FUNCIONES CUADRÁTICAS

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1 FUNCIONES CUADRÁTICAS A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c, números reales y a 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto de los reales: D (f) = R Imagen de la función cuadrática, depende del coeficiente a: Si a > 0, entonces I (f) = [ yv, ) Si a < 0, entonces I (f) = ( -, yv ] Los términos de la función reciben los siguientes nombres: f (x) = ax 2 + bx +c término cuadrático término lineal término independiente La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. 1) Funciones de la forma : y = ax 2 a > 0, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba Ramas de la parábola a < 0, las ramas se dirigen hacia abajo 0 < IaI < 1; la parábola se abre respecto del eje y Amplitud de la parábola IaI >1; la parábola se cierra respecto a dicho eje. 2) Funciones de la forma: y = ax 2 + c

2 c > o; la gráfica se desplaza hacia arriba. Corrimiento con el eje vertical c < o; la gráfica se desplaza hacia abajo. 3) Funciones de la forma y = ax 2 + bx Corrimiento sobre el eje horizontal si a y b tienen el mismo signo, la gráfica de la parábola se desplaza hacia la izquierda. Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha.

3 Gráfica de la parábola Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax 2 + bx +c, se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla. Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, ello ocurre cuando f(x) = 0 Para hallar esos valores se emplea la fórmula resolvente de Bhaskara: x = b ± b2 4ac 2a Vértices de la parábola: Es el punto donde la función alcanza su máximo o mínimo valor. Las coordenadas del vértice son: V = (xv, yv) Xv = x1+x2 2 yv = f (xv) ó xv = b 2a Este método solo se podrá emplear cuando la función tenga dos raíces reales distintas; en caso de que ello no sea así haremos completación de cuadrados. Eje de simetría: es la recta que tiene por ecuación x = xv. Divide a la parábola en dos ramas simétricas. Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, es decir, f (0) = c

4 Posiciones relativas respecto del eje de abscisas Las raíces de la función cuadrática, f (x) = ax 2 + bx + c, se calculan mediante la fórmula x = b± b2 4ac 2a Al radicando b 2-4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces de la función y se lo simboliza con la letra griega Δ (delta) Δ = b 2 4ac 1) Cuando Δ > 0, la gráfica tiene dos puntos de intersección con el eje x. la función tiene dos raíces reales distintas. Por ejemplo: f(x) = x 2 + 2x -3 Δ = 16 2) Cuando Δ = 0, la gráfica tiene un punto de intersección con el eje x. La función tiene dos raíces iguales o raíz doble (vértice de la parábola). Por ejemplo: f(x) = x 2 + 2x +1 Δ = 0

5 3) Cuando Δ < 0, la gráfica no tiene puntos de intersección con el eje x. Es decir, no tiene raíces reales. Por ejemplo: f(x) = x 2 + 2x + 2 Δ = -4 Ecuación polinómica, canónica y factorizada. La ecuación cuadrática puede ser expresada de distintas maneras: Se desarrolla el cuadrado del binomio Se aplica propiedad distributiva CANÓNICA POLINÓMICA FACTORIZADA f (x) = a (x x v ) 2 + y v f (x) = ax 2 + bx + c f (x) = a (x x 1 ) (x x 2 ) Se busca el vértice o se completa cuadrados Se buscan las raíces Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento. Decimos que una función es creciente en un intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), aumentan los valores de la variable dependiente (y = f (x)). f (x) es creciente si: x1 > x2, entonces f (x1) > f (x2)

6 Decimos que una función es decreciente en un intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente. f (x) es decreciente si: x1 > x2, entonces f (x1) < f (x2) En general, dada la función f (x) = ax 2 + bx + c, se verifica que: Alcanza un mínimo en el vértice de la parábola. 1) Si a > 0, la función : Decrece en el intervalo ( -, xv) Crece en el intervalo (xv, ) Alcanza un máximo en el vértice de la parábola. 2) Si a < 0, la función: Crece en el intervalo (-, xv) Decrece en el intervalo (xv, )

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