GUIA N 4: FUNCIÓN CUADRATICA. Una función cuadrática es aquella cuya característica principal es que su grado es dos, es decir, es de la forma

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1 GUIA N 4: FUNCIÓN CUADRATICA Definición: Una función cuadrática es aquella cuya característica principal es que su grado es dos, es decir, es de la forma con y números reales y Solución de una ecuación cuadrática: Cuando, la función cuadrática se transforma en, que corresponde a una ecuación de segundo grado (la incógnita tiene potencia 2). Esta ecuación tendrá dos soluciones y, para calcularlas se utiliza la siguiente expresión: Para analizar las soluciones de la ecuación cuadrática, definamos el discriminante como: Tendremos tres casos según el signo del discriminante: 0, en este caso obtendremos dos soluciones distintas para la ecuación. en este caso también tendremos dos soluciones, pero serán iguales. ahora las soluciones existen, pero no en el conjunto de los números reales. I. Resuelva los siguientes ejercicios. 1. Una editorial pronostica que la ecuación de Ingreso (en pesos) para la venta de libros de matemática será: a) Determine el ingreso al vender 10 libros de matemática b) Si el ingreso durante el mes de mayo fue de $ Cuántos libros de matemática como máximo se vendieron? 1

2 2. El rendimiento de gasolina en kilómetros por litro de un vehículo depende de su peso ( en kilogramos, de acuerdo a la siguiente formula: a) Cuál es el rendimiento del vehículo si su peso es de kilogramos. b) Si el rendimiento es de 12 Cuál es su peso máximo? 3. La temperatura medida en grados Celsius en una zona rural dela séptima región durante la primavera entre las 11:00 A.M y las 19:00 P.M. se puede estimar mediante la función : donde representa el tiempo en horas contados desde la medianoche. a) Cuál es la temperatura a las 14:00 horas? b) Existe algún instante donde la temperatura sea de 15 Celsius? c) Existe algún instante donde la temperatura sea de 0 Celsius? 4. Un local de Almuerzos Express en el centro de Santiago abre a las 12:00 A.M. y cierra a las 16:00. El número de clientes que hay en el local luego de horas desde su apertura se puede modelar mediante la siguiente expresión: a) Cuántos clientes hay inicialmente? b) Cuántos clientes estarán en el restaurant a las 14:00? c) Cuántos clientes estarán en el restaurant a las 15:12? d) Cuanto tiempo debe transcurrir desde la apertura del local para que en el restaurant se encuentren 37 clientes 2

3 Grafica de la función cuadrática: Las gráficas de funciones cuadráticas son parábolas El coeficiente cuadrático define hacia donde es la apertura de las ramas de la parábola El coeficiente que queda libre define la intersección de la parábola con el eje Y La intersección de la parábola con el eje X ocurre para los valores de que satisfacen la ecuación Ejemplo: Grafica de una función cuadrática con dos raíces. II. Conteste las siguientes preguntas de acuerdo al gráfico. 1. La altura alcanzada por un proyectil que es lanzado hacia arriba desde el suelo se modela por la siguiente gráfica a) Qué altura alcanza el proyectil a los 4 minutos? b) En qué momento la altura del proyectil alcanza por segunda vez los 78 metros? c) Cuántos minutos está el proyectil en el aire? d) Encuentre la función que modela la situación. 3

4 2. La velocidad que alcanza una pelota de tenis (km/h) lanzada por un aficionado durante los primeros 4 segundos puede ser modelada por la siguiente gráfico: a) Qué velocidad lleva la pelota transcurridos 3 segundos? b) Cuánto tiempo debe transcurrir para que la velocidad de la pelota alcance 40 km/h? c) Encuentre la función que modela la situación. 3. Un club deportivo desea entregarles credenciales a sus miembros. Se ha determinado que el costo de tipografía y fotografía esta modelado por la gráfica que a continuación aparece. a) Cuál es el costo de entregar 10 credenciales? b) Si tienen disponible $ para credenciales, Cuántas pueden entregar como máximo? c) Encuentre la función que modela la situación d) De acuerdo a la función que usted encontró, Cuanto deben cancelar por 35 credenciales? 4

5 4. En una empresa extranjera determina que el bono de fiestas patrias para sus empleados, este año dependerá de los años de antigüedad en el cargo, situación que se muestra en la siguiente grafica a) Cuánto recibe la secretaria que tiene una antigüedad de 18 años? b) Si el jefe de área recibe $ Cuántos años de antigüedad tiene en la empresa? c) Encuentre la función que modela la situación d) Cuánto recibe un empleado que lleva 14 años en la empresa? e) Si recibe un bono de $ Cuántos años lleva en la empresa? 5

6 Vértice de la Parábola: El vértice de la parábola es aquel donde la parábola corta al eje de simetría, es decir divide simétricamente a la parábola en dos ramas. nmn Cuando es positivo en el vértice ocurre el mínimo que alcanza la función Cuando es negativo en el vértice se alcanza el máximo de la función. En ambos casos las coordenadas del vértice están dados por 6

7 III. Decida cuál es la gráfica correcta de acuerdo al enunciado. 1. La propagación de un virus estival se puede modelar mediante la siguiente función f ( x) = x 2 + 8x, donde es la cantidad de días desde que se propago el virus a) b) c) 7

8 2. La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto. Además se puede modelar mediante la función a) b) c) 8

9 IV. Responda las siguientes preguntas: 1. Es normal que un bebe recién nacido pierda peso durante los primeros días, luego comenzara a subir. Esto se puede modelar mediante la función para los primeros 7 días de vida donde el tiempo se mide en días y el peso en gramos. a) Cuál es el peso del bebe al nacer? b) Cuánto pesa el bebe a los 3 días? c) Cuál es el peso mínimo que alcanza el bebe? d) Cuántos días se demora en alcanzar el peso mínimo? 2. La función de gastos operacionales (miles de dólares) de una empresa se puede modelar por, donde es la cantidad. a) Cuál es el costo de la mínima producción? b) Cuál es la cantidad que minimiza el costo? 3. Los ingresos mensuales (en millones de pesos) de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por la función donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes. a) Si se fabrican en el mes 10 máquinas, Cuál es el ingreso? b) Cuantas maquinas se deben vender en el mes para que el ingreso sea máximo? c) Cuál es el ingreso máximo que puede obtener durante el mes? 4. Una empresa exitosa y donde el personal iba creciendo a medida que transcurría el tiempo, los recursos comenzaron a escasear y el personal decreció. El número de trabajadores a los t años de haber creado la 2 empresa está dado por, p(t)= t + 22t a) Cuál es el número máximo de trabajadores que tiene la empresa? b) Cuántos años deben transcurrir para que el número de trabajadores sea máximo? 9

10 RESPUESTAS I. 1. a) $ b) 100 libros 2. a) El rendimiento es de 11,25 Km/l b) El peso máximo es de kilos 3. a) Sera de 16 C aproximadamente b) A las 11 de la mañana y a las 19:00 horas c) Entre las 11 y las 19 horas no existe ningún instante donde la temperatura es de 0 C 3. a) O clientes b) Hay 50 clientes en el restaurant c) En el restaurant se encuentran 32 clientes d) Deben pasar aproximadamente 59 minutos. II. 1. a) 156 metros b) A los seis minutos c) 7 minutos d) 2. a) 180 km/h b) Debe pasar 1 segundo c) 3. a) El costo es de $ b) Se pueden entregar 40 credenciales c) d) Se deben cancelar $ a) Recibe $ b) Tiene 6 años de antigüedad en la empresa c) d) Recibe $ aproximadamente 10

11 e) Lleva 12 años en la empresa. III. IV. 1. Grafico B 2. Grafico C 1. a) gramos b) gramos c) Alcanza un peso de gramos d) Se demora 6 días en alcanzar el peso mínimo. 2. a) El costo mínimo es de dólares b) La producción mínima es de a) El ingreso es de $ b) se deben vender 25 máquinas. c) El ingreso máximo es de $ a) 233 trabajadores b) 11 años 11