Matrices y determinantes

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1 Matrices y determinantes 1

2 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2

3 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna Matriz nula Matriz vertical Matriz horizontal Matriz negativa de A u opuesta de A Matriz cuadrada Diagonal principal Diagonal secundaria Qué tipo de matrices son las siguientes? 3

4 Matrices cuadradas Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal Matriz identidad Qué tipo de matrices son las siguientes? 4

5 Suma de matrices suma o resta de matrices (de las mismas dimensiones) es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando o restando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices. Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí Propiedades de la suma y resta Conmutativa: A + B = B + A Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A. 5

6 Ejemplo 1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices: Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior. Ejemplo 2 Calcula x, y, z en la suma: 6

7 Ejemplo 3 Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad: Multiplicación por un escalar Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el producto k A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un numero real). 7

8 Propiedades de la multiplicación por un escalar Distributiva respecto de la suma de matrices: k (A + B) = k A + k B Distributiva respecto de la suma de números: (k + d) A= k A + d A Asociativa: k (d A)=(k d) A Elemento neutro, el número 1: 1 A=A Ejemplos 8

9 Matriz transpuesta La transpuesta de una matriz A de m x n, es la matriz de n x m que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas y se denota por T A Propiedades Matriz simétrica: Matriz antisimétrica A = t A t A = A 9

10 Ejercicios Verificar que la matriz A es simétrica Verificar que la matriz B es antisimétrica Ejercicios 10

11 problemas Algebra lineal, Stanley I. Grossman, 5ª. Edición. Mc.GrawHill Problemas 1.5 (Pág. 56): I-VI Problemas 31, 39, 44 y 45 (Pág. 57). Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B 11

12 Multiplicación de matrices Una vez comprobado que el producto A B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces el producto A B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados 12

13 Matriz inversa Dada una matriz cuadrada de orden n, cualquiera, existe su inversa X, para el producto de matrices, tal que: A. X = Se dice que A es invertible si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y denotada por A y tal que A = Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. I n 1. A I n A 1. A = I n 13

14 Método Gauss-Jordan Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A 1. Se llama transformación elemental en una matriz a: T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. Hallar la inversa de: Ejemplo 1 14

15 Ejemplo 2 Calcular la inversa de Ejercicios Calcular la matriz inversa por el método Gauss-Jordan de las siguientes matrices 15

16 Determinante de una matriz 2x2 Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(a) o bien A, como el número: Hallar los siguientes determinantes: Ejemplo 16

17 Menor complementario Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de A,a ij, como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento a ij. Se representa por M ij. Adjunto de un elemento adjunto de un elemento a ij de A como el número: 17

18 Determinante de una matriz nxn Dada una matriz cuadrada A de tamaño n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos. 18

19 Ejercicios Hallar los determinantes de las siguientes matrices: Regla de Sarrus Existe otra forma de hallar un determinante 3x3 la cual es: 19

20 Propiedades de los determinantes Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. Si multiplicamos todos los elementos de una linea de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un numero, el determinante no cambia. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, Si A tiene matriz inversa, A 1, se verifica que: Relación entre la matriz inversa y sus determinates Una matriz cuadrada A tiene inversa A = 0. A 1 = ( Adj( A) ) A T 20

21 Hallar la inversa de Regla de Cramer Se aplica para resolver sistemas de ecuaciones nxn y su procedimiento es: Hallar la matriz ampliada (A X= b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. Calcular el determinante de A. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. 21

22 22 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer: = + = y x y x = + = y x y x = + + = + = + z y x z y x z y x

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