Transformadas de Laplace

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Transformadas de Laplace"

Transcripción

1 Semn 7 - Cle 2. Definicione pr Comenzr Trnformd de Lplce En generl vmo definir un trnformción integrl, F (), de un función, f(t) como F () = b K (, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (, t) e un función conocid de y t, denomind el núcleo de l trnformción. Si y b on finito l trnformción e dirá finit, de lo contrrio infinit. Dependiendo de l elección del núcleo y lo limite tendremo ditint trnformcione integrle. En Fíic l má comune on: Nombre F () = T {f(t)} f(t) = T {F ()} Lplce F () = e t f(t)dt f(t) = γ+i 2πi γ i et F ()d Fourier de eno y coeno F () = en(t) co(t) f(t)dt f(t) = 2 π en(t) co(t) F ()d Fourier complej F () = e i t f(t)dt f(t) = 2 π e i t F ()d Hnkel F () = Mellin F () = tj n (t)f(t)dt f(t) = t f(t)dt f(t) = 2πi J n (t)f ()d γ+i γ i t F ()d L ide detrá de l utilidd de l trnformcione integrle puede reumire en el iguiente equem EDO pr f(t) olución direct difícil e encuentr f(t) trnformción direct F () = T {f(t)} trnformción inver f(t) = T {F ()} relción pr F () eventulmente má fácil olución pr F () má fácil e encuentr F () Héctor Hernández / Lui Núñez Univeridd de Lo Ande, Mérid

2 Semn 7 - Cle 2 2. Trnformd de Lplce En nuetro co ilutrremo el uo de trnformcione integrle con l trnformd de Lplce, que denotremo de mner imbólic como F () = L {f(t)}.l iguiente tbl reume l trnformcione de lgun funcione. f(t) = L {F ()} e t e t en (t) co (t) t n n > t p p > en ht coh t en (bt) co (bt) t n e t n ℵ F () = L {f(t)}, >, > 2 + 2, > 2 + 2, > n! n+, > Γ (p + ) p+, > 2 2, 2 2, ( ) 2 + b 2 ( ) 2 + b 2 > > n! ( ) n+, > > Héctor Hernández / Lui Núñez 2 Univeridd de Lo Ande, Mérid

3 Semn 7 - Cle 2 f(t) = L {F ()} t < c u c (t) t c c > F () = L {f(t)} e c t > u c (t) f (t c) e c t F () e c t f (t) F ( c) f (c t) c F ( c), c > f (t τ) g (τ) dτ F () G () 3. Ejemplo Sencillo δ (t c) e c f (n) (t) n F () n f () f (n ) () ( t) n f (t) F (n) () Como un ejemplo de lo nterior, encontrremo l olución l iguiente ecucione diferencile. Ecución diferencil inhomogéne, continu, con vlore inicile y() = y + y = en 2t con y () = (2) L { y + y } = L {en 2t} 2 Y () y () y () + Y () = Y () = ( 2 + ) ( 2 + 4) = + b c + d = medinte l trnformd inver en cd término { L 5 } 3 = en t { L 2 } 3 = en 2t (3) (4) y (t) = 5 3 en t en 2t (5) 3 Héctor Hernández / Lui Núñez 3 Univeridd de Lo Ande, Mérid

4 Semn 7 - Cle 2 2. Ecución diferencil, con vlore inicile, inhomogéne un función eclón: π t 2π y() = y + 4y = h (t) = con t π t 2π y () = (6) y + y = h (t) = u π (t) u 2π (t) L { y + 4y } = L {u π (t) u 2π (t)} (7) ( ) Y () y () y () = e π Y () = e π ( 2 + 4) e 2π ( 2 + 4) e 2π medinte l trnformd inver { } L 2 = co 2t + 4 () { } { } e L π ( 2 = u π (t) g (t π) con g (τ) = L + 4) ( 2 + 4) () por lo tnto { } { ( e L π ( 2 = u π (t) L + 4) 4 )} [ ] 2 = u π (t) ( co 2 (t π)) (8) (9) (2) del mimo modo L { e 2π ( 2 + 4) } [ ] = u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) 4 (3) recordemo que hemo definido l función eclón como t < c u c (t) c > (4) t c y finlmente l olución erá y (t) = co 2t + u π (t) [ ] [ ] ( co 2 (t π)) u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) 4 4 (5) 3. Ecución diferencil, con vlore inicile, inhomogéne un función impulo (delt de Dirc) y() = y + 2y + 2y = δ (t π) con (6) y () = Héctor Hernández / Lui Núñez 4 Univeridd de Lo Ande, Mérid

5 Semn 7 - Cle 2 donde l función (ditribución) delt de Dirc viene definid por con l útil propiedd de δ (t t ) = con t t y dτ δ (τ τ ) = (7) dτ δ (τ τ ) f (τ) = f (τ ) (8) En un de l tbl nteriore hemo motrdo l trnformd de Lplce de l función (ditribución) Delt de Dirc: L {δ (t c)} = e c por lo tnto y + 2y + 2y = δ (t π) L { y + 2y + 2y } = L {δ (t π)} (9) ( ) Y () = e π Y () = por lo tnto e π ( ) = e π ( + ) 2 + { } y (t) = L e π [ ] ( + ) 2 = u π (t) e (t π) en (t π) + (2) (2) o tmbién t < π y (t) = e (t π) en (t π) t π (22) 4. Integrl de Convolución Algun vece e poible identificr l trnformd de Lplce H() como el producto de do trnformd de Lplce, F () y G() l cule on l trnformd de funcione conocide f(t) y g(t). Pero eo e lgun vece: en generl l trnformd del producto de funcione no e el producto de trnformd. E vece etán contenid en el llmdo Teorem de Convolución, egún el cul e etblece un epecie de producto generlizdo de funcione f y g. Teorem de Convolución Sen F () = L {f(t)} y G() = L {g(t)} que exiten en el intervlo > > Entonce donde h(t) = L (F ()G()) = H() = F ()G() = L {h(t)} f(t τ) g(τ) dτ = pr > f(τ) g(t τ) dτ = (f g) (t) y h(t) e indentific como l convolución de f y g. L integrle rrib expuet e conocen con integrle de convolución y hemo denotdo h(t) = (f g) (t) pr initir que e trt de un Héctor Hernández / Lui Núñez 5 Univeridd de Lo Ande, Mérid

6 Semn 7 - Cle 2 producto generlizdo de funcione f y g. que comprte, con el producto ordinrio de funcione, l iguiente propiedde f g = g f (conmuttividd) f [g + k] = f g + f k f [g k] = [f g] k f = f = in embrgo f f tl y como e puede precir de (f ) (t) = f(t τ) dτ = en el co prticulr de que f (t) = co (t) tendremo (co ) (t) = (ditributividd) (ocitividd) f(t τ) dτ f (t) co(t τ) dτ = en (t τ) τ=t τ= = en () en (t) = en (t) y por l mim rzón, no hy grntí que (f f) (t) > f El ejemplo má emblemático de l plicción del Teorem de Convolución e el etudio del ocildor mortigudo y forzdo, el cul viene decrito por l ecución diferencil ẍ + 2λ ẋ + ω 2 x = f(t) l trnformd de Lplce no llev con ẋ = dx dt x = x() ẋ = dx (23) t= 2 X() x ẋ + 2λ X() 2λ x + ω 2 X() = F () (24) dt reolviendo el primer umndo qued como X() = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 F () λ + ω 2 (25) X () = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 = x ( + λ) ( + λ) 2 + ( ω 2 λ2) + ẋ + x λ ( + λ) 2 + ( (26) ω 2 λ2) y por lo tnto devolviendo el cmbio x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω F () X 2 () = 2 + 2λ + ω 2 en ωt con ω = ω 2 λ2 (27) Héctor Hernández / Lui Núñez 6 Univeridd de Lo Ande, Mérid (28)

7 Semn 7 - Cle 2 y por el teorem de convolución x 2 (t) = y por lo tnto l olución generl erá ω e λ(t τ) en ω (t τ) f (t) dτ (29) x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω en ωt + ω e λ(t τ) en ω (t τ) f (t) dτ (3) Héctor Hernández / Lui Núñez 7 Univeridd de Lo Ande, Mérid

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace Semana 7 - Clase 9 9// Tema 3: E D O de orden > Algunas definiciones previas Transformadas de Laplace En general vamos a definir una transformación integral, F (s), de una función, f(t) como F (s) = b

Más detalles

Apuntes Transformada de Laplace (MAT023)

Apuntes Transformada de Laplace (MAT023) Apunte Trnformd de Lplce (MAT3 Segundo emetre de Verónic Gruenberg Stern Vivin Arnd Núñez. Introducción L trnformd de Lplce e un ejemplo de un operdor. Ete oper obre un función, produciendo otr función.

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES SISTEMA. Posee ESTRUCTURA. Figura 1.1: Definición de Sistema

ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES SISTEMA. Posee ESTRUCTURA. Figura 1.1: Definición de Sistema ANÁLISIS DE SISTEAS LINEALES 1. odeldo de item SISTEA Reliz FUNCIÓN Poee ESTRUCTURA Preent COPORTAIENTO Figur 1.1: Definición de Sitem Sitem: Un item reliz un función, poee un etructur y preent un comportmiento.

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Cpítulo Trnformd de Lplce L trnformd de Lplce (T.L) e un tipo epecil de trnformción integrl. En generl, un trnformd integrl e un ocición entre l función Y () = y(t)k(, t)dt (.) I con l función y(t) pr

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena)

= = = 13.7 = 12.8 = = (Regla de la cadena) i f(z), l derivd dey de f(x) con repecto e define como 2. h donde AZ. derivd tmbién e deign por (x). El proceo eguido pr hllr e llm diferencición. AZ En iguiente on funcione de b, c, contnte [con retriccione

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario

3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario .5. Trformd de Lplce de l función eclón unirio 0.5. Trformd de Lplce de l función eclón unirio Función Eclón Unirio Tmbién llmd función lo unidd de Heviide, y con frecuenci e uiliz en pliccione que rn

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics,

Más detalles

f (t) dt Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =, entonces se define f (t) dt = lím

f (t) dt Veamos primero el caso en que uno de los límites es infinito: si b =, entonces se define f (t) dt = lím Cpítulo 2 Trnformd de Lplce 2.. Integrle impropi Vmo repr l co prendid en Análii I obre integrle impropi. Por hor penremo en un función de vrible e imgen rel, e decir, f : [, b] R. Cundo e define f (t

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS. 1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo: 1 x.

INTEGRALES IMPROPIAS. 1. Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado (Integral impropia de 1ª especie). Ejemplo: 1 x. INTEGRALES IMPROPIAS Hst hor hemos estudido l integrl de Riemnn de un función f cotd y definid en un intervlo cerrdo y cotdo [, ], con., Ahor generlizmos este concepto.. Integrl de un función cotd, definid

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d 1 + kx = E (1 m dx L solución de

Más detalles

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Tema 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. Tem 4.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Amplición de Mtemátic. Ingenierí Técnic Indutril. Epecilidd en Electrónic Indutril. Índice Generl Trnformd de Lplce 2 Trformd de lgun funcione elementle 3 3 Propiedde

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín n o 4

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín n o 4 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Indutrial. Epecialidad en Electrónica Indutrial Boletín n o. Hallar la tranformada de Laplace de cada una de la iguiente funcione: a) n Ch n + Sh n) b) en c)

Más detalles

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Fundmentos de Químic Teóric SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d + kx

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

CAPÍTULO. La derivada

CAPÍTULO. La derivada CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente,

Más detalles

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

MA26A, Auxiliar 5, 26 de Abril, 2007

MA26A, Auxiliar 5, 26 de Abril, 2007 MA26A, Auxiliar 5, 26 de Abril, 27 Profeor Cátedra: Raúl Manaevich Profeor Auxiliar : Alfredo Núnez. Tranformada de Laplace... Sea f : [, ) R función continua a trozo y de orden exponencial. Demuetre que

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Grado en Matemáticas Curso 203-204 . Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Ecuaciones de primer orden. Encontrar la solución de los siguientes

Más detalles

es pa c i o s c o n p r o d U c t o

es pa c i o s c o n p r o d U c t o Unidd 5 es p c i o s c o n p r o d U c t o i n t e r n o (n o r M, d i s t n c i ) Objetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Aplicrá los conceptos de longitud y dirección de vectores en R. Aplicrá el concepto

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de

Más detalles

6. Variable aleatoria continua

6. Variable aleatoria continua 6. Vrile letori continu Un diálogo entre C3PO y Hn Solo, en El Imperio Contrtc, cundo el Hlcón Milenrio se dispone entrr en un cmpo de steroides: - C3PO: Señor, l proilidd de sorevivir l pso por el cmpo

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N.

Cálculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceño N. Cálculo Diferencil e Integrl - Longitud de un curv. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Longitud de un curv. Áre de un superficie de revolución. Ejercicios Código : MAT-CDI. resueltos Ejemplo :

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

Introducción a la geometría diferencial

Introducción a la geometría diferencial Cpítulo 6 Introducción l geometrí diferencil 6.1. Concepto de curv. Expreione nlític L curv en el epcio repreentn intuitivmente l tryectori de un punto en movimiento. Vmo definir, dede un punto de vit

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior... 1

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior... 1 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior L A Núñez Centro de Física Fundamental, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5, Venezuela y Centro Nacional de Cálculo

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FISICA I/11. PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL Y GRAVITATORIA.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A LABORATORIO DE FISICA I/11. PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL Y GRAVITATORIA. Págin 1 de 5 NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL UNIVERSIDAD DE LOS ANDES T R U J I L L O - V E N E Z U E L A ÁREA DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA LABORATORIO DE FISICA I/11 PRACTICA Nro. 8 MASA INERCIAL

Más detalles

Una aplicación del Método Monte Carlo a opciones nancieras de tipo europeo. Mónica Aguirre Mastranzo

Una aplicación del Método Monte Carlo a opciones nancieras de tipo europeo. Mónica Aguirre Mastranzo Un plicción del Método Monte Crlo opciones nnciers de tipo europeo Mónic Aguirre Mstrnzo de junio de Índice generl Índice generl 3. Introducción 5. Preliminres 7.. Conceptos Básicos de Procesos Estocásticos..........

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

Valores especiales de la función zeta

Valores especiales de la función zeta Valore epeciale de la función zeta Alexey Behenov cadadr@gmail.com de Marzo de 7 La función zeta de Riemann Definición. La función zeta de Riemann etá definida por la erie infinita ζ := n n = + + 3 + 4

Más detalles

AUTOMATAS FINITOS CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2009

AUTOMATAS FINITOS CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 2009 AUTOMATAS FINITOS Un utómt finito es un modelo mtemático de un máquin que cept cdens de un lenguje definido sore un lfeto A. Consiste en un conjunto finito de estdos y un conjunto de trnsiciones entre

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente. 1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente

Más detalles

Transformadas integrales

Transformadas integrales Cpítulo 3 Trnformd integrle Objetivo Conocer l propiedde de l trnformd de Lplce y de Fourier. Aplicr l trnformd de Lplce y de Fourier l reolución de ecucione diferencile linele. 3.1. Trnformd integrle

Más detalles

PROBLEMAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS. Asignatura : Conversión Electromecánica de la Energía. Fecha : Agosto Autor : Ricardo Leal Reyes.

PROBLEMAS DE GENERADORES SINCRÓNICOS. Asignatura : Conversión Electromecánica de la Energía. Fecha : Agosto Autor : Ricardo Leal Reyes. ROBLMA D GNRADOR NCRÓNCO. Aigntur : Converión lectromecánic de l nergí. ech : Agoto200. Autor : Ricrdo Lel Reye. 1. Un generdor incrónico de 6 polo conectdo en etrell, de 480 (), 60 (Hz), 1 (Ω/fe), 60

Más detalles