1'00. t'::l (a+;+c )x. + e) x , en virtud del teorema de DirÍchlet que CUESTIONES ELEMENTALES RESUELTAS. ax co, cos cx;,- ~~~[:n + b e) x

Transcripción

1 20. CUESTIONES ELEMENTALES RESUELTAS ) SOLUCIÓN. I) axsen x sen estas x 2 x3 2 sen + b - e) x sen - b + e) x + sen (a - b - e) x] -;;. f se y cm cuand x=o, es +b+c)x=o y para x---., tamb + e) x , en virtud del terema de DirÍchlet que '00 sen x dx=~ ;)). 2 t'::l (a+;+c )x / 2 que si a, b, e sn ax cs cs ex' - = -, cscx -=-b, X2 2 senex-= frmand el 8"ens, siend a> b + e es a - b > e; transsens y csens, btenems una suma ax c, cs cx;,- ~~~[:n + b e) x primer sumand btenems 8: (a+b+c)x d.. (8: (a+b+c)x d ( b ) x= ---: a+ +c x x (a+b+c)x,. u ~.

2 - 20- Raznand análgamente para ls demás sumands, btenems : = dx t t senaxcs bxcsex - =-.4-, =-. x 4, 2 2 ) Transfrmand el prduct en sumas, btenems : = dx sen ax sen bx cs ex - ~= = -'- [ cs (a - b +e) x + X2 4 cs (a - b - e) x - cs (a + b + e) x - cs (a + b - e) x] ~~ y si integrams pr partes, designand la suma entre crchetes pr ~ e se btiene f =. = = [- - -,- ~ cj + -',- -- d~ e = [--' sen ax sen bx cs ex] + 4 x 4 x x, f = +- -d~. 4 e X O. y cm lim - - sen ax s-en bx cs ex = O tant para x ~O cm x para x ~ 00, el valr de la integral se reduce a ~f~ d:e,= ~~~+b+c)sen(a+ b+c)x+ (a + b - e) sen (a + b - e) x - (a - b + e) sen (a - b + e) x - dx - (a - b- e) sen (,a - b - e) x] - x y raznand cm en la primera parte, su valr es t 4 [(a+b+e)+(a+b-e)-(a-b+e)-(a-b-e)] 2

3 - 2- sea l OO d sen ax sen bx cs ex ~ =.-= ~ b. X 2 <) ~ l OO. Transfrmand el prduct en sumas se tiene dx f 00 sen ax sen bx sen ex - = - [sen (a - b + e) x - sen (a - b - e) x ~ 4 dx - sen (a + b + e) x + sen (a + b - e) x] -. x 3 Integrand pr partes y designand pr ~ s la suma cntenida 'en el paréntesis, btenems OO 00 -d~s 8 X2 8 x2 00 [---~s]+-' r = [- - - sen ax sen bx sen ex] d~ s. 2 x2 8 X2., Pr ser lim - ~ ~ sen ax sen bx sen ex = Q para x -O y pa- 2 X2 ra x _ 00 el valr de la integral se reduce al del segund términ, sea, f 00 - [ (a - b + e) cs (la - b + e) x - (a - b - e) cs (a - b - e) x 8, ]dx - (a + b + e) cs (a + b + e) x + (a + b - e) cs (a + b - e) x 2., x Calculand la integral del primer sumand, se tiene -(a - b + e) h' cs (a - b + e) x - dx = 8 X2 ' 00 [--(a - b + e) - cs (a - b + e) x] 8 x (00 dx -8 (a- b+e)2 J ~en (a-b+e) xx

4 - 22- Recrdand que la última integral vale - y generalizand 2 el resultad para ls demás sumands, el valr la integral está dael pr TI ---[Ca - b -- el cs 8 x ) - b -- e) x - (a - b - e) cs - Ca -- b -- e) cs (a -- b + e) x -- (a -- b - e) cs -- b _ e) I 00 l - ~ [(a - b -- e) 2 - ( a - b - e) 2 - (a -- b -- e) 2 8 Cm el límite del primer términ es O tant para x -+ O cm para x , el valr de la integral estará dad pr el segund, sea f: 00 dx TI sen ax sen bx sen ex -=- x 3 2 be. IV. Supngams ahra Ci < b -- e. a) Transfrmand el prduct de csens en suma, htenemas senax cs bx cs ex = 2 sen ax [cs (b -- e) x - cas (b - e) x]. Se ns presentan ahra ds psibilidades en relación cn las cnstantes a, b y e., a> b - c. En este cas es sen ax cs bx cas ex = - [sen Ca -- b e) x -- sen (b -- e - x sen -- b - e) x -- sen (b - a - e) x J y en cnsecuencia, según se calculó en el primer cas, será

5 :- 00, dx t 0senaxcs bxcsex -=-.. ~ 4 2. a < b - e. En este cas es sen,ax cs bx cs ex = 4 [sen (a + b + e) x - - sen (b + e - a) x + sen (a + b - e) x - sen (b - a - e) x] y pr tant 00 d 0 sen ax cs bx cs ex ~ =. x b) En este segund cas, el resultad de transfrmar en suma es independiente de las relacines entre a, b, e, lueg el valr de la integral es, cm habíams calculad, ; b. e) En la tercera expreaión, tenems que, sen ax sen bx sen ex = 2" sen ax [ cs (b - e) x - cs (b + e) x J. Se presentan ahra ds psibilidades: 0. a > b - e. En este cas se tiene sen ax sen bx sen ex =4 [ sen (a + b - e) x + sen (a - b + e) x - sen (a + b + e) x + sen (b + e - a) x) ] y cm en,el cas a> b + e, el valr de la integral es I ----[(a + b- e) cs (a+b- e) x+(a- b+e) c08(a- b+c).x ' 8 x - (a + b + e) cs (a + b + e) x+

6 u 8 sea. ti x x" 4 ' 8 x 3 2 x-+o cm Es interesante generalizar ests resultads al cas en que se cnsideren ls integrands cn m factres, siempre que agreguems en las expresines hasta ahra vistas únicamente factres csens. Sól cnsiderarems el cas en que a> b + e d + m.. Se trata entnces cacular el valr de las expresines c- cs + e - a) x] -- - [(a + b - = (a+b c)2+ y cm el límite del primer términ es O tant para J~ el valr de la integral es = dx _ sen ax sen bx sen ex-, = - [2ab +- 2Cle + 2ab - a:.i- 2, a < b - c. En este cas sen ax sen bx sen ex = J:_ [sen + b - e) x - sen - e - () x - - sen (a+ be) x + sen + e - x]. En cnsecuencia, el valr de la integral es I - -. _. [(a + b - e) cs (a + b - e) x - - e - a) cs (b - e - a) - + b + e) cs b e) x +e- cs +e-a) t~ -~ [ ( + b - e) 2 - (b - e - a) 2. - (Ct + b + e) 2 = b dx TI: sen ax sen x sen ex - = -- ae.

7 - 25- fe b. d dx sen ax cs x cs ex cs x... cs mx - x fe dx sen ax sen b:t cs ex cs dx... cs mx - X2 fe d c sen ax sen bx sen ex cs dx... cs mx -. x3 En ls tres cass, cn cada factr csen que se agrega, al transfrmar en suma se duplica el númer de términs, per se intrduce un factr /2, sin cambiar el nmbre de las funcines trignmétricas ya btenidas; lueg cm el númer de términs es en las tres expresines (al transfrmarlas en suma) 2m- l, se tiene: :: En la primera el valr es 2m m En la segunda, raznand cm en el cas de tres factres el valr es ~ I k designand cn I k la suma de las 2m- 2 cnstantes que figuran en ls arguments btenids al transfrmar en suma, afectads pr el sign de la función crrespqndiente. Per en Ik se anulan tds ls términs except el b; lueg el valr de la integral es ~ b. 2 Análgament'e, en la tercera, el resultad,está dad pr k 2 ~ 2.2m- I. 2' per en Ik2 se anulan tds ls términs except be, lueg el valrlr de la integral es : : --_. 2m- l. 2. be. - =- be. 2.2m- 2 2 Estas integrales sn un cas particular de una más general,

8 r :n ax sen bx sen ex... sen hx - J xl< dnde el númer de factres es n. Integrand sucesivamente pr partes y eliminand pnmers términs que se btienen, pues su límite para x -;- O Y x -;- 00 es O, en su expresión final el valr de la integral dad pr una expresión del tip TI: --,- - :Ekn- 2n-l(n-l)! 2 cualquiera que sea el expnente enter n. Cm en ls cass anterires, en :E lcn- se anulan tds ls términs except el bcd... h, cuy ceficiente en ls 2l - términs es (n -) J; lueg el valr de la integral es TI: -bed... h. e) '"" l'i'lás general aún, si agregams factres csen, el de la integral n altera, siend = sen ax sen bx... sen hx cs lx cs mx,.. cs qx -=- TI: XI' 2 b Andrés Valeiras