultdos más interesntes en este trbjo, tles como el Teorem de Convergenci Monóton y un prte del Teorem Fundmentl del Cálculo. Después del Lem de Henstock mostrmos lguns consecuencis de que l HK-integrl no es un integrl bsolut y desrrollmos los resultdos necesrios pr crcterizr l clse de ls funciones bsolutmente integrbles. Por el ppel centrl que juegn pr los resultdos menciondos, incluimos un breve presentción de los conceptos de vrición cotd y continuidd bsolut, con los que el lector que hy estudido l integrl de Lebesgue está fmilirizdo. El Cpítulo 3 lo dedicmos los teorems de convergenci pr l integrl de Henstock-Kurzweil, es decir, los teorems en los que se estblecen condiciones pr que un sucesión {f n } de funciones HK-integrbles convergente stisfg lo siguiente: lím f n = lím f n. n n Veremos que ess condiciones son esencilmente ls que se piden en ls versiones correspondientes de estos teorems en l teorí de Lebesgue. En el último cpítulo discutimos l versión más generl del Teorem Fundmentl del Cálculo en el mrco de l HK-integrl, pero enftizndo los

10 10 ntroducción spectos que clrificn su eficienci sobre ls otrs teorís de integrción. Dremos lgunos ejemplos pr mostrr que est form más generl no se verific pr l integrl de Lebesgue. Finlmente, dmos un crcterizción de l integrl de Henstock y Kurzweil con condiciones necesris y suficientes pr que un función F se un integrl indefinid de un función f. Pr ello, necesitmos un nuev propiedd que llmmos vrición csi nul. Result que ls funciones bsolutmente continus sobre un intervlo [, b] son de vrición csi nul sobre culquier subconjunto nulo contenido en [, b]. De este resultdo concluiremos que l HK-integrl generliz l integrl de Lebesgue.

11 Cpítulo 1 L integrl de Henstock-Kurzweil En este cpítulo presentremos los conceptos básicos que serán utilizdos lo lrgo de est tesis. Revisremos l formulción de l clásic integrl de Riemnn y lgunos de los resultdos más importntes. Así mismo, estudiremos lgunos de los inconvenientes de est definición de mner que l introducción de l integrl de Henstock-Kurzweil (HK) surgirá de mner nturl prtir de l corrección de dichs limitciones, ls cules podemos resumir como sigue: ) Ls funciones no cotds en un intervlo cerrdo no son Riemnn integrbles. b) Hy funciones que tienen primitiv pero que no son Riemnn integrbles. Esto es, l clse de ls funciones que stisfcen l fórmul de Newton- Leibniz b no incluye tods ls funciones diferencibles. F = F(b) F(), (1.1)

12 12 L integrl de Henstock-Kurzweil c) No tods ls funciones Riemnn integrbles tienen primitiv. Después, bordmos l definición de l integrl de Henstock-Kurzweil, más brevemente HK-integrl, en el contexto de relciones de cobertur. L herrmient centrl en nuestro nálisis será el Lem de Cousin, que pesr de ser un firmción muy sencill, veremos que se trt de un resultdo summente fuerte en cunto l ppel que jueg en el desrrollo de l teorí que brc est tesis. Adicionlmente, incluimos ls principles propieddes de l HK-integrl, ls cules precerán fmilires l lector que h estudido l integrl de Riemnn L integrl de Riemnn Consideremos el intervlo cerrdo := [,b]. Un prtición de es un colección finit de subintervlos cerrdos { j } n j=1 tl que j k = pr j k y cuy unión es. Los intervlos están determindos por sus puntos extremos, de donde podemos denotrlos con j = [x j 1,x j ], donde = x 0 < x 1 < < x j 1 < x j < < x n 1 < x n = b. Si cd intervlo j de l prtición se le sign un punto t j j, entonces llmmos t j un etiquet de j y l conjunto π = {( j,t j ) : j = 1, 2,...,n} un prtición etiquetd de. Un subprtición de es un colección { j } n j=1 de subintervlos cerrdos no trslpdos en. Un subprtición etiquetd de es un colección de pres {( j,t j )} n j=1 tl que form un subprtición de y t j j pr cd j = 1, 2,...,n. Definición 1.1. Se f : R y π = {([x i 1,x i ],t i )} n un prtición etiquetd de. Entonces l sum de Riemnn S π (f) de f que corresponde π es dd por n S π (f) := f(t i )(x i x i 1 ).

13 1.1 L integrl de Riemnn 13 L longitud de un intervlo = [,b] está definid por l() = b. Dd un prtición π = {( j,t j )} n j=1, l longitud máxim de los intervlos j l llmremos norm de l prtición y se denotrá por π, es decir, π = mx {l( j ) : j = 1, 2,...,n}. Definición 1.2. Un función f : [, b] R es Riemnn integrble sobre [,b] si existe un número A R que stisfce l siguiente condición: pr todo ǫ > 0 existe δ ǫ > 0 tl que si π es un prtición etiquetd de [,b] con π < δ ǫ, entonces S π (f) A < ǫ. Si f es Riemnn integrble decimos que A es l integrl de Riemnn de f. Denotremos por R([, b]) l clse de funciones Riemnn integrbles sobre [, b]. Es bien conocido que ls funciones esclonds, ls monótons y ls continus definids sobre un intervlo [,b], pertenecen R([,b]). A continución mostrmos que un función no cotd no puede ser Riemnn integrble. Teorem 1.3. Si f R([,b]), entonces f es cotd sobre [,b]. Demostrción. Supongmos que f no es cotd sobre [,b] y f R([,b]) con integrl A. Entonces existe δ > 0 tl que si π es un prtición etiquetd de [,b] con π < δ, entonces S π (f) A < 1. Luego, tenemos S π (f) < A + 1. Se π = {[x i 1,x i ] : i = 1, 2,...,n} un prtición tl que π < δ. Y que f no es cotd sobre [,b], entonces existe un intervlo [x k 1,x k ] π donde f no es cotd. Ahor escogemos etiquets pr cd intervlo en π como sigue: tommos t i = x i si i k y t k de mner que f(t k )(x k x k 1 ) > A f(t i )(x i x i 1 ). i k

14 14 L integrl de Henstock-Kurzweil Por l desiguldd del triángulo (en l form x + y x y ) concluimos que S π (f) f(t k )(x k x k 1 ) f(t i )(x i x i 1 ) > A + 1, lo cul es un contrdicción. Un debilidd en l definición de Riemnn es que l elección de ls etiquets es rbitrri, sólo es necesrio que l prtición teng norm menor que ciert δ > 0. Vemos en l demostrción nterior que si l función no es cotd siempre es posible encontrr un etiquet t k en un intervlo [x k 1,x k ] pr l cul el término f(t k )(x k x k 1 ) es rbitrrimente grnde, no importndo cuál se l norm de l prtición. Ejemplo 1.4. Se f(x) = 1/ x pr x (0, 1]. Note que f(x) crece rbitrrimente cundo x 0, sí que hcemos f(0) = 0. Como f no es cotd en [0, 1], entonces f / R([0, 1]). El problem con est función es que no es posible controlr el vlor de ls sums de Riemnn en el subintervlo extremo izquierdo de culquier prtición etiquetd, y que dependiendo de l etiquet que se tome se tendrán vlores rbitrrimente grndes de l función siempre que l etiquet se distint de cero. Si pudiésemos tomr en cuent el comportmiento de l función pr controlr el vlor de ls sums de Riemnn, est función serí integrble. Un form de logrr ésto es que el primer término en S π (f) fuese siempre cero, provechndo que en el intervlo [x 1, 1] l función es cotd y continu y por tnto más fácil de mnejr. El uso directo de l definición requiere que conozcmos el vlor de l integrl. El criterio de Cuchy nos permite hcer un ldo est necesidd. Lo enuncimos continución sin demostrción (pr un prueb ver [3]). i k

15 1.1 L integrl de Riemnn 15 Teorem 1.5. (Criterio de Cuchy) Un función f : [,b] R pertenece R([,b]) si y sólo si pr todo ǫ > 0 existe δ ǫ > 0 tl que si π 1 y π 1 son prticiones etiquetds de [,b] con π 1 < δ ǫ y π 2 < δ ǫ, entonces S π1 (f) S π2 (f) < ǫ. Uno de los ejemplos más conocidos de un función que no es Riemnn integrble es l función de Dirichlet (o función lluvi). Ejemplo 1.6. L función de Dirichlet se define en [0, 1] como 1 x Q f(x) = 0 x. ntuitivmente y usndo l noción de áre bjo l curv que l integrl de Riemnn proporcion pr funciones no negtivs, podemos pensr que l integrl de f, si ést existier, fuer cero. Sin embrgo, es bien conocido que l función de Dirichlet no está en R([,b]), lo cul se prueb fácilmente usndo el Criterio de Cuchy: Tomemos ǫ = 1/2. Si π 1 es un prtición cuys etiquets son números rcionles entonces S π1 (f) = 1, mientrs que si π 2 es un prtición cuys etiquets son números irrcionles entonces S π2 (f) = 0. Ddo que es posible tomr tles prticiones con norms suficientemente pequeñs, concluimos que l función de Dirichlet no es Riemnn integrble y que S π1 (f) S π2 (f) = 1 > ǫ. Este ejemplo nos muestr que es un verdder limitción centrr l definición de integrl en refinmientos de prticiones sin tomr en cuent el comportmiento propio de l función, el cul involucr tmbién un elección propid de ls etiquets.

16 16 L integrl de Henstock-Kurzweil Mencionmos l principio del cpítulo l existenci de funciones que tienen primitiv pero que no son Riemnn integrbles. Pr ilustrr esto dmos un función un poco más complej, cuy derivd no es Riemnn integrble y que no es cotd. Ejemplo 1.7. Se f(x) = x 2 cos 1/x 2 pr x (0, 1] y f(0) = 0. Entonces f (x) = 2x cos 1/x x sin 1/x2 pr x (0, 1]. Aplicndo l definición de derivd en el punto x = 0 tenemos que f (0) = lím x 0 f(x) f(0) x = lím x 0 x 2 cos 1/x 2 x = lím x 0 x cos 1/x 2. Y que 1 cos x 1, pr tod x R tenemos que x x cos 1/x 2 x y ddo que lím x 0 x = 0 entonces f (0) = 0. Por tnto, f es diferencible en cd punto de [0, 1]. Se puede ver que f no está cotd en [0, 1], de mner que f stisfce l fórmul de Newton-Leibniz. / R([0, 1]) y por tnto no Comentmos tmbién que existen funciones que son Riemnn integrbles pero que no tienen un primitiv. Este es el cso en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.8. L función de Thome se define sobre [0, 1] como h(x) = 0 si x es irrcionl, h(0) = 0 y h(x) = 1/n si x = m/n, donde m,n N no tienen fctores en común (Ver Figur 1.1). L función h está en R([0, 1]), sin embrgo, no tiene un primitiv. Demostrción. Primero mostrremos que h R([0, 1]). Se ǫ > 0. Considere el conjunto D ǫ = {x [0, 1] : h(x) ǫ/2} y note que es finito, digmos que tiene n ǫ elementos. Ahor, tomemos δ ǫ = ǫ/4n ǫ y se π tl que π < δ ǫ. Seprmos π en ls subprticiones π 1 que tiene etiquets en D ǫ y π 2 que tiene etiquets fuer de D ǫ. Notemos que π 1 tiene lo más 2n ǫ intervlos de longitud totl menor que 2n ǫ δ ǫ = ǫ/2 y sus etiquets t D ǫ stisfcen

17 1.2 Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn 17 Figur 1.1: Función de Thome 0 < h(t) 1. Tmbién, l longitud totl de los subintervlos en π 2 es menor o igul que 1 y por como definimos D ǫ, sus etiquets s stisfcen que h(s) < ǫ/2. Por lo tnto, concluimos que S π (h) = S π1 (h) + S π2 (h) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ, lo que implic que h es Riemnn integrble con integrl 0. Ahor supongmos que existe un función H tl que H (x) = h(x) pr cd x [0, 1]. Si plicmos el Teorem del Vlor ntermedio pr Derivds, entonces ddo culquier número c entre H (0) = 0 y H (1) = 1 existe un x [0, 1] tl que H (x) = c. Esto es flso, y pr verificrlo bst tomr 0 < c = m/n < 1 donde m 1 y que no hy ningún vlor posible de x pr el cul H (x) = h(x) = c Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn En est sección explormos ls conexiones entre l derivd y l integrl en el contexto de Riemnn. Veremos dos teorems, de los cules omitiremos

18 18 L integrl de Henstock-Kurzweil ls demostrciones, pero pueden ser revisds con detlle en [3]. El primero tiene que ver con integrr un derivd; este teorem segur que si f es l derivd de un función F y f R([,b]), entonces b f = F(b) F(). El segundo teorem tiene que ver con diferencir un integrl. Teorem 1.9. (Primer prte) Sen f,f : [,b] R, y E un conjunto finito, tles que: F es continu sobre [,b]. F (x) = f(x) pr tod x [,b]\e. f R([,b]). Entonces se cumple que b f = F(b) F(). Definición Si f R([,b]), entonces l función definid por F(x) := x f x [,b] se llm l integrl indefinid de f con punto bse. Teorem (Segund prte) Se f R([,b]) y supongmos que f es continu en un punto c [,b]. Entonces l integrl indefinid F es diferencible en c y F (c) = f(c). Corolrio Si f es continu sobre [,b] entonces l integrl indefinid F es diferencible sobre [,b] y F (x) = f(x) pr tod x [,b].

19 1.2 Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn () ( ) () ( ) () ( ) () Figur 1.2: Construcción del conjunto de Cntor En conjunto, estos teorems se les conoce como el Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn. Un grn debilidd de l integrl de Riemnn es que en generl no es posible recuperr un función F prtir de su derivd F. Veremos en el siguiente ejemplo (producido por Volterr lrededor de 1880) que incluso si F existe pr cd x [0, 1] y es cotd, no es necesrio que F se Riemnn integrble y por tnto no se puede plicr l primer prte del Teorem Fundmentl del Cálculo. Note que por el Teorem de Riemnn- Lebesgue ([8] p. 163) bst construir un derivd F que es discontinu en un conjunto de medid positiv. L prueb de l existenci de dich función es un poco delicd y requiere nlizrl con detlle. Primero, explicmos cómo construir un conjunto tipo Cntor de ciert medid. Podemos construir un conjunto tipo Cntor como sigue: se { n } n=1 un sucesión de términos positivos tl que n=1 n = 1/2. Se 1 un intervlo bierto de longitud 1 removido del centro de [0, 1] ; luego sen 2, 3 intervlos biertos de longitud totl 2 removidos del centro de los intervlos restntes, y sí sucesivmente (Ver Figur 1.2). El conjunto { n : n N} consiste de intervlos biertos y disjuntos tles que n=1 l( n) = 1/2. Se G := n=1 n. El complemento C es un conjunto tipo Cntor y G es denso en [0, 1]. Ejemplo Existe un función F tl que F (x) existe pr tod x [,b] y es cotd, pero no es Riemnn integrble. Demostrción. Se { n } n=1 un sucesión de intervlos n [0, 1] biertos y

20 20 L integrl de Henstock-Kurzweil 1 J n n Figur 1.3: Gráfic de f sobre n. disjuntos tl que G = n=1 n es denso, l longitud totl es l( n ) = 1/2 n=1 y su complemento C es un conjunto tipo Cntor. Esto es posible por el rgumento ddo en el párrfo nterior. Pr cd n N, escojmos un intervlo cerrdo J n centrdo en n con l(j n ) = l( n ) 2. Se f : [0, 1] [0, 1] un función continu sobre cd n tl que tom el vlor 1 en el centro de los J n y se nul fuer de ellos (Ver Figur 1.3). Asegurmos que l función f es discontinu en cd punto de C: si x C entonces es un punto de cumulción de C, y por tnto, pr culquier intervlo (u,v) que contiene x, podemos encontrr y (u,v) C. El intervlo bierto con extremos x,y debe contener lgún n (y que los n son densos en [0, 1]) y por consiguiente un punto t n donde f(t) = 1. Por lo tnto, pr

21 1.2 Teorem Fundmentl del Cálculo pr l integrl de Riemnn 21 x C existe un intervlo (u,v) de longitud rbitrrimente pequeñ tl que contiene un punto t que stisfce f(x) f(t) = f(t) = 1. Esto prueb l discontinuidd de f en x, pr cd x C. Luego, como C tiene medid 1/2, entonces f no es Riemnn integrble. Ahor probremos que f es un derivd. L restricción de f n tiene un primitiv (lo cul es posible porque f es continu hí). Como f se nul fuer de los J n, definimos l función F : [0, 1] R como F(x) := f, n=1 J n [0,x] y probremos que F es un primitiv de f. Ddo que f es continu sobre cd punto x G, entonces el TFC plicdo l restricción de f en G implic que F (x) = f(x) pr tod x G. Por otro ldo, probremos que F (x) existe pr cd x C y que es igul f(x) = 0. Con esto, terminrímos l prueb. Se que K [0, 1] rbitrrio y supongmos que K J n pr lgun n. Como l( n ) 1/2, se sigue que l(k n ) 1 2 [l( n) l(j n )] 1 2 [l( n) 1 2 l( n)] 1 4 l( n), y entonces Luego l(k J n ) l(j n ) = l( n ) 2 16l(K n ) 2. l(k n ) 2 16l(K n ) 2 16l(K) 2. K J n K J n Se x C. Con l yud de l últim ecución concluiremos que efectivmente F (x) = f(x) = 0. Note que si el intervlo [u,v] contiene x, entonces 0 F(v) F(u) = f 16 (v u) 2. n=1 J n [u,v]

22 22 L integrl de Henstock-Kurzweil Por consecuenci, F (x) existe y es igul f(x) = 0. Por lo tnto, l función f es cotd y es l derivd de un función, sin embrgo no es Riemnn integrble. En otrs plbrs, F no puede ser recuperd prtir de su derivd f Relciones de cobertur y motivción Como hemos observdo y discutido en los ejemplos nteriores, cundo uno trbj con l integrl de Riemnn normlmente el procedimiento es primero escoger los intervlos, cd uno de los cules es de longitud menor que ciert δ > 0, y después se escoge un etiquet pr cd intervlo j. Notemos entonces que l medid de finez de un prtición es dd por l máxim longitud de los subintervlos j, no dependiendo de l elección de ls etiquets. Otr observción es que l δ > 0 que cot l norm de l prtición es constnte y por tnto los intervlos de l prtición no siempre tienen un longitud decud. Por ejemplo, en l función de Dirichlet, si pudiésemos signr cd rcionl r n un intervlo de longitud lo más 1/2 n en culquier prtición, ls sums de Riemnn fuern rbitrrimente pequeñs. En est sección vmos considerr l relción entre ls etiquets y los intervlos pr determinr l medid de finez de l prtición. Definición Un relción de cobertur es un fmili de prejs ([c, d], x), donde x [c,d]. Ahor motivmos l definición de l integrl de Henstock-Kurzweil ilustrndo cómo es que podemos recuperr un función F prtir de su derivd F. Prtimos del supuesto de que F (x) = f(x) pr tod x [,b]. Se ǫ > 0. Considere l relción de cobertur β que consiste de todos los pres

23 1.3 Relciones de cobertur y motivción 23 de intervlos y puntos ([c,d],t) pr los cules t [c,d] con [c,d] [,b], con l propiedd de que F(d) F(c) d c f(t) ǫ. Note que est relción de cobertur es muy grnde, y que por definición de diferencibilidd, pr cd punto t [,b], existe un δ t > 0 tl que β contiene tods ls prejs ([c,d],t) con d c < δ t. Supongmos que β contiene un prtición π = {([x i 1,x i ],t i ) : 1 i n}. L diferenci F(b) F() se puede obtener como l sum telescópic F(b) F() = n [F(x i) F(x i 1 )]. Por tnto, obtenemos n [F(b) F()] f(t i )(x i x i 1 ) = n [F(x i ) F(x i 1 ) f(t i )(x i x i 1 )] n F(x i ) F(x i 1 ) f(t i )(x i x i 1 ) n ǫ(x i x i 1 ) = ǫ(b ). En otrs plbrs, concluimos que b n f(x)dx f(t i )(x i x i 1 ) ǫ(b ). Esto nos dice que l integrl puede ser proximd por sums de Riemnn, pero seleccionndo ls etiquets t i de un mner distint como se procede en el contexto de Riemnn. Hemos usdo un prtición cuyos elementos provienen de un relción de cobertur que describe de mner nturl l geometrí del problem, es decir, prtiendo de l diferencibilidd de l integrl indefinid F.

24 24 L integrl de Henstock-Kurzweil 1.4. Cubierts de Cousin Definición Un relción de cobertur β es un cubiert de Cousin de un intervlo [,b] si pr cd x [,b], existe δ > 0 tl que β contiene todos los pres ([c,d],x), pr los cules x [c,d] [,b] y (d c) < δ. Se β un cubiert de Cousin del intervlo [,b], entonces β es un cubiert de Cousin de cd subintervlo [c,d] [,b]. Pr ver esto, considere x [c,d] [,b]. Como x [,b], entonces existe δ > 0 tl que β contiene todos los pres (,x) con x [,b] y l() < δ. Si el pr (J,x) es tl que x J [c,d] con l(j) < δ, entonces (J,x) debe estr en β y que J [,b]. Es igulmente sencillo comprobr que dds dos cubierts de Cousin β 1,β 2 de [,b], entonces l intersección tmbién es cubiert de Cousin de [,b]: si x [,b] entonces existen δ 1,δ 2 > 0 tles que β i contiene todos los pres ([c,d],x) con x [c,d] [,b] y (d c) < δ i, respectivmente. Se δ =min{δ 1,δ 2 }. Se sigue que los pres ([c,d],x) con (d c) < δ están todos en β 1 β Lem de Cousin En generl, un lem de cobertur es un firmción en l cul un subconjunto β puede ser extrído de lgun relción de cobertur β con cierts propieddes deseds. El lem de cobertur centrl de este trbjo es conocido como el lem de Cousin. Lem (de Cousin) Si β es un cubiert de Cousin de un intervlo [,b], entonces β contiene un prtición de cd subintervlo compcto. Demostrción. Primermente, si β no contiene un prtición de [, b], entonces no contiene un prtición de lgún subintervlo más pequeño.

25 1.5 Lem de Cousin 25 Supongmos que β no contiene un prtición de [,b]. Escojmos un subintervlo [ 1,b 1 ] de longitud menor que o igul (b )/2, tl que β no contiene un prtición de [ 1,b 1 ]. Continuemos inductivmente, seleccionndo un sucesión de intervlos compctos niddos [ n,b n ] cuy longitud es menor o igul que (b )/2 y tles que β no contiene un prtición de cd uno de ellos. Por l propiedd de los intervlos compctos niddos, hy un punto z que pertenece l intersección n=1 [ n,b n ]. Ddo que β es un cubiert de Cousin, existe un δ z > 0 tl que β contiene todo pr (,z) donde es compcto en [,b] de longitud menor que δ z. En prticulr β contiene todos los pres ([ n,b n ],z) pr n suficientemente grnde tl que (b n n ) < δ z. El conjunto π = {([ n,b n ],z)} que consiste de un solo elemento es en sí mismo un prtición de [ n,b n ], y está contenido en β. Esto contrdice nuestr suposición sobre [ n,b n ]. Consecuentemente β debe contener un prtición de [,b]. Como β es cubiert de Cousin pr cd subintervlo [c,d] [,b], entonces contiene un prtición de [c,d]. Observción Tod cubiert de Cousin de un intervlo [,b] contiene un prtición de norm rbitrrimente pequeñ. Pr ver esto, considere ǫ > 0. Pr cd x [,b], existe δ x > 0 tl que β contiene todos los pres (,x) con l() < δ x. Bst definir l cubiert de Cousin β = {(,x) β : l() < δ x := min(ǫ,δ x )}. Luego, por el Lem de Cousin existe un prtición π β y por como se eligió β, π < ǫ Aplicciones del Lem de Cousin En est subsección dremos lgunos ejemplos sobre el uso del Lem de Cousin en nálisis elementl, con el objetivo de mostrr l verstilidd de ls

26 26 L integrl de Henstock-Kurzweil relciones de cobertur, no sólo en el contexto que nosotros bordmos. Ejemplo Se f : R R un función continu tl que f (x) = 0 excepto en un conjunto numerble C = {c 1,c 2,...}. Entonces f es constnte. Demostrción. Fijemos el intevlo [,b] y se ǫ > 0. Queremos probr que f(b) f() < ǫ. Considere l relción { β 1 = ([y,z],x) : x [y,z] [,b], f (x) = 0, f(z) f(y) < ǫ } (z y). 2 (b ) Ahor, usndo l continuidd de f en los puntos de C construimos l relción β 2 = {([y,z],c i ) : c i [y,z] [,b], c i C, f(z) f(y) < ǫ/2 i+1 }. El siguiente pso es observr que β 1 β 2 es un cubiert de Cousin de [, b], lo cul se sigue directmente de ls definiciones de diferencición y continuidd. Ahor bien, por el Lem de Cousin, existe un prtición π = {([ i 1, i ],x i ) : i = 1, 2,...,k} contenid en β 1 β 2. Entonces, obtenemos k k f(b) f() = [f( i ) f( i 1 )] f( i ) f( i 1 ) = +, A 1 A 2 donde A j contiene los intervlos [ i 1, i ], tles que ([ i 1, i ],x i ) β j, j = 1, 2. Por tnto, A 1 = A 2 = A 1 f( i ) f( i 1 ) < A 2 f( i ) f( i 1 ) < k k ǫ ( i i 1 ) 2 (b ) = ǫ 2, ǫ 2 ǫ i+1 2 = ǫ i+1 2.

27 1.5 Lem de Cousin 27 Esto es, f(b) f() < ǫ. Como ǫ > 0 es rbitrrio, l prueb está complet. Ejemplo (Teorem de Weierstrss) Se f un función continu sobre [,b]. Entonces f lcnz su máximo vlor sobre [,b]. Demostrción. Supongmos lo contrrio. Entonces, pr cd x [, b] existe un número X y un δ x > 0 tl que f(t) < f(x), pr x δ x t x + δ x, t [,b]. Definmos l relción β como sigue: β = {(, x) : X, δ x > 0, x [, b] yf(t) < f(x)pr todot, l() < δ x }. Según lo discutido nteriormente, β es un cubiert de Cousin de [,b] y por el Lem de Cousin β contiene un prtición π = {( j,x j ) : 1 j n}. Se f(x k ) el vlor más grnde de los n vlores f(x j ) que obtenemos prtir de los elementos de l prtición. Entonces f(x j ) f(x k ) pr cd j = 1, 2,...,n. Por otro ldo, ddo que l unión de los j es [,b], tenemos que X k está en lgún subintervlo i, y por tnto f(x k ) < f(x i ). Se sigue que f(x k ) < f(x i ) f(x k ), lo cul es un contrdicción. Por lo tnto, f lcnz su máximo. Ejemplo (El xiom de completez de los reles) Todo conjunto S R no vcío y cotdo, tiene un supremo. Probremos este principio usndo el Lem de Cousin.

28 28 L integrl de Henstock-Kurzweil Demostrción. Se S [,b] no vcío. Supongmos que no existe un mínim cot superior pr S. Considere l siguiente relción de cobertur: β = {([c,d],x) : c es cot superior de S, o bien d no es cot superior de S}. Veremos que β es un cubiert de Cousin de [,b]. Si x S entonces existe y S tl que x < y. De lo contrrio, si pr tod y S tenemos x y, entonces x serí l mínim cot superior, lo cul contrdice nuestr hipótesis. Por tnto, se δ x = y x > 0, de mner que β contiene todos los pres ([c,d],x) donde d c < δ x y d no es cot superior pr S y que d < y. Si x [,b]\s y x es cot superior pr S, entonces existe un cot superior z tl que z < x. En tl cso, tomemos δ x = x z > 0. Por tnto, β contiene los pres ([c,d],x) donde d c < δ x y c es cot superior pr S y que z < c. Si x [,b]\s y x no es cot superior pr S, entonces debe ser un cot inferior pr S. Se y S fij y tomemos δ x = y x > 0. Note que y no puede ser cot superior por que en tl cso serí l mínim cot superior. Por tnto, β contiene los pres ([c,d],x) donde d c < δ x y d no es cot superior pr S y que d < y. Entonces, efectivmente β es un cubiert de Cousin de [, b]. Ahor bien, por el Lem de Cousin podemos extrer un prtición π = {([ i 1, i ],x i )} n. Clrmente 0 = no es cot superior pr S, luego por l form de β, 1 tmpoco lo es, y sí sucesivmente. Entonces concluimos que ninguno de los i es cot superior pr S, pero esto es un contrdicción porque n = b es cot superior Definición de l HK-integrl En l Sección 1.3 explormos un relción de cobertur que involucrb l conexión entre un función y su derivd. Bjo el supuesto de que

29 1.6 Definición de l HK-integrl 29 dich relción de cobertur contení un prtición, concluimos que siempre er posible recuperr l función prtir de su derivd. Si llevmos esto l contexto de l integrl de Riemnn, encontrmos excepciones importntes, y que pr recuperr un función prtir de su derivd (es decir, que l integrr F sobre [,b] obtengmos F(b) F()), se requiere que l derivd se Riemnn integrble. Lebesgue debilitó est hipótesis pidiendo que l función F fuer bsolutmente continu. El requerimiento de que l derivd de un función se integrble motiv el desrrollo de l integrl de Henstock-Kurzweil. Definición Un función f : [,b] R es HK-integrble sobre un intervlo [,b] si existe un número A tl que pr cd ǫ > 0, podemos encontrr un cubiert de Cousin β de [,b], con l propiedd de que f(x)l() A < ǫ (1.2) (,x) π pr cd prtición π contenid en β. Observción Usulmente, encontrmos l definición de HK-integrbilidd hciendo uso de funciones positivs δ : [,b] (0, ) conocids como guges. Si π = {([u i,v i ],t i ) : i = 1, 2,...,n} es un prtición etiquetd de [,b] entonces se dice que π es δ-fin si t i [u i,v i ] [t i δ(t i ),t i + δ(t i )]. Result que el Lem de Cousin tiene su equivlente pr un guge en el siguiente sentido: si δ : [,b] (0, ) es un guge y c < d b, entonces existe un prtición δ fin de [c,d]. Se dice que f : [,b] R es HK-integrble si existe un A R tl que pr cd ǫ > 0, existe un guge δ con l propiedd de que si π es un prtición δ fin entonces l ecución (1.2) se verific. Est definición es equivlente

30 30 L integrl de Henstock-Kurzweil l Definición 1.21, y que un cubiert de Cousin determin un guge δ como vimos en l Definición 1.15 y vicevers, un guge define un cubiert de Cousin. Supongmos que f es HK-integrble sobre [,b]. Se ǫ > 0 y δ un guge correspondiente l ǫ > 0 por definición de integrbilidd. Se {δ n } un sucesión decreciente en los reles que converge cero y definmos l función δ : [,b] (0, ) como sigue: δ δ 1 δ 1 δ(x) (x) = δ k δ k δ(x) < δ k 1 k = 2, 3,... L propiedd en (1.2) se sigue verificndo si tommos δ en lugr de δ, y que si π es δ fin entonces tmbién es δ fin. Note que l integrbilidd de Riemnn en l Definición 1.2 puede ser formuld en términos de prticiones δ fins, pero en dicho cso δ serí un función constnte. Como rrib estmos usndo un cntidd numerble de constntes δ 1,δ 2,... cmbio de un sol, en este sentido podemos decir que l HK-integrl es un extensión numerble de l integrl de Riemnn. Ahor probremos que si f es HK-integrble, entonces el número A es único. A l clse de funciones HK-integrbles sobre un intervlo compcto l denotremos por HK(). Por brevedd escribiremos en delnte S π (f) por (,x) π f(x)l(). Teorem (Unicidd) Si f HK() entonces el vlor de A que stisfce l propiedd en l Definición 1.21 está determindo unívocmente. Demostrción. Supongmos que A y A stisfcen l definición. Se ǫ > 0. Entonces existen cubierts de Cousin β y β tles que S π (f) A < ǫ/2 y S π (f) A < ǫ/2 (1.3)

31 1.6 Definición de l HK-integrl 31 pr cd π β y π β. Se β = β β. Un prtición π β es prtición en β y en β, luego ls relciones en (1.3) siguen siendo cierts. Entonces pr dich prtición π tenemos A A A S π (f) + S π (f) A < ǫ. Como ǫ > 0 es rbitrrio, concluimos que A = A. Al vlor A lo llmmos l HK-integrl de f sobre [,b] Criterio de Cuchy El siguiente resultdo nos permite verificr l integrbilidd de un función sin conocer el vlor de su integrl. Teorem (Criterio de Cuchy) Se f : R. Entonces f HK() si y sólo si pr cd ǫ > 0 existe un cubiert de Cousin β, tl que si π 1,π 2 son prticiones contenids en β entonces S π1 (f) S π2 (f) < ǫ. Demostrción. ( ) Supongmos que f es HK-integrble y su integrl es A. Ddo ǫ > 0 existe un cubiert β tl que S π (f) A < ǫ/2 pr cd π β. Ahor bien, sen π 1,π 2 β, entonces S π1 (f) S π2 (f) S π1 (f) A + A S π2 (f) < ǫ. ( ) Pr cd n, escogemos β n con l propiedd de que si π 1,π 2 β n entonces S π1 (f) S π2 (f) < 1/n. Podemos escogerls de mner que β 1 β 2.

32 32 L integrl de Henstock-Kurzweil Pr cd m N se π m un prtición contenid en β m. L sucesión {S πm (f)} m=1 es un sucesión de Cuchy en R y que si n < m entonces π m tmbién es un prtición de β n. De est mner pr cd n < m y prticiones π n, π m, tenemos S πn (f) S πm (f) < 1 n, y por tnto converge lgún número A. Luego, lím S π n (f) S πm (f) = S πn (f) A 1 m n. Vmos probr que A = f. Ddo ǫ > 0, se K N tl que K > 2/ǫ. Si π es un prtición contenid en β K, entonces S π (f) A S π (f) S πk (f) + S πk (f) A 1 K + 1 K < ǫ. Como ǫ > 0 es rbitrrio, entonces f HK() y su integrl es A Un definición equivlente Hy un versión equivlente l definición de HK-integrl usndo integrles inferiores y superiores. Fijemos un cubiert de Cousin β. L sum inferior L(f,β) y l sum superior S(f,β) de un función f definid sobre [,b] están dds por L(f,β) = ínf S(f,β) = sup π β π β (,x) π (,x) π f(x)l() = ínf π β S π(f), (1.4) f(x)l() = sups π (f), (1.5) π β donde el ínfimo y el supremo se tomn sobre tods ls prticiones en β.

33 1.6 Definición de l HK-integrl 33 Definición Se f un función rel definid sobre [,b]. Definimos l integrl inferior por = b f(x)dx := sup β L(f,β), donde el supremo se tom sobre tods ls cubierts de Cousin de [,b]. Análogmente definimos l integrl superior como el ínfimo de ls sums superiores. Si tenemos que =, denotremos el vlor común por b f. Si demás este vlor es finito decimos que f es (*)-integrble. Es sencillo notr que L(f,β) S(f,β). Por otro ldo, consideremos dos cubierts de Cousin β,β 1 de [,b], tles que β 1 β. Culquier prtición en β 1 es un prtición en β, pero el recíproco no es necesrimente cierto. Entonces L(f,β) L(f,β 1 ). Similrmente, S(f,β 1 ) S(f,β). Concluimos que L(f,β) L(f,β 1 ) S(f,β 1 ) S(f,β) si β 1 β. (1.6) En prticulr, si β 1 y β 2 son cubierts de Cousin rbitrris y β = β 1 β 2 entonces L(f,β 1 ) L(f,β) S(f,β) S(f,β 2 ). En otrs plbrs, cd sum inferior es menor que o igul cd sum superior. Ahor bien, se β un cubiert de Cousin rbitrri. Como S(f,β) es cot superior pr tods ls sums inferiores, y es l mínim cot superior de ls sums inferiores, entonces S(f,β). Por otro ldo, como β se tomó rbitrri, entonces es cot inferior pr tods ls sums superiores y como es l máxim cot inferior de l sums superiores se sigue que.

34 34 L integrl de Henstock-Kurzweil Por lo tnto, L(f,β) S(f,β) (1.7) pr tod cubiert de Cousin β. Lem f : [,b] R es (*)-integrble si y sólo si pr todo ǫ > 0, existe un cubiert de Cousin β tl que S(f,β) L(f,β) < ǫ. Demostrción. Supongmos que f es (*)-integrble. Se ǫ > 0. Por definición de ínfimo y supremo, existen cubierts de Cousin β 1,β 2 tles que L(f,β 1 ) ǫ/2, S(f,β 2 ) ǫ/2. Tomemos β = β 1 β 2, por ls relciones (1.6) y (1.7) tenemos que S(f,β) L(f,β) < ǫ. Por otro ldo, ddo ǫ > 0 existe β con l propiedd de que S(f,β) L(f,β) < ǫ. L relción (1.7) se cumple, entonces [,] [L,S]. Se sigue que < ǫ. Como ǫ es rbitrrio entonces =.

35 1.6 Definición de l HK-integrl 35 Teorem HK-integrbilidd es equivlente (*)-integrbilidd. Demostrción. Supongmos que f : [,b] R es HK-integrble. Se ǫ > 0. Entonces por el Criterio de Cuchy existe un cubiert de Cousin β con l propiedd de que si π 1 y π 2 son prticiones contenids en β, entonces S π1 (f) S π2 (f) < ǫ/3. Desemos probr que =. Fijemos β como ntes. Considere l sum superior S = S(f,β) y l sum inferior L = L(f,β). Podemos encontrr prticiones π 1,π 2 en β tles que S S π1 (f) < ǫ/3, S π2 (f) L < ǫ/3, S π1 (f) S π2 (f) < ǫ/3. Por lo tnto podemos escribir S L S S π1 (f) + S π1 (f) S π2 (f) + S π2 (f) L < ǫ. Como los vlores, están en el intervlo [L,S] cuy longitud es rbitrrimente pequeñ, entonces =. Por otro ldo, supongmos que f : [,b] R es (*)-integrble. Digmos que el vlor común es A. Por el lem nterior, pr cd ǫ > 0 existe un cubiert de Cousin β de [,b] tl que S(f,β) L(f,β) < ǫ. Clrmente L(f,β) S π (f) S(f,β) π β. Entonces por l relción (1.7) A [L,S]. Por lo tnto S π (f) A < ǫ pr tod π β, como querimos probr. El uso de relciones de cobertur permite mplir l clse de funciones integrbles. De hecho, veremos que tod función f R() es HK-integrble sobre y que l contención es propi. Pr un función Riemnn integrble, l δ > 0 en l definición de integrbilidd nos sirve pr definir l cubiert de Cousin, l cul contendrá intervlos-puntos donde l longitud del intervlo es menor que est constnte δ.

36 36 L integrl de Henstock-Kurzweil Teorem (Teorem de Extensión) Se f R([,b]) y su integrl igul A, entonces f HK([,b]) y su HK-integrl tmbién es A. Demostrción. Supongmos que f R([,b]). Entonces, ddo ǫ > 0 existe δ > 0 tl que si π es un prtición etiquetd con π < δ, entonces S π (f) A < ǫ. Definmos l relción de cobertur β como sigue: β = {(,x) : x [,b] y l() < δ/2}. Clrmente β es un cubiert de Cousin y que cd x ce en lgún subintervlo de [,b] cuy longitud es < δ/2. Por el Lem de Cousin contiene un prtición π = {( i,x i ) : i n}, tl que l( i ) < δ/2 pr cd i. Luego π es un prtición con norm menor que δ y por consecuenci S π (f) A < ǫ. Como π es un prtición rbitrri, concluimos que f es HK-integrble y su integrl tmbién es A. El Teorem de Extensión nos segur que si un función es Riemnn integrble entonces los vlores de l integrl de Riemnn y l de Henstock- Kurzweil son igules. Por tnto, no hy mbigüedd si denotmos l HKintegrl con el mismo símbolo con que se denot l de Riemnn. Entonces, los símbolos f, b f, f(x)dx, b f(x)dx representrán l HK-integrl de f. Si desemos distinguir l HK-integrl de otr integrl l denotremos por HK b f Algunos ejemplos Dmos continución un ejemplo pr mostrr que l contención en el Teorem de Extensión es propi. Vimos en el Ejemplo 1.6 que l función de

37 1.7 Algunos ejemplos 37 Dirichlet no es Riemnn integrble. Vmos probr hor que dich función es HK-integrble. Ejemplo Se f : [,b] R l función constnte c excepto en un subconjunto numerble C = {c i [,b] : i N}. Entonces f HK([,b]) y b f = c(b ). Demostrción. Ddo ǫ > 0, definimos ls relciones de cobertur β 1 y β 2 como sigue: β 1 = {(,x) : x [,b], x / C, y l() < 1}, β 2 = {(,c i ) : c i [,b], c i C, y l() < ǫ/(f(c i ) c)2 i.} L relción de cobertur β = β 1 β 2 es un cubiert de Cousin del intervlo [,b]. Se π = {( i,x i ) : i n} un prtición en β. L diferenci S π (f) c(b ) tiene l form f(x)l() c(b ) = [f(x) c]l(). (,x) π (,x) π Por tnto, ls únics contribuciones distints de cero están dds por ls etiquets en C, más ún [f(c i ) c]l() < ǫ 2 i c i C. Por lo tnto obtenemos [f(x) c]l() < (,x) π k=1 ǫ 2 k = ǫ, como querímos demostrr. El ejemplo nterior es un generlizción de l función de Dirichlet, donde el conjunto C es los rcionles y l constnte es c = 0. Por lo tnto, l función de Dirichlet es HK-integrble con integrl igul cero.

38 38 L integrl de Henstock-Kurzweil L flexibilidd l vrir l longitud de los intervlos nos permite cubrir un conjunto numerble de puntos con un unión de intervlos cuy longitud totl es rbitrrimente pequeñ de mner que no contribuye mucho ls sums de Riemnn. Usremos este hecho pr probr l siguiente proposición. Proposición Se f HK([,b]) y C = {c 1,c 2,...} un subconjunto numerble de [, b]. Supongmos que f(x) = g(x) excepto en los puntos x C. Entonces g es HK-integrble y b g = b f. Demostrción. Se ǫ > 0. Como f es HK-integrble, existe un cubiert de Cousin β 1 tl que pr cd prtición π β 1. S π(f) b f < ǫ/2, Considere los siguientes conjuntos: { } β ǫ = ( i,c i ) : c i [,b], c i C, l( i ) <, [f(c i ) g(c i )]2 i+2 β = {(,x) : x [,b], x / C}. Note que β 2 = β β es un cubiert de Cousin de [,b]. Defin β = β 1 β 2, l cul tmbién es un cubiert de Cousin de [,b] y se π = {( i,t i )} n un prtición en β. Observe que si t i = c k pr lgun k entonces f(t i ) g(t i ) l( i ) < ǫ/2 k+2. y hy lo más dos índices i correspondientes dich k. Es decir, c k puede ser etiquet de dos intervlos de l prtición. En los otros puntos, ddo que f y g sólo difieren en puntos de C, tendremos f(t i ) g(t i ) l( i ) = 0. Como π β 2, tenemos que S π (f) S π (g) = S π (f g) = [f(x i ) g(x i )]l( i ) ( i,x i ) π β [f(x i ) g(x i )]l( i ) < 2 ǫ 2 = ǫ i+1 2.

39 1.7 Algunos ejemplos 39 Como demás π β 1, concluimos que b S π(g) f S π(g) S π (f) + S π(f) Por lo tnto, g HK([,b]) y su integrl es b f. b f < ǫ. Vemos otro ejemplo, el cul trt de un modificción de l función de Thome. Ejemplo Definimos g : [0, 1] R por n x = m/n donde m y n no tienen fctores en común g(x) = 0 x es irrcionl ó 0. Est función es discontinu en todos los puntos de [0, 1]: si x = m/n, se (x k ) un sucesión de irrcionles en [0, 1] que converge x. Luego, lím k g(x k ) = 0, pero g(x) = n 0. Si, por otro ldo y = 0 ó y y ǫ = 1, pr culquier δ > 0 podemos escoger un número rcionl r tl que y δ < r < y +δ, pero g(r) g(y) = g(r) 1 = ǫ y que g(r) es un nturl. Entonces, g es discontinu en todos sus puntos. Esto último nos segur que g / R([0, 1]). Más ún, g no es cotd sobre culquier subintervlo no degenerdo, lo cul se debe l densidd de los rcionles. Sin embrgo, por l proposición nterior g es HK-integrble y su integrl es cero. Otr ventj de ls relciones de cobertur es que es posible definirls de mner que forcemos un punto x del intervlo de integrción ser un etiquet de todo subintervlo que lo contiene. Esto es muy útil cundo dicho punto dificult controlr el vlor de ls sums de Riemnn, y que escogiéndolo como un etiquet, en ocsiones se puede eliminr este problem. En el Ejemplo 1.4 vimos que l función f(x) = 1/ x no es Riemnn integrble porque no es cotd en [0, 1]. En l teorí de integrción de Riemnn se puede definir l integrl de est función como un integrl impropi. Veremos continución que usndo relciones de cobertur se puede remedir est limitción.

40 40 L integrl de Henstock-Kurzweil Ejemplo Se f(x) = 1/ x pr x (0,r] y f(0) = 0. Se 0 < ǫ < 1/2. Definmos l cubiert de Cousin β del intervlo [0,r] como β = {(,x) : x [,b], x 0, l() < ǫx} {(, 0) : 0, l() < ǫ 2 }. Se π = {([ i 1, i ],x i )} n un prtición contenid en β. Note que x 1 = 0, y que de otro modo (x 1 > 0) tendrímos x 1 1 = 1 0 < ǫx 1 < x 1, lo cul es un contrdicción. Notemos que pr tod i 1 i i 1 < ǫx i i x i + ǫx i i 1 i > ǫx i i 1 x i ǫx i i 1 + ǫ, x i i 1 1 ǫ. x i Tmbién, tenemos f(x i )( i i 1 ) = 1 xi ( i + i 1 )( i i 1 ), i 1 de donde 2 i 1 x i ( i i 1 ) < f(x i )( i i 1 ) < 2 i x i ( i i 1 ). Por tnto, recordndo que S π (f) = n f(x i)( i i 1 ) y tomndo en cuent que necesrimente x 1 = 0, S π (f) < S π (f) > n i 2 ( i i 1 ) 2 n 1 + ǫ ( i i 1 ) = ǫ( r 1 ), x i i=2 n i 1 2 ( i i 1 ) 2 n 1 ǫ ( i i 1 ) = 2 1 ǫ( r 1 ). x i i=2 i=2 i=2 Y que 1 < ǫ 2 y ǫ > 0 es rbitrrio, concluimos de ls últims dos ecuciones que r 0 f = 2 r.

41 1.8 Propieddes 41 Observción En este cso forzmos l punto x = 0 ser un etiquet pr culquier prtición y esto permitió que el término del intervlo izquierdo se nulr en ls sums de Riemnn. En generl, hy ocsiones en ls que podemos escoger un cubiert de Cousin β propid de mner que culquier punto c puede ser forzdo ser un etiquet pr cd prtición en β. L ide es l siguiente: si c b y escogemos β como todos los pres (,x) con l propiedd de que l() < x c pr x c y los pres (,c) tles que l() > 0 rbitrri, entonces c está forzd ser un etiquet pr culquier prtición contenid en β. De otro modo, si c c es l etiquet del pr que contiene c en un prtición, entonces c c l() < c c que es clrmente un contrdicción. De igul mner, podemos forzr un número finito de puntos de [,b] ser etiquets pr culquier prtición. Digmos que desemos que los puntos en el conjunto E = {e 1,e 2,...e n } sen etiquets pr culquier prtición en un ciert β. Entonces un form de definir l cubiert β es como l unión de ls siguientes dos relciones: β 1 = {(,x) : x / E, x [,b], l() < min { x e 1, x e 2,..., x e n }}, β 2 = {(,e i ) : e i E, e i [,b], l() > 0}. Nos referiremos l cubiert β en l que forzmos un conjunto finito de puntos E ser etiquets como un cubiert ncld sobre E Propieddes Proposición (Linelidd) Sen f, g HK(). Entonces i) f + g HK() y (f + g) = f + g. ii) Pr c R, cf HK() y cf = c f.

42 42 L integrl de Henstock-Kurzweil Demostrción. Prte i): Se ǫ > 0. Existen cubierts de Cousin β 1, β 2 tles que si π 1 y π 2 son prticiones en β 1 y β 2, respectivmente, entonces obtenemos S π 1 (f) f < ǫ y 2 S π 2 (g) g < ǫ 2. Definmos l cubiert de Cousin β como β = β 1 β 2, de mner que si π es un prtición en β, tmbién lo es en β 1 y en β 2. Luego, se sigue que ( S π(f + g) f + g) = S π(f) f + S π (g) g S π(f) f + S π (g) g < ǫ. Prte ii): El cso c = 0 es trivil. Supongmos que c 0. Ddo ǫ > 0, podemos encontrr un cubiert de Cousin β de tl que S π(f) f < ǫ π β. c Note que S π (cf) = cs π (f), y entonces se sigue que S π(cf) c f = c S π (f) f < ǫ. Proposición (Positividd) Si f HK() y f(x) 0 pr cd x, entonces f 0. Demostrción. Se ǫ > 0. Existe un cubiert de Cousin β de tl que S π (f) f < ǫ pr cd prtición π β. Como f 0, entonces 0 S π (f) < f + ǫ, y y que ǫ > 0 es rbitrrio, se sigue que f 0.