Aspectos formales de la integral definida y la función integral

Transcripción

1 Iegrl ded segú Re Aspecos orles de l egrl ded y l ucó egrl A coucó se prese los specos orles vculdos ls ucoes egrles segú Re sguedo los leeos eslecdos e los cpíulos y 4 de Spv 996 Se coez el esudo pledo el prole de clculr el áre de u regó cod del plo ecó es pler l ecesdd de der cocepos procedeos y creros vculdos l egrcó De es er se derá ls sus superores y sus erores de u ucó cod culquer ded e u ervlo codo y cerrdo; pr luego deerr o qué codcoes l ucó se dce Re Iegrle Se cosder vros eeplos eleeles y se eslece u crero pr l egrldd de Re A prr de ello se esud ls propeddes ás releves que cuple l egrl egrl segú Re S e se h rdo desde los preros ños el cálculo de áres e gurs eleeles es coú que el esude que lleg veles superores de esudo eg dculd pr der o cosoldr el cocepo de áre de u regó culquer del plo A ese cocepo se lo puede erprer coo el úero de uddes de logudes cudrds coeds e u regó cod del plo Spv 996; pág 45 Eso úlo es copresle e uvo pr regoes polgoles podeos llrls sples esudds e l prr y l secudr; pero perde lgo de sedo s quereos hllr el áre A de ls sguees regoes soreds: A O é cudo decos que u círculo de rdo ee áre ; lo que sugere pesr que el círculo ee l s superce que u cudrdo de ldo uro Dcho de oro odo u cudrdo puede ller el círculo ddo Bo ess cuesoes clree es ecesro reorulr y sore odo plr el sgcdo del áre de u regó y l or de clculrl ovcó: Aprodo el áre A coucó se desrroll u sucó prculr pr pror el áre de u regó pero cuyo procedeo drá u de sore los cocepos que suyce e l decó de egrl de u ucó ded sore u ervlo E l sguee gur se represe u regó R ld e su pre superor por l grác de u ucó cou o egv e su pre eror por el ee l zquerd por l rec = y l derech por l rec = Dch regó se deorá por R Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año

2 Iegrl ded segú Re Qué úero s lo huese deerí cosderrse coo el áre de R? Es es l cuesó que se dese resolver El úero que se sgrá coo áre de R se llrá eveulee egrl de sore el ervlo [; ] r clculrlo se podrí coezr dvdedo el ervlo [;] e u úero o de ervlos que o se superpoe por eeplo e curo suervlos coo se prec e l sguee gur Esos so: [ ] [ ] [ ] [ 4 ] por edo de los úeros 4 sedo = < < < < 4 = ero oservdo que e cd suervlo cerrdo l ucó ee u ío y u vlor áo pues esos suedo cou es posle pler dos suors que represerá sus de áres de recágulos deerdos por l sudvsó que se llrá: por deeco y por eceso Ess so: s l su por deeco: 4 s : y S es l su eceso: 4 S : Ess sus usee os pro l vlor del áre uscd ero oservdo ls gurs es evdee que los vlores que se oee o serí los deseles y que vsulee se oserv que el error que se coee es grde co respeco l vlor que se dese ecorr coo áre hecho uvo y deere es que el uero que represerá l áre A de l regó R;; deerá cuplr l sguee desguldd: s A S ; pr culquer sudvsó del ervlo [;] Hs quí ese lgus suposcoes plícs por eeplo que l ucó se cou posv y cod e u [; ] ero cóo se resuelve u sucó slr cudo ls ucoes crece de cers propeddes ere ells l de l coudd? E qué csos es posle ecorr el áre? r respoder ess pregus se eces orlzr lguos cocepos or edo de los sos se podrá eslecer o qué codcoes y e qué csos es váldo ese procedeo pr pror el áre de R;; cuesó descr es que coo vereos se puede clculr el áre de regoes deerds por ucoes que o ssce l codcó pr odo de [; ] S es l ucó dud e l sguee Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año

3 Iegrl ded segú Re gur l egrl represerá l derec ere ls áres de ls regoes soreds por ec y por deo del ee de scss áre "lgerc" de R Decoes y propeddes Decó : ddo u ervlo [ ] sedo < se ll prcó od coleccó de puos del [ ]; es decr l couo ;; ; Decó : se u ucó cod e el [ ] y ; ;; Se: : : u prcó del so sup dode su eror de l ucó pr se deo coo ; ucó pr l prcó coo ; ; y l su superor de l Oservr que se hl de ío y supreo pues l decó o epres que l ucó se cou e [; ] ero sí ege que se cod pr segurr l esec de ellos Ess prcoes cuple cers propeddes que se esud coucó: Teore Sedo u ucó cod e el [;] y u prcó culquer se cuple que ; ; Deosrcó: Se l prcó ;; dode o egvo ; ; coo l ucó es cod e cd ervlo resul que or ls propeddes de oooí resul que Eoces pues el úero es uego por decó de ; y ; se verc que ; ; Nocó: se h opdo por ulzr ls lers y e relcó ls plrs ower y pper eror y superor respecvee Noeclur: ess sus eror y superor so llds sus de Re e hoor Berrd Re s XIX Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año

4 Iegrl ded segú Re Es propedd grz que se cul uere l prcó elegd sepre sucede que l su eror es eor que l su superor; lo ás será gul Ahor e es ecesro cosderr l vre dode ls prcoes se derees; e l cso oservreos s l desguldd es vs ere y sgue sedo váld r l se lz preree el coporeo de y cudo se ñde ás puos u prcó E los sguees eeplos se oserv que s se greg ás úeros l prcó del [;] se oee u eor procó l áre ecerrd: Es oservcó ov el sguee le: e: S Q es u prcó que coee u prcó eoces ; ; Q y por oro ldo é se cuple que ; ; Q Deosrcó: Cosdereos el cso prculr e Q que eg u solo puo ás que : Deoreos los íos De es or pr : y pr l prcó Q: Q : : u u Q ;; ;; ; u; ;; u u `` odeos represer los suídces e el ee pr u eor erprecó de l guldd eror: Es decr s pror que ; Q e - ; O se que u u E eeco: r el ervlo - ;u: el couo : coee odos los úeros de : u y posleee oros ás pequeños; eoces el ío del prer couo es eor o gul que el ío del segudo couo: Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 4

5 Iegrl ded segú Re o so sucede pr el ervlo u; O se que eoces: u u u u ero: u u u u Sudo ero ero resul que: u u desguldd uscd Aálogee se deuesr que ; Q Que es l Co el e eror se deduce el cso ás geerl dode l prcó Q se puede oeer dcodo u puo ás oeedo u uev prcó luego co oro puo y sí sucesvee hs llegr eer odos los puos de l prcó Q cuplédose que: Q Y álogee: Q El resuldo del le eror se ulz pr deosrr que eecvee s ls prcoes y so dss l desguldd ere y ; esudd pr el cso que dchs prcoes se gules é se cuple Teore Se y prcoes de [;] y u ucó cod e dcho ervlo eoces ; Deosrcó: Ese u prcó que coee y ; podeos cosderr cluso l que coee yor cdd de eleeos y plcdo los resuldos erores resul que: Oservcó: culquer su superor es yor o gul que el supreo de ods ls sus erores es decr que sup{ : es u prcó de [; ]} pr od Eso sgc su vez que sup{ } es u co eror pr el couo { } o se que sup{ } { } Es evdee que o uo coo oro de esos úeros se ecuer ere l su eror y l su superor de pr ods ls prcoes: sup{ } pr od prcó Coo cso prculr puede ocurrr que sup{ } = { }; sedo sí es el úco úero ere ls sus erores y ls sus superores de pr ods ls prcoes y ése úero es u cddo del pr sgrlo coo el áre de R;; ero é puede ocurrr que sup{ } < { } eoces odo úero copreddo ere sup{ } y el úero { } cuplrá l desguldd Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 5

6 Decó : ucó cod sore [; ] es egrle sore dcho ervlo s: sup { : es u prcó de [;]} = { : es u prcó de [;]} E ese cso ese úero coú rece el ore de egrl de sore [; ]; deodo egrl Adeás se dee que Iegrl ded segú Re rece el ore de áre de R; ; s [; ] y é que Segú l decó s es egrle eoces: [;] Adeás pr od prcó del es el úco úero que cuple es propedd pues ; í ; ; ; sup A coucó se lz dos eeplos reerdos l deercó del áre de u regó cuesó clree relcod l egrldd de u ucó: - Clculr el áre de l ucó = c co [;] Deos u prcó ; ;; resuldo = = c Dode c c E ese cso cocde: sup{ } = { } = c -; es decr c c - Se s es rrcol s es rcol Es ucó ee u ore propo se l ll Fucó de Drchle Deos u prcó ; ;; dode = pues e odo suervlo de l prcó ese rrcoles Y por oro ldo = pues lo so sucede co los rcoles O se que: Oservr que ese resuldo es l órul pr el cálculo del áre de u recágulo y coocd Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 6

7 Iegrl ded segú Re Se puede hcer u gráco orevo coo gur de álss de l sucó pero o es posle represer correcee l ucó y que ere dos úeros reles culesquer del ervlo [; ] ese os úeros rcoles e rrcoles y lo so sucede pr los úeros rcoles sí que l grác de l ucó cos de u ue lel de puos de orded udd y or ue lel de puos de orded ul: uego o se puede especcr u úero pr sgrlo coo áre de R; ; ; pues culquer úero ere y serí cddo y o podeos deerrlo Hs quí surge pregus uvs ás llá de los cocepos erores y prers propeddes: Qué ucoes so egrles? Ese lgú crero prr recoocer l egrldd de ls ss? Noeos que hs hor sólo cooceos dos eeplos: l ucó cose y l ucó de Drche El sguee eore proporco u crero pr deerr qué ucoes so egrles Teore ucó es egrle sore [;] sedo cod e dcho ervlo > ese u prcó de [; ] l que < Deosrcó r splcr l ocó se dc l supreo de ls sus erores pr culquer prcó del ervlo [; ] Y álogee es el ío de ls sus superores pr culquer prcó del ervlo [; ] De es or s es egrle se ee que = S se d u úero rel ε> por l decó de supreo ese u prcó del ervlo [; ] l que ; De or slr ese u prcó del [; ] l que S se cosder u prcó = por ls propeddes y vss se cuple que: ; ; ; ; De dode resul que ; ; < ε r pror el recíproco se ee que > ese u prcó de [; ] l que < y sedo u prcó que coee se cuple que: { { - sup { < sup { Coo es úl desguldd se cuple pr odo > eoces se cuple que { = sup { Es decr l ucó es egrle e el [; ] Ese eore epres de oro odo l decó de egrldd coo se ve es sucee dr u épslo y ecorr u prcó l que ; ; < ε s ucoes que cupl es codcó se ll ucoes Re Iegrles Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 7

8 Iegrl ded segú Re Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 8 Segudee se eeplc l ulzcó del eore eror: - Iegrr l ucó = e [; ] sedo u úero rel posvo Se ;; ; e [; ] Clculos y : Se u prcó de ervlos de gul plud; es decr que De es or el vlor de l scs es gul : De or álog: No: S = es l su de los preros úeros urles y se deuesr por Iduccó cople que dch su S se clcul hcedo S

9 Iegrl ded segú Re Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año 9 Oserveos que: Eso sgc que ese prcoes de odo que l derec se puede hcer pequeñ coo se quer: s : ; Segú el Teore es vso l ucó es egrle Es evdee que pr odo vlor de ero se se que puede hcerse pequeñ coo se quer de odo que se cocluye que: - Iegrr l ucó = e [; ] sedo u úero rel posvo Se u prcó ;; ; dode y Se l prcó de pres gules dode s sus superores e erores resul: 6 6 Vercr que or oro ldo vercr é que s : ; Resuldo que ; y coo puede hcerse pequeño coo se quer elgedo suceeee grde se cocluye que el so resuldo que llegó Arquíedes e el sglo III C!!! Oservcó: el vlor de es egrl cocde co el áre de u rágulo recágulo de se y lur de logud

10 Iegrl ded segú Re Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año Algus ucoes dscous pero egrles El sguee eeplo correspode l de u ucó egrle pero dscou e u puo del ervlo de egrcó Spv 996; pág 57 Se ded e el ervlo [; ] sedo: Cosdereos u prcó = { ; ; ; } de [; ] co - < < represecó cres resul: Eoces = = s ; pero = y = s sus erores y superores resul: De ls cules se ee que O se que es egrle or que pr oeer s co elegr u prcó l que - < < de odo que - < ε Adeás es clro que pr ods ls prcoes De es er sedo egrle ese solee u úero ere ods ls sus erores y superores que verc l desguldd eror; de quí que Ce clrr que ucoes cods pero dscous e u couo o de puos so egrles ás ú es propedd sgue sedo váld ú s l ucó es dscou e u couo uerle de puos coo se puede oservr e el sguee eeplo Deos l ucó: ; E Dode E represe l ucó pre eer de represecó prod de l grác de es ucó es: Oservcó: logros clculr el áre de u regó ld por u práol; que o se oee por herres de l geoerí eleel s s = =

11 Iegrl ded segú Re Es ucó es Iegrle porque l sere cuyos éros esá represed por ls áres de los recágulos esclodos es covergee Y s ergo o es cou e u cdd uerle de puos es decr e odos los puos de l or / sedo u úero url Acerc de l ocó ulzd: Se h rdo l egrl coo l su de recágulos del lur y chur - que podeos deorlos ; es decr sedo l cdd de ervlos dcos l suor Cudo el pso l líe se susuye l suor por el síolo de egrl ; se susuye por y por d Resuldo d Es ocó ee l ve sore l que veíos ulzdo que l epresó d os dc l vrle respeco l cul se esá egrdo O se que se ee el so sgcdo s se escre d ó d o l epresó z dz A coucó se esud oros eores y corolros cerc de l egrldd de ls ucoes; de es or es posle horrr epo e l úsqued de l solucó de u egrl o l eos coocer sus resrccoes r el sguee eore es ecesro el cocepo de ucó uoreee cou Decó: Se u couo A y se : A Se dce que es uoreee cou e A s pr cd ε > ese δε > l que s u v A so úeros culesquer que ssce u v eoces u v S yores eccsos u ucó es uoreee cou s pequeños cos e el vlor de produce pequeños cos e el vlor de l ucó coudd y el ño de los cos e depede solo del ño de los cos e pero o del vlor de uore O se que derec de l decó de l coudd dode el vlor de δ depede del puo pr ucoes uoreee cous es depedee or eeplo se puede pror que: ucó y = / pr > es cou pero o uoreee cou Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año

12 Iegrl ded segú Re Isuo roesordo Cocord Seccó eác Año ucó y = es uoreee cou e el ervlo [] El sguee eore coec l propedd de coudd de u ucó co l codcó de egrldd ás ú l coudd será u codcó sucee pr l egrldd Teore 4 S u ucó es cou e ; eoces es egrle e dcho ervlo Deosrcó: Se ;; ; u prcó del [;] or ser cou e u ervlo cerrdo es cod e dcho ervlo Teore de Weesrss pr ucoes cous Eso segur l esec de áos y íos e cd suervlo de l prcó r osrr l egrldd es ecesro deosrr que: > u prcó de [; ] l que < Adeás por ser cou e u ervlo cerrdo y codo l ucó es uoreee cou O se que s se d ε > ese δε > l que s u v [; ] y sedo v u eoces v u or lo dcho eroree ese los úeros u y v e cd suervlo [ - ; ] de l prcó les que u = y v = Se ee eoces que v u De dode se sgue que: