UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

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1 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS Cálculo Itegrl JORGE ELIÉCER RONDON DURAN Autor JOSÉ PEDRO BLANCO ROMEERO Director Nciol MARTIN GOMEZ ORDUZ Acreditdor Bogotá, D. C Agosto de

2 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presete módulo fue diseñdo e el ño 7 por el Ig. JORGE ELIECER RONDON DURAN docete de l UNAD, ubicdo e el CEAD de JOSE CELESTINO MUTIS, el Autor es de profesió igeiero. Se h desempeñdo como tutor de l UNAD desde hce vrios ños, empezdo como tutor hst el crgo que ocup e l ctulidd de coordidor ciol de Ciecis Básics. Como oveddes se preset otros spectos didácticos que fcilit el estudio utóomo del cálculo itegrl, sí como l estructur y coteidos solicitdos por l VIMMEP y l ECBTI. MARTIN GOMEZ, licecido e físic y mtemátics de l UPTC, tutor de tiempo completo de Yopl Csre, poyó el proceso de revisió de estilo del módulo y dio portes disciplires, didácticos y pedgógicos e el proceso de creditció del mteril didáctico, este trbjo se llevo cbo e los meses de Julio y Agosto de 9. Este documeto se puede copir, distribuir y comuicr públicmete bjo ls codicioes siguietes: Recoocimieto. Debe recoocer los créditos de l obr de l mer especificd por el utor o el licecidor (pero o de u mer que sugier que tiee su poyo o poy el uso que hce de su obr). No comercil. No puede utilizr est obr pr fies comerciles. Si obrs derivds. No se puede lterr, trsformr o geerr u obr derivd prtir de est obr. Al reutilizr o distribuir l obr, tiee que dejr bie clro los térmios de l liceci de est obr. Algu de ests codicioes puede o plicrse si se obtiee el permiso del titulr de los derechos de utor Nd e est meoscb o restrige los derechos morles del utor.

3 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl INTRODUCCIÓN L mtemátic es u cieci emietemete teóric, debido que prte de teorís y defiicioes, cuys demostrcioes se soport e el pricipio de l lógic, los ioms y postuldos, que permite el desrrollo de hbiliddes de pesmieto de orde superior, especilmete l Deducció, Iducció y l Abstrcció, pero su vez preset dificultdes pr poder desplegr dichs hbiliddes, y que se requiere trbjr el setido de álisis, desrrollo del rciociio, spectos o fáciles de ctivr e l mete hum. El Cálculo Itegrl es el áre de ls mtemátics, que perteece l cmpo de formció disciplir y tiee crácter básico e culquier áre del sber, debido que los Igeieros, Admiistrdores, Ecoomists, Físicos, Químicos, por supuesto los Mtemáticos y demás profesioles requiere de est áre del sber. U bue coocimieto del cálculo diferecil, permite y fcilit trbjr el curso de cálculo itegrl, e dode se desrroll teorís, pricipios y defiicioes mtemátics propis del cálculo ifiitesiml. El objetivo fudmetl es que los estudites pued idetificr, compreder e iteriorizr ls temátics que cubre el curso, co el fi de dquirir coocimietos mtemáticos que le de cpcidd de resolver problems dode el cálculo Uivrido es protgoist. El Cálculo Itegrl es l rm de ls Mtemátics muy utilizds e Ciecis, Tecologí, Igeierí e Ivestigció, que requiere u trbjo sistemático y plificdo, pr poder cumplir el propósito fudmetl que es sber itegrr, técic que permite solucior problems de estos cmpos. Por otro ldo, l itegrció es ecesri pr otros escerios como ls Ecucioes Difereciles, los Métodos Numéricos, l geometrí diferecil, l Probbilidd, l Estdístic Avzd y otrs áres del coocimieto.

4 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ls Uiddes Didáctics que coform el curso so: L Itegrció, Los Métodos de Itegrció y Ls Apliccioes de ls itegrles. E l primer uidd se desrroll lo referete l tiderivd o primitiv, l itegrl idefiid, l itegrl defiid, el teorem fudmetl del cálculo y ls itegrles impropis. L segud uidd preset lo relciodo co ls técics de itegrció, iicido co ls itegrles imedits producto de l defiició de tiderivd, l itegrció por cmbio de vrible o tmbié llmd sustitució, itegrció por prtes, itegrció por frccioes prciles, itegrció de fucioes trscedetles; tles como, epoecil, logrítmic, trigoométrics e hiperbólics. L tercer uidd preset ls pliccioes de l itegrció, tles como áres bjo curvs, logitud de u curv, volúmees de sólidos de revolució, l itegrció e l físic, e l estdístic y e l ecoomí. E los ejercicios propuestos, pr ls primers temátics, o se d ls respuests y que ésts so muy obvis, pero pr ls demás temátics, se ofrece ls respuests, co el fi de motivr el procedimieto de los mismos. Es pertiete desrrollrlos de mer metódic y cuiddos; demás, cofrotr l respuest obteid co l dd e el módulo, culquier clrció comprtirl co el tutor o el utor trvés del correo jorge.rodo@ud.edu.co Como el coocimieto se v reovdo y ctulizdo, los portes que se hg l presete mteril será bie veidos, esperdo sí u ctividd cotiu de mejormieto e beeficio de todos los usurios del mteril. Como el mteril preset ls temátics fudmetles, es pertiete complemetr co otrs fuetes como libros, de los cules se preset e l bibliogrfí, Iteret y otros. Es recomedble desrrollr el trbjo cdémico de mer decud, como se eplicit e el modelo cdémico pedgógico que l UNAD tiee, pr obteer los mejores resultdos del curso. El estudio idepediete, como primer escerio, es fudmetl pr l eplorció, álisis y compresió de ls temátics. El Acompñmieto Tutoril, debe permitir complemetr el trbjo relizdo e el escerio terior, especilmete e l clrció de duds, complemetció y profudizció pertiete. E este specto, se debe eplorr ls herrmiets que esté l mo pr provechr de l mejor mer dichos recursos, sí el grdo de predizje es más mplio y se verá mejor reflejdo el predizje utóomo. El utor.

5 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl INDICE DE CONTENIDO UNIDAD UNO: LA INTEGRACION CAPÍTULO : LA INTEGRAL INDEFINIDA 5 Lecció : L itegrció 5 Lecció : L Atiderivd 6 Lecció : Itegrl idefiid Lecció : Propieddes de ls Itegrles idefiids. Lecció 5: L costte de itegrció CAPÍTULO : LA INTEGRAL DEFINIDA 6 Lecció 6: Sums De RIEMANN 6 Lecció 7: Áre bjo l curv 9 Lecció 8: Estimció por sums fiits. Lecció 9: Defiició Lecció : Itegrl defiid 6 CAPÍTULO : TEOREMAS 8 Lecció : Teorem de itegrbilidd 8 Lecció : Vlor medio de u fució 9 Lecció : Primer teorem fudmetl del cálculo Lecció : Segudo teorem fudmetl del cálculo 5 Lecció 5: Teorem de simetrí 5 Actividdes de utoevlució de l Uidd 5 Lbortorio 56 Fuetes documetles de l Uidd 6

6 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl UNIDAD DOS: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 6 CAPÍTULO : MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I 66 Lecció 6: Itegrles Impropis co itegrdo discotiuo 66 Lecció 7: Itegrles impropis co límites de itegrció ifiitos 7 Lecció 8: Itegrles Imedits 76 Lecció 9: Itegrles imedits co sustitució 79 Lecció : Itegrció por cmbio de vrible 8 CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN II 88 Lecció : Itegrció por rciolizció 88 Lecció : Itegrció por sustitució trigoométric cso I 9 Lecció : Itegrció por sustitució trigoométric cso II 9 Lecció : Itegrció por sustitució trigoométric cso III 96 Lecció 5: Itegrció por prtes 99 CAPÍTULO 6: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN III 5 Lecció 6: Itegrció por frccioes prciles. 5 Lecció 7: Itegrció de fució epoecil 5 Lecció 8: Itegrció de fució logrítmic 8 Lecció 9: Itegrció de l fució trigoométric Lecció : Itegrció de l fució hiperbólic Actividdes de utoevlució de l Uidd 6 Lbortorio 9 Fuetes documetles de l Uidd

7 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl UNIDAD TRES: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 6 CAPÍTULO 7: ANÁLISIS DE GRAFICAS 9 Lecció : Áre de regioes pls 9 Lecció : Áre etre curvs 5 Lecció : Áre de superficies de revolució 58 Lecció : Logitud de u curv 6 Lecció 5: Logitud de u rco e form prmétric. 69 CAPÍTULO 8: VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCION. 7 Lecció 6: Volume de sólidos de revolució: Método de rdels 7 Lecció 7: Volume de sólidos de revolució: Método de csquetes cilídricos 8 Lecció 8: Volume de sólidos de revolució: Método de rebds o discos. 86 Lecció 9: Mometos y cetros de ms. 9 Lecció : Volume. 99 CAPÍTULO 9: EN LAS CIENCIAS Lecció : Itegrles e l físic: trbjo y movimieto. Lecció : Itegrles e l hidráulic: bombeo de líquidos. 9 Lecció : Itegrles e l estdístic: Fució de distribució Lecció : Itegrles e l ecoomí. 9 Lecció 5: Itegrles e ls ciecis sociles. 9 Actividdes de utoevlució de l Uidd Lbortorio Fuetes documetles de l Uidd 9

8 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl LISTADO DE TABLAS Tbl No. Listdo de itegrles imedits.

9 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. 5 Figur No. 6 Polígoos circuscritos Polígoos iscritos Prtició Áre Itegrl impropi Covergeci Figur No. 7 Sustitució trigoométric cso Figur No. 8 Sustitució trigoométric cso Figur No. 9 Sustitució trigoométric cso Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. Aplicció Áre bjo l curv Prticioes Grfic de Figur No. Grfic de Figur No. 5 Grfic de y- Figur No. 6 Áre etre curvs Figur No. 7 Grfic solució problem No. Figur No. 8 Solució áre bjo curvs Figur No. 9 Solució problem No. Figur No. Figur No. Superficie de revolució Superficie de revolució de y

10 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Figur No. Superficie de revolució de y Figur No. Figur No. Figur No. 5 Figur No. 6 Logitud de curv Demostrció logitud de curv Logitud de curv prmétric. Ardels Figur No. 7 Solució volume ejemplo No. Figur No. 8 Solució volume ejemplo No. Figur No. 9 Figur No. Csquetes Desrrollo sólidos de revolució Figur No. Solució ejemplo No. Figur No. Solució ejemplo No. Figur No. Figur No. Figur No. 5 Demostrció csquetes Rebds Discos Figur No. 6 Solució problem No. Figur No. 7 Solució problem No. Figur No. 8 Figur No. 9 Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. Figur No. 5 Cetro de ms Cetroide Teorem de Pppus Bombeo Bombeo circulr Curv ofert - demd Ecedete del cosumidor Ecedete del productor

11 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl UNIDAD : LA INTEGRACION Itroducció: U dificultd que efreto l humidd desde hce muchos siglos fue el cálculo de áres y volúmees de cuerpos coocidos, quie efreto primero este problem l precer fue Eudoo de Cido por llá por el siglo IV tes de uestr er. Eudoo ideo el método de ehucio el cul cosistí e descompoer e prtes muy pequeñs ls éres y los volúmees pr luego compoerls y de est mer obteer ls superficies y los grosores de los cuerpos. L Geometrí grieg se iteresó proto por ls áres de figurs e el plo y los volúmees de cuerpos geométricos. Tmbié temprmete descubriero que el trtmieto de ls figurs de cotoros curvilíeos o er secillo de bordr. Alguos estudiosos de l tigüedd que se iteresro por el tem fuero: KEPLER Estb iteresdo e ls cóics pr su plicció e l stroomí, por lo tto, plte el cálculo del áre de u órbit cosiderádol que est formd por triágulos ifiitmete pequeños co u vértice e el Sol; esto d orige u cálculo itegrl rudimetrio. El estudio de los volúmees lo retomo pr el cálculo del vio l ver l iectitud de l cpcidd de los toeles. GALILEO Se iteres por l prábol, l estudir l tryectori de u proyectil y hllr l itegrl que epres el espcio recorrido e u movimieto uiformemete celerdo. LEIBNIZ Sistemtizo y logro u desrrollo eficiete. Myor iformció e el siguiete lik: Nció e 57 e WEIL DER STADT y murió e RATISBONA e 6 (Alemi). Nció e 56 e PIZA y murió e FLORENCIA 6 (Itli). Por primer vez utilizo el símbolo que prece de estilizr l S de ls sumtoris.

12 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Justificció: Tto l itegrl como l derivd so herrmiets importtes que yud resolver problems e l físic, l estdístic, l probbilidd, l hidráulic y otros cmpos de ls ciecis; es por eso que tems t importtes so borddos e est uidd. E est primer uidd presetmos tres cpítulos e los cules trtmos ls bses de l itegrció empezdo por l itegrl idefiid, l itegrl defiid y e el tercer cpítulo retommos el tem de los teorems clves pr compreder mejor el estudio de ls itegrles. Itecioliddes formtivs: Pr est uidd podemos eumerr como itecioliddes formtivs ls siguietes: Que los estudites idetifique los pricipios del cálculo itegrl pr similr l teorí de ls itegrles. Los estudites iterprete ls diferetes teorís, defiicioes y teorems del cálculo itegrl pr poder compreder e diversos escerios su mejor mer de utilizrlos. Mejr de mer propid ls itegrles idefiids, ls itegrles defiids y los teorems e los cules se bs.

13 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Presetmos u cudro co el resume del coteto teórico de est uidd Deomició de los cpítulos Asimilció de coceptos Coceptos CAPITULO : L itegrl idefiid CAPITULO L itegrl defiid CAPITULO Teorems que l sustet Los lectores de l primer uidd l itegrció, estrá e cpcidd de compreder los coceptos fudmetles del cálculo itegrl e cuto sus orígees, diferetes clses de itegrció, l propició de l simbologí empled, los teorems que l sustet y tiee u visió geerl del curso. Est Uidd prte de coceptos elemetles pr ir detrdo l estudite e coceptos más mplios y complejos empledos e el Cálculo Itegrl. De coocimietos Adquirir ls técics propis del cálculo itegrl. El coocimieto e mtemátics se dquiere co ppel y lápiz e l relizció de ejercicios que está propuestos e est uidd o e l bibliogrfí y cibergrfi sugerids. Competecis Cotetules: Adquirir los coocimietos propios del curso cdémico co el fi de plicrlos e l solució de problems de su crrer y de est mer poer el práctico el predizje sigifictivo. Los estudites debe desrrollr hbiliddes pr plicr los coocimietos dquiridos e l solució de problems prácticos. Comuictivs: Adquirir l jerg propi del leguje utilizdo e el cálculo itegrl. Iterpretr y etederlos l diferete simbologí y su plicció. Adquirir fcilidd de epresió y vecer el miedo e l itercció co ls NTIC

14 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Vlortivs: Adoptr, idetificr y prcticr lo vlores de l UNAD. Adquirir cpcidd de vlorció y tolerci co uestros compñeros virtules o preseciles.

15 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Itroducció CAPITULO : L itegrl idefiid L derivd correspode l oció geométric de tgete y l ide físic de velocidd, es decir dd u curv clculr su pediete o ddo el recorrido de u móvil clculr su velocidd, mietrs que l ide de itegrl está relciod co l oció geométric de áre y l ide físic de trbjo, por lo tto, dd u fució se hll el áre compredid bjo l curv o dd u fuerz vrible, se clcul el trbjo relizdo por dich fuerz. Prtiedo de este último cocepto este cpítulo preteder ilustrr el cocepto de l itegrl idefiid, e el cul teemos que si os d l derivd de u fució osotros debemos hllr dich fució. Lecció : L itegrció E el mudo de ls Mtemátics ecotrmos que eiste opercioes opuests, como l sum y l rest, el producto y el cociete, dode u deshce o ul l otr. De l mism mer l Itegrció es u operció opuest l Diferecició. L relció Diferecició Itegrció es u de los coocimietos más importtes e el mudo de ls Mtemátics. Ides descubierts e form idepediete por los grdes Mtemáticos Leibiz y Newto. Iicilmete Leibiz l proceso de itegrció lo llmo: Clculus Summtorius pero e.696 ifluecido por Joh Beroulli, de l distí Beroulli, le cmbio el ombre Clculus Itegrelis. Gr Filosofo, politólogo y mtemático. Precursor de l Lógic Mtemátic, desrrollo el Cálculo, idepediete de Newto, publicdo su trbjo e.68, su otció es l que se utiliz ctulmete. Descubrió el sistem birio, muy utilizdo e los sistems iformáticos. Cotribuyo l creció de l Rel Acdemi de Ciecis e Berlí e.67, siedo su primer presidete. Gottfried Wilhelm vo Leibiz Julio de 66 Noviembre de 76 HANNOVER Alemi.

16 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl El cálculo h sido u secueci de áres mtemátics etrelzds, dode se utiliz pricipios de Álgebr, Geometrí, Trigoometrí, se debe destcr que pr desrrollr el curso de Cálculo Itegrl, es pertiete teer clros los pricipios de ls áres ombrds y demás los de Cálculo Diferecil, y que como se dijo e el párrfo terior, l itegrció es l opuest l diferecició. Lecció : L Atiderivd Pr coceptur l Atiderivd, comecemos por pesr que se tiee u fució, digmos f (), el trbjo cosiste e ecotrr otr fució, digmos D () tl que: D '( ) f ( ). Así D() es u tiderivd de f(). Idetificr u fució prtir de su derivd, cosiste e hllr u dispositivo (técic) que os de tods ls fucioes posibles, dode f() es su derivd, dichs fucioes se les llm Atiderivd de f(). El dispositivo pr éste proceso es llmdo L Itegrció. Vemos u ejemplo secillo: Se f(), cul será u fució D() cuy derivd es? Co lgo se stuci y coocimietos sólidos e diferecició podemos idetificr que D(). Vemos: Si derivmos D() obteemos f(). Otro ejemplo: f() cos(), cul será u D()? Debemos buscr u fució cuy derivd es cos(), evidetemete es se(), luego D() se(). Pr l otció de tiderivd hubo diverss propuests, pero l del gr Mtemático Leibiz es l más utilizd uiverslmete.... d. Posteriormete se lizrá est otció. Pr los ejemplos teriores co l otció de Leibiz se tiee: ( ) d c Pr el otro: cos( ) d se( ) c Posteriormete se clr el cocepto de l c DEFINICIÓN No : U fució D() es u tiderivd de l fució f(), si: D () f(). Pr todo e el domiio de f().

17 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl El cojuto de tods ls tiderivds de f() se le llm l Itegrl Idefiid de f() y se puede escribir: f ( ) d D( ) c TEOREMA: Se F() y G() tiderivds de f() e u itervlo cerrdo I, etoces: G() F() c pr lgu costte c. Demostrció: Como G() y F() so tiderivds de f(), etoces teemos que: G () F (), por u defiició previ que dice: si g () f () etoces: g() f() c pr todo e el itervlo I bierto. Por cosiguiete: G() F() c, pr lgu costte c. Ejemplo No : Ecotrr tods ls fucioes cuy derivd es f(). Solució: U fució puede ser 5, y que l derivrl obteemos. Luego: Si f(), etoces D() 5, pero tmbié puede ser D(). E geerl culquier fució de l form D() C, es tiderivd de l fució f(), siedo C u costte. Ejemplo No : Ecotrr tods ls fucioes cuy derivd es: f() sec (). Solució: Si recordmos sobre derivds de fucioes trigoométrics, podemos sber que l fució cuy derivd correspode sec (), es t(), luego: Si f() sec (), etoces D() t() C

18 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Por cosiguiete, l form de ls fucioes cuy derivd correspode sec () es: D() t() c Ejemplo No : Hllr lgus fucioes cuy derivd es g() Solució: Culquier fució de l form C es tiderivd de g(), luego lgus de ests puede ser: G() 5, G(), G() 5 E geerl: G() C Los ejercicios propuestos, se debe desrrollr, utilizdo ls defiicioes y teorems, lizdos e este prte. EJERCICIOS: Ecotrr l tiderivd F() C de ls siguietes fucioes:. f() 8. f(). f(). f() / 6/ 5 5. f() ( 5 6 ) / 8 Desrrollr l operció propuest: 6. ( 5 6) d 7. ( 7 ) d

19 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl 8. ( y y) dy y 9. [ se ( ) csc ( ) ]d. d

20 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció : Itegrl idefiid. Coociedo el cocepto de Atiderivd, podemos formlizr desde el puto de vist mtemático l itegrl idefiid. Leibiz (.66.76) l Atiderivd l llmo Itegrl Idefiid, quizás pesdo que este tipo de itegrles icluye u costte rbitrri. Luego podemos defiir l itegrl idefiid de l siguiete mer: ( ) d D( ) f c Dode: Símbolo de itegrció. f() Itegrdo d diferecil de l vrible, D() L itegrl de f() c costte de itegrció. Vemos u poco est omecltur mtemátic: Por defiició de derivd teemos: d d [ D( ) ] f ( ) D' ( ) f ( ) d L operció opuest: d( D( )) d f ( ) d( D( )) f ( ) d d ( D( )) f ( ) d D( ) f ( ) d c

21 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl No debemos olvidr l costte de itegrció. Co bse e ls defiicioes teriores y los coceptos lizdos, se puede obteer lgus itegrles, bsdo e l teorí de l tiderivd. INTEGRALES INMEDIATAS: INTEGRAL DERIVADA d C d d ( c) d c pr - d d c e e d c pr d d e c e d c Log( ) pr > d d Log ( ) c cos( k) d se( k) d c pr k cos( k) c se( k) k d k d L ( ) c d Se ( ) c d [ L ( ) c] d d d [ Se ( ) ] ( ) d t( ) c sec [ t( ) c ] sec ( ) d d Listdo de itegrles imedits. Tbl No.

22 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció : Propieddes de ls itegrles. Pr ls propieddes idefiids, podemos destcr ls siguietes propieddes, cosecueci de ls plicds e l diferecició.. ( ) d f f ( ) d. ( ) d k kf f ( ) d. kd k c d kf ( ) d ±. [ ( ) kg ( ) ] kf ± kg ( ) d f '( ) ) f ( ) d L f c 5. ( L demostrció se pude hcer por medio de sustitució. 6. [ f ( ) ] p f '( ) d [ f ( ) ] p p c L demostrció se puede hcer por medio de l técic de sustitució. Vemos lguos ejemplos:. d d c Aplicdo ls propieddes y e d 5 e d e c Aplicdo propiedd e itegrles imedits.. ( se ( ) ) d d d se ( ) d

23 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Aplicmos ls propieddes y, luego: d d se ( ) d cos( ) c 6. d L c Aplicmos l propiedd ( 5 se ( ) ) ( cos( ) ) d ( 5 se ( )) c Aplicmos l propiedd 6. 5 Lecció 5: L costte de itegrció. Retomdo lo mifestdo e el Teorem No, podemos observr que ls tiderivds de u fució sólo se difereci por u costte C dd. Si recordmos el ejemplo sec ( ) d t( ) c, podemos especificr lgus tiderivds. D() t( ), D() t( ), D() t( ) 5, D() t( ),. A prtir de lo terior, se firm que l costte de itegrció es propi de ls itegrles idefiids, y que so muchs ls tiderivds de u fució que cotiee el itegrdo. Por otro ldo, cudo estmos itegrdo dode hy sum o rest, cd térmio tedrá su costte de itegrció, pero tods ls costtes obteids se puede grupr e u sol. Ejemplo No. Desrrollr: (7 e cos( )) d Solució: Aplicdo ls propieddes de sum y rest teemos:

24 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl 7 5 (7 5 e cos( )) d d e d 7 cos( ) d desrrolldo cd itegrl. c e c se( ) c, luego ls costtes ls podemos grupr e u 7 5 sol: c e c se( ) c 7 5 e se( ) C 5 5 Ejemplo No. Hllr: ( e )d Solució: Aplicdo ls propieddes y ls itegrles imedits: ( e ) d d e d c e c L() Agrupdo ls costtes: ( e ) d e c L() EJERCICIOS: Hllr ls tiderivds de ls fucioes dds:. f ( ). f ( ) π.. f ( ) f ( ) se() e

25 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Aplicdo ls propieddes, resolver ls siguietes itegrles d 6. ( 5 sec ( ) )d 7. ( e t se (5 ) 7 )d sec 8. ( ) d t( ) 9. ( t t )( 8t )d e. d e 5

26 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl CAPITULO : L itegrl defiid ( ) ( ) ( ) Itroducció f d F b F b Pr lizr ls itegrles defiids es ecesrio el estudio de los coceptos de Sumtoris, Sums de Riemm y áres bjo l curv. Cd u se irá desrrolldo de mer secuecil, pr poder iteriorizrls decudmete. El tem de Sumtoris, se desrrolló e el curso de Álgebr, Trigoometrí y Geometrí Alític, si embrgo pr culquier dud o clrció es pertiete cosultrlo e dicho curso. Lecció 6: Sums de Riem Comecemos por defiir u fució f() e el itervlo cerrdo I [, b], e dicho itervlo puede hber vlores positivos y egtivos; icluso, podrí ser o cotiu. Hcemos u prtició P del itervlo I e subitervlos, pr fcilidd se hce u prtició regulr, pero o ecesrimete debe ser regulr, dich prtició debe teer l codició que: X < X < X < < X - < X, dode X y b X Ahor se X i X i X i- El tmño del subitervlo. E cd subitervlo se escoge u puto muestr, puede ser u puto froter. ~ i. X X X. X X X Así pr los demás itervlos. Como l prtició se hizo sobre l fució f(), etoces:

27 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl R p i f ( ~ ) Δ i i Sum de Riemm. Aquí R p es l sum de Riemm pr f() e l prtició P. Georg Friedrich Berhrd Riem Fig. No. Polígoos circuscritos. Ejemplo No : Evlur l sum de Riemm pr l fució f() e el itervlo [-, ], l prtició es regulr, tomdo P 8 Solució: Tomemos X - y X. Se tom ~ i como el puto medio del i-ésimo ( ) itervlo. Tmbié: Δ i X i,5; co esto se obtiee 8 8 subitervlos, cuyos putos medios so: 86 Alemi 866 Suiz.

28 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl -.75, -.5, -.75, -.5,.5,.75,.5,.75. Apliquemos l fórmul de sums de Riemm: 8 R f ( ~ ) Δ Etoces: p i i i R p [f(-.75)f(-.5)f(-.75)f(-.5)f(.5)f(.75)f(.5)f(.75)] *.5 E l fució se reemplz: f (,75) (,75) 5, 65 y sí pr los demás. R p [ ] *.5 R p [5.5] *.5.5 Ejemplo No : Evlur l sum de Riemm pr l fució h(t) t t, e el itervlo [, ]. L prtició es regulr y los putos muestr defiidos so: ~,, ~, 8, ~,68, ~, 9 Solució Teemos todos los isumos pr hcer l sum correspodiete: R f ( ~ ) Δ Etoces: p i i i R p [f(.) f(.8) f(.68) f(.9)] *.5 R p [ ] *.5 R p [.855] * Resolver el ejemplo terior utilizdo 8 subitervlos P 8, defiiedo el tmño de cd subitervlo y el puto muestr de cd uo.

29 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció 7: Áre bjo l curv Cocepto Ituitivo: Pr hllr el áre de u figur co ldos rectos, l geometrí pl (estudid e mtemátic básic) permite clculr dichs áres, por ejemplo rectágulos, triágulos, prlelogrmos, otros. Cudo l froter de u figur es curv l situció es de u álisis más profudo, y que se requiere myor trbjo mtemático. El gr mtemático de l tigüedd ARQUIMEDES, propuso u solució cosistete e que l cosiderr u sucesió de polígoos iscritos que proime l regió curv, que puede ser más y más precis, medid que el polígoo umet el úmero de ldos. Cudo P tiede ifiito ( P ), el áre del polígoo se hce semejte l del círculo. Fig. No. Polígoos iscritos. Pero l geilidd de Arquímedes, tmbié lo llevo demostrr que co polígoos circuscritos, se llegb l mismo resultdo.

30 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció 8: Estimció por sums fiits. Pr determir cómo se hll el áre bjo l curv, utilizremos el pricipio de los polígoos iscritos y demás u de ls fucioes más coocids: f(). El proceso cosiste e hllr el áre de l regió A ( R ) cotd por el itervlo [, b], pr uestro cso tomemos: [, ] L prtició P del itervlo [, ] e subitervlos, cuy logitud es: Δ Prtició regulr. Comecemos: X X X X X X X M X i X i- (i ) i M X - (-) X Fig. No. Prtició. Pero /, etoces: X, X /, X /,, X i i/,,, X (/) El áre de l regió R i es f( i- ). El áre totl de l regió R será l sum de ls áres de todos los rectágulos iscritos e l curv. A( R ) f ( ) Δ f ( ) Δ L f ( ) Δ Pr l fució que estmos lizdo teemos: i 8i 8 i ) Δ i Δ * f ( i

31 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Luego: 8 A R ) L 8 ( )( ) [ ( ) ] ( 6 Revisr ls propieddes de ls sumtoris e el modulo de Álgebr, Trigoometrí y Geometrí lític, uidd tres, dode puedes reforzr estos coceptos. Luego: 8 A( R ) 6 Etoces: 8 A( R ) A medid que se hce más grde, etoces el áre de l sum de los rectágulos iscritos es más y más proimdo l áre de l curv. Por cosiguiete: 8 A( R) Lim A( R ) Lim NOTA: Relice l mism demostrció pero usdo rectágulos circuscritos. 8 Lecció 9: Defiició Se f() u fució defiid e el itervlo cerrdo [, b] y cotiu e el itervlo bierto (, b). Si f() e [, b], el áre bjo l curv de f() e el itervlo defiido est ddo por: A Lim i f ( ) i Δ Ejemplo : Clculr el áre bjo l curv de f() e el itervlo [, ].

32 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Solució: Comecemos el proceso hlldo Δ Δ ) ( Δ 6 6 Δ i i i i Δ Ahor por l defiició: [ ] Δ Δ i i i i i Lim f Lim A ) ( i i i Lim A Desrrolldo ls potecis y multiplicdo, obteemos: i i i i Lim A

33 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Aplicdo ls propieddes de ls sumtoris, teemos: i i i i i Lim A i i i i i Lim A i i i i i i Lim A * Recordemos ls propieddes de ls sumtoris. ( ) ( ) 6 Lim A * Lim A 6 6 6

34 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl A Lim 8 6 A Lim 6 A Lim Aplicdo límite: A Uiddes cudrds.

35 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl EJERCICIOS LECCION No. :. Demostrr que el áre bjo l curv pr l fució [, ] es /. y e el itervlo SUGERENICA: Sig el procedimieto terior, teiedo e cuet ls propieddes de ls sumtoris. Hllr el áre del polígoo circuscrito pr l fució propuest:. f() dode - y b Co prtició regulr.. f() dode y b Co prtició regulr.. g() dode y b Co prtició regulr. Pr ls fucioes dds: Determir los putos de evlució, correspodietes los putos medios de cd subitervlo ddo segú el vlor de. Grficr l fució de los rectágulos que l proim. Clculr l sum de Riemm 5. f() se() [, π] y 6. g() [, ] y 7. h ( ) [, ] y 6 8. P( ) [, ] y

36 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció : Itegrl defiid. Coocidos y estudidos los coocimietos sobre Sums de Riemm y áres bjo l curv, podemos hcer u defiició forml sobre l itegrl defiid. DEFINICIÓN: Se f() u fució defiid e el itervlo cerrdo [, b], l itegrl defiid de f() que v de hst b se defie como: b f i ( ) d Lim f ( ) i Δ Llmd tmbié l Itegrl de Riemm Dode: Límite Iferior b Límite Superior f() El itegrdo; o se, l fució que se v itegrr. d Diferecil de l vrible. Alizdo u poco el límite de l sumtori, igul que e el cso de l derivció. Lim p i f ( i ) Δ L Esto sigific que ddo u ε >, t pequeño como se quier, eiste u δ > tl que: i f ( ) Δ L i ε Pr tods ls sums de Riemm f ( ) i Δ de l fució defiid e el itervlo ddo, si l orm p de l prtició socid, es meor que δ, se dice que el límite ddo eiste y es L. Surge l pregut: Qué fucioes so itegrbles? L respuest es que NO tods ls fucioes so itegrbles e u itervlo cerrdo I.

37 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Asocido l cso de límite, se requiere que l sum de Riemm teg límite, y que hy csos dode est sum se puede hcer muy grde, como es el cso de: Lim i i Eiste demás fucioes cotds que puede o ser itegrbles, por el grdo de complejidd de l mism, como es el cso de: e d Pr esto eiste u teorem de itegrbilidd que os grtiz ls fucioes itegrbles e u itervlo cerrdo I, su demostrció NO está l lcce de este ivel y que requiere cálculo vzdo.

38 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl CAPITULO : Teorems Itroducció E este cpítulo se preset tres teorems o firmcioes que se puede demostrr como verdders detro u coteto lógico, esos tres teorems os yud compreder los coceptos empledos e el cálculo itegrl. El teorem del vlor medio, de l itegrbilidd, primer y segudo teorem fudmetl del cálculo y el teorem de simetrí, los cules psmos compreder e el siguiete espcio. Lecció : Teorem de itegrbilidd. Si f() es cotd e el itervlo cerrdo [, b] y si f() es cotiu ecepto e u úmero fiito de putos, etoces f() es itegrble e [, b]. E prticulr si f() es cotiu e todo el itervlo, etoces es itegrble e [, b]. Cosecueci de este teorem podemos ver que ls fucioes poliómics, seo y coseo, so itegrbles e todo el itervlo cerrdo I. Ls fucioes rcioles lo so e I siempre y cudo dicho itervlo o coteg putos e dode el deomidor es cero. Ahor podemos hcer l siguiete relció como coclusió de lo que veimos lizdo: Áre bjo l curv de y f() e el itervlo cerrdo [, b] es equivlete b f ( ) d PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Ls propieddes plicds l itegrl idefiid, tmbié so plicbles ls itegrles defiids. Vemos lgus.

39 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl b. f ( ) d Pr b b. ) d b f ( f ( ) d Pr < b. ) d f ( ) d b c b b f ( f ( ) d Pr < c < b. [ ( ) ± g( ] d f ( ) d ± b b f g( ) d 5. ( ) d K b Kf f ( ) d 6. Kd K ( b ) b c b 7. Si f() y g() so fucioes itegrbles e el itervlo I [, b] y si f() g() Pr todo e [, b], etoces: b f ( ) d g( ) d b Lecció : Vlor medio de u fució. El cocepto de vlor medio lo coocemos muy bie, por los pricipios de Estdístic, pero e este cso vmos clculr el vlor promedio de u fució f() e u itervlo cerrdo I. Pr este cso escogemos u muestr de putos e el itervlo I, costruyedo l Prtició correspodiete, dode: < < b < ; demás, y b. L difereci etre los putos es: Δ El vlor promedio de l fució f() está ddo por el promedio de los vlores de l fució e,, : f ( ) f ( ) i i [ f ( ) f ( ) f ( )... f ( )]

40 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Si multiplicmos y dividimos por b teemos: b f ( ) f ( i ) Recordemos que: b i b Δ, luego: f ( ) f ( i ) Δ Correspode l sum de Riemm. b i DEFINICIÓN: Pr l fució f() itegrble e [, b] y sbiedo que l sum de Riemm tiee límite: f ( ) Lim f ( ) Δ f ( ) Ejemplo : b i i b b d Hllr el vlor promedio de l fució se() e [, π] Solució: Aplicdo l defiició teemos: f f f b ( ) f ( ) d π se( ) d b π ( ) se( ) d π π π π ( ) [ ] π π π π ( cos( ) ) [ cos( ) ( cos() ] El proceso requiere l plicció del teorem fudmetl del cálculo, el cul estudiremos e seguid. Ejemplo : Cul será el vlor promedio de l fució f() e el itervlo [, ]

41 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Solució: Al igul que e el cso terior, co l plicció de l fórmul pr vlor promedio de l fució: f ( ) b ( ) f ( ) d d b f ( ) 6 8 f ( ) EJERCICIOS:. Hllr el vlor promedio pr l fució f() e el itervlo [, ]. Cul será el vlor promedio de l fució g ( ) e el itervlo [, ] 6. Determir el vlor medio de l fució: g() se () cos() pr el itervlo [, π/]. Cul será el vlor promedio de l fució f() cos() e el itervlo [, π/] Lecció : Primer teorem fudmetl del cálculo Pr eucir el teorem, licemos l siguiete situció: Se A() el áre bjo l curv de l fució f(t) dich fució se le llm fució cumuld, y que v cumuldo el áre bjo l curv dd t hst t. dode >. Sbemos que: A ( ) f ( t) dt

42 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Por otro ldo, sbemos por defiició de áres bjo l curv que: d d f ( t ) dt f ( ) A( ) Lim i f ( ) Δ i Al relcior ls ecucioes teriores: i f ( i ) Δ Lim f ( t) dt Ahor defimos B() como el límite de l sumtori, de tl mer que db f () Luego: f ( t) dt f ( ) d d d TEOREMA: Se f() u fució cotiu e el itervlo cerrdo [, b] y se u puto e (, b), etoces: Se debe otr que es vrible y que l ts de cumulció e t es igul l vlor de l fució f() que se está cumuldo e t. Demostrció: Por l defiició de derivd: Δ F ( Δ) F( ) F '( ) Lim Lim Δ Δ Δ Δ f ( t) dt f ( t) dt

43 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Δ Δ Lim Δ f ( t) dt f ( t) dt Lim Δ Δ Δ f ( t) dt Si observmos cuiddosmete l últim epresió, podemos deducir que correspode límite del vlor promedio de f() e el itervlo [, ]. Como >, por teorem de vlor medio: Δ Δ f ( t) dt f ( c) Dode < c < Pero cudo tiede cero, etoces c tiede ; demás, f() es cotiu. F ' ( ) Δ Lim Δ Δ f ( t) dt Lim Δ f ( c) f ( ) Este teorem e su cocepto epres que tod fució f() cotiu e u itervlo cerrdo, tiee tiderivd. Ejemplo : Desrrollr: Solució: d d t dt Por l defiició del teorem: d d t dt

44 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo : Ddo: F ) ( t t ) ( dt Hllr F (). Solució: El itegrdo por defiició es F () f() etoces: F () df d Si lo resolvemos por otro ldo, teemos: ( t t ) df teorem: d Ejemplo : d d dt por defiició del Si P ( ) cos( t) dt Clculr P (). Solució: Como el límite superior tiee poteci, hcemos cmbio de vrible. U, luego: u P( ) cos( t) dt. Por l regl de l cde: dp d dp d u dp du dp d du * cos( t) dt * du d d du Desrrolldo: d du cos( u) * cos( u) * recordemos que u e este coteto. d P '( ) cos( )

45 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo Se ( ) ( t ) Solució: H dt Hllr H (). Hcemos cmbio de vrible sí: u hor: dh d u d du (t ) dt * ( u ) *( ) d Reemplzdo u teemos d dh d dh d ( ) *( ) 8 Por cosiguiete: 8 Lecció : Segudo teorem fudmetl del cálculo. E cálculo el estudio de los límites es fudmetl, dos límites muy importtes e cálculo so: f '( ) Lim Δ f ( Δ) Δ f ( ) y Lim f ( i ) Δ Por medio del teorem fudmetl úmero uo, se estudio l relció que tiee estos dos límites, fudmetl pr resolver itegrles defiids. L eisteci de l tiderivd, lo grtiz el primer teorem fudmetl del cálculo, l evlució de dichs itegrles se grtiz por medio del segudo teorem fudmetl.

46 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl TEOREMA: Se f() u fució cotiú e u itervlo defiido, por cosiguiete es itegrble e el itervlo cerrdo [, b], se P() u tiderivd de f() e el itervlo ddo, etoces: b f ( ) d P ( b) P ( ) Demostrció: L demostrció requiere los coocimietos de teorems y defiicioes estudids teriormete, por lo cul se debe teer presete estos spectos. Se l fució G '( ) f ( ) G ( ) f ( t) dt pr e el itervlo [, b], sbemos que Pr todo e [, b], luego G() es u tiderivd de f(), pero P() es tmbié tiderivd de f(). Por el teorem de tiderivd, sbemos: P () G (), dode P() y G() solo difiere por u costte, luego pr todo e [, b]: P() G() C, pr P() y G() cotius e el itervlo ddo, luego: P() G() C y P(b) G(b) C e el itervlo cerrdo defiido. Pr G( ) f ( t) dt Recuerds? P() G() C sber porque verdd! P() C etoces: P() C, por lo tto: P(b) P() [G(b) C] C G(b). Luego l igul que G(), podemos decir:

47 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl b G ( b) f ( t) dt Por cosiguiete: P b) P( ) f ( ) d b ( Así qued demostrdo el teorem. Est mism demostrció se puede hcer por ls sums de Riemm, vemos: Primero prticipmos el itervlo [, b] e: o,,,, dode o y b, demás: i i-, como es el tmño de cd subitervlo, etoces: b Δ pr i,,,, Ahor: P(b) P() [P( ) P( o )] [P( ) P( )] [P( P( - )] resumiedo: P( b) P( ) [ P( i ) P( i ) ] i Como P() es u tiderivd de f() derivble e (, b) y cotiu e [, b], por el teorem del vlor medio P( i ) P( i ) P'( ci )( i i ) f ( ci ) Δ pr c i ( i-, i ) dode i,,, Por socició de ls dos ecucioes teriores: f ( ci ) i [ P( i ) P( i )] P( b) P( ) Δ Si tommos limite mbos ldos de i l ecució cudo tiede ifiito, obteemos: Lim f ( c i ) Δ Lim ( P ( b) P ( )) f ( ) d i Por cosiguiete: P ( b) P ( ) f ( ) d b b

48 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo : b Aplicr el segudo teorem fudmetl del cálculo pr resolver: d Solució: b d b b ( b ) Ejemplo : Resolver l itegrl: ( Solució: )d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) d 8 8 Ejemplo : Demostrr que: d 7 Solució: Como es cotiu e [, ], se puede plicr el teorem fudmetl, luego:

49 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl ) ( d d Evludo: ( ) ( ) () () 5 6 d 7 d Ejemplo : Hllr el vlor de: ) ( π d se Solució: L fució seo es cotiu e el itervlo propuesto, luego se puede itegrl, por medio del teorem fudmetl. )) cos( ( ) cos( ) cos( ) ( π π π d se ) ( π d se

50 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Lecció 5: Teorem de simetrí. Si f() es u fució pr, etoces: f ( ) d f ( ) d Si f() es u fució impr, etoces: f ( ) d Demostrció: Vmos demostrr l primer prte del teorem, el segudo se dej como ejercicio. f ) d f ( ) d ( f ( ) d Ahor hcemos u sustitució u -, luego du -d. Por defiició, si f() es pr. Se cumple: f(-) f(), etoces: f ( ) d f ( )( d ) f ( u ) du Luego: f ( u ) du f ( ) d Por lo tto: f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d EJERCICIOS:. Escribir ls siguietes itegrles como u sol: -) b-) f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d

51 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl. Hllr f ( ) d. dode: f ( ) si si <. Clculr f ( ) d. dode: f ( ) si si < d : Desrrollr: ( ) ( ) π 5. Hllr ( se( ) cos( ) ) π d 6. Pr u gs idel, l presió es iversmete proporciol l volume, el trbjo requerido pr umetr el volume de u gs prticulr de V V est ddo por l siguiete epresió: P ( V ) dv dode l costte de proporciolidd pr este cso es de. Cul será el vlor de l itegrl. V V 7. L tempertur T e u regió prticulr, está dd por l fució T(t) 75 cos(π/6)t dode t tiempo e meses. Estimr l tempertur promedio Durte todo el ño.

52 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A cotiució, usted ecotrrá preguts que se desrroll e toro u eucido, problem o coteto, frete l cul, usted debe seleccior quell que respode correctmete l pregut plted etre cutro opcioes idetificds co ls letrs A, B, C, D. U vez l seleccioe, márquel e su hoj de respuests relledo el óvlo correspodiete.. E l sum de Riemm l fució se plic sobre los putos muestr, éste represet: A. El vlor represettivo del subitervlo B. El vlor represettivo del itervlo C. El vlor represettivo del áre D. El vlor represettivo de l orded. L resolució de itegrles idefiids origi A. U fució B. U esclr C. Ifiito D. Cero. L resolució de itegrles defiids origi A. U esclr B. Otr fució C. Cero D. Uo

53 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl. Se f() u fució cotiu e el itervlo cerrdo [, b] y se u puto e (, b), etoces: d d f ( t ) dt f ( ) L defiició dd correspode : A. El primer teorem fudmetl del cálculo B. El segudo teorem fudmetl del cálculo C. El teorem del vlor medio de u fució D. L defiició de itegrl impropi 5. Al resolver t( π ) d Su resultdo es: A. Diverge B. / C. D. 6. Al resolver y y dy se obtiee A. 5,76 B.,789 C., D.,5

54 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl 7. Al resolver e d se obtiee A. 7,9 B.,87 C D.,5 π ) 8. Al resolver cos ( ) se ( d o se obtiee A.,97 B.,5 C.,679 D. 7, Al resolver d se obtiee A. L() B. L() C. 5L() D. 7L(). Al resolver * d se obtiee A. / L() B. 5 / L() C. / L(7) D. 7 / L(6)

55 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl HOJA DE RESPUESTAS. A B C D

56 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl LABORATORIO Los estudites debe relizr los procedimietos de solució pso pso pr cd puto. Además debe comprobr co u softwre libre ls respuests. El softwre libre que puede utilizr es SOLVED, el cul reliz los procedimietos pr l solució de itegrles, obvimete l progrm se le debe colborr co l simplificció de ls itegrles. El softwre libre SOLVED se puede bjr de los liks: Ejemplo No. Solucior l itegrl cos d se Co l sustitució: u se du cos d d du cos cos Reemplzdo: d se cos du u cos du u Al resolver:

57 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl du u u du u k u k u k Reemplzdo l sustitució teemos: u k se k Co l yud del softwre libre SOLVED procedemos hst l sustitució y luego du isertmos e el softwre l itegrl u Co lo cul obteemos: L respuest del softwre es idétic l obteid mulmete.

58 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo No. Solucior l itegrl se( b)d Solució direct co el softwre:

59 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejercicios propuestos: Recuerde simplificr ls itegrles tes de igresrls l softwre. Resolver: ( 8) ( )( 6) d d 6 d d d se d cos d 5 d

60 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl 5 d 8 d d 5 7 d d 6 d Ctg( ) d Sec ( ) d d ( )( ) d

61 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD RONDON, J.E (7) Clculo Itegrl. Primer edició, UNAD Ciecis básics PURCELL, E () Cálculo, Perso Eductio: Pretice hll, Octv Edició, Méico. THOMAS Y FINNEY (987). Cálculo co Geometrí Alític Vol.. Edició set, Addiso Wesley Iberomeric. Méico. STEWART, J. () Cálculo de u Vrible. Thomsom-Lerig. Curt edició, Bogotá. LARSON, R. Y HOSTETLER, R. (998) Cálculo Vol., Mc Grw Hill, set edició, Méico. SMITH, R. Y MINTON, R. () Cálculo Vol.. Segud Edició, Mc Grw Hill, Bogotá. BAUM Y MILLES. (99). Cálculo Aplicdo. Limus, Méico. LEYTOLD, L. (987) El Cálculo co Geometrí Alític. Hrl, Méico. PITA, C. (998) Cálculo de u Vrible. Perso educció, Méico. DE BURGOS, J. (7) Cálculo ifiitesiml de u Vrible. McGrw Hill, Mdrid. FUENTES DOCUMENTALES DE LA INTERNET p Itegrl.html itegrles/curso/temrio.htm

62 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl /Clculo_I_Histori_.pdf %9%5E.5&rdomflse

63 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl UNIDAD : TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Itroducció: L primer form de desrrollr itegrles, es por medio de ls itegrles imedits, dode se resuelve utilizdo el pricipio de l tiderivd. Como d c k d L( ) c kd c pr k costte d c L técic de sustitució por cmbio de vrible, se utiliz cudo l fució que coform el itegrdo es tl que u prte es l derivd de l otr prte y ls dos está e form de producto. Ls codicioes básics pr estblecer que se puede plicr u sustitució es u bue observció de l fució itegrr y lgo de perspicci mtemátic. Cudo el itegrdo preset rdicles, se puede presetr problems pr resolver l itegrl, l rciolizció puede ser u cmio pr superr dicho problem. E el mudo mtemático, cietífico y otros, se preset csos dode l itegrl es u Producto de Fucioes, csos dode se plic l técic llmd itegrció por prtes. E muchs ocsioes se h mifestdo que tod regl de derivció d orige u regl de itegrció. L itegrció por prtes est relciod co l regl de l cde. L sustitució trigoométric, es u técic que se puede utilizr cudo e el itegrdo se preset epresioes como:,, ; siedo >. Por u teorem de álgebr vzd se firm que tod frcció rciol; es decir, el cociete de dos poliomios, se puede descompoer e sum de frccioes rcioles más simples. Pr desrrollr el método de frccioes f ( ) prciles, se debe teer e cuet: Pr l frcció p ( ) co g() se g( ) u frcció rciol propi; es decir, f() debe teer meor grdo que g() y por otro ldo, que g() se pued descompoer e fctores primos. Teóricmete culquier poliomio co coeficietes reles se puede escribir como producto de fctores lieles reles y / o fctores cudráticos, es posible que obteerlos o

64 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl se tre fácil. Descomposició E Fctores Lieles Simples, Descomposició E Fctores Lieles Repetidos, Descomposició E Fctores Cudráticos. Justificció: Pr poder desrrollr ls itegrles debemos mejr bie ls derivds, relizr muchos ejercicios sobre u ppel, teer lgo de fortu, coocer lgus itegrles directs y plicr ls técics de itegrció que lizremos e est uidd. Al resolver u itegrl se puede presetr dos csos: Necesitmos obteer u tiderivd si l itegrl es idefiid, ctividd que os ocup e est uidd y Ecotrr u umero (esclr) si l itegrl es defiid Debido l complejidd de ls pliccioes, de los ejercicios de plicció y de los mimos problems teóricos, prece itegrles que o es posible solucior por los teorems básicos de ls tiderivds; por lo tto requerimos de técics o metodologís propids pr su solució, tl como vmos detllrls e ls siguietes leccioes. Pr est SEGUNDA UNIDAD teemos tres cpítulos e los cules trtmos ls diferetes técics de itegrció básics pr el etremieto de los estudites que está tomdo el curso. Itecioliddes formtivs: Que los estudites se fmilirice co los métodos de itegrció. L ide cetrl de l UNIDAD es que los estudites l efretrse co culquier tipo de itegrl, dquier ls hbiliddes ecesris pr su solució, si prederse de memori los métodos de itegrció. L mejor mer de solucior itegrles es relizdo ejercicios, los cules se ecuetr l fil de cd lecció, l fil de l uidd o e l bibliogrfí y cibergrfi recomedd. Presetmos u cudro co el resume del coteto teórico de est uidd

65 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl CAPITULO : MÉTODOS de itegrció I. Deomició de los cpítulos CAPITULO Métodos de itegrció II CAPITULO Métodos de itegrció III Asimilció de coceptos Apropirse de los métodos de itegrció que está l lcce de este módulo, ver sus vetjs y desvetjs y preder mejrlos. Coceptos Los métodos de itegrció se preset de u mer secill y de meor dificultd myor dificultd, pr fcilitrle su similció l lector. De coocimietos Adquirir ls técics propis de los métodos de itegrció de l uidd. Adquirir coocimieto medite l relizció del myor úmero posible de ejercicios. Cotetules: Adquirir los coocimietos propios de los métodos de itegrció. Competecis Los estudites debe desrrollr hbiliddes pr plicr los coocimietos dquiridos e l solució de problems prácticos. Comuictivs: Adquirir el mejo de los elemetos ivolucrdos e los diferetes métodos de solució de itegrles. Iterpretr y eteder l diferete simbologí y su plicció. Adquirir fcilidd de epresió y vecer el miedo e l itercció co ls NTIC Vlortivs: Adoptr, idetificr y prcticr lo vlores de l UNAD. Adquirir cpcidd de vlorció y tolerci co uestros compñeros virtules o preseciles.

66 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl CAPITULO : Métodos de itegrció I Itroducció El teorem fudmetl del cálculo se puede plicr bjo l codició de que l fució se cotiu e el itervlo de itegrció. Por lo cul, cudo vmos itegrl lo primero que debemos observr es que se verifique el teorem. Eiste csos e que el teorem NO se cumple, dichs situcioes so ls que bordremos e este prte del curso. b f ( ) d Lim f ( ) t b t d Lecció 6: Itegrles impropis co itegrdo discotiuo. Fig. No. 5 Itegrl impropi. L fució que observmos es dd por l ecució: f ( ) y desemos itegrrl e el itervlo [, -].

67 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Si pesrlo dos veces lo que hrímos es: d d Obvimete l respuest NO es correct. Por qué? El problem requiere que recordemos dos térmios: Cotiuidd y Acotció. L itegrl que estmos lizdo se le llm Itegrl Impropi, debido que el itegrdo es discotiuo e el itervlo propuesto. d Cosidere el cso de: Argumete y comprt co sus compñeros DEFINICIÓN: Se f() u fució cotiu e el itervlo semibierto [, b), etoces: b f ( ) d Lim f ( ) d t b t Si el límite eiste y es fiito, decimos que l itegrl impropi es covergete, dode el límite es el vlor de l itegrl. Si el límite o eiste, decimos que l itegrl impropi es divergete. Ejemplo : Itegrl l fució f ( ) e el itervlo (, 8]. Solució: Como l fució es discotiu e, etoces pltemos u solució plicdo l defiició dd teriormete.

68 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl () () t Lim Lim d Lim d t t t t t Evludo obteemos: ( ) 6 * 6 8 d Por cosiguiete: 6 8 d Ejemplo : Determir l covergeci o o covergeci de l siguiete epresió: d Solució: Como l fució NO está defiid pr, debemos tomr el límite uilterl, luego el itervlo tomr será [, ), etoces: ( ) [ ] t t t t Lim d Lim d Evludo: ( ) t t Lim d L itegrl propuest es covergete y coverge.

69 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo : Demostrr que Solució: d k es covergete si k <. Evludo: k k d Lim d Lim k t t k t t k k k t d Lim k t k k k k t Pr k < Qué psrá si k? Hcer el álisis co los compñeros del pequeño grupo colbortivo. DEFINICIÓN: Se f() u fució cotiu e el itervlo semibierto (, b], etoces: b ( ) d Lim f ( ) f t b t d Al igul que e el cso terior, si el límite eiste l itegrl coverge y si el límite o eiste, l itegrl diverge. Co ls defiicioes dds, podemos resolver itegrles impropis co itegrdo discotiuo. Co el fi de fortlecer el tem, estimdo estudite demostrr que: -) d Coverge

70 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl d b-) Coverge ( ) π c-) t( ) d Diverge. Estos ejercicios debe desrrollrlos e el pequeño grupo colbortivo y socilizrlo co el tutor. Lecció 7: Itegrles impropis co límites de itegrció fiitos E el cmpo de ls itegrles impropis, tmbié podemos ecotrr us itegrles impropis dode uo de los límites es ifiito, tl es el cso de: e d Admiistrció y otros. muy utilizd e Probbilidd, pero tmbié hy csos e Ecoomí, L resolució de este tipo de itegrles, utiliz tmbié límites pr elimir u posible idetermició. DEFINICIÓN: Se f() u fució cotiu e el itervlo semibierto [, b) o (-, ], etoces: R f ( ) d Lim f ( ) d o f ( ) d Lim f ( ) R R R d Si los límites eiste, etoces ls itegrles impropis so covergetes. Pero si el límite o eiste, etoces l itegrl impropi diverge.

71 CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: Cálculo Itegrl Ejemplo : Determir l covergeci o divergeci de: Solució: d. Observmos que el límite superior es ifiito, etoces plicdo l defiició teemos: d Lim R R d Lim R R Evludo el límite, teemos: ( R ) d Lim R L itegrl propuest coverge. Ejemplo : Demostrr que: d es divergete. Fig. No. 6 Covergeci.