Apuntes Transformada de Laplace (MAT023)

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1 Apunte Trnformd de Lplce (MAT3 Segundo emetre de Verónic Gruenberg Stern Vivin Arnd Núñez. Introducción L trnformd de Lplce e un ejemplo de un operdor. Ete oper obre un función, produciendo otr función. L trnformd de Lplce e un método útil pr reolver ecucione diferencile y problem de vlor inicil con condicione en l fronter. Tmbién permite reolver ecucione integrle ó íntegro-diferencile. Eencilmente, eto problem e reuelven en 3 po: en primer lugr, e trnform el problem en uno má encillo, luego e reuelve el problem encillo y, finlmente, l olución obtenid e trnform en el entido invero, obteniéndoe l olución l problem originl. Definición Supongmo que f(t e un función definid pr todo t >. Definimo l trnformd de Lplce de f l iguiente integrl, i ét converge: L(f( F ( f(t e t dt pr > Ademá: f(t L (F (, e l trnformd de Lplce inver de F. Obervción E importnte recordr que l integrl impropi nterior e define por: f(t e t dt lím f(t e t dt Notr, demá, que el reultdo de et integrl e un función en l vrible, lo que explic l notción F (. Ejemplo:. f(t, t > Clculr l trnformd de Lplce de l iguiente funcione: L(( F ( e t dt lím e t dt lím e t T

2 ( e T lím + iempre que >. Si <, l integrl diverge.. f(t e t, t > L(e t ( F ( lím iempre que >. 3. f(t t, t > L(t( F ( e ( t e t e t dt lím T t e t dt lím ( e ( T lím t e t dt e ( t dt e ( + Integrndo por prte, con u t ( du dt dv e t dt [ t e t L(t( lím lím [ t e T T Undo l regl de L Hôpitl: lím T e T e t e T + ] dt ] [ t e t lím lím T lím et T ( v e t e t lím e L(t( + T Notr que, undo integrción por prte, e tiene que n N: L(t n ( t n e t dt t n ( e t + n Luego, e poible probr inductivmente, que: L(t n ( n! n+ T ] + lím et t n e t dt n L(tn ( n N : MAT3 ( em.

3 4. f(t en(bt, t > L(en(bt( F ( en(bt e t dt lím en(bt e t dt Pr ur integrción por prte, hcemo u e t du e t dt dv en(bt dt v co(bt : b en(bt e t dt e t b e t b co(bt co(bt Hcemo ( u e t du e t dt T T b y undo integrción por prte nuevmente: Tenemo en(bt e t dt e t b e t b e t b en(bt e t dt co(bt co(bt co(bt T T T ( b b e t co(bt dt b e t co(bt dt dv co(bt dt v en(bt b e t e t b e t b derecho de l ecución y evlundo, tenemo: ( + b en(bt e t dt en(bt e t dt e T b co(bt dt en(bt en(bt T T e t b en(bt dt en(bt e t dt b mbo ldo de l ecución. Poniendo ete término l ldo b ( e T b + b co(bt + b e T b en(bt co(bt + b e T en(bt b 3 Finlmente, MAT3 ( em. 3

4 L(en(bt( en(bt e t dt lím lím b b + en(bt e t dt ( e T b co(bt + b e T en(bt b 4 b b + 5. Análogmente, e poible motrr, integrndo por prte do vece, que l trnformd de Lplce de l función f(t co(bt, e: L(co(bt( b + 6. Si g(t etá dd por: g(t e: L(g( G( { i t < i t e t dt + entonce u trnformd de Lplce e t dt e t 7. Clculr l trnformd de Lplce de f(t, donde f(t etá dd por: { t i t f(t i < t < Obervción e Precier que pr determinr l trnformd de Lplce de funcione, deberemo clculr iempre integrle impropi. Eto no e í: un de l ventj que tiene l trnformd de Lplce on u vrid propiedde que etudiremo continución, y que no permitirán hcer uo de l trnformd de funcione conocid. Pr ello, e conveniente notr que ólo con l definición, hemo contruído l iguiente tbl de trnformd de Lplce: + MAT3 ( em. 4

5 Cudro : Trnformd de Lplce f(t t L(f( F ( > > 5 t n n! n+ > en(bt co(bt e t b + b > + b > > Pero, primero e necerio determinr lgun condicione obre un función pr l exitenci de u correpondiente trnformd.. Exitenci de l Trnformd de Lplce.. Definición Diremo que f : [, b] R e eccionlmente continu ó continu por trmo i. f e continu en todo lo punto del intervlo [, b], lvo lo má en un número finito de ello.. Todo lo punto t de dicontinuidd de f, on dicontinuidde de tipo lto, e decir, en lo punto de dicontinuidd e tiene que lo iguiente do límite exiten: Obervción lím t t f(t f(t R lím f(t f(t + t t + R. f(t + f(t mide el lto de l dicontinuidd. MAT3 ( em. 5

6 . Si f(t + f(t, entonce f e continu en t. Si eto ucede en todo lo eventule punto de dicontinuidd, ignific que f e continu en el intervlo [, b]. Clrmente, f continu en [, b] f eccionlmente continu en [, b]. 3. Si f e eccionlmente continu en [, b], entonce vlore que tom f en lo punto de dicontinuidd (i e que lo tom. b f(t dt exite y e independiente de lo 4. Si f y g on eccionlmente continu en [, b] con f(x g(x x excepto en lo punto de dicontinuidd, entonce b f(t dt b g(t dt. 5. Si f y g on eccionlmente continu en [, b] entonce f(x g(x e eccionlmente Ejemplo continu en [, b]. f(x y b { x < x < x < x < f(t g(t dt exite. e eccionlmente continu.. f(x, x [, ] {} no e eccionlmente continu. x 3. g(t... Definición. { i t < i t e eccionlmente continu. Diremo que f e eccionlmente continu en R + i f e eccionlmente continu en [, t ] t >... Definición Diremo que un función f e de orden exponencil en [, [ i exiten contnte α, C R +, tl que f(t Ce αt t >. Ejemplo L funcione f (t, f (t t n, f 3 (t e t, f 4 (t en bt, f 5 (t co bt y f 6 (t t n e t en bt on de orden exponencil. L función f(t e t no e de orden exponencil. Demotrción: Probremo que f 6 (t e de orden exponencil y que f(t no lo e. Vemo que f 6 (t e de orden exponencil: 6 MAT3 ( em. 6

7 Si > : t n e t en bt e t tn e t tn i t e t e t t n Aí, pr t uficientemente grnde: <. e Luego, t t n e t en bt Ce t t >, >, C contnte decud 7 Si : t n e t en bt t n < e t, pr t uficientemente grnde. Luego t n e t en bt Ce t t >,, C contnte decud Vemo hor que f(t no e de orden exponencil: Notemo que e t lím t e t lím t e t t R Luego, dd culquier contnte C : et > C pr t uficientemente grnde, por lo que no e et poible cotr e t por Ce t...3. Teorem Si f e eccionlmente continu y de orden exponencil en R + entonce > tl que f tiene trnformd de Lplce pr >. Demotrción: Luego: Como f e de orden exponencil, exiten contnte poitiv C, α tl que e t f(t e t f(t Ce t e αt Ce t( α e t f(t dt C e t( α dt lím C e t( α dt C α Luego, como f e eccionlmente continu, por el criterio de comprción pr integrle impropi, l integrl Obervción e t f(t dt converge.. Si f e de orden exponencil, entonce lím t e t f(t, > c. En efecto: f(t Ce αt e t f(t Ce ( αt. Como lím e ( αt i > α, de donde, por el teorem del ndwich, t lím t e t f(t i > c MAT3 ( em. 7

8 y í lím t e t f(t i > c. El Teorem e un condición uficiente pero no neceri pr l exitenci de l trnformd de Lplce de un función. Vemo que L(t / exite, unque l función f(t t no tifce l condicione del teorem nterior. Clrmente, f(t tiene un dicontinuidd de tipo infinito en t, y clrmente no t e de orden exponencil, y que α, C R + : t C e αt. Pero, L(t / e t t dt }{{} e u u du }{{} u t u x e x dx E poible probr (undo integrción múltiple, que e verá en MAT4 que et útim π integrl converge y vle. Luego, π L(t /, t > Vemo hor que l función f(t, t > no poee trnformd de Lplce; t i tuvier, entonce ( L t e t t dt e t t dt + e t t dt L primer integrl del ldo derecho diverge; pr probr eto, bt plicr el criterio de comprción intótic con l función f(t, cuy integrl entre y diverge: t lím t + de donde mb integrle divergen. e t t lím t + e t, > t 8 MAT3 ( em. 8

9 .. Linelidd e inver de l trnformd de Lplce Linelidd: Supongmo que f y g on funcione eccionlmente continu y de orden exponencil, y que α y β on contnte. Luego, utilizndo l propiedde de l integrl, e tiene que L (α f(t + β g(t ( α L(f(t( + β L(g(t( Inver: Notmo que l plicción L no e inyectiv, pueto que i f y g on do funcione que poeen trnformd de Lplce y que difieren en un número finito de punto, entonce u repectiv trnformd coinciden. Luego: L(f L(g f(t g(t Por lo tnto, L no e inyectiv. Sin embrgo, tenemo el iguiente... Teorem Sen f, g funcione tle que L(f L(g. Entonce, f(t g(t t >, excepto lo má en un número finito de punto de dicontinuidd. Eto encillo hecho permiten y fcilitn el cálculo tnto de l trnformd de Lplce de funcione como el de u inver. Ejercicio:. Clculr l trnformd de Lplce de f(t 3 en t 4t + 5e 3t L{3 en t 4t + 5e 3t } 3 L{en t} 4 L{t} + 5 L{e 3t } 3. Clculr l trnformd de Lplce de f(t en (t Notr que co α co α en α en α en co α α ( co t Por lo tnto, L(en (t L ( + 4 ( Clculr L(inh(t y L(coh(t. ( e t e t L(inh(t L ( + Análogmente, L(coh(t (L( L(co t 9 MAT3 ( em. 9

10 ( 4. Clculr L ( + Notr que ( + A + B + C + (A + B + C + A ( + Reolviendo, obtenemo que A, B, C. Luego: ( ( ( L L L co t ( Dd F ( encontrr f(t. + 7 ( ( 5 L L en( 7 t Dd F ( 5 7 encontrr f(t. L ( 5 7 L ( 5 6! 6! 7 5 6! t6. 7. Clculr l trnformd de Lplce inver de: F ( { } { } 6 f(t L (F ( L L ( Clculr L 3 { } L ( + ( 3 A ( + + B ( 3 A + B 3A + B 9 A( 3 + B( + ( + ( 3 luego, podemo reecribirlo como: A B F ( 3 { } f L (F L ( + 8 L { + 4 (A + B + ( 3A + B ( + ( 3 } e 5t 8 en(t A( 3 + B( + ( + ( 3 ( L { 3 ( 3 ( 3 } e t + 3e 3t MAT3 ( em.

11 .3. Propiedde Báic de l trnformd de Lplce Teorem Si f e un función eccionlmente continu y de orden exponencil, entonce lím {L(f(t}( lím F ( Demotrción: Como f(t Ce αt t > e tiene: F ( e t f(t dt e t f(t dt C e ( αt dt C α C lím F ( lím α L trnformd de Lplce de derivd e t Ce αt dt lím F ( L relción exitente entre l trnformd de Lplce de l derivd de un función y l trnformd de Lplce de l función mim e orprendente, y no permitirá plicr et herrmient pr reolver ecucione diferencile..3.. Propoición Supongmo que y f(t e un función diferencible por trmo y de orden exponencil. Supongmo tmbién que y e de orden exponencil. Luego prtir de lgún R: donde Y ( e l trnformd de Lplce de y. Demotrción L( y ( L( y ( L(y( y( Y ( y( y (t e t dt lím Undo integrción por prte: ( u e t du e t dt L( y ( lím [ lím [y(t e t T y(t e T y( + y (t e t dt ] T + y(t e t dt ( dv y (t dt v y(t y(t e t dt ] MAT3 ( em.

12 lím y(t e T lím y( + lím lím y(t e T y( + lím y(t e T y( + Y ( y(t e t dt y(t e t dt Y que y e de order exponencil, exiten contnte C y tl que y(t C e t, por lo tnto: e T y(t C e ( T lo cul converge pr > cundo T. Por lo tnto,.3.. Propoición L( y ( Y ( y(. Supongmo que y e y on funcione diferencible por trmo y continu y que y e continu por trmo. Supongmo que l tre on de orden exponencil. Luego, L( y ( L(y( y( y ( Y ( y( y ( donde Y ( e l trnformd de Lplce de y. Inductivmente, puede probre que en generl: Obervción L( y (k ( k L(y( k y( y (k ( y (k (. Si f e continu en R + y f( + exite, entonce L( f ( L( f f( +.. Si f e dicontinu en x,, x n R + y f(x + i y f(x i exiten, i, n, entonce: Ejemplo donde f(x + i lím t x + i L( f ( L( f f( + n i e x i f(t y f(x i lím t x i. Reolver y y, y(, y ( (f(x +i f(x i, f(t Aplicmo L l ecución, obteniendo: L(y L(y MAT3 ( em.

13 i.e. L(y y( y ( L(y Luego, Y (( + Y ( ( ( y(t L e t (. Encontrr l olución del problem de vlor inicil: y + y co t con y(, y ( 3 L{y + y} L{co t} L{y } + L{y} L{co t} Y ( y( y ( + Y ( y que: Y (( + Y ( Y ( Y ( ( + ( + 4 A + B ( + + C + D ( + 4 A + C B + D 4A + C 4B + D ( + [ ] ( + ( + 4 ( + + ( + 3 (A + B( (C + D( + ( + ( + 4 A3 + 4A + B + 4B + C 3 + C + D + D ( + ( + 4 (A + C3 + (B + D + (4A + C + (4B + D ( + ( + 4 A /3 B C /3 D ( + 4 MAT3 ( em. 3

14 + + 4 ( + ( ( ( ( + + ( + 3 ( + 4 Finlmente pr encontrr el vlor de y que e olución del problem de vlor inicil, utilizmo l inver de l trnformción de Lplce: y(t L (Y { } { } 3 L + L 3 { } ( + ( + L ( + 3 co(t + en(t 3 co(t 3. Reolver y + 4y + 3y, y( 3, y ( 4. Si f(t t en ωt, determine L(f. f(t t en ωt, entonce f( y f (t en ωt + ω co ωt Luego, f ( y f (t ω co ωt ω f(t Aí, L(f ωl(co ωt ω L(f El ldo izquierdo de l iguldd e igul : L(f f( f ( Por lo tnto: 5. Determine L(f, i f(t t co ωt b f(t te t c f(t t n e t ( + ω L(f ωl(co ωt L(f ω ( + ω 4 MAT3 ( em. 4

15 L trnformd de Lplce de l integrl.3.3. Teorem Si f e eccionlmente continu y de orden exponencil, entonce f(x dx e de orden exponencil y e tiene que ( L f(x dx L(f f(x dx Demotrción: Como f e de orden exponencil, C, α R + : f(t Ce αt, t >. Luego: f(x dx f(x dx C e αx dx c t α eαx C α (eαt e α Luego, Ahor, y que como Aí, Corolrio f(x dx C α eαt t > f(x dx e de orden exponencil. ( [ ] L f(x dx e t f(x dx dt }{{} e t f(x dx Si, entonce + u e t f(tdt f(x dx e de orden exponencil, e tiene que Integrndo por prte: e t f(x dx i t ( L f(x dx L(f ( L y(u du ( Y (. L ( Y ( y(u du f(x dx + L(f f(x dx Ademá, en ete co: 5 MAT3 ( em. 5

16 Ejemplo. Determine L(te t. Notmo que xe x dx xe x t ( de donde L(te t. L ( L ( [ ] L xe x dx e x dx te t e t +. L(te t L(e t + L( L(tet L(te t L(e t + L( + dx t L(te t ( t (lo cul y e bí. Ademá, ete ejemplo muetr con clridd que L (f g L (f L (g 3. Si L(f 4. Si L(f y(t y (t ( + ω, ( + ω, determinr f(t. determinr f(t. Cudro : Trnformd de Lplce L(y( Y ( Y ( y( y (t Y ( y( y ( y (n (t k Y ( k y( y (k ( y (k ( y(u du Y ( 6 MAT3 ( em. 6

17 .3.4. Teorem ( de trlción Se f un función continu por trmo y de orden exponencil. Se F ( l trnformd de Lplce de f, y e c un contnte. Entonce, L{ e c t f(t}( F ( c 7 Demotrción L{ e c t f(t}( Ejercicio: e c t f(t e t dt. Clculr l trnformd de Lplce de g(t e t en 3t L{e t en 3t} F ( 3 ( f(t e ( ct dt F ( c ( (. L L ( + ( ( ( L + L ( ( ( ( L + L ( ( ( L + ( 3 ( L ( e t co(3t 3 e t en(3t MAT3 ( em. 7

18 Cudro 3: Trnformd de Lplce f(t e t en(bt L(f( F ( b ( + b > 8 e t co(bt ( + b > Obervción e t t n n! ( n+ > Supongmo que f e un función continu por trmo de orden exponencil, y e F ( u trnformd de Lplce. Luego, ( F ( f(t e t dt Derivndo con repecto l vrible, uponiendo que e poible intercmbir l integrl con l derivd, e tiene: F ( d d F ( d ( ( f(t e t dt f(t d (e t dt ( t f(t e t dt L{ t f(t}( e decir: Ademá: L{ t f(t}( F ( L(t f(t L(t (t f(t d d L(t f(t d d ( F ( ( d F d ( Inductivmente, i n e culquier entero poitivo, entonce: donde F (n ( dn d n F ( L{ t n f(t}( ( n F (n ( MAT3 ( em. 8

19 Ejercicio:. Clculr l trnformd de Lplce de l función t e 3t. Aqui f(t e 3t F ( ( 3 con F ( d d (F ( ( 3 y F ( d d (F ( ( luego, L{ t e 3t }( ( F ( ( 3 3 Cuál erá l trnformd de Lplce de t 3 e 3t? Puede conjeturr pr t n e 3t? (. Determinr L ln 3. + Notmo que: f(t ( d t L d F ( d t L d ln 3 + ( + t L 3 ( t L t (e3t e t e t t + ( 3 ( ( ( 3( + t L e3t t 3. Reolver y + ty 4y, y( y (. Aplicmo trnformd de Lplce l ecución: L(y + L(ty 4L(y L( Y ( y( y ( d d (Y ( y( 4Y ( Y ( (Y ( + Y ( 4Y ( Y ( + ( 6Y ( Y ( + 6 Y ( que e un E.D.O. linel de primer orden, cuy olución etá dd por: Y ( + C e 4. Como lím Y (, necerimente C. 3 3 Aí, Y ( 3 de donde y(t t. MAT3 ( em. 9

20 4. Reolver ty y t, y(. Aunque no conocemo má que un condición inicil, plicmo trnformd de Lplce l ecución: L(ty L(y L(t ( d d L(y (Y y(! 3 d d ( Y y( y ( Y! 3 d d ( Y Y! 3 ( Y + Y Y 3 Y 3Y 3 Y + 3 Y 5 que e un E.D.O. linel de primer orden, cuy olución etá dd por: 3 Y ( e d ( 3 e d d + C 5 ( ( 3 d + C ( 4 + C 3 d + C 3 ( + C de donde l olución bucd e l trnformd inver de et función: y(t L ( 4 + L ( C 3 3 t3 + C t MAT3 ( em.

21 .4. Funcione Dicontinu Epecile En et ección veremo cómo ciert funcione definid por trmo pueden reecribire de modo de poder utilizr el conocimiento que tenemo de l trnformd de l funcione que componen por trmo l función complet, en el cálculo de l correpondiente trnformd de Lplce. Conideremo l iguiente funcione: Función intervlo:, t < H b (t, t < b, b t < Et función e l "función crcterític"del intervlo [, b[ definid en R. Función eclón unitrio: H(t {, t <, t Et función tmbién e conocid como "función de Heviide". Función eclón unitrio trldd ht el punto c: H c (t H(t c {, t < c, t c Podemo exprer l función intervlo H b (t en término de l función eclón unitrio H (t y H b (t del iguiente modo: H b (t H (t H b (t H(t H(t b Ejercicio: Expree l función g(t en término de l función eclón unitrio: { t, t < g(t, t < g(t t H (t + H (t t [H (t H (t] + H (t t H (t + ( t + H (t t H(t (t H(t t H(t (t H(t MAT3 ( em.

22 Ejercicio: Expree l función f(t en término de l función eclón unitrio: 3, t < 4 f(t 5, 4 t < 6 e t, 6 t < f(t 3 H 4 (t 5 H 46 (t + e t H 6 (t 3 [H (t H 4 (t] 5 [H 4 (t H 6 (t] + e t H 6 (t 3 H (t 8 H 4 (t + 5 H 6 (t + e t H 6 (t 3 H(t 8 H(t H(t 6 + e t H(t 6 L trnformd de Lplce de l función eclón unitrio Luego, L(H c (t( c lím lím e c H c (t e t dt e t dt + c e t c e t dt T c e t dt ( e T lím + e c L(H b (t( L(H (t( L(H b (t( e e b.4.. Teorem ( de Trlción Se f(t un función continu por trmo y de orden exponencil. Se F ( l trnformd de Lplce de f. Luego pr c, l trnformd de Lplce de l función H(t c f(t c etá ddo por: L { H(t c f(t c } e c F ( Ademá: L {e c F (}(t H(t cf(t c MAT3 ( em.

23 Demotrción L { H(t c f(t c } c H(t c f(t c e t dt e t dt + c f(t c e t dt 3 c f(t c e t dt (hciendo τ t c f(τ e (τ+c dτ e c f(τ e τ dτ Ejercicio: e c F (. Encontrr l trnformd de Lplce de l función H(t π/4 en(t. L función en(t debe etr expredo en término de (t π/4: Luego, H(t π/4 en(t Finlmente, en(t en((t π/4 + π/4 en(t π/4 co(π/4 + co(t π/4 en(π/4 en(t π/4 + co(t π/4 H(t π/4 en(t π/4 + L { H(t π/4 en(t } L{ H(t π/4 en(t π/4 } + + L{ H(t π/4 co(t π/4 } L { H(t π/4 en(t } π e π e 4 + H(t π/4 co(t π/4 π e 4 ( + + MAT3 ( em. 3

24 . Encontrr L(f, i f(t { en t i t < π en t + co t i t π Notmo que f(t en t + H π (t co(t π. Luego: L(f L(en t + L (H π (t co(t π L(en t + e π L(co t e π + 3. Encontrr l trnformd de Lplce inver de l función F ( e ( + 9. Pr determinr L (F (, decomponemo l prte rcionl de F undo frccione prcile: ( + 9 A + B + C + 9 A( (B + C ( + 9 A + B C 9A ( + 9 /9 + /9 + 9 Luego, L { e ( + 9 } A /9 B /9 C e ( e 9 e { 9 L e } 9 { L e (A + B + C + 9A ( + 9 } H(t H(t co(3(t 9 H(t ( co(3(t 9 {, t < ( co(3(t /9, t < + 9 MAT3 ( em. 4

25 4. Reolver: y + 4y + 4y, y (. { t e (t t > con l condicione inicile y( Solución: Se g(t { t e (t t > 5 Undo l función de Heviide, ecribimo g en l form g(t e (t H(t de donde l ecución diferencil qued: y + 4y + 4y e (t H(t. Aplicmo trnformd de Lplce et ecución: L(y + 4L(y + 4L(y L ( e (t H(t Y ( y( y ( + 4Y ( 4y( + 4Y ( e Y ( Umo frccione prcile: de donde Y ( + 4Y ( + 4Y ( e ( Y ( e + + e ( + ( e ( + ( + ( + ( + A + + B + + A ( + + B( + ( + + C ( + ( + ( + C ( + (A + B + (4A + 3B + C + 4A + B + C ( + ( + A + B 4A + 3B + C 4A + B + C Y ( A B C e ( + e ( + e ( + Luego: + y(t H(t e (t H(t e (t H(t (t e (t MAT3 ( em. 5

26 5. Reolver l ecución Solución: y + y + y(t dt t i t < t i t < i t con l c.i. y( Ecribimo l función del ldo derecho en término de l función eclón unitrio, como 6 t + ( th(t + (t H(t Ahor, plicmo trnformd de Lplce l ecución: L(y y( + L(y + L(y ( Y ( + + Y ( Umo frccione prcile: ( + A + B + + Luego, de donde: + e L( t + e L(t e + e ( + e ( + + e ( + C ( + A, B, C Y ( ( + ( + e + ( + ( + e + ( + y(t + e t + t e t ( + e t+ + (t e t+ H(t + + ( + e t+ + (t e t+ H(t + MAT3 ( em. 6

27 Trnformd de Lplce de un Función Periódic Un función f e periódic con período T i f(t + T f(t menor número poitivo que tifce et propiedd. Propoición t Dom(f. El período T e el Supongmo que f e un función periódic con período T, eccionlmente continu y de orden exponencil. Entonce: Demotrción L{f}( Ejemplo f(t e t dt f(t e t dt + τ L{f}( f(t e t dt + {}}{ τ t T en l integrl f(t e t dt e T T f(τ + T e (τ+t dτ + T f(t e t dt + 3T T f(t e t dt + f(τ + T e (τ+t dτ + {}}{ τ t T en l 3 integrl τ f(t e t dt + e T f(τ e τ dτ + e T f(τ e τ dτ + ( ( f(t e t dt + e T + e T + e 3T + ( f(t e t dt e T Clculemo l trnformd de Lplce de l función definid por { < t f(t, g(t + g(t t > t Aplicmo el reultdo obtenido rrib: L{f}( e t f(t dt e e t f(t dt e ( e {}}{ etc. 7 MAT3 ( em. 7

28 Obervción L fórmul nterior implific el trbjo pr determinr l trnformd de Lplce de un función periódic, pueto que no e necerio clculr un integrl impropi. Sin embrgo, e poible implificr lo cálculo ún má, utilizndo el conocimiento de l trnformd de l fórmul que conformn, por ubintervlo, l función periódic. Pr ver eto, notmo que prtir de un función periódic f de período T, e poible contruir un nuev función (coniderndo olo un período de l función f y definiéndol como en el reto del dominio del iguiente modo: 8 f T (t { f(t, t < T, T t < f T (t H T (t f(t (H (t H T (t f(t Si F T ( e l trnformd de Lplce de f T (t, entonce: Ejemplo L{f}( f(t e t dt e T F T ( e T Clculemo l trnformd de Lplce de l función definid por { t < t g(t, g(t + g(t t > t t Clrmente, g e un función periódic de período. Luego, pr clculr u trnformd de Lplce contruimo l función: g T (t t (H(t H(t + ( t (H(t H(t t (t H(t + (t H(t Luego: L(g Ejercicio e L(g T (t ( e e + e Determine l trnformd de Lplce de l iguiente:. Ond cudrd: f(t { k < t k, f(t + f(t t > MAT3 ( em. 8

29 . Ond diente de ierr: g(t k t, < t < p, g(t + p g(t t > p 3. Rectificdor de medi ond: en ωt h(t < t π ω π ω < t < π ω, h(t + π ω h(t t > 9.5. Convolución Sbemo que L (F + G L (F ( + L (G(. Pero, et propiedd no e cumple pr el producto pueto que en generl L (F G L (F ( L (G(. Bt notr que L ( L ( L (. El iguiente producto de convolución de funcione, tiene un propiedd muy útil pr clculr l trnformd de Lplce inver de un producto de trnformd conocid. Definmo, en primer lugr, ete producto: Definición Sen f y g do funcione continu por trmo. L convolución de f y g e l función f g definid por: Obervción (f g(t f(u g(t u du En l integrl nterior, notr que i hcemo el cmbio de vrible f(u g(t u du t f(t v g(v dv v t u, tenemo: f(t v g(v dv (g f(t Aí, hemo probdo que el producto de convolución e conmuttivo, que e l primer de l firmcione del iguiente teorem. Dejmo l demá como ejercicio. MAT3 ( em. 9

30 .5.. Teorem Supongmo que f, g y h on funcione continu por trmo. Luego,. f g g f. f (g + h f g + f h 3 3. (f g h f (g h 4. f.5.. Teorem Su- Supongmo que f y g on funcione eccionlmente continu y de orden exponencil. pongmo que L(f F ( y L(g G(. Luego, ó, equivlentemente, Demotrción: L(f g(t F ( G( L {F ( G(}(t No e hrá, requiere integrción múltiple. f(u g(t u du Ejemplo : Se f(t t t y g(t t. Clculr (f g(t (f g(t t4 t3 3 f(u g(t u du (u u (t u du (tu tu u 3 + u du Ejemplo : Se f(t en t y g(t t. Clculr l convolución f g: Directmente de l definición f g f(u g(t u du b Evlundo F L(f y G L(g y luego clculndo f g L {L(f L(g} MAT3 ( em. 3

31 f g f(u g(t u du [ t [ t [ t en u (t u du t en u du ] t { [ ] t co u u co u ] t { [ ] t [ co u u co u + en u u en u du } co u du ] t } ] { [ co(t + co( t co(t + co(] [ ] } + en(t en( t co(t + t + t co(t en(t t en(t b F ( L(f L(en t +, G( L(g L(t F (G( A + C B + D C D luego, F (G( ( + ( + A + B ( + + C + D (A + B + C( + + D( + ( + A3 + B + C 3 + C + D + D ( + (A + C3 + (B + D + C + D ( + A B C D ( + + { } { } L {F (G(} L + L ( + f g en(t + t 3 MAT3 ( em. 3

32 [ ] Ejemplo 3: L ( + Ejemplo 4: en t [ ] [ ] [ ] L L L + + en u du co u co t + Reuelv el problem de vlor inicil, undo Trnformd de Lplce t 3 ty y + ty y(, y ( Solución: Aplicndo l trnformd de Lplce: L{ty } L{y } + L{ty} d d ( L{y} y( y ( (L{y} y( d d (L{y} Llmndo L{y} Y (, derivndo, grupndo y implificndo e obtien l ecución linel cuy olución e Eto último e equivlente e decir Aplicndo L : Por lo tnto: de donde Y ( Y ( 3 + Y ( C ( + Y ( C ( + ( + ( + + ( + + C ( + Y ( + + ( + + C ( + ( ( ( y(t L + L + L C + ( + ( + ( en t t co t y co t + (co t en t + C y co t + t en t en t co t + C (en t t co t MAT3 ( em. 3

33 Ejercicio Clculr l trnformd inver de:. F (. F ( ( + 3. F ( e, n, R n+ Reolver l iguiente: 4. y (t co t + y(τ co(t τdτ, y( 5. ty + ty + y, y(, y ( 3 ( + 6. Se x(t l olución de l ecución de Beel de orden cero: tx + x + tx con x( y x (. Demotrr que: L(x(t( b J (udu, +. donde J (t e l olución de l ecución. π c Probr formlmente que J (x co(x co tdt. π π (Ayud: co n 3 5 (n x dx π 4 6 n 7. Demuetre que pr x > : L(t x definid por Γ : [, [ R, con Γ(x Γ(x +, donde l función Gmm, etá x+ e t t x dt. 33 MAT3 ( em. 33

34 .6. Delt de Dirc ó ditribución impulo unitrio En much pliccione item eléctrico, mecánico ú otro, precen fuerz muy grnde que ctún en intervlo de tiempo pequeño. Un mner de repreentr eto elemento e medinte l "función generlizd"δ de Dirc, que definiremo continución..6.. Definición Se > un contnte, y conidere l función 34 δ (t { i t i t < ó t > Note que > : δ (t dt Llmremo "función" Delt de Dirc quell definid por.6.. Propiedde δ(t lím δ (t. δ(t, t y δ(t pr t.. δ(t dt 3. L(δ(t( ( e e En efecto: L(δ(t( lím L(δ (t( lím 4. f(t δ(t dt f( 5. L(f(t δ(t( f(. Obervción y f(t δ(t dt f(.. Notr que lím L(δ(t(. Et prente contrdicción no e tl, pueto que l Delt de Dirc no e de orden exponencil, que on el tipo de funcione pr l cule e probó que el límite de u trnformd de Lplce debe er igul. De hecho, en entido etricto, ni iquier e un función!. L propiedd 3. implic que L ( δ(t Podemo generlizr l Delt de Dirc recién definid centrd en, un centro culquier c > : MAT3 ( em. 34

35 .6.3. Definición Sen, c > contnte tl que c y conidere l función δ (t c { i c t c + i t < c ó t > c + 35 Note que > : δ (t c dt Llmremo "función" Delt de Dirc quell definid por.6.4. Propiedde δ(t c lím δ (t c. δ(t c, t c y δ(t pr t c.. δ(t c dt 3. L(δ(t c( e c de donde L (e c δ(t c. En efecto: L(δ(t c( lím L(δ (t c( lím (e c e e 4. f(t δ(t c dt f(c 5. L(f(t δ(t c( e c f(. y f(t δ(t c dt f(c. e c MAT3 ( em. 35

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