PRÁCTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE CURSO CÁLCULO II. Práctica 11 (19/05/2015)

Transcripción

1 PRÁCTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE CURSO 4-5 CÁLCULO II Prácica Malab Prácica (9/5/5) Objeivo o Calcular ranformada de Laplace y ranformada invera de Laplace, uilizando cálculo imbólico. o Comprobar propiedade de la ranformada de Laplace. Comando de Malab. Obener la ranformada de Laplace de una función uilizando cálculo imbólico laplace(f) Obiene la ranformada de Laplace de la función f(), uilizando cálculo imbólico. La función ranformada, por defeco, depende de la variable, e F(). Ejemplo: f=ym('^'); F=laplace(f) o ambién ym ; F=laplace(^). Obener la ranformada invera de Laplace de una función uilizando cálculo imbólico ilaplace(f) Obiene la ranformada invera de Laplace de la función F(), uilizando cálculo imbólico. La función ranformada invera, por defeco, depende de la variable. Ejemplo: ym ; f=ilaplace(/(^+)/(+)). Calcula el límie de una expreión uilizando cálculo imbólico limi(f,x,a) Obiene el límie de la expreión f cuando la variable x iende hacia a. Ejemplo: ym x; L=limi(qr(x^4+)/(x^+),x,inf)

2 PÁGINA MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejercicio Definición (Tranformada de Laplace). Sea f una función definida para y al que f para. Se llama ranformada de Laplace de la función f a la función: L f () F( ) f() e d iempre que la inegral anerior ea convergene. Definición (Función de orden exponencial). Una función exponencial i exien M y ale que f () Me f, e denomina de ipo Si una función f e de ipo exponencial, ambién erá exponencial de ipo para odo (ver figura). El conjuno de odo lo valore que aifacen dicha condición eá acoado inferiormene, y u ínfimo e denomina abcia de convergencia de f Me Me (), f. TEOREMA (de exiencia de la ranformada de Laplace).- Sea f una función definida para y al que f para. Si f e coninua a rozo y ademá f e de ipo exponencial, enonce exie la ranformada de Laplace para valore de ale que Re( ), iendo la abcia de convergencia de f. TEOREMA.- Si enonce la función ranformada e decir lím F() f verifica la condicione del eorema de exiencia anerior, F iende a cero a medida que iende a infinio,

3 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA TRANSFORMADAS DE LAPLACE - L F F () L f () f () ( ).. n, n! n,, n., 4., 5. e 6. a 7. en a 8. co a 9. en a n a e, a a n!, a, n ( a) n a, a, a a ( a ),. co a a, ( a ). b e en a a, ( b) a b. b e co a b, ( b) a b Cálculo de ranformada de Laplace Comprueba que para la funcione de la abla e obiene la ranformada que e indica. Indicacione A modo de ejemplo e muera cómo obener la ranformada de la función de la fila a. Código Malab:

4 PÁGINA 4 MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE ym dip('fila ') F=laplace(heaviide()) %heaviide() e la función ecalón unidad dip('fila para n=') F=laplace(^) dip('fila ') F=laplace(qr()) Propiedad (Muliplicación por la exponencial). Si a e un número real cualquiera, L a e f() L f() a F a, a f. iendo la abcia de convergencia de Coniderar para verificar la propiedad anerior la funcione f en(5 ) f e en(5 ) Indicacione Código Malab: ym F=laplace(*in(5*)) F=laplace(exp(-*)**in(5*)) F=ub(F,,+) Para comprobar la propiedad hay que obervar que: F F 64

5 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA 5 Propiedad (Traformada de la inegral). Si exie L f () para, L f( x) dx F, Coniderar para verificar la propiedad la funcione f x en x f ( x en x) dx Indicacione Código Malab: ym x F=laplace(^+in(*)) F=laplace(in(x^+in(*x),x,,)) F=/*F Para comprobar la propiedad hay que obervar que: F F Propiedad (Tralación en el iempo). Si c e cualquier número real poiivo, L ( ) c c U c f c e L f( ) e F, 4 a) Obener la ranformada invera de Laplace de la iguiene funcione, uilizando código Malab: ( ) ( ) e ( ) e F F F ( ) ( ) ( ) Oberva que la ranformada F y F de F, muliplicando por una exponencial e obienen a parir c e, con c. b) Repreenar gráficamene obre la mima figura la ranformada invera obenida,,,,4. f f f, en el inervalo c) Qué relación oberva enre la re gráfica? En qué propiedad de la ranformada de Laplace e baa ee reulado?

6 PÁGINA 6 MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE Indicacione Código Malab %Aplicación de la propiedad ralación en el iempo ym % Define la ranformada inicial, F() F=(+)/(*(^+)); % Calcula la ranformada invera de F, la función f() f=ilaplace(f) figure() % Dibuja la función f() en el inervalo [,4] con plo fnum=ub(f,:.:4); hold on plo(:.:4,fnum,'b') % Define la ranformada F()=F()*exp(-*pi) F=exp(-*pi)*(+)/(*(^+)); % Calcula la ranformada invera de F f=ilaplace(f) % Dibuja la función f() obre la mima figura fnum=ub(f,:.:4); plo(:.:4,fnum,'r') % Define la ranformada F()=F()*exp(-*) F=exp(-*)*(+)/(*(^+)); % Calcula la ranformada invera de F f=ilaplace(f) % Dibuja la función f() obre la mima figura fnum=ub(f,:.:4); plo(:.:4,fnum,'g') ile('ranformada invera') legend('f()','f(-pi)*u(-pi)','f(-)*u(-)') 7 6 ranformada invera f() f(-pi)*u(-pi) f(-)*u(-) La olución obenida e co-en - f U( ) co en ; f U co - +en - ; f U Reumen de comando Se recogen aquí lo comando uilizado en ea prácica que e darán por conocido en la prácica iguiene y que conviene reener porque e podrán pregunar en la diina prueba

7 MATLAB: PRÁCTICA PÁGINA 7 de evaluación. También e upondrán conocido lo comando que fueron uilizado en prácica aneriore y en la prácica de Cálculo I. Función ecalón unidad: heaviide Obener la ranformada de Laplace de una función imbólicamene: laplace Obener la ranformada invera de Laplace de una función: ilaplace Calcular el límie de una expreión imbólica: limi