SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS

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1 R.F.- - SISTES DE ECUCIONES INEES: TEORE DE ROUCHÉ- FROBENIUS Recordeos que u siste de ecucioes co icógits es u siste de l for: Dode: ij so úeros reles se ll coeficietes del siste,,,, so úeros reles recie el ore de térios idepedietes,,,, so ls icógits del siste. Si todos los térios idepedietes so ulos, el siste se ll hoogéeo. tri se le ll tri de los coeficietes, l tri que se otiee de l terior ñdiedo los térios idepedietes: se deoi tri plid. NOTCIÓN TRICI DE UN SISTE: Si desigos por X l tri colu ford por ls icógits por B l tri colu de los térios idepedietes el siste se puede escriir sí: X B NOTCIÓN VECTORI: Desigdo por C,C,, C ls colus de l tri, el siste puede escriirse tié sí: C C C B Est relció epres el vector colu B coo coició liel de ls colus de l tri de los coeficietes del siste. Si tl coició liel eiste, los coeficietes de ls colus so precisete l solució del siste. Ejeplos:.- Escriir e for tricil el siguiete siste: for tricil es: Pg.

2 R.F Escriir e for vectoril el siste terior. for vectoril es: TEORE DE ROUCHE FROBENIUS.- U siste de ecucioes lieles es coptile si solo si el rgo de l tri de los coeficietes es igul l rgo de l tri plid. Deostrció: El siste puede escriirse e for vectoril C C C B ) Si el siste es coptile, eiste l eos u solució (s,s,, s ) tl que. C s C s C s B, por lo tto l tri colu de los térios idepedietes es coició liel de ls colus de l tri de los coeficietes rgo rgo ) Si rgo rgo, etoces l colu de los térios idepedietes es coició liel de ls colus de l tri por tto eiste úeros s,s,, s tles que. B C s C s C s. Por lo tto (s,s,, s ) es u solució del siste el siste es coptile. Sistes de ecucioes co icógits Deterido :si r Sirgo rgo r,siste coptile I det er i do :si r < Si rgo rgo, siste Icoptile Sistes hoogéeos: U siste de ecucioes lieles se dice hoogéeo si los térios idepedietes so todos ulos. Por lo tto todo siste hoogéeo es siepre coptile. (Pues rgo rgo ) ) Si rgo º de icógits Siste coptile deterido, solo tiee l solució (,,, ), lld solució trivil. ) Si rgo < º de icógits Siste coptile ideterido. SISTES DE CRER Defiició: U siste de ecucioes lieles es u siste de Crer si el úero de ecucioes es igul l de icógits el deterite de l tri de los coeficietes del siste es distito de cero. Ejeplo: El siste es de Crer pues el úero de ecucioes es igul l de icógits. Proposició.- Todo siste de Crer es coptile deterido (tiee solució úic). Deostrció: Cosidereos u siste de Crer de ecucioes co icógits:... su epresió tricil X B. Coo el siste es de Crer eiste - por lo tto: - X - B X - B de dode oteeos: X B revidete Pg.

3 R.F i es igul l deterite de l tri oteid de l cir l colu i-ési por l colu de los térios idepedietes, dividido por el deterite de l tri de los coeficietes del siste. Ejeplos:.- Resuelve, plicdo l regl de Crer, el siste Es u siste de Crer pues det() solució es:,.- Resuelve, plicdo l regl de Crer, el siste El siste es de Crer l ser. plicdo l regl de Crer, l solució es:,, ÉTODO DE TRIZ INVERS Si e u siste de ecucioes lieles X B, dode es u tri cudrd se cuple que eiste - por lo tto: - X - B X - B Pg.

4 R.F.- - Ejeplo: Epres e for tricil resuelve utilido l tri ivers: Solució: Epresió tricil:... { X B eiste. Seos que ( ) dj t.( )..,,,,,,,, dj () ( ) ( ) t dj Teeos: X B X B X B Por lo tto:,, EJERCICIOS: Ejercicio.- Discutir el siguiete siste de ecucioes lieles segú los vlores del práetro resolverlo:, Si rgo úero de icógits siste coptile deterido; solo dite l solució trivil:,,. Si ( rgo < ), rgo < º de icógits el siste es coptile ideterido. Solució:, t t t Ejercicio.- Estudir el siguiete siste segú los vlores de resolverlo siepre que se posile ) ( Si rgo rgo (º de icógits) el siste será coptile deterido. Veos que vlores de ul l deterite de, pr esos vlores o es posile que se deterido. Pg.

5 R.F.- - ) Si, rgo rgo úero de icógits, el siste es coptile deterido: ) (, ) (, ) ( ) Si ( rgo < ) rgo,, * rgo rgo rgo Siste Icoptile. c) Si ( rgo < ) rgo, * rgo Rgo rgo < úero de icógits el siste es coptile ideterido:. Solució: t, t, t Ejercicio.- Discutir segú los vlores de el siste: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Hllreos los vlores de que ul det () ) ( ) Si rgo rgo úero de icógits siste coptile deterido. Pg.

6 R.F.- - ) Si, ( rgo < ),, rgo *, rgo. Por lo tto: rgo rgo siste icoptile. c) Si, ( rgo < ),, rgo *, rgo rgo rgo < º de icógits siste coptile ideterido. d) Si, ( rgo < ), rgo *, rgo rgo rgo siste icoptile. Ejercicio.- Estudir segú los vlores del práetro el siste. ) (,. Vos clculr el rgo de : El rgo de es distito de cero pues. eores de orde dos que coteg :,. El rgo de será si rgo si. ) Si rgo rgo < úero de icógits el siste es coptile ideterido. ) Si rgo, rgo rgo el siste es icoptile. Pg.

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