2-2 (x) (x) (x) 3. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráfico de la función f(x) = ax 2 + bx + c, se procede de la siguiente manera:

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1 Funciones cuadráticas Función cuadrática Deinición: Una unción cuadrática es una unción : R R deinida por la ormula = a + b + c Donde a, b y c son números reales y a 0. Esta epresión de la unción cuadrática es llamada orma polinómica. 1) a) Determine cuál de las siguientes unciones es una unción cuadrática. i) = -( π + 5) ii) = iii) = -3 ( + 1) ) iv) = + v) = - ( + 1) vi) = vii) = b) Para los casos en que la epresión deine una unción cuadrática, determine analíticamente si el gráico de dicha unción pasa por el punto A = (0, 5). a) Halle la epresión de una unción cuadrática ta qu s gráico pase por los puntos A = (0, 3), B = ( 1, ) y C = (1, 0). b) Eiste alguna unción cuadrática tal que (0) = 1, (3) = 4 y (5) =? Justiique. El gráico de una unción cuadrática es una parábola con eje de simetría vertical. La ecuación canónica de una parábola de vértice V = (h, k) es y = a ( h) + k. El signo de a indica la concavidad de la parábola: hacia arriba, si a > 0 y hacia abajo si a < 0, según se observa en la Figura 11. Para hallar la ecuación canónica de la parábola, gráico de la unción = a + b + c, se procede de la siguiente manera: b c = a + + a a Multiplicamos y dividimos por al término lineal b c = a + + a a Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de la siguiente manera b b b c = a a + a a a a a Observamos que la epresión cuadrática que aparece dentro del corchete es el cuadrado de un binomio

2 b b = a + + c -. a 4a También puede escribirse de la orma b b - 4ac = a + -. a 4a Este procedimiento se conoce como completamiento de cuadrados y permite hallar las coordenadas del vértice: - b -b -4ac V =,. a 4a 3) Considere la unción cuadrática = + +. a) Sabiendo que el gráico de es una parábola, halle las coordenadas del vértice de esa parábola, mediante completamiento de cuadrados. b) Trace el gráico de. c) Indique el dominio y la imagen de. d) Determine el valor máimo o mínimo de, según corresponda y el valor de donde alcanza dicho máimo o mínimo. e) Sin ayuda del gráico de, halle un punto que pertenezca y otro que no pertenezca a ese gráico. El problema de hallar los puntos de intersección del gráico de = a + b + c, a = 0 con el eje, conduce a la necesidad de resolver la ecuación cuadrática a + b + c = 0. ( Puede decir por qué esto es así?) Es decir, debemos hallar, si eisten, las raíces de la ecuación. Recordemos que llamamos discriminante de la ecuación a Δ= b 4ac El símbolo Δ se lee delta. Se tiene entonces que, si: a) Δ > 0 la ecuación tiene dos raíces reales distintas - b + b - 4ac - b - b - 4ac 1 = y =. a a - b b) Δ =0 la ecuación tiene una raíz real doble 1 = =. a c) Δ < 0 la ecuación no tiene raíces reales. Por lo tanto, en el primer caso, el gráico de = a + b + c intercepta al eje en dos puntos P 1 = ( 1, 0) y P = (, 0). En el segundo caso, el gráico corta en un único punto P = ( 1, 0), y en el último gráico no corta al eje. Observe la Figura 1 (con a > 0). Por otra parte, si la parábola intersecta al eje, su ecuación puede escribirse de la orma: y = a( 1 )( ) si 1 ó y = a( 1 ) si 1 =. De ahí que, en este caso, la unción cuadrática se puede representar de tres maneras distintas:

3 Polinómica Canónica Factorizada = a + b + c = a( h) + k = a( 1 )( ) 4) Dadas las unciones cuadráticas 1 1 a) y = + 4 b) y = c) y = i) Transórmelas en epresiones de la orma = a( h) + k. ii) Halle las intersecciones del gráico con los ejes coordenados. iii) Represente las parábolas correspondientes. iv) Halle analíticamente el conjunto A = { R : 0}. Ejemplo b) y = = - ( ) = i = = ii. El gráico corta al eje en los puntos en los cuales y = 0. Por lo tanto debemos resolver la ecuación y = =0 siguiente: = = 0 cuyas soluciones son: iii. -1 ± (-1) -1 ± 49-1 ± 7 1, = = = 1 Por lo tanto 1 = 3 y = 4, de donde se deduce que la parábola corta al eje en los puntos (3, 0) y( 4, 0). El gráico corta al eje y en los puntos en los cuales = 0, es decir debemos calcular: 1 1 y = (0) = =. Por lo tanto, la parábola corta al eje y en el punto (0,). El gráico de la unción es el que se muestra en la igura. iv. Debemos resolver la inecuación y = 0: 1 1 y = - ( ) = - ( - 3)( + 4 ) 0 ( - 3)( + 4 ) 0. Es decir, se debe cumplir una de las dos situaciones siguientes: y y 4 [ 4,3] y y 4, lo cual no es posible. Por lo tanto se veriica que el conjunto pedido es A =[ 4,3]. 5) Encuentre una unción cuadrática que tenga a 1 = y = 3 como ceros y cuyo gráico pase por el punto A = (0, 10). ) Halle una unción cuyo gráico sea una parábola de eje de simetría vertical con vértice en el punto B = (1, ) y que pase por C = (4, 1). 7) Cuánto debe valer b para que la parábola de ecuación y = + b +3 tenga vértice en el punto E = (, 1)? 8) Se desplaza el vértice de la parábola de ecuación y = hacia el punto F = (, 3). Escriba la

4 ecuación de la nueva parábola y la ecuación de su eje de simetría. Graique. 9) A partir de los datos que iguran en la siguiente tabla, complete los cuadros en blanco en los casos en que sea posible, y, de tratarse de una unción cuadrática, esboce el gráico de la parábola correspondiente: Forma Polinómica y = +1 Forma Canoníca y = ( 1) +3 y = ( 1) + k Pto. eje y Ptos. eje P = ( 3, 0) V = (h, ) Vértice Imagen Concav. [,+ ) 10) Halle, en cada caso, si es posible, la ecuación de la unción cuadrática utilizando como datos los puntos remarcados en los gráicos. 11) Sea g = + 1, halle en cada caso la epresión y dibuje el gráico de la unción indicada. a) h 1 = g ( 1) b) h = g 1 c) h 3 = g +1 d) h 4 = g ( 1) +1 1) Sean =, :[0,] R y g =, g:[,0] R. a) Determine el dominio y la imagen de y de g. b) Compruebe que está deinida la unción h 1 = o g. c) Halle la epresión de h 1 =( o g) y de h = (g) +. 13) Sean :[ 1,1] R, g:[ 5,0] R, = 1y g= +4. Sin hallar la epresión de o g, calcule si es posible, ( o g)( 4), ( o g)( 3) y ( o g)(3). 14) a) Graique la unción si < = - si y calcule ( 3), (), (4) y (t 1) si t > 5. b) Graique la unción - si < 1 = ( - 1) -1 si > 1 y calcule, de ser posible, ( 1), (1), () y (3t 1) si t < 0. 15) La Figura 14 corresponde al gráico de la unción g = con [ 1, ].

5 La Figura 15 muestra los gráicos de las unciones h, z y w respectivamente, las que se obtuvieron a partir del gráico de g. a) Indique el dominio y la imagen de g. b) Halle las epresiones de h, z y w e indique en cada caso, su dominio e imagen. c) Halle las epresiones de h, z y w en términos de g. Ejemplo b) y c) para la unción z. b) z= (+1) +, D(z) = [,1], Im(z) = [, ] c) z = g(+1) +

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