5. SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (II)

Transcripción

1 5. SISTEMS LINELES DE SEGUNDO ORDEN II 5. INTRODUIÓN DOMINIO LPLE la ecuación difeencial que modela matemáticamente a un itema lineal de egundo oden con una vaiable de entada, " X t", y una vaiable alida, " Y t" e le puede aplica la tanfomada de Laplace y epeala como una función de tanfeencia, G, aí: Y G X ζ 5. La tanfomada de Laplace 5. pemite enconta la epueta del itema paa un deteminado tipo de cambio en u vaiable de entada, mediante un pocedimiento algebaico que equiee de la epanión de la facción en faccione paciale, la evaluación de lo coeficiente paa cada una de la faccione y finalmente la inveión de la tanfomada de Laplace. El ignificado de lo paámeto dinámico e el mimo etudiado en el dominio del tiempo El denominado de la función de tanfeencia coeponde a la denominada Ecuación caacteítica o Ecuación auilia cuya aíce deteminan el tipo de epueta del itema ante un deteminado cambio en u vaiable de entada. El cálculo de eta aíce e ealiza mediante la olución de la ecuación cuadática 4.4. El facto de amotiguamiento, ζ, e el paámeto fíico del itema que detemina la natualeza de la aíce de la ecuación caacteítica y, con ello, el tipo de epueta del itema 5. RESPUEST PSO DE UN SISTEM DE SEGUNDO ORDEN l conidea que en la función de tanfeencia 5., la vaiable de entada e petubada con un cambio pao contante, e deci que X, entonce e puede ecibi que: Y ζ 5.

2 80 l inveti egún Laplace la tanfomada 5. paa cada uno de lo cao e encuentan la iguiente olucione Repueta Sobeamotiguada Paa una epueta obe amotiguada el denominado de la función de tanfeencia 5. e puede ecibi de la iguiente foma, teniendo en cuenta que la ecuación caacteítica tiene aíce eale negativa y difeente: Y 5.3 Siendo la elación ente la aíce y lo atao dinámico la mima obtenida en el dominio del tiempo. l epandi en faccione paciale la tanfomada 6.3, el miembo deecho e epea aí: Y 5.4 Lo numeadoe contante de la faccione paciale e deteminan mediante lo iguiente límite: 0

3 8 l utitui la epeione paa, y en la tanfomada 5.4 y hace la coepondiente inveión eulta la epueta dada po la ecuación 5.6 / / t t e e t Y 4.6 Repueta motiguada ítica Paa ete tipo de epueta, la do aíce on iguale y negativa y, po lo tanto, lo atao dinámico on iguale. En ete cao la tanfomada de Laplace 5.3 coeponde a la iguiente epeión: Y 5.5 Siendo, el inveo de la contante de tiempo La epanión en faccione paciale de 5.5 e la iguiente: Y 5.6 Y la evaluacione de lo numeadoe coeficiente de 5.6 on: 0 d d

4 8 l utitui la epeione paa, y en la tanfomada 5.6 y hace la coepondiente inveión eulta la epueta dada po la ecuación 4. / t e t t Y 4. Repueta Subamotiguada Paa ete tipo de epueta, la do aíce on compleja con pate eal negativa. La tanfomada de Laplace paa la epueta del itema e puede ecibi en la iguiente foma: Y 5.7 Siendo,, calculada de acuedo a la ecuacione 4.4 La epanión en faccione paciale de 5.7 e la iguiente: Y 5.8 Y la evaluacione de lo numeadoe coeficiente de 5.8 e: 0

5 83 l utitui la epeione paa, y en la tanfomada 5.8 y hace la coepondiente inveión eulta la epueta dada po la ecuación 4.3, luego de un deaollo de tanfomación de eponenciale complejo en funcione tigonomética. Y t ζ e ζ / t Sen ψt φ 4.3 El cao de la epueta ocilatoia e deja paa u deaollo po pate del etudiante 5.3 RESPUEST RMP DE UN SISTEM DE SEGUNDO ORDEN l conidea que en la función de tanfeencia 5., la vaiable de entada e petubada con un cambio ampa, e deci que X, entonce e puede ecibi que: Y ζ 5.9 l inveti egún Laplace la tanfomada 5.9 paa cada uno de lo cao e encuentan la iguiente olucione Repueta Sobeamotiguada Paa una epueta obeamotiguada el denominado de la función de tanfeencia 5.9 e puede ecibi de la iguiente foma, teniendo en cuenta que la ecuación caacteítica tiene aíce eale negativa y difeente: Y 5.0

6 84 l epandi en faccione paciale la tanfomada 5.0, el miembo deecho e epea aí: Y D 5. Lo numeadoe contante de la faccione paciale e deteminan mediante lo iguiente límite: d 0 d 0 D Sutituyendo la epeione paa,, y D en la epanión 5. e invitiendo egún Laplace e demueta que la epueta ampa de un itema lineal de egundo oden obeamotiguado e de la foma 4.0 t / t / Y t e e t 4.0 Repueta motiguada ítica Paa ete tipo de epueta, la do aíce on iguale y negativa y, po lo tanto, lo atao dinámico on iguale. En ete cao la tanfomada de Laplace 5.9 coeponde a la iguiente:

7 85 Y 5. l epandi en faccione paciale la tanfomada 5., el miembo deecho e epea aí: Y D 5.3 Lo numeadoe contante de la faccione paciale de 5.3 e deteminan aí: d d 0 0 d d D Sutituyendo la epeione paa,, y D en la epanión 5.3 e invitiendo egún Laplace e demueta que la epueta ampa de un itema lineal de egundo oden amotiguado cítico e de la foma 4.4 Y t t / [ t e t ] 4.4

8 86 Repueta Subamotiguada Paa ete tipo de epueta, la do aíce on compleja con pate eal negativa. La tanfomada de Laplace paa la epueta del itema e puede ecibi en la iguiente foma: Y 5.4 Siendo,, calculada de acuedo con la ecuacione 4.4 La epanión en faccione paciale de 5.4 e la iguiente: D Y 5.5 Y la evaluacione de lo numeadoe coeficiente de 5.5 on: 0 d d 0 D l utitui la epeione paa, y en la tanfomada 5.5 y hace la coepondiente inveión eulta la epueta dada po la ecuación 4.7, luego de

9 87 un deaollo de tanfomación de eponenciale complejo en funcione tigonomética. Y t ζ e ζ / t Sen ψt φ t ζ 4.7 El cao de la epueta ocilatoia e deja paa u deaollo po pate del etudiante. 5.4 RESPUEST SENO DE UN SISTEM DE SEGUNDO ORDEN l conidea que en la función de tanfeencia 5., la vaiable de entada e w petubada con un cambio eno, e deci que X, entonce e puede w ecibi que: w Y w ζ 5.6 Repueta Sobeamotiguada Paa una epueta obeamotiguada el denominado de la función de tanfeencia 5.6 e puede ecibi, teniendo en cuenta que la ecuación caacteítica tiene aíce eale negativa y difeente, de la iguiente foma: Y w jw jw 5.7 l epandi en faccione paciale la tanfomada 5.7, el miembo deecho e epea aí: D Y 5.8 jw jw

10 88 La deteminación de la epeione paa,, y D en la epanión 5.8 y la poteio inveión egún Laplace, pemite demota que la epueta eno de un itema lineal de egundo oden obeamotiguado e de la foma 4.3 Y t e t / t / e Sen wt θ w w 4.3 Repueta motiguada ítica Paa ete cao, la epanión en faccione paciale de la tanfomada de Laplace 5.6 e de la foma Y D 5.9 jw jw La evaluación de,, y D y la inveión de la tanfomada de Laplace 5.9 pemiten la demotación de que la epueta eno amotiguada cítica de un itema lineal de egundo oden e de la foma de la ecuación 4.34 Y t w t / t e Sen wt θ 4.34 Repueta Subamotiguada Paa ete cao, la tanfomada de Laplace de la ecuación difeencial lineal de egundo oden e epande en la mima foma que 5.8, iendo,, aíce compleja conjugada. La evaluación de,, y D y la inveión de la tanfomada de Laplace demuetan que la epueta ubamotiguada de un itema lineal de egundo oden e de la foma Y t De ζ / t Sen ψt φ Sen wt θ 4.36 w ζw

11 VLVUL DE ONTROL: Modelo de egundo oden Una válvula de contol e un ejemplo de aplicación del modelo Maa Reote motiguado Vicoo. Un bloque integado po un conjunto de elemento conectado veticalmente diafagma, vátago y plomada e mueve po la acción de una fueza aplicada obe el pimeo de ello. Un eote odea al vátago, otiene al diafagma y decana obe una bae. El etemo infeio del vátago e contuye con una foma deteminada y e deplaza, de acuedo a la magnitud de la fueza ejecida y povoca una vaiación de la abetua que e encuenta en el aiento del cuepo de la válvula a tavé del cual e poduce el pao de fluido. La diección poitiva paa la fueza y el deplazamiento del bloque e indican en la Figua 5.. Figua 5. Válvula de contol neumática Modelo matemático La poición del vátago e detemina po el balance de toda la fueza que actúan obe él. Eta fueza on: La ejecida po el aie compimido obe el diafagma, p ; la peión p e la eñal que abe o ciea la válvula y e el áea del diafagma. Eta fueza actúa hacia abajo. La ejecida po el eote enamblado al vátago y diafagma, Yt. Siendo la contante de elaticidad de Hooke del eote. Eta fueza actúa hacia aiba.

12 90 La ficción ejecida hacia aiba y que eulta del contacto ente el etemo dy t del vátago y el empaque obe el aiento de la válvula,. Siendo dt e el coeficiente de ficción ente el vátago y el empaque. plicando la egunda ley de Newton obe la dinámica de lo cuepo, e tiene que: M g c d Y t dt dy t Y t p t 5.0 dt lbm pie Siendo g c 3. lbf M Maa del bloque, lbm oeficiente de amotiguamiento vicoo, lbf / pie / ontante de Hooke del eote, lbf / pie Áea del diafagma, pie pt Peión ejecida obe el diafagma, lbf / pie Una tanpoición de témino en la ecuación 5.0, pemite epeala de tal manea que e deduzcan la epeione paa calcula lo paámeto dinámico del itema de acuedo a la ecuación geneal de un itema de egundo oden. l aegla la ecuación 5.0 en la foma geneal de la ecuación 4.: M g c d Y t dy t Y t p t 5. dt dt Se obtienen la iguiente ecuacione paa calcula la contante de tiempo, el facto de amotiguamiento y la ganancia del itema maa eote amotiguado vicoo, conociendo u paámeto fíico. ontante de tiempo, egundo: M v 5. g c

13 9 oeficiente de amotiguamiento, adimenional: Ganancia en etado etacionaia, pie / lbf: g c ζ v 5.3 4M v 5.4 En el dominio de Laplace la dinámica de una válvula de contol e epecifica, po lo tanto, con lo paámeto caacteítico de un itema de egundo oden y una función de tanfeencia de la foma Y P G v v ζ v v 5.5 Se entiende con la ecuación 5.5 que cuando e poduce un cambio en la peión obe el diafagma de la válvula ocaionado po una acción del contolado, la válvula epeimenta un delizamiento en el vátago, que e taduce en un cambio en la abetua que pemite el pao y la manipulación del flujo de fluido con el cual e contola la vaiable de poceo deeada Simplificación de la dinámica de una válvula de contol La dinámica de una válvula neumática, uualmente, e apoima a un itema de pime oden poque genealmente M <<< gc, depeciándoe el valo del coeficiente del pime témino de la ecuación 6. y, con ello, u anulación. on eta conideación el coeficiente del egundo témino en 5. e educe a la epeión /, con unidade de tiempo egundo, con el ignificado de un atao dinámico " v " paa el itema de pime oden, e deci, con una función de tanfeencia de la foma Y P G v v 5.6 Si, aún ma, la epecificacione de y on tale que u cociente e conideablemente pequeño, e puede depecia el témino pimea deivada y la dinámica de la válvula de contol coeponde, entonce, a la de un itema de

14 9 ganancia pua, apoimación que e algo fecuente. En ete cao, e epecifica olo la ganancia y u función de tanfeencia e de la foma Y P G v MTL: SOLUION DEL MODELO - DOMINIO LPLE La epueta de un itema lineal de egundo oden e imula, en el dominio de Laplace, con un achivo contuido de nombe lollin.m. En ete cao no e equiee de la contucción de achivo adicionale paa la definición de la ecuacione difeenciale paa cada una de la epueta. Su etuctua e imila a la contuida en el dominio del tiempo. Solución del modelo paa la válvula de contol Se deja como ejecicio paa el etudiante que modifique el pogama lollin.m paa aplicalo a la olución del modelo planteado paa la válvula de contol, de tal manea que el uuaio intoduzca lo paámeto fíico caacteítico de la válvula y el pogama calcule u paámeto dinámico Se popone que e inicie la imulación fijando un contante de elaticidad de lbf/pie y un bloque de maa 3. lbm y e modifique el valo del coeficiente de amotiguamiento vicoo de tal manea que el coeficiente de amotiguamiento alcance valoe que hagan mota epueta obeamotiguada, amotiguada citica, ubamotiguada y ocilatoia paa cambio pao, ampa o eno en la fueza aplicada al bloque. La condicione iniciale paa el deplazamiento del bloque y la fueza aplicada al itema on de un valo de ceo 5.7 MTL: PROGRMS ODIFIDOS chivo lollin.m function f lollint,y clc global R tau igma Rango Inicio p z X atao Fecuencia Fae Sobepao Decaimiento w dip''

15 93 dip' ' dip' SIMULION DE UN SISTEM LINEL DE SEGUNDO ORDEN'; dip' TIPO DE RESPUEST DEL SISTEM' dip' ' dip'' dip' ' R input'eciba la epueta a imula con númeo aí: PSO, RMP, 3 SENO '; dip' ' dip'' dip' ' dip' PRMETROS DINMIOS DEL SISTEM' dip' ' dip'' dip' ' input'ganancia en etado etacionaio '; tau input'ontante de tiempo '; igma input'facto de amotiguamiento '; dip' ' dip'' dip' ' dip' RIES DE L EUION RTERISTI' dip' ' dip'' dip' ' p [tau^ *igma*tau ]; z ootp dip' ' dip'' dip' ' witch R cae dip'' dip' ' dip' MIO PSO EN L VRILE DE ENTRD' dip' ' dip'' dip' ' X input'intoduzca el valo del cambio pao en la vaiable de entada '; dip' '

16 94 dip'' h tf[*x], p; dip' ' dip' RESULTDOS' dip' ' dip'' dip' ' dip'repueta Ultima' *X if igma > dip'repueta Sobeamotiguada Etable' dip'tao dinámico' atao -./z eleif igma dip'repueta motiguada ítica' dip'tao dinámico' atao -./z eleif igma < &igma > 0 dip'repueta Subamotiguada Etable' Fecuencia qt-igma^/tau Fae atanqt-igma^/igma Sobepao 00*ep-pi*igma/qt-igma^ Decaimiento Sobepao/00^ eleif igma 0 dip'repueta Ocilatoia Sotenida' ele dip'repueta Inetable' end teph title'repueta Pao de un Sitema Lineal de Segundo Oden'; label'tiempo'; ylabel'repueta' cae dip'' dip' ' dip' MIO RMP EN L VRILE DE ENTRD' dip' ' dip'' dip' ' input'intoduzca el valo de la pendiente de la ampa de entada '; dip' ' dip''

17 95 h tf[*], [tau^ *igma*tau 0]; dip' ' dip' RESULTDOS' dip' ' dip'' dip' ' if igma > dip'repueta Sobeamotiguada' dip'tao dinámico' atao -./z eleif igma dip'repueta motiguada ítica' dip'tao dinámico' atao -./z eleif igma < &igma > 0 dip'repueta Subamotiguada' Fecuencia qt-igma^/tau Fae atan*igma*qt-igma^/*igma^- eleif igma 0 dip'repueta Ocilatoia Sotenida' ele dip'repueta Inetable' end [y,t] teph; plott,*t,t,y/,'' title'repueta Rampa de un Sitema Lineal de Segundo Oden'; label'tiempo'; ylabel'repueta' cae 3 dip'' dip' ' dip' MIO SENO EN L VRILE DE ENTRD' dip' ' dip'' dip' ' input'mplitud de la entada eno '; w input'fecuencia de la entada eno '; dip' ' dip'' den [ 0 w^]; den convden,p; h tf[**w], den ;

18 96 dip'' dip' ' dip' RESULTDOS' dip' ' dip'' dip' ' if igma > dip'repueta Sobeamotiguada' dip'tao dinámico' atao -./z Fae atan-w*atao atan-w*atao mplitud */qtw*atao^*qtw*atao^ eleif igma dip'repueta motiguada ítica' dip'tao dinámico' atao -./z eleif igma < &igma > 0 dip'repueta Subamotiguada' eleif igma 0 dip'repueta Ocilatoia Sotenida' ele dip'repueta Inetable' end [y,t] impuleh; plott,*inw*t,t,y,'' title'repueta Seno de un Sitema Lineal de Segundo Oden'; label'tiempo'; ylabel'repueta' end