LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA DURACION de julio de 016. UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Identifica las características de la ecuación cuadrática, aplicándolas en la resolución de problemas algebraicos y geométricos identificados en distintos contextos. Aplica la factorización y la formula general para hallar las raíces de la ecuación cuadrática. Comprende los métodos de solución de la ecuación cuadrática para resolver situaciones planteadas. Realiza responsablemente las consultas y trabajos que se le asignen. FUNCION CUADRATICA. Una función cuadrática es aquella función de la forma y = f(x) = ax + bx + c con a, b, c pertenecientes al conjunto de los reales y a es diferente de 0. Grafica de una función cuadrática. La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, se denomina eje de simetría. Representación grafica: Para cada función se identifica el vértice y se elabora una tabla de valores que determina la forma de la parábola. Ejemplo: graficar la función f(x) = x X Y = f (x) Para determinar el vértice de la parábola utilizamos la formula x = -b /a Y remplazamos el valor de x en la función dada. Ejemplo: realice la grafica de la función f (x) = -x + 4x Observo detalladamente como realiza mi profesor este ejemplo en clase. ACTIVIDAD # 1 Determine el vértice y grafique cada una de las siguientes funciones cuadráticas, utilice un plano para cada una. a. F(x) = x b. F(x) = x + c. F(x) = x 3 d. F(x) = - x + 3x e. F(x) = 3x + x +1 f. F(x) = -x + x +5 LA ECUACIÓN CUADRÁTICA 1

2 En cursos anteriores tuviste la posibilidad de estudiar las ecuaciones lineales con una sola incógnita en las cuales el único exponente de la variable es uno. Entras ahora en este período y en la presente guía a estudiar las ecuaciones cuadráticas con una sola incógnita en las cuales el exponente de la variable es, y a ampliar su estudio a las ecuaciones bicuadradas cuya forma se pueden llevar a la forma cuadrática. Debes tener muy en cuenta que la ecuación cuadrática tiene mucha aplicabilidad en ramas como la física, la matemática financiera, la electrónica, la geometría, entre otras, y que su estudio es de gran importancia para hallarle solución a muchas situaciones que se te pueden presentar en tu vida cotidiana. Por esto te invito a que con todo el interés y la mayor responsabilidad posible abordes el estudio de la ecuación cuadrática y todas sus características. Una ecuación de la forma ax + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a necesariamente diferente de cero, recibe el nombre de ecuación cuadrática ó ecuación de segundo grado (porque el exponente de la variable es ). En este caso la variable es x pero dependiendo del área que se esté estudiando la variable puede ser representada por otra letra (en la cinemática parte de la física la variables puede representarse por la letra t de tiempo). Debes tener presente que la constante a representa al coeficiente de la incógnita al cuadrado, la constante b el coeficiente de la incógnita lineal (con exponente uno) y la constante c representa al término independiente (el que no tiene incógnita). Clasificación de las ecuaciones cuadráticas. Dependiendo de los valores que tomen las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas ó en incompletas. Ecuaciones cuadráticas incompletas: Son aquellas en las que la constante b ó la constante c es cero. Así por ejemplo: X + 5x = 0 (c = 0) ; 3x 7x = 0 (c = 0) ; x 4 = 0 (b = 0) ; - 3x + 5 = 0 ( b = 0) Ecuaciones cuadráticas completas: Son aquellas en las que las constante b y c son números reales diferentes de cero (obviamente a siempre tiene que ser diferente de cero para ser cuadrática). Así por ejemplo: x + 5x 6 = 0 ; 3x 7x + 4 = 0 ; t 6t + 9 = 0 ; - 5m 3m + = 0 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Solucionar una ecuación cuadrática es encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad; estos valores reciben el nombre de raíces de la ecuación. Una ecuación cuadrática tiene siempre dos raíces (ya que el exponente de la incógnita o variable es ). Es importante tener presente que para solucionar una ecuación cuadrática la debemos tener igualada a cero. Si no lo está, es necesario realizar las operaciones indicadas y las operaciones algebraicas necesarias para llevarla a la forma general ax + bx + c = 0 y ya de aquí proceder a solucionarla (ó sea a hallar sus raíces). Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas: - CASO 1: Ecuación cuadrática con c = 0 (no tiene término independiente). Se soluciona factorizando la ecuación por medio del factor común e igualando a cero cada factor y despejando a x en cada uno de ellos. En este caso siempre x = 0 es una solución. Por ejemplo. Al solucionar la ecuación 5x 6x = 0 se procede así:

3 Ya está desigualada a cero, luego se saca factor común: x(5x 6) = 0; posteriormente se iguala a cero cada uno de los factores: X = 0 ó 5x 6 = 0 y de aquí se obtiene x = 6/5. Por lo tanto las raíces ó solución de la ecuación cuadrática 5x 6x = 0 es: x = 0 ó x = 6/5. - CASO : Ecuación cuadrática con b = 0 (no tiene término con incógnita elevada a la potencia 1). Se soluciona despejando la incógnita al cuadrado y luego sacando raíz cuadrada a los dos lados de la igualdad (ó cuando sea posible factorizándola como una diferencia de cuadrados y luego igualando a cero cada factor que tiene x para hallar su valor).. Por ejemplo. Al solucionar la ecuación 5x 10 = 0 se procede así: Ya está desigualada a cero, luego se despeja la incógnita al cuadrado: 5x = 10 x = 10/5 x = Y de aquí se saca raíz cuadrada a ambos lados y resulta: ecuación cuadrática 5x 10 = 0. x, que es la solución de la ACTIVIDAD # 1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: a. 3x 7x 0 b. 8a 4a c. 3x 7 0 d. 5x 15 0 e. m 8 0 f. 4x 16 0 g. x 5 3 4x x EN CLASE CON UNA COMPAÑERA REALIZO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: El punto pagina 131 del libro Algebra y geometría II. Solución de ecuaciones cuadráticas completas: Para solucionar ecuaciones cuadráticas completas (a las que no le falta ninguno de sus términos) existen tres métodos de solución que son: Factorización, fórmula general y completación del trinomio cuadrado perfecto. Debo tener muy en cuenta tal y como se me indicó anteriormente que para solucionar las ecuaciones cuadráticas realizo todas las operaciones indicadas (si las hay) y la igualo a cero para luego proceder a resolverla. - SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN: Factorizo la ecuación cuadrática desigualada a cero (y después de haber realizado las operaciones indicadas) por los trinomios de la forma ax + bx + c = 0 ó de la forma x + bx + c = 0 según el caso, luego cada uno de los factores los igualo a cero y despejo finalmente de cada uno de ellos la respectiva incógnita. Es importante que tengas en cuenta que no todas las ecuaciones son factorizables y por lo tanto las debo resolver por cualquiera de los otros dos métodos que trabajaremos a continuación. 3

4 - EJEMPLO: Mi profesor soluciona en clase las siguientes ecuaciones por factorización. a. x + 7x = 18 b. x + 7x 4 = 0 c. n(n 1) 5(n ) = d. 6p = 10 11p e. (x ) - (x + 3) = - 80 SOLUCIÓN POR COMPLETACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: No todos los trinomios de la forma ax + bx + c = 0, son factorizables, en los números enteros, por ejemplo, el trinomio x + x - 7 = 0 Observo detalladamente como resuelve mi profesor, esta ecuación en clase. - SOLUCIÓN POR LA FÓRMULA GENERAL Ó FÓRMULA CUADRÁTICA (o del bachiller): Dada la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0, los valores de la incógnita x los puedo hallar por la fórmula general siguiente: X b Debo colocar demasiado cuidado cuando vaya a aplicar esta fórmula general con los signos de a, b y c y los signos de dicha fórmula ( jugar con la ley de signos). EJEMPLO: Mi profesor soluciona en clase las siguientes ecuaciones utilizando la formula cuadrática. a. x + 7x = 18 b. x + 7x 4 = 0 c. n(n 1) 5(n ) = d. 6p = 10 11p e. (x ) - (x + 3) = - 80 f. (x + 4) = x(5x 1) 7(x ) b a 4ac ACTIVIDAD # 3 1. Del texto ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA II grado 9 desarrollo los siguientes ejercicios: De la página 134 numeral 1. De la página 135 el numeral 3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA ECUACION CUADRATICA. En el proceso de resolución de problemas se deben realizar los siguientes pasos. Paso 1: comprender el problema identificando los datos del mismo e identificando las variables. Paso : plantear una o varias ecuaciones, según sea el caso. (En la mayoría de problemas se busca plantear una ecuación cuadrática). Paso 3: resolver la ecuación. Paso 4: dar respuesta al problema. Paso 5: revisar y reflexionar sobre la solución. Ejemplo: dos números naturales se diferencian en tres unidades. Si la suma de los cuadrados es 369, hallar los números. 4

5 Presto toda mi atención en clase a la forma como mi profesor resuelve el problema. ACTIVIDAD # 4 Resuelva las siguientes situaciones problema: 1. La suma de las edades de Juana y Margarita es 3 años y su producto es 10. Hallar las edades.. La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. 3. Ricardo tiene tres años más que diego y el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el cuadrado de la edad de diego es equivalente a 19 años. Hallar las edades de ambos. 4. Encontrar las dimensiones del triangulo de la figura, si se sabe que su área es de 50 m. 5. Dos números enteros positivos se diferencian en 6 unidades y la suma de sus cuadrados es 18 Cuáles son los números? 6. Si se resta cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 5 cm, Cuánto mide el lado del cuadrado grande? 7. Un triangulo tiene una área de 4 cm y su altura mide cm más que la base correspondiente Cuánto mide la altura? 8. Halle el área y el perímetro del triangulo rectángulo mostrado. DIOS SONRÍE PORQUE ES ESTO LO QUE ÉL QUIERE: QUE CADA UNO TENGA EN SUS MANOS LA RESPONSABILIDAD DE SU PROPIA VIDA 5