Transformadas de Laplace

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1 Semn 7 - Cle 2. Definicione pr Comenzr Trnformd de Lplce En generl vmo definir un trnformción integrl, F (), de un función, f(t) como F () = b K (, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (, t) e un función conocid de y t, denomind el núcleo de l trnformción. Si y b on finito l trnformción e dirá finit, de lo contrrio infinit. Dependiendo de l elección del núcleo y lo limite tendremo ditint trnformcione integrle. En Fíic l má comune on: Nombre F () = T {f(t)} f(t) = T {F ()} Lplce F () = e t f(t)dt f(t) = γ+i 2πi γ i et F ()d Fourier de eno y coeno F () = en(t) co(t) f(t)dt f(t) = 2 π en(t) co(t) F ()d Fourier complej F () = e i t f(t)dt f(t) = 2 π e i t F ()d Hnkel F () = Mellin F () = tj n (t)f(t)dt f(t) = t f(t)dt f(t) = 2πi J n (t)f ()d γ+i γ i t F ()d L ide detrá de l utilidd de l trnformcione integrle puede reumire en el iguiente equem EDO pr f(t) olución direct difícil e encuentr f(t) trnformción direct F () = T {f(t)} trnformción inver f(t) = T {F ()} relción pr F () eventulmente má fácil olución pr F () má fácil e encuentr F () Héctor Hernández / Lui Núñez Univeridd de Lo Ande, Mérid

2 Semn 7 - Cle 2 2. Trnformd de Lplce En nuetro co ilutrremo el uo de trnformcione integrle con l trnformd de Lplce, que denotremo de mner imbólic como F () = L {f(t)}.l iguiente tbl reume l trnformcione de lgun funcione. f(t) = L {F ()} e t e t en (t) co (t) t n n > t p p > en ht coh t en (bt) co (bt) t n e t n ℵ F () = L {f(t)}, >, > 2 + 2, > 2 + 2, > n! n+, > Γ (p + ) p+, > 2 2, 2 2, ( ) 2 + b 2 ( ) 2 + b 2 > > n! ( ) n+, > > Héctor Hernández / Lui Núñez 2 Univeridd de Lo Ande, Mérid

3 Semn 7 - Cle 2 f(t) = L {F ()} t < c u c (t) t c c > F () = L {f(t)} e c t > u c (t) f (t c) e c t F () e c t f (t) F ( c) f (c t) c F ( c), c > f (t τ) g (τ) dτ F () G () 3. Ejemplo Sencillo δ (t c) e c f (n) (t) n F () n f () f (n ) () ( t) n f (t) F (n) () Como un ejemplo de lo nterior, encontrremo l olución l iguiente ecucione diferencile. Ecución diferencil inhomogéne, continu, con vlore inicile y() = y + y = en 2t con y () = (2) L { y + y } = L {en 2t} 2 Y () y () y () + Y () = Y () = ( 2 + ) ( 2 + 4) = + b c + d = medinte l trnformd inver en cd término { L 5 } 3 = en t { L 2 } 3 = en 2t (3) (4) y (t) = 5 3 en t en 2t (5) 3 Héctor Hernández / Lui Núñez 3 Univeridd de Lo Ande, Mérid

4 Semn 7 - Cle 2 2. Ecución diferencil, con vlore inicile, inhomogéne un función eclón: π t 2π y() = y + 4y = h (t) = con t π t 2π y () = (6) y + y = h (t) = u π (t) u 2π (t) L { y + 4y } = L {u π (t) u 2π (t)} (7) ( ) Y () y () y () = e π Y () = e π ( 2 + 4) e 2π ( 2 + 4) e 2π medinte l trnformd inver { } L 2 = co 2t + 4 () { } { } e L π ( 2 = u π (t) g (t π) con g (τ) = L + 4) ( 2 + 4) () por lo tnto { } { ( e L π ( 2 = u π (t) L + 4) 4 )} [ ] 2 = u π (t) ( co 2 (t π)) (8) (9) (2) del mimo modo L { e 2π ( 2 + 4) } [ ] = u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) 4 (3) recordemo que hemo definido l función eclón como t < c u c (t) c > (4) t c y finlmente l olución erá y (t) = co 2t + u π (t) [ ] [ ] ( co 2 (t π)) u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) 4 4 (5) 3. Ecución diferencil, con vlore inicile, inhomogéne un función impulo (delt de Dirc) y() = y + 2y + 2y = δ (t π) con (6) y () = Héctor Hernández / Lui Núñez 4 Univeridd de Lo Ande, Mérid

5 Semn 7 - Cle 2 donde l función (ditribución) delt de Dirc viene definid por con l útil propiedd de δ (t t ) = con t t y dτ δ (τ τ ) = (7) dτ δ (τ τ ) f (τ) = f (τ ) (8) En un de l tbl nteriore hemo motrdo l trnformd de Lplce de l función (ditribución) Delt de Dirc: L {δ (t c)} = e c por lo tnto y + 2y + 2y = δ (t π) L { y + 2y + 2y } = L {δ (t π)} (9) ( ) Y () = e π Y () = por lo tnto e π ( ) = e π ( + ) 2 + { } y (t) = L e π [ ] ( + ) 2 = u π (t) e (t π) en (t π) + (2) (2) o tmbién t < π y (t) = e (t π) en (t π) t π (22) 4. Integrl de Convolución Algun vece e poible identificr l trnformd de Lplce H() como el producto de do trnformd de Lplce, F () y G() l cule on l trnformd de funcione conocide f(t) y g(t). Pero eo e lgun vece: en generl l trnformd del producto de funcione no e el producto de trnformd. E vece etán contenid en el llmdo Teorem de Convolución, egún el cul e etblece un epecie de producto generlizdo de funcione f y g. Teorem de Convolución Sen F () = L {f(t)} y G() = L {g(t)} que exiten en el intervlo > > Entonce donde h(t) = L (F ()G()) = H() = F ()G() = L {h(t)} f(t τ) g(τ) dτ = pr > f(τ) g(t τ) dτ = (f g) (t) y h(t) e indentific como l convolución de f y g. L integrle rrib expuet e conocen con integrle de convolución y hemo denotdo h(t) = (f g) (t) pr initir que e trt de un Héctor Hernández / Lui Núñez 5 Univeridd de Lo Ande, Mérid

6 Semn 7 - Cle 2 producto generlizdo de funcione f y g. que comprte, con el producto ordinrio de funcione, l iguiente propiedde f g = g f (conmuttividd) f [g + k] = f g + f k f [g k] = [f g] k f = f = in embrgo f f tl y como e puede precir de (f ) (t) = f(t τ) dτ = en el co prticulr de que f (t) = co (t) tendremo (co ) (t) = (ditributividd) (ocitividd) f(t τ) dτ f (t) co(t τ) dτ = en (t τ) τ=t τ= = en () en (t) = en (t) y por l mim rzón, no hy grntí que (f f) (t) > f El ejemplo má emblemático de l plicción del Teorem de Convolución e el etudio del ocildor mortigudo y forzdo, el cul viene decrito por l ecución diferencil ẍ + 2λ ẋ + ω 2 x = f(t) l trnformd de Lplce no llev con ẋ = dx dt x = x() ẋ = dx (23) t= 2 X() x ẋ + 2λ X() 2λ x + ω 2 X() = F () (24) dt reolviendo el primer umndo qued como X() = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 F () λ + ω 2 (25) X () = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 = x ( + λ) ( + λ) 2 + ( ω 2 λ2) + ẋ + x λ ( + λ) 2 + ( (26) ω 2 λ2) y por lo tnto devolviendo el cmbio x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω F () X 2 () = 2 + 2λ + ω 2 en ωt con ω = ω 2 λ2 (27) Héctor Hernández / Lui Núñez 6 Univeridd de Lo Ande, Mérid (28)

7 Semn 7 - Cle 2 y por el teorem de convolución x 2 (t) = y por lo tnto l olución generl erá ω e λ(t τ) en ω (t τ) f (t) dτ (29) x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω en ωt + ω e λ(t τ) en ω (t τ) f (t) dτ (3) Héctor Hernández / Lui Núñez 7 Univeridd de Lo Ande, Mérid

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