Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

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1 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic

2 Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 + bx + c Su representción gráfic es un prábol. 1.1 Análisis de sus coeficientes: ó f(x) = x 2 + bx + c : concvidd de l prábol. Si > 0, l prábol v hci rrib. Si < 0, l prábol v hci bjo. c : punto de intersección de l prábol con el eje y. 1.2 Eje de simetrí y vértice de l prábol: Eje de simetrí: x = -b 2 Vértice: V = ( -b 2, f ( -b 2 )) >0 <0 El vértice nos permite determinr los mínimos y máximos de l prábol. Si > 0, l prábol es biert hci rrib existe mínimo. Si < 0, l prábol es biert hci bjo existe máximo. 1.3 Puntos de intersección de l prábol con el eje x: Utilizmos: Discriminnte: = b 2-4c ) Si > 0 l prábol intersect l eje x en 2 puntos. b) Si = 0 l prábol intersect l eje x en 1 punto. c) Si < 0 l prábol no intersect l eje x. 1.4 Ecución cudrátic: se obtiene l determinr los puntos de intersección de l prábol con el eje x, hciendo y = 0. Como: y = x 2 + bx + c (Reemplzndo y) 0 = x 2 + bx + c x 2 + bx + c = 0 es un ecución de segundo grdo con un incógnit, donde el myor exponente es 2 y por lo tnto tiene 2 soluciones (reles o imginris). A ls soluciones tmbién se les llm ríces o ceros. 2

3 Pr resolvel utilizremos 2 métodos: ) Fctorizción: Ejemplo: x 2-2x - 35 = = -35 (x - 7) (x + 5) = = -2 Cundo un producto es 0 uno de ellos es 0 x 7 = 0 ó x + 5 = 0 (Despejndo x) x = 7 ó x = -5 Entonces los puntos de intersección de l prábol con el eje x son (7,0) y (- 5,0) b) Fórmul: x = -b ± b2-4c (Se utiliz cundo l fctorizción no es simple) Tipos de soluciones: Mtemátic 2006 Dependen del vlor del discriminnte = b 2-4c ) Si = 0 tiene 2 soluciones reles e igules ( = x 2 ) b) Si > 0 tiene 2 soluciones reles distints ( x 2 ) c) Si < 0 tiene 2 soluciones imginris distints ( x 2 ) Propieddes de ls ríces: = -b = c A prtir de ls soluciones, se puede obtener l ecución, plicndo ls propieddes mencionds. Entonces x 2 - ( ) x + x 2 = 0 O bien (x - ) (x - x 2 ) = 0 3

4 Mtemátic 2006 Tutoril Ejercicios 1. Cuál de los siguientes gráficos corresponde l función f(x) = x 2 + bx + c, con > 0, b 2-4c < 0, c > 0? A) B) C) D) E) 2. A l función f(x) = -x 2-4x - 4, le corresponde el gráfico: A) 4 B) -4 C) 4 D) E) L función grficd corresponde : y A) f(x) = x 2 + x - 6 B) f(x) = -x 2 - x + 6 C) f(x) = x 2 + 5x - 6 D) f(x) = -x 2-5x + 6 E) f(x) = -x 2 + x x 4

5 4. Se f(x) = x 2 + 4x - 32, entonces, el mínimo vlor que tom l función es : A) - 36 B) - 28 C) - 20 D) - 2 E) 2 5. Pr qué vlor de k, l prábol y = 3x 2 + 2x + k intersect en un punto l eje x? Mtemátic 2006 A) B) - 3 C) 1 3 D) 3 E) Ninguno de ellos 6. Dd l siguiente prábol: f(x) = x 2 + 5x - 14, en qué puntos intersect l eje x? A) (- 7, 0 ) y (- 2, 0 ) B) (- 7, 0 ) y ( 0, - 2 ) C) (- 7, 0 ) y ( 2, 0 ) D) ( 0, - 7 ) y ( 0, - 2 ) E) ( 7, 0 ) y (- 2, 0 ) 7. Los ctetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que l hipotenus. Cuánto mide l hipotenus? A) 1 cm y 5 cm B) 2 cm C) 2 cm y 10 cm D) 10 cm E) No existe dicho triángulo 8. L ecución de segundo grdo cuys ríces son = p + p 2 - q 2 y x 2 = p - p 2 - q 2 es: A) x 2 + 2px + q 2 = 0 B) x 2-2px - q 2 = 0 C) x 2 - px + q 2 = 0 D) x 2 - px - q 2 = 0 E) x 2-2px + q 2 = 0 5

6 Mtemátic 2006 Tutoril 9. Qué vlor debe tener k en l ecución 6x 2-11x + 3k + 12 = 0 pr que un de ls ríces se cero? A) - 4 B) C) 0 D) 2 E) Qué vlor debe tener h en l ecución x 2 + hx - (21 + h) = 0 pr que ls soluciones sen - 4 y 5? A) B) - 1 C) 1 D) 2 E) Qué vlor debe tener k en l ecución x 2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0 pr que el producto de ls ríces se 58? A) - 48 B) - 6 C) 6 D) 48 E) Ninguno de ellos 12. Si y x 2 son ls ríces de l ecución x 2 + mx + n = 0, entonces, ( + 3)(x 2 + 3)= A) - n - 3m + 9 B) - n + 3m - 9 C) n - 3m - 9 D) n + 3m - 9 E) n - 3m + 9 6

7 13. Pr que l ecución 5x(x + 2) = k crezc de ríces reles, deberá cumplirse que A) k < - 5 B) k - 5 C) k 5 D) k < 5 E) k > Determinr l(s) solución(es) de l ecución x x = 2 I) x = 2 II) x = 3 III) x = - 2 Mtemátic 2006 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) Ningun de ells 15. Dd l función de consumo de combustible respecto de l velocidd C(v) = 80v - 2v 2, donde l velocidd se expres en km/h. Determinr qué velocidd debe ir el uto, pr que el consumo de combustible se máximo. A) 20 km/h B) 30 km/h C) 40 km/h D) 50 km/h E) 80 km/h 7

8 Mtemátic 2006 Solucionrio Respuests Preg. Alterntiv 1 E 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 E 9 A 10 B 11 C 12 E 13 A 14 D 15 A Solucionrio 1. L lterntiv correct es l letr E) Como > 0, entonces l prábol es biert hci rrib. Quedn descrtds ls lterntivs A) y D) Como b 2-4c < 0, entonces l prábol no intersect l eje x El gráfico corresponde l lterntiv E) 2. L lterntiv correct es l letr D) f(x) = -x 2-4x - 4, entonces = - 1, b = - 4, c = - 4 Como < 0, entonces l prábol es biert hci bjo. Quedn descrtds ls lterntivs A) y E) Como c = - 4, entonces l prábol intersect l eje y en (0,- 4) Qued descrtd l lterntiv C) Entonces nos quedn ls lterntivs B) y D) Pr discriminr entre mbs debemos nlizr el eje de simetrí. x = -b 2 -(-4) x = 2-1 (Reemplzndo b y ) (Multiplicndo y dividiendo signos) 8

9 x = 4-2 x = -2 (Dividiendo) O se x es negtivo. El gráfico correspondiente l función dd es l lterntiv D) 3. L lterntiv correct es l letr B) Según el gráfico, los puntos de intersección de l prábol con el eje x son (- 3, 0 ) y ( 2, 0 ). Entonces, ls soluciones de l ecución son = - 3 y x 2 = 2 Mtemátic 2006 Aplicndo (x - ) (x - x 2 ) = 0 (Reemplzndo y x 2 ) (x-(- 3)) (x- 2) = 0 (Multiplicndo signos) (x + 3 ) (x - 2 )= 0 (Multiplicndo binomios) x 2 + x - 6 = 0 / - 1 (L prábol es biert hci bjo, entonces, < 0, multiplicmos por 1) -x 2 - x + 6 = 0 (Nos piden l función) f(x) = -x 2 - x L lterntiv correct es l letr A) En l función: f(x) = x 2 + 4x - 32, = 1, b = 4, c = - 32 Nos piden el mínimo vlor que tom l función, eso signific que l prábol es biert hci rrib, lo que es efectivo y que > 0. Entonces utilizmos el eje de simetrí que es : x = -b (Reemplzndo y b) 2-4 x = (Simplificndo) 2 1 x = -2 Entonces el eje de simetrí es x = - 2, eso signific que l función evlud en ese punto es el mínimo. Evlundo l función pr x = - 2 f(- 2) = (-2) f(- 2) = f(- 2) = - 36 (Respetndo el orden de ls operciones) El mínimo vlor que tom l función es

10 Mtemátic 2006 Solucionrio 5. L lterntiv correct es l letr C) En l función : y = 3x 2 + 2x + k, = 3, b = 2, c = k Pr que l prábol intersecte l eje x en 1 punto el discriminnte debe ser 0. = b 2-4c b 2-4c = 0 (Reemplzndo,b y c) k = 0 (Respetndo el orden de ls operciones) 4-12k = 0 (Despejndo k) 4 = 12k 4 12 = k (Dividiendo) 1 3 = k Si k = 1 3 l prábol intersect l eje x en 1 punto. 6. L lterntiv correct es l letr C) Si f(x) = x 2 + 5x - 14, pr determinr los puntos de intersección de l prábol con el eje x, hcemos y = 0, entonces: x 2 + 5x - 14 = 0 (Resolviendo l ecución fctorizndo) (x ) (x ) = 0 ( 2 números que multiplicdos nos dé 14 y sumdos 5) (x + 7 ) (x 2 ) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 fctores es 0) x + 7 = 0 ó x 2 = 0 (Despejndo x) = - 7 x 2 = 2 Los puntos de intersección de l prábol con el eje x son (- 7, 0 ) y ( 2, 0 ) 10

11 7. L lterntiv correct es l letr D) x - 2 Si los ctetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que l hipotenus, entonces, plicndo Pitágors: x x - 4 x 2 = (x - 2) 2 + (x - 4) 2 (Resolviendo cudrdo de binomio) x 2 = x 2-4x + 4-8x + 16 (Reduciendo términos semejntes) x 2 = 2x 2-12x + 20 (Igulndo 0) 2x 2 - x 2-12x + 20 = 0 (Reduciendo términos semejntes) x 2-12x + 20 = 0 (Resolviendo l ecución fctorizndo) (x ) (x ) = 0 (2 números que multiplicdos nos dé 20 y sumdos - 12) Mtemátic 2006 (x - 10 ) (x 2 ) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 fctores es 0) x - 10 = 0 ó x 2 = 0 (Despejndo x) = 10 x 2 = 2 En este cso como x es l hipotenus, debemos nlizr los vlores. Si x = 10, los ctetos serín 6 y 8, que corresponden números pitgóricos. Si x = 2, los ctetos serín 6 y 0, como un cteto no puede ser 0, qued descrtd est solución. L hipotenus es 10 cm. 8. L lterntiv correct es l letr E) = p + p 2 - q 2 y x 2 = p - p 2 - q 2 Pr formr l ecución plicremos ls propieddes de ls ríces: = -b p + p 2 - q 2 + p - p 2 - q 2 = -b 2p = -b (Reduciendo términos semejntes) (El denomindor de 2p es 1) 11

12 Mtemátic 2006 Solucionrio - b = 2p / -1 y = 1 (Dejndo b positivo l multiplicr por 1) b = - 2p = 1, = c b = - 2p (p + p 2 - q 2 ) (p - p 2 - q 2 ) = p 2 - (p 2 - q 2 ) = p 2 - p 2 + q 2 = q 2 = c c c c = q 2, =1 c (Reemplzndo y x 2 ) (Resolviendo l sum por diferenci) (Eliminndo el préntesis) (Reduciendo términos semejntes) (El denomindor de q 2 es 1) Formndo l ecución de segundo grdo: x 2 + bx + c = 0 (Reemplzndo,b y c) x 2-2px + q 2 = 0 L ecución cuys soluciones son = p + p 2 - q 2 y x 2 = p - p 2 - q 2 es: x 2-2px + q 2 = 0 9. L lterntiv correct es l letr A) Pr que un de ls ríces se 0, c = 0, y que si x 2 + bx = 0 (Fctorizndo) x (x + b) = 0 (Como el producto es 0, uno de los 2 fctores es 0) x = 0 ó x + b = 0 Si c = 0, un de ls ríces es 0 Entonces en l ecución 6x 2-11x + 3k + 12 = 0 c = 3k + 12 (Reemplzndo c por 0) 0 = 3k + 12 (Despejndo k) -12 = 3k 12

13 -12 3 = k (Dividiendo) - 4 = k Pr que un de ls ríces se nule, k = L lterntiv correct es l letr B) En l ecución x 2 + hx - (21 + h) = 0, = 1, b = h, c = - ( 21 + h ) Si ls soluciones son - 4 y 5, pr determinr el vlor de h utilizmos ls propieddes de ls ríces: = -b c x 1 = Como h está en b y c, utilizmos culquier de ls 2 propieddes, plicremos l sum: Mtemátic 2006 = -b (Reemplzndo x 1 y x 2, y b) -h = (Sumndo) 1 1 = -h / - 1 (Dejndo h positivo l multiplicr por 1) - 1 = h Pr que ls soluciones de l ecución dd sen 4 y 5, h = L lterntiv correct es l letr C) En l ecución x 2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0, = 1, b = - (k + 10), c = (10k - 2 ) Como el producto de ls ríces es 58, plicremos l propiedd de ls ríces que se refiere su producto. = c (Reemplzndo, y c) 58 = 10k (Despejndo k) = 10k (Sumndo) 60 = 10k = k (Dividiendo) 6 = k Pr que el producto de l ecución dd se 58, k = 6 13

14 Mtemátic 2006 Solucionrio 12. L lterntiv correct es l letr E) ( + 3)(x 2 + 3)= (Multiplicndo binomios) x = (Fctorizndo) + 3 ( ) + 9 = Si y x 2 son ls ríces de l ecución x 2 + mx + n = 0, donde = 1, b = m, c = n, plicmos ls propieddes de ls ríces: = -b (Reemplzndo y b) = -m 1 c = = n 1 Entonces: = -m = n (Reemplzndo y c) + 3 ( ) + 9 = (Reemplzndo y ) n m + 9 = (Multiplicndo) n 3m + 9 ( + 3)(x 2 + 3) = n 3m L lterntiv correct es l letr A) Pr que l ecución 5x(x + 2) = k menor que 0, entonces: crezc de ríces reles, el discriminnte debe ser = b 2-4c b 2-4c < 0 5x(x + 2) = k (Distribuyendo) 5x x = k (Igulndo 0) 5x x - k = 0, donde = 5, b = 10, c = - k b 2-4c < 0 (Reemplzndo,b y c) k < 0 (Respetndo el orden de ls operciones) 14

15 k < 0 (Despejndo k) 20k < k < k < - 5 Pr que l ecución 5x(x + 2) = k crezc de ríces reles, k < L lterntiv correct es l letr D) Mtemátic 2006 x x = 2 /() 2 x x = x = 4 - x / () 2 (Elevndo l cudrdo pr eliminr l ríz) (Despejndo l ríz) (Elevndo l cudrdo pr eliminr l ríz) 10-3x = (4 - x) 2 (Desrrollndo el cudrdo de binomio) 10-3x = 16-8x (Igulndo 0) 0 = x 2-8x x - 10 (Reduciendo términos semejntes) x 2-5x + 6 = 0 (Fctorizndo) (x - 2)( x - 3) = 0 x - 2 = 0 x - 3 = 0 = 2 x 2 = 3 Como l ecución de segundo grdo es un instrumento pr resolver l ecución x x = 2, debemos reemplzr mbs soluciones en l ecución originl, l que stisfg l ecución, será solución de ell. x x = 2 (Reemplzndo ) = = 2 (Multiplicndo) (Restndo) 15

16 Mtemátic 2006 Tutoril = 2 (Extryendo 4 ) = 2 (Sumndo) 4 = 2 (Extryendo 4 ) 2 = 2 Se cumple l iguldd, por lo tnto, = 2 es solución. x x = 2 (Reemplzndo x 2 ) = = 2 (Multiplicndo) (Restndo) = 2 (Extryendo 1 ) = 2 (Sumndo) 4 = 2 (Extryendo 4 ) 2 = 2 Se cumple l iguldd, por lo tnto, x 2 = 3 es solución. I y II son soluciones de l ecución x x = L lterntiv correct es l letr A) Dd l función: C(v) = 80v - 2v 2, donde C(v): consumo de combustible y v: velocidd Como nos piden máximo y l función corresponde un prábol, eso signific que < 0 (lo que es efectivo, y que = - 2), o se, es biert hci bjo. Pr encontrr el máximo, utilizmos el eje de simetrí: x = -b 2 (Reemplzndo = -2, b = 80) -80 x = 2-2 (Multiplicndo) 16

17 x = x = (Dividiendo) Entonces, cundo x = 20, l función tom el vlor máximo, como en este cso l función es consumo de combustible, eso signific que cundo l velocidd se 20 km/h, el consumo de combustile v ser máximo. Pr que el consumo de combustible se máximo, l velocidd debe ser 20 km/h. Mtemátic

18 Mtemátic 2006 Tutoril Mis nots 18

19 Mis nots Mtemátic

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